W tej lekcji będziemy nadal studiować metodę rozwiązywania układów równań, a mianowicie: metodę dodawania algebraicznego. Najpierw rozważmy zastosowanie tej metody na przykładzie równania liniowe i jego istota. Pamiętajmy też, jak wyrównywać współczynniki w równaniach. I rozwiążemy szereg problemów związanych ze stosowaniem tej metody.
Temat: Układy równań
Lekcja: Metoda dodawania algebraicznego
1. Metoda dodawania algebraicznego na przykładzie układów liniowych
Rozważać metoda dodawania algebraicznego na przykładzie układów liniowych.
Przykład 1. Rozwiąż układ
Jeśli dodamy te dwa równania, wtedy y zniosą się nawzajem, pozostawiając równanie dla x.
Jeśli odejmiemy drugie równanie od pierwszego równania, x zniesie się nawzajem i otrzymamy równanie dla y. Takie jest znaczenie metody dodawania algebraicznego.
Rozwiązaliśmy układ i zapamiętaliśmy metodę dodawania algebraicznego. Powtarzając jego istotę: możemy dodawać i odejmować równania, ale musimy upewnić się, że otrzymamy równanie z tylko jedną niewiadomą.
2. Metoda dodawania algebraicznego ze wstępnym dopasowaniem współczynników
Przykład 2. Rozwiąż układ
Termin występuje w obu równaniach, więc metoda dodawania algebraicznego jest wygodna. Odejmij drugie od pierwszego równania.
Odpowiedź: (2; -1).
Tak więc, po przeanalizowaniu układu równań, można zobaczyć, że jest on wygodny dla metody dodawania algebraicznego i zastosować go.
Rozważ inny system liniowy.
3. Rozwiązywanie układów nieliniowych
Przykład 3. Rozwiąż układ
Chcemy pozbyć się y, ale te dwa równania mają różne współczynniki dla y. Wyrównujemy je, w tym celu mnożymy pierwsze równanie przez 3, drugie przez 4.
Przykład 4. Rozwiąż układ 
Wyrównaj współczynniki w punkcie x
Można to zrobić inaczej - wyrównać współczynniki na y.
Rozwiązaliśmy ten układ, stosując dwukrotnie metodę dodawania algebraicznego.
Metoda dodawania algebraicznego ma również zastosowanie w rozwiązywaniu układów nieliniowych.
Przykład 5. Rozwiąż układ
Dodajmy te równania i pozbędziemy się y.
Ten sam system można rozwiązać, stosując dwukrotnie metodę dodawania algebraicznego. Dodawanie i odejmowanie od jednego równania do drugiego.
Przykład 6. Rozwiąż układ 
Odpowiedź: 
Przykład 7. Rozwiąż układ 
Stosując metodę dodawania algebraicznego, pozbywamy się terminu xy. Pomnóż pierwsze równanie przez .
Pierwsze równanie pozostaje bez zmian, zamiast drugiego zapisujemy sumę algebraiczną.
Odpowiedź: 
Przykład 8. Rozwiąż układ
Pomnóż drugie równanie przez 2, aby znaleźć idealny kwadrat.
Nasze zadanie sprowadzało się do rozwiązania czterech prostych układów.
4. Wniosek
Rozważaliśmy metodę dodawania algebraicznego na przykładzie rozwiązywania układów liniowych i nieliniowych. W następnej lekcji rozważymy metodę wprowadzania nowych zmiennych.
1. Mordkovich AG i wsp. Algebra 9 klasa: Proc. Do edukacji ogólnej Instytucje - wyd. 4. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 s.: chory.
2. Mordkovich A. G. i wsp. Algebra klasa 9: Zeszyt zadań dla studentów instytucje edukacyjne/ AG Mordkovich, TN Mishustina i inni - wyd. — M.: Mnemosyne, 2002.-143 s.: chory.
3. Yu N. Makarychev, Algebra. Klasa 9: podręcznik. dla uczniów szkół ogólnokształcących. instytucje / Yu N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. - wydanie 7, ks. i dodatkowe - M.: Mnemosyne, 2008.
4. ShA Alimov, Yu.M. Kolyagin i Yu.V.Sidorov, Algebra. Stopień 9 16 wyd. - M., 2011. - 287 s.
5. Mordkovich AG Algebra. Stopień 9 O 14:00 Część 1. Podręcznik dla uczniów instytucji edukacyjnych / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - wyd. 12, wymazane. — M.: 2010. — 224 s.: zł.
6. Algebra. Stopień 9 O godzinie 2. Część 2. Zeszyt zadań dla uczniów instytucji edukacyjnych / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina i inni; wyd. AG Mordkowicz. - 12 wyd., ks. — M.: 2010.-223 s.: chory.
1. Sekcja kolegium. ru z matematyki.
2. Projekt internetowy „Zadania”.
3. Portal edukacyjny„ZAPRASZAM DO UŻYTKOWANIA”.
1. Mordkovich A. G. i wsp. Algebra 9. klasa: Zeszyt zadań dla uczniów placówek oświatowych / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina i wsp. - wyd. 4. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 s.: chory. nr 125 - 127.
Musisz pobrać plan lekcji na dany temat » Metoda dodawania algebraicznego?
Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi to dwa lub więcej równań liniowych, dla których konieczne jest znalezienie wszystkich ich wspólnych rozwiązań. Rozważymy układy dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Formularz ogólny układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi przedstawiono na poniższym rysunku:
( a1*x + b1*y = c1,
( a2*x + b2*y = c2
Tutaj x i y to nieznane zmienne, a1, a2, b1, b2, c1, c2 to pewne liczby rzeczywiste. Rozwiązaniem układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi jest para liczb (x, y) taka, że jeśli wstawimy te liczby do równań układu, to każde z równań układu zamieni się w prawdziwą równość. Układ równań liniowych można rozwiązać na kilka sposobów. Rozważ jeden ze sposobów rozwiązania układu równań liniowych, a mianowicie metodę dodawania.
Algorytm rozwiązywania metodą dodawania
Algorytm rozwiązywania układu równań liniowych za pomocą dwóch nieznanych metod dodawania.
1. W razie potrzeby za pomocą przekształceń równoważnych wyrównać współczynniki dla jednej z nieznanych zmiennych w obu równaniach.
2. Dodawanie lub odejmowanie otrzymanych równań w celu uzyskania równania liniowego z jedną niewiadomą
3. Rozwiąż otrzymane równanie z jedną niewiadomą i znajdź jedną ze zmiennych.
4. Podstaw otrzymane wyrażenie do dowolnego z dwóch równań układu i rozwiąż to równanie, otrzymując w ten sposób drugą zmienną.
5. Sprawdź rozwiązanie.
Przykład rozwiązania metodą dodawania
Dla większej przejrzystości rozwiązujemy metodą dodawania następny układ równania liniowe z dwiema niewiadomymi:
(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;
Ponieważ żadna ze zmiennych nie ma takich samych współczynników, wyrównujemy współczynniki zmiennej y. Aby to zrobić, pomnóż pierwsze równanie przez trzy, a drugie równanie przez dwa.
(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2
Dostawać następujący układ równań:
(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;
Teraz odejmij pierwszy od drugiego równania. Przedstawiamy wyrazy podobne i rozwiązujemy otrzymane równanie liniowe.
10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;
Otrzymaną wartość podstawiamy do pierwszego równania z naszego oryginalny układ i rozwiązać otrzymane równanie.
(3*(-6) + 2*y =10;
(2*y=28; y=14;
Wynikiem jest para liczb x=6 i y=14. Sprawdzamy. Dokonujemy zastępstwa.
(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;
{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;
{10 = 10;
{12=12;
Jak widać, otrzymaliśmy dwie prawdziwe równości, więc znaleźliśmy właściwe rozwiązanie.
Bardzo często uczniowie mają problem z wyborem metody rozwiązywania układów równań.
W tym artykule rozważymy jeden ze sposobów rozwiązywania systemów - metodę podstawienia.
Jeśli zostanie znalezione wspólne rozwiązanie dwóch równań, wówczas mówi się, że równania te tworzą układ. W układzie równań każda niewiadoma reprezentuje tę samą liczbę we wszystkich równaniach. Aby pokazać, że te równania tworzą system, są one zwykle zapisywane jedno pod drugim i łączone na przykład za pomocą nawiasów klamrowych
Zauważmy, że dla x = 15 i y = 5 oba równania układu są poprawne. Ta para liczb jest rozwiązaniem układu równań. Każda para nieznanych wartości, która jednocześnie spełnia oba równania układu, nazywana jest rozwiązaniem układu.
System może mieć jedno rozwiązanie (jak w naszym przykładzie), nieskończenie wiele rozwiązań i żadnego rozwiązania.
Jak rozwiązywać układy metodą podstawieniową? Jeśli współczynniki dla jakiejś niewiadomej w obu równaniach są równe w całkowita wartość(jeśli nie są równe, to wyrównujemy), następnie dodając oba równania (lub odejmując jedno od drugiego), można uzyskać równanie z jedną niewiadomą. Następnie rozwiązujemy to równanie. Definiujemy jedną niewiadomą. Otrzymaną wartość niewiadomej podstawiamy do jednego z równań układu (w pierwszym lub w drugim). Znajdujemy kolejną niewiadomą. Spójrzmy na przykłady zastosowania tej metody.
Przykład 1 Rozwiąż układ równań
Tutaj współczynniki w y są równe w wartości bezwzględnej, ale przeciwne co do znaku. Spróbujmy wyraz po wyrazie dodać równania układu.
Wynikowa wartość x \u003d 4 podstawiamy do jakiegoś równania układu (na przykład do pierwszego) i znajdujemy wartość y:
2 * 4 + y \u003d 11, y \u003d 11 - 8, y \u003d 3.
Nasz system ma rozwiązanie x = 4, y = 3. Albo odpowiedź można zapisać w nawiasach jako współrzędne punktu, na pierwszym miejscu x, na drugim y.
Odpowiedź: (4; 3)
Przykład 2. Rozwiąż układ równań
Wyrównujemy współczynniki dla zmiennej x, w tym celu mnożymy pierwsze równanie przez 3, a drugie przez (-2), otrzymujemy
Zachowaj ostrożność podczas dodawania równań
Następnie y \u003d - 2. Podstawiamy liczbę (-2) zamiast y w pierwszym równaniu, otrzymujemy
4x + 3 (-2) \u003d - 4. Rozwiązujemy to równanie 4x \u003d - 4 + 6, 4x \u003d 2, x \u003d ½.
Odpowiedź: (1/2; - 2)
Przykład 3 Rozwiąż układ równań
Pomnóż pierwsze równanie przez (-2)
Rozwiązanie systemu
otrzymujemy 0 = - 13.
Nie ma systemu rozwiązań, ponieważ 0 nie jest równe (-13).
Odpowiedź: Nie ma rozwiązań.
Przykład 4 Rozwiąż układ równań
Zauważ, że wszystkie współczynniki drugiego równania są podzielne przez 3,
podzielmy drugie równanie przez trzy i otrzymamy układ składający się z dwóch identycznych równań.
Ten układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, ponieważ pierwsze i drugie równanie są takie same (otrzymaliśmy tylko jedno równanie z dwiema zmiennymi). Jak przedstawić rozwiązanie tego układu? Wyraźmy zmienną y z równania x + y = 5. Otrzymujemy y = 5 - x.
Następnie odpowiedź zostanie napisane tak: (x; 5-x), x jest dowolną liczbą.
Rozważaliśmy rozwiązanie układów równań metodą dodawania. Jeśli masz jakieś pytania lub coś jest nie jasne, zapisz się na lekcję, a wspólnie z Tobą rozwiążemy wszystkie problemy.
strona, z pełnym lub częściowym kopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.
OGBOU „Ośrodek Wychowawczy dla Dzieci ze Specjalnymi Potrzebami Edukacyjnymi w Smoleńsku”
Centrum kształcenie na odległość
Lekcja algebry w 7 klasie
Temat lekcji: Metoda dodawania algebraicznego.
- Rodzaj lekcji: Lekcja podstawowa prezentacja nowej wiedzy.
Cel zajęć: kontrola poziomu przyswojenia wiedzy i umiejętności rozwiązywania układów równań przez podstawienie; kształtowanie umiejętności i umiejętności rozwiązywania układów równań metodą dodawania.
Cele Lekcji:
Temat: nauka rozwiązywania układów równań z dwiema zmiennymi metodą dodawania.
metapodmiot: UUD poznawczy: analizuj (podkreśl najważniejsze), zdefiniuj pojęcia, uogólnij, wyciągnij wnioski. UUD regulacyjny: określić cel, problem w działaniach edukacyjnych. Komunikatywny UUD: wyrazić swoją opinię, argumentując ją. Osobiste UUD: f kształtowanie pozytywnej motywacji do nauki, kształtowanie pozytywnego stosunku emocjonalnego ucznia do lekcji i przedmiotu.
Forma pracy: indywidualna
Kroki lekcji:
1) Etap organizacyjny.
organizować pracę studenta na zadany temat poprzez kształtowanie postawy wobec integralności myślenia i rozumienia tego tematu.
2. Wypytanie ucznia na temat materiału podanego w domu, uaktualnienie wiedzy.
Cel: sprawdzenie wiedzy studenta zdobytej podczas realizacji Praca domowa identyfikować błędy, pracować nad błędami. Powtórz materiał z poprzedniej lekcji.
3. Nauka nowego materiału.
1). kształtowanie umiejętności rozwiązywania układów równań liniowych przez dodawanie;
2). rozwijać i doskonalić posiadaną wiedzę w nowych sytuacjach;
3). kształcić umiejętności kontroli i samokontroli, rozwijać samodzielność.
http://zhakulina20090612.blogspot.ru/2011/06/blog-post_25.html
Cel: zachowanie wzroku, usunięcie zmęczenia oczu podczas pracy na lekcji.
5. Konsolidacja badanego materiału
Cel: sprawdzenie wiedzy, umiejętności i zdolności zdobytych podczas lekcji
6. Podsumowanie lekcji, informacje o Praca domowa, odbicie.
Postęp lekcji (praca w dokument elektroniczny Google):
1. Dzisiejszą lekcję chciałem rozpocząć od zagadki filozoficznej Waltera.
Co jest najszybsze, ale i najwolniejsze, największe, ale i najmniejsze, najdłuższe i najkrótsze, najdroższe, ale i tanio przez nas wyceniane?
Czas
Przypomnijmy podstawowe pojęcia na ten temat:
Mamy układ dwóch równań.
Przypomnijmy sobie, jak rozwiązaliśmy układy równań na ostatniej lekcji.
Metoda zastępcza
Jeszcze raz zwróć uwagę na rozwiązany układ i powiedz mi, dlaczego nie możemy rozwiązać każdego równania układu bez uciekania się do metody podstawienia?
Bo to są równania układu z dwiema zmiennymi. Równanie możemy rozwiązać tylko z jedną zmienną.
Dopiero otrzymawszy równanie z jedną zmienną udało się rozwiązać układ równań.
3. Przystępujemy do rozwiązania następującego systemu:
Wybieramy równanie, w którym wygodnie jest wyrazić jedną zmienną za pomocą innej.
Nie ma takiego równania.
Te. w tej sytuacji wcześniej badana metoda nam nie odpowiada. Jakie jest wyjście z tej sytuacji?
Znajdź nową metodę.
Spróbujmy sformułować cel lekcji.
Naucz się rozwiązywać systemy w nowy sposób.
Co musimy zrobić, aby nauczyć się rozwiązywać układy nową metodą?
znać zasady (algorytmy) rozwiązywania układów równań, wykonywać zadania praktyczne
Zacznijmy wyprowadzać nową metodę.
Zwróć uwagę na wniosek, jaki wyciągnęliśmy po rozwiązaniu pierwszego układu. Układ udało nam się rozwiązać dopiero po uzyskaniu równania liniowego z jedną zmienną.
Spójrz na układ równań i zastanów się, jak z dwóch podanych równań otrzymać jedno równanie z jedną zmienną.
Dodaj równania.
Co to znaczy dodawać równania?
Oddzielnie zrób sumę lewych części, sumę prawych części równań i zrównaj otrzymane sumy.
Spróbujmy. Pracujemy ze mną.
13x+14x+17y-17y=43+11
Otrzymaliśmy równanie liniowe z jedną zmienną.
Czy rozwiązałeś układ równań?
Rozwiązaniem układu jest para liczb.
Jak cię znaleźć?
Podstaw znalezioną wartość x do równania układu.
Czy ma znaczenie, w jakim równaniu wstawimy wartość x?
Więc znaleziona wartość x może być podstawiona do ...
dowolne równanie układu.
Zapoznaliśmy się z nową metodą - metodą dodawania algebraicznego.
Rozwiązując system, omówiliśmy algorytm rozwiązania systemu tą metodą.
Przeanalizowaliśmy algorytm. Teraz zastosujmy to do rozwiązywania problemów.
Umiejętność rozwiązywania układów równań może być przydatna w praktyce.
Rozważ problem:
Gospodarstwo posiada kurczaki i owce. Ile z tych i innych, jeśli mają razem 19 głów i 46 nóg?
Wiedząc, że w sumie jest 19 kurczaków i owiec, tworzymy pierwsze równanie: x + y \u003d 19
4x to liczba owiec
2y - liczba nóg u kurczaków
Wiedząc, że jest tylko 46 nóg, tworzymy drugie równanie: 4x + 2y \u003d 46
Stwórzmy układ równań:
Rozwiążmy układ równań za pomocą algorytmu rozwiązywania metodą dodawania.
Problem! Współczynniki przed x i y nie są ani równe, ani przeciwne! Co robić?
Spójrzmy na inny przykład!
Dodajmy jeszcze jeden krok do naszego algorytmu i postawmy go na pierwszym miejscu: Jeśli współczynniki przed zmiennymi nie są takie same i nie są przeciwne, to musimy wyrównać moduły dla jakiejś zmiennej! A potem będziemy działać zgodnie z algorytmem.
4. Elektroniczne wychowanie fizyczne dla oczu: http://zhakulina20090612.blogspot.ru/2011/06/blog-post_25.html
5. Rozwiązujemy problem metodą dodawania algebraicznego, ustalamy nowy materiał i dowiadujemy się, ile kur i owiec było w gospodarstwie.
Dodatkowe zadania:
6. 
Odbicie.
Oceniam pracę na zajęciach...
6. Wykorzystane zasoby-Internet:
Usługi Google dla edukacji
Nauczyciel matematyki Sokolova N.N.
Otrzymane układy równań szerokie zastosowanie w sektorze gospodarczym w modelowaniu matematycznym różnych procesów. Na przykład przy rozwiązywaniu problemów zarządzania i planowania produkcji, tras logistycznych (problem transportowy) czy rozmieszczenia sprzętu.
Systemy równań są wykorzystywane nie tylko w matematyce, ale także w fizyce, chemii i biologii przy rozwiązywaniu problemów określania wielkości populacji.
Układ równań liniowych to termin określający dwa lub więcej równań z kilkoma zmiennymi, dla których konieczne jest znalezienie wspólnego rozwiązania. Taki ciąg liczb, dla którego wszystkie równania stają się prawdziwymi równościami lub dowodzą, że ciąg nie istnieje.
Równanie liniowe
Równania postaci ax+by=c nazywane są liniowymi. Oznaczenia x, y to niewiadome, których wartość należy znaleźć, b, a to współczynniki zmiennych, c to wolny termin równania.
Rozwiązanie równania poprzez wykreślenie jego wykresu będzie wyglądać jak linia prosta, której wszystkie punkty są rozwiązaniem wielomianu.
Rodzaje układów równań liniowych
Najprostsze to przykłady układów równań liniowych z dwiema zmiennymi X i Y.
F1(x, y) = 0 i F2(x, y) = 0, gdzie F1,2 to funkcje, a (x, y) to zmienne funkcyjne.
Rozwiąż układ równań - oznacza znalezienie takich wartości (x, y), dla których układ staje się prawdziwą równością, lub ustalenie, że nie ma odpowiednich wartości x i y.
Parę wartości (x, y), zapisanych jako współrzędne punktu, nazywamy rozwiązaniem układu równań liniowych.
Jeśli systemy mają jedno wspólne rozwiązanie lub nie ma rozwiązania, nazywamy je równoważnymi.
Układy jednorodne równań liniowych to układy, których prawa strona jest równa zeru. Jeżeli prawa część po znaku równości ma wartość lub jest wyrażona funkcją, to taki układ nie jest jednorodny.
Liczba zmiennych może być znacznie większa niż dwie, wtedy powinniśmy mówić o przykładzie układu równań liniowych z trzema lub więcej zmiennymi.
W obliczu systemów uczniowie zakładają, że liczba równań musi koniecznie pokrywać się z liczbą niewiadomych, ale tak nie jest. Liczba równań w układzie nie zależy od zmiennych, może ich być dowolnie duża liczba.
Proste i złożone metody rozwiązywania układów równań
Nie ma ogólnego analitycznego sposobu rozwiązywania takich układów, wszystkie metody opierają się na rozwiązaniach numerycznych. W kurs szkolny Matematyka opisuje szczegółowo takie metody jak permutacja, dodawanie algebraiczne, podstawienie, a także metoda graficzna i macierzowa, rozwiązanie metodą Gaussa.
Głównym zadaniem w nauczaniu metod rozwiązywania jest nauczenie prawidłowej analizy systemu i znalezienia optymalnego algorytmu rozwiązania dla każdego przykładu. Najważniejsze nie jest zapamiętanie systemu zasad i działań dla każdej metody, ale zrozumienie zasad stosowania określonej metody.
Rozwiązanie przykładowych układów równań liniowych siódmej klasy programu szkoły ogólnokształcącej jest dość proste i szczegółowo wyjaśnione. W każdym podręczniku do matematyki tej sekcji poświęca się wystarczająco dużo uwagi. Rozwiązanie przykładów układów równań liniowych metodą Gaussa i Cramera jest badane bardziej szczegółowo na pierwszych kursach szkół wyższych.
Rozwiązywanie układów metodą podstawieniową
Działania metody podstawienia mają na celu wyrażenie wartości jednej zmiennej przez drugą. Wyrażenie jest podstawiane do pozostałego równania, a następnie redukowane do postaci pojedynczej zmiennej. Czynność powtarza się w zależności od ilości niewiadomych w układzie
Podajmy przykład układu równań liniowych 7. klasy metodą podstawienia:
Jak widać z przykładu, zmienną x wyrażono poprzez F(X) = 7 + Y. Otrzymane wyrażenie, podstawione w 2. równaniu układu w miejsce X, pozwoliło uzyskać jedną zmienną Y w 2. równaniu . Rozwiązanie ten przykład nie sprawia trudności i pozwala uzyskać wartość Y. Ostatnim krokiem jest sprawdzenie otrzymanych wartości.
Nie zawsze jest możliwe rozwiązanie przykładowego układu równań liniowych przez podstawienie. Równania mogą być złożone, a wyrażenie zmiennej w postaci drugiej niewiadomej będzie zbyt kłopotliwe do dalszych obliczeń. Gdy w systemie jest więcej niż 3 niewiadome, rozwiązanie podstawienia jest również niepraktyczne.
Rozwiązanie przykładowego układu liniowych równań niejednorodnych:
Rozwiązanie z wykorzystaniem dodawania algebraicznego
Podczas poszukiwania rozwiązania układów metodą dodawania, dodawania wyraz po wyrazie i mnożenia równań przez różne liczby. Ostateczny cel operacje matematyczne jest równaniem z jedną zmienną.
Do zastosowań Ta metoda wymaga praktyki i obserwacji. Nie jest łatwo rozwiązać układ równań liniowych metodą dodawania z liczbą zmiennych 3 lub większą. Dodawanie algebraiczne jest przydatne, gdy równania zawierają ułamki zwykłe i liczby dziesiętne.
Algorytm działania rozwiązania:
- Pomnóż obie strony równania przez pewną liczbę. W wyniku działania arytmetycznego jeden ze współczynników zmiennej musi być równy 1.
- Dodaj wynikowe wyrażenie wyraz po wyrazie i znajdź jedną z niewiadomych.
- Podstaw wynikową wartość do drugiego równania układu, aby znaleźć pozostałą zmienną.
Metoda rozwiązania przez wprowadzenie nowej zmiennej
Nową zmienną można wprowadzić, jeśli system musi znaleźć rozwiązanie dla nie więcej niż dwóch równań, liczba niewiadomych również nie powinna przekraczać dwóch.
Metoda służy do uproszczenia jednego z równań poprzez wprowadzenie nowej zmiennej. Nowe równanie jest rozwiązywane w odniesieniu do wprowadzonej niewiadomej, a wynikowa wartość służy do wyznaczenia pierwotnej zmiennej.
Z przykładu wynika, że wprowadzając nową zmienną t można było sprowadzić pierwsze równanie układu do wzorca trójmian kwadratowy. Możesz rozwiązać wielomian, znajdując dyskryminator.
Należy znaleźć wartość wyróżnika korzystając ze znanego wzoru: D = b2 - 4*a*c, gdzie D to poszukiwany wyróżnik, b, a, c to mnożniki wielomianu. W podanym przykładzie a=1, b=16, c=39, stąd D=100. Jeżeli dyskryminator jest większy od zera, to są dwa rozwiązania: t = -b±√D / 2*a, jeżeli dyskryminator mniej niż zero, to jest tylko jedno rozwiązanie: x= -b / 2*a.
Rozwiązanie dla powstałych układów znajduje się metodą dodawania.
Wizualna metoda rozwiązywania układów
Nadaje się do układów z 3 równaniami. Metoda polega na wykreśleniu na osi współrzędnych wykresów każdego równania wchodzącego w skład układu. Współrzędne punktów przecięcia krzywych będą rozwiązaniem ogólnym układu.
Metoda graficzna ma wiele niuansów. Rozważ kilka przykładów rozwiązywania układów równań liniowych w sposób wizualny.
Jak widać z przykładu dla każdej linii skonstruowano dwa punkty, wartości zmiennej x wybrano arbitralnie: 0 i 3. Na podstawie wartości x wyznaczono wartości dla y: 3 i 0. Punkty o współrzędnych (0, 3) i (3, 0) zaznaczono na wykresie i połączono linią.
Kroki należy powtórzyć dla drugiego równania. Punkt przecięcia prostych jest rozwiązaniem układu.
W poniższym przykładzie wymagane jest znalezienie graficznego rozwiązania układu równań liniowych: 0,5x-y+2=0 i 0,5x-y-1=0.
Jak widać na przykładzie, układ nie ma rozwiązania, ponieważ wykresy są równoległe i nie przecinają się na całej długości.
Układy z przykładów 2 i 3 są podobne, ale po zbudowaniu staje się oczywiste, że ich rozwiązania są różne. Należy pamiętać, że nie zawsze można stwierdzić, czy system ma rozwiązanie, czy nie, zawsze konieczne jest zbudowanie grafu.
Matryca i jej odmiany
Macierze służą do krótkiego zapisania układu równań liniowych. Tabela nazywana jest macierzą. specjalny rodzaj wypełnione liczbami. n*m ma n - wierszy i m - kolumn.
Macierz jest kwadratowa, gdy liczba kolumn i wierszy jest równa. Macierz-wektor to macierz jednokolumnowa z nieskończenie możliwą liczbą wierszy. Macierz z jednostkami wzdłuż jednej z przekątnych i innymi elementami zerowymi nazywana jest tożsamością.
Macierz odwrotna to taka macierz, po pomnożeniu przez którą pierwotna zamienia się w jedynkę, taka macierz istnieje tylko dla pierwotnej kwadratowej.
Zasady przekształcania układu równań w macierz
W odniesieniu do układów równań współczynniki i człony swobodne równań są zapisywane jako liczby macierzy, jedno równanie to jeden wiersz macierzy.
Wiersz macierzy nazywamy niezerowym, jeśli przynajmniej jeden element wiersza nie jest równy zeru. Dlatego jeśli w którymś z równań liczba zmiennych jest różna, to w miejsce brakującej niewiadomej należy wpisać zero.
Kolumny macierzy muszą ściśle odpowiadać zmiennym. Oznacza to, że współczynniki zmiennej x można zapisać tylko w jednej kolumnie, np. w pierwszej, współczynnik nieznanej y tylko w drugiej.
Podczas mnożenia macierzy wszystkie elementy macierzy są kolejno mnożone przez liczbę.
Opcje znajdowania macierzy odwrotnej
Wzór na znalezienie macierzy odwrotnej jest dość prosty: K -1 = 1 / |K|, gdzie K -1 - macierz odwrotna, i |K| - wyznacznik macierzowy. |K| nie może być równy zeru, to układ ma rozwiązanie.
Wyznacznik można łatwo obliczyć dla macierzy dwa na dwa, wystarczy pomnożyć elementy po przekątnej przez siebie. Dla opcji „trzy na trzy” istnieje wzór |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + za 3 b 2 do 1 . Możesz użyć formuły lub możesz pamiętać, że musisz wziąć jeden element z każdego wiersza i każdej kolumny, aby numery kolumn i wierszy elementów nie powtarzały się w produkcie.
Rozwiązywanie przykładowych układów równań liniowych metodą macierzową
Macierzowa metoda znajdowania rozwiązania pozwala zredukować uciążliwe wpisy przy rozwiązywaniu układów z dużą liczbą zmiennych i równań.
W przykładzie a nm to współczynniki równań, macierz to wektor x n to zmienne, a b n to wyrazy wolne.
Rozwiązywanie układów metodą Gaussa
W matematyce wyższej metoda Gaussa jest badana razem z metodą Cramera, a proces znajdowania rozwiązań układów nazywany jest metodą rozwiązywania Gaussa-Cramera. Te metody służą do wyszukiwania zmienne systemowe z wieloma równaniami liniowymi.
Metoda Gaussa jest bardzo podobna do rozwiązań polegających na podstawieniu i dodawaniu algebraicznym, ale jest bardziej systematyczna. Na kursie szkolnym rozwiązanie Gaussa jest używane dla układów 3 i 4 równań. Celem metody jest doprowadzenie układu do postaci odwróconego trapezu. Za pomocą przekształceń algebraicznych i podstawień wartość jednej zmiennej znajduje się w jednym z równań układu. Drugie równanie to wyrażenie z 2 niewiadomymi, a 3 i 4 - odpowiednio z 3 i 4 zmiennymi.
Po doprowadzeniu układu do opisanej postaci dalsze rozwiązanie sprowadza się do sekwencyjnego podstawienia znanych zmiennych do równań układu.
W podręcznikach szkolnych dla klasy 7 przykład rozwiązania Gaussa jest opisany w następujący sposób:
Jak widać z przykładu, w kroku (3) otrzymano dwa równania 3x 3 -2x 4 =11 i 3x 3 +2x 4 =7. Rozwiązanie dowolnego z równań pozwoli ci znaleźć jedną ze zmiennych x n.
Wspomniane w tekście twierdzenie 5 mówi, że jeśli jedno z równań układu zastąpimy równoważnym, to otrzymany układ będzie również równoważny pierwotnemu.
Metoda Gaussa jest trudna do zrozumienia dla studentów Liceum, ale jest jednym z najbardziej ciekawe sposoby rozwijanie pomysłowości dzieci zapisanych na rozszerzony program nauczania w klasach matematyczno-fizycznych.
Aby ułatwić rejestrowanie obliczeń, zwykle wykonuje się następujące czynności:
Współczynniki równań i wyrazy wolne zapisywane są w postaci macierzy, gdzie każdy wiersz macierzy odpowiada jednemu z równań układu. oddziela lewą stronę równania od prawej. Cyfry rzymskie oznaczają numery równań w układzie.
Najpierw zapisują macierz, z którą mają pracować, a następnie wszystkie czynności wykonane w jednym z wierszy. Wynikowa macierz jest zapisywana po znaku „strzałki” i kontynuuje wykonywanie niezbędnych operacji algebraicznych, aż do osiągnięcia wyniku.
W rezultacie należy uzyskać macierz, w której jedna z przekątnych wynosi 1, a wszystkie inne współczynniki są równe zeru, to znaczy macierz zostaje zredukowana do jednej postaci. Nie możemy zapomnieć o wykonaniu obliczeń z liczbami po obu stronach równania.
Ta notacja jest mniej kłopotliwa i pozwala nie rozpraszać się wyliczaniem wielu niewiadomych.
Swobodne zastosowanie dowolnej metody rozwiązania będzie wymagało ostrożności i pewnego doświadczenia. Nie wszystkie metody są stosowane. Niektóre sposoby znajdowania rozwiązań są bardziej preferowane w określonym obszarze działalności człowieka, podczas gdy inne istnieją w celu uczenia się.