De module is een van die dingen waar iedereen van lijkt te hebben gehoord, maar in werkelijkheid niemand het echt begrijpt. Daarom zal er vandaag wel een zijn geweldige les, gewijd aan het oplossen van vergelijkingen met moduli.
Ik zeg meteen: de les zal niet moeilijk zijn. En over het algemeen zijn modules een relatief eenvoudig onderwerp. “Ja, natuurlijk, het is niet ingewikkeld! Het verbaast mij!” - zullen veel studenten zeggen, maar al deze hersenkraken ontstaan doordat de meeste mensen geen kennis in hun hoofd hebben, maar een soort onzin. En het doel van deze les is om onzin om te zetten in kennis :)
Een beetje theorie
Dus laten we gaan. Laten we beginnen met het allerbelangrijkste: wat is een module? Ik wil u eraan herinneren dat de modulus van een getal eenvoudigweg hetzelfde getal is, maar genomen zonder het minteken. Dat is bijvoorbeeld $\left| -5 \rechts|=5$. Of $\links| -129,5 \right|=$129,5.
Is het zo eenvoudig? Ja, simpel. Wat is dan de absolute waarde van een positief getal? Hier is het nog eenvoudiger: de modulus van een positief getal is gelijk aan dit getal zelf: $\left| 5 \rechts|=5$; $\links| 129,5 \right|=$129,5, enz.
Het blijkt iets merkwaardigs: verschillende nummers Mogelijk dezelfde module. Bijvoorbeeld: $\left| -5 \rechts|=\links| 5 \rechts|=5$; $\links| -129.5 \rechts|=\links| 129,5\rechts|=$129,5. Het is gemakkelijk te zien wat voor soort getallen dit zijn en dezelfde modules hebben: deze getallen zijn tegengesteld. We merken dus voor onszelf op dat de modules met tegengestelde getallen gelijk zijn:
\[\links| -a \rechts|=\links| a\rechts|\]
Nog een belangrijk feit: modulus is nooit negatief. Welk getal we ook nemen - of het nu positief of negatief is - de modulus blijkt altijd positief te zijn (of, in extreme gevallen, nul). Daarom wordt de module vaak genoemd absolute waarde cijfers.
Als we bovendien de definitie van de modulus voor een positief en een negatief getal combineren, krijgen we een globale definitie van de modulus voor alle getallen. Namelijk: de modulus van een getal is gelijk aan dit getal zelf, als het getal positief (of nul) is, of gelijk is aan tegenovergestelde cijfer, als het getal negatief is. Je kunt dit als formule schrijven:
Er is ook een modulus van nul, maar deze is altijd gelijk aan nul. Bovendien nul enkelvoud, die geen tegendeel kent.
Dus als we de functie $y=\left| beschouwen x \right|$ en probeer de grafiek ervan te tekenen, je krijgt zoiets als dit:
Modulusgrafiek en voorbeeld van het oplossen van de vergelijking
Uit deze afbeelding is meteen duidelijk dat $\left| -m \rechts|=\links| m \right|$, en de modulusgrafiek valt nooit onder de x-as. Maar dat is nog niet alles: de rode lijn markeert de rechte lijn $y=a$, die, voor positief $a$, ons twee wortels tegelijk geeft: $((x)_(1))$ en $((x) _(2)) $, maar daar zullen we het later over hebben :)
Naast de puur algebraïsche definitie is er een geometrische definitie. Laten we zeggen dat er twee punten op de getallenlijn liggen: $((x)_(1))$ en $((x)_(2))$. In dit geval is dit de expressie $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ is eenvoudigweg de afstand tussen de opgegeven punten. Of, als u dat liever heeft, de lengte van het segment dat deze punten verbindt:
Modulus is de afstand tussen punten op een getallenlijn Deze definitie impliceert ook dat de modulus altijd niet-negatief is. Maar genoeg definities en theorie - laten we verder gaan met echte vergelijkingen :)
Basisformule
Oké, we hebben de definitie uitgezocht. Maar dat maakte het er niet makkelijker op. Hoe los je vergelijkingen op die deze module bevatten?
Kalm, gewoon kalm. Laten we beginnen met de eenvoudigste dingen. Overweeg zoiets als dit:
\[\links| x\rechts|=3\]
De modulus van $x$ is dus 3. Waaraan kan $x$ gelijk zijn? Afgaande op de definitie zijn we best tevreden met $x=3$. Echt:
\[\links| 3\rechts|=3\]
Zijn er andere cijfers? Cap lijkt te laten doorschemeren dat dit zo is. $x=-3$ is bijvoorbeeld ook $\left| -3 \right|=3$, d.w.z. aan de vereiste gelijkheid is voldaan.
Dus als we zoeken en nadenken, vinden we misschien meer cijfers? Maar breek het af: meer cijfers Nee. Vergelijking $\left| x \right|=3$ heeft slechts twee wortels: $x=3$ en $x=-3$.
Laten we de taak nu een beetje ingewikkelder maken. Laat de functie $f\left(x \right)$ onder het modulusteken hangen in plaats van de variabele $x$, en aan de rechterkant plaatsen we in plaats van het drietal een willekeurig getal $a$. We krijgen de vergelijking:
\[\links| f\links(x \rechts) \rechts|=a\]
Dus hoe kunnen we dit oplossen? Laat me je eraan herinneren: $f\left(x \right)$ is een willekeurige functie, $a$ is een willekeurig getal. Die. Helemaal niets! Bijvoorbeeld:
\[\links| 2x+1 \rechts|=5\]
\[\links| 10x-5 \rechts|=-65\]
Laten we aandacht besteden aan de tweede vergelijking. Over hem kun je meteen zeggen: hij heeft geen roots. Waarom? Dat klopt: omdat het vereist dat de modulus gelijk is aan negatief nummer, wat nooit gebeurt, omdat we al weten dat de modulus altijd een positief getal is of, in extreme gevallen, nul.
Maar met de eerste vergelijking is alles leuker. Er zijn twee opties: ofwel staat er een positieve uitdrukking onder het modulusteken, en dan $\left| 2x+1 \right|=2x+1$, of deze uitdrukking is nog steeds negatief, en dan $\left| 2x+1 \right|=-\left(2x+1 \right)=-2x-1$. In het eerste geval wordt onze vergelijking als volgt herschreven:
\[\links| 2x+1 \rechts|=5\Pijl-rechts 2x+1=5\]
En plotseling blijkt dat de submodulaire uitdrukking $2x+1$ echt positief is: hij is gelijk aan het getal 5. Dat wil zeggen we kunnen deze vergelijking veilig oplossen - de resulterende wortel zal een deel van het antwoord zijn:
Degenen die bijzonder wantrouwend zijn, kunnen proberen de gevonden wortel in de oorspronkelijke vergelijking te vervangen en ervoor te zorgen dat de modulus daadwerkelijk zal zijn positief nummer.
Laten we nu eens kijken naar het geval van een negatieve submodulaire uitdrukking:
\[\left\( \begin(uitlijnen)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(uitlijnen) \right.\Pijl naar rechts -2x-1=5 \Pijl naar rechts 2x+1=-5\]
Oeps! Nogmaals, alles is duidelijk: we gingen ervan uit dat $2x+1 \lt 0$, en als resultaat kregen we dat $2x+1=-5$ - inderdaad, dit is de uitdrukking minder dan nul. We lossen de resulterende vergelijking op, terwijl we al zeker weten dat de gevonden wortel bij ons past:
In totaal hebben we wederom twee antwoorden ontvangen: $x=2$ en $x=3$. Ja, het aantal berekeningen bleek iets groter te zijn dan in de zeer eenvoudige vergelijking $\left| x \right|=3$, maar er is niets fundamenteel veranderd. Dus misschien is er een soort universeel algoritme?
Ja, zo’n algoritme bestaat. En nu zullen we het analyseren.
Het wegwerken van het modulusteken
Laten we de vergelijking $\left| krijgen f\left(x \right) \right|=a$, en $a\ge 0$ (anders zijn er, zoals we al weten, geen wortels). Dan kun je het modulusteken wegwerken met behulp van de volgende regel:
\[\links| f\left(x \right) \right|=a\Pijl naar rechts f\left(x \right)=\pm a\]
Onze vergelijking met een modulus splitst zich dus in tweeën, maar zonder modulus. Dat is alles wat de technologie is! Laten we proberen een paar vergelijkingen op te lossen. Laten we hiermee beginnen
\[\links| 5x+4 \right|=10\Pijl naar rechts 5x+4=\pm 10\]
Laten we afzonderlijk bekijken wanneer er rechts een tien plus staat, en afzonderlijk wanneer er een min is. We hebben:
\[\begin(uitlijnen)& 5x+4=10\Pijl naar rechts 5x=6\Pijl naar rechts x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Pijl naar rechts 5x=-14\Pijl naar rechts x=-\frac(14)(5)=-2.8. \\\eind(uitlijnen)\]
Dat is alles! We hebben twee wortels: $x=1,2$ en $x=-2,8$. De hele oplossing duurde letterlijk twee regels.
Oké, geen twijfel mogelijk, laten we naar iets serieuzers kijken:
\[\links| 7-5x\rechts|=13\]
Opnieuw openen we de module met plus en min:
\[\begin(uitlijnen)& 7-5x=13\Pijl naar rechts -5x=6\Pijl naar rechts x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Pijl naar rechts -5x=-20\Pijl naar rechts x=4. \\\eind(uitlijnen)\]
Nog een paar regels - en het antwoord is klaar! Zoals ik al zei, er is niets ingewikkelds aan modules. Je hoeft alleen maar een paar regels te onthouden. Daarom gaan we verder en beginnen met echt complexere taken.
Het geval van een variabele aan de rechterkant
Beschouw nu deze vergelijking:
\[\links| 3x-2 \rechts|=2x\]
Deze vergelijking is fundamenteel anders dan alle voorgaande. Hoe? En het feit dat rechts van het gelijkteken de uitdrukking $2x$ staat - en we kunnen van tevoren niet weten of deze positief of negatief is.
Wat te doen in dit geval? Ten eerste moeten we dat voor eens en voor altijd begrijpen als de rechterkant van de vergelijking negatief blijkt te zijn, heeft de vergelijking geen wortels- we weten al dat de module niet gelijk kan zijn aan een negatief getal.
En ten tweede, als het rechterdeel nog steeds positief is (of gelijk is aan nul), dan kun je op precies dezelfde manier handelen als voorheen: open de module eenvoudig afzonderlijk met een plusteken en afzonderlijk met een minteken.
We formuleren dus een regel voor willekeurige functies $f\left(x \right)$ en $g\left(x \right)$ :
\[\links| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Pijl rechts \left\( \begin(uitlijnen)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(align) \right.\]
Met betrekking tot onze vergelijking krijgen we:
\[\links| 3x-2 \right|=2x\Pijl naar rechts \links\( \begin(uitlijnen)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(uitlijnen) \right.\]
Welnu, we zullen op de een of andere manier omgaan met de vereiste $2x\ge 0$. Uiteindelijk kunnen we op een domme manier de wortels die we uit de eerste vergelijking halen, vervangen en controleren of de ongelijkheid wel of niet standhoudt.
Laten we dus de vergelijking zelf oplossen:
\[\begin(uitlijnen)& 3x-2=2\Pijl naar rechts 3x=4\Pijl naar rechts x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Pijl naar rechts 3x=0\Pijl naar rechts x=0. \\\eind(uitlijnen)\]
Welnu, welke van deze twee wortels voldoet aan de vereiste $2x\ge 0$? Ja, beide! Het antwoord zal daarom twee getallen zijn: $x=(4)/(3)\;$ en $x=0$. Dat is de oplossing.
Ik vermoed dat sommige studenten zich al beginnen te vervelen? Laten we eens kijken naar een nog complexere vergelijking:
\[\links| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\]
Hoewel het er slecht uitziet, is het in feite nog steeds dezelfde vergelijking in de vorm “modulus is gelijk aan functie”:
\[\links| f\links(x \rechts) \rechts|=g\links(x \rechts)\]
En het wordt op precies dezelfde manier opgelost:
\[\links| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\Pijl naar rechts \links\( \begin(uitlijnen)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \left(x-((x)^(3)) \right), \\& x-((x )^(3))\ge 0. \\\end(align) \right.\]
We zullen later met de ongelijkheid omgaan - het is op de een of andere manier te slecht (in feite is het eenvoudig, maar we zullen het niet oplossen). Voor nu is het beter om met de resulterende vergelijkingen om te gaan. Laten we het eerste geval bekijken: dit is wanneer de module wordt uitgebreid met een plusteken:
\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]
Nou, het is een goed idee dat je alles van links moet verzamelen, soortgelijke moet meenemen en kijken wat er gebeurt. En dit is wat er gebeurt:
\[\begin(uitlijnen)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\eind(uitlijnen)\]
We nemen de gemeenschappelijke factor $((x)^(2))$ tussen haakjes en krijgen een heel eenvoudige vergelijking:
\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\Pijl naar rechts \left[ \begin(uitlijnen)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\end(uitlijnen) \rechts.\]
\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1,5.\]
Hier gebruikten we belangrijk bezit product, waarvoor we de oorspronkelijke polynoom in factoren hebben verwerkt: het product is gelijk aan nul als ten minste één van de factoren gelijk is aan nul.
Laten we nu op precies dezelfde manier omgaan met de tweede vergelijking, die wordt verkregen door de module uit te breiden met een minteken:
\[\begin(uitlijnen)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \right); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\links(-3x+2 \rechts)=0. \\\eind(uitlijnen)\]
Opnieuw hetzelfde: het product is gelijk aan nul als minstens één van de factoren gelijk is aan nul. We hebben:
\[\left[ \begin(uitlijnen)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(uitlijnen) \right.\]
Welnu, we hebben drie wortels: $x=0$, $x=1,5$ en $x=(2)/(3)\;$. Welnu, welke van deze set zal het definitieve antwoord vormen? Om dit te doen, moeten we bedenken dat we een extra beperking hebben in de vorm van ongelijkheid:
Hoe moet met deze eis rekening worden gehouden? Laten we gewoon de gevonden wortels vervangen en controleren of de ongelijkheid voor deze $x$ geldt of niet. We hebben:
\[\begin(uitlijnen)& x=0\Pijl naar rechts x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1.5\Pijl naar rechts x-((x)^(3))=1.5-((1.5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Pijl naar rechts x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge0; \\\eind(uitlijnen)\]
De wortel $x=1,5$ past dus niet bij ons. En als reactie zullen slechts twee wortels verdwijnen:
\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]
Zoals je kunt zien, was er zelfs in dit geval niets ingewikkelds: vergelijkingen met modules worden altijd opgelost met behulp van een algoritme. Je hoeft alleen maar een goed begrip te hebben van polynomen en ongelijkheden. Daarom gaan we verder met complexere taken - er zullen al niet één, maar twee modules zijn.
Vergelijkingen met twee modules
Tot nu toe hebben we alleen het meeste bestudeerd eenvoudige vergelijkingen— er was één module en nog iets. We stuurden dit “iets anders” naar een ander deel van de ongelijkheid, weg van de module, zodat uiteindelijk alles gereduceerd zou worden tot een vergelijking van de vorm $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ of nog eenvoudiger $\left| f\links(x \rechts) \rechts|=a$.
Maar kleuterschool geëindigd - het is tijd om iets ernstigers te overwegen. Laten we beginnen met vergelijkingen als deze:
\[\links| f\left(x \right) \right|=\left| g\links(x \rechts) \rechts|\]
Dit is een vergelijking van de vorm “modulus is gelijk aan modulus”. Fundamenteel belangrijk punt is de afwezigheid van andere termen en factoren: slechts één module aan de linkerkant, nog een module aan de rechterkant - en niets meer.
Iemand zal nu denken dat dergelijke vergelijkingen moeilijker op te lossen zijn dan wat we tot nu toe hebben bestudeerd. Maar nee: deze vergelijkingen zijn nog eenvoudiger op te lossen. Hier is de formule:
\[\links| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\Pijl naar rechts f\left(x \right)=\pm g\left(x \right)\]
Alle! We stellen submodulaire uitdrukkingen eenvoudigweg gelijk door een plus- of minteken voor een ervan te plaatsen. En dan lossen we de resulterende twee vergelijkingen op - en de wortels zijn klaar! Geen extra beperkingen, geen ongelijkheden, etc. Alles is heel eenvoudig.
Laten we proberen dit probleem op te lossen:
\[\links| 2x+3 \rechts|=\links| 2x-7 \rechts|\]
Elementaire Watson! Het uitbreiden van de modules:
\[\links| 2x+3 \rechts|=\links| 2x-7 \right|\Pijl naar rechts 2x+3=\pm \left(2x-7 \right)\]
Laten we elk geval afzonderlijk bekijken:
\[\begin(uitlijnen)& 2x+3=2x-7\Pijl naar rechts 3=-7\Pijl naar rechts \emptyset ; \\& 2x+3=-\left(2x-7 \right)\Pijl-rechts 2x+3=-2x+7. \\\eind(uitlijnen)\]
De eerste vergelijking heeft geen wortels. Want wanneer is $3=-7$? Bij welke waarden van $x$? “Wat is in vredesnaam $x$? Ben je stoned? Er is helemaal geen $x$, 'zeg je. En je zult gelijk hebben. We hebben een gelijkheid verkregen die niet afhankelijk is van de variabele $x$, en tegelijkertijd is de gelijkheid zelf onjuist. Daarom zijn er geen wortels :)
Met de tweede vergelijking is alles een beetje interessanter, maar ook heel, heel eenvoudig:
Zoals je kunt zien, werd alles letterlijk in een paar regels opgelost - we hadden niets anders verwacht van een lineaire vergelijking :)
Het resultaat is dat het uiteindelijke antwoord is: $x=1$.
Dus hoe? Moeilijk? Natuurlijk niet. Laten we iets anders proberen:
\[\links| x-1 \rechts|=\links| ((x)^(2))-3x+2 \rechts|\]
Opnieuw hebben we een vergelijking van de vorm $\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\links(x \rechts) \rechts|$. Daarom herschrijven we het onmiddellijk en onthullen het modulusteken:
\[((x)^(2))-3x+2=\pm \left(x-1 \right)\]
Misschien zal iemand nu vragen: “Hé, wat een onzin? Waarom verschijnt ‘plus-minus’ in de rechteruitdrukking en niet aan de linkerkant?’ Kalmeer maar, ik zal nu alles uitleggen. Eigenlijk hadden we onze vergelijking op een goede manier als volgt moeten herschrijven:
Vervolgens moet je de haakjes openen, alle termen naar één kant van het gelijkteken verplaatsen (aangezien de vergelijking uiteraard in beide gevallen kwadratisch zal zijn) en dan de wortels vinden. Maar je moet toegeven: wanneer ‘plus-minus’ vóór drie termen staat (vooral als een van deze termen een kwadratische uitdrukking is), ziet het er op de een of andere manier ingewikkelder uit dan de situatie waarin ‘plus-minus’ vóór slechts twee termen staat.
Maar niets weerhoudt ons ervan de oorspronkelijke vergelijking als volgt te herschrijven:
\[\links| x-1 \rechts|=\links| ((x)^(2))-3x+2 \right|\Pijl naar rechts \links| ((x)^(2))-3x+2 \rechts|=\links| x-1 \rechts|\]
Wat is er gebeurd? Niets bijzonders: ze hebben alleen de linker- en rechterkant verwisseld. Een klein ding dat ons leven uiteindelijk een beetje gemakkelijker zal maken. :)
Over het algemeen lossen we deze vergelijking op, rekening houdend met opties met een plus en een min:
\[\begin(uitlijnen)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Pijl naar rechts ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\left(x-1 \right)\Pijl naar rechts ((x)^(2))-2x+1=0. \\\eind(uitlijnen)\]
De eerste vergelijking heeft wortels $x=3$ en $x=1$. De tweede is over het algemeen een exact vierkant:
\[((x)^(2))-2x+1=((\left(x-1 \right))^(2))\]
Daarom heeft het slechts één wortel: $x=1$. Maar we hebben deze wortel al eerder verkregen. Er zullen dus slechts twee cijfers in het uiteindelijke antwoord terechtkomen:
\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]
Missie geslaagd! Je kunt een taart uit de plank pakken en opeten. Er zijn er 2, de jouwe is de middelste :)
Belangrijke notitie. De aanwezigheid van identieke wortels voor verschillende opties uitbreiding van de modulus betekent dat de oorspronkelijke polynomen worden ontbonden, en onder deze factoren zal er zeker een gemeenschappelijke factor zijn. Echt:
\[\begin(uitlijnen)& \left| x-1 \rechts|=\links| ((x)^(2))-3x+2 \rechts|; \\& \links| x-1 \rechts|=\links| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\eind(uitlijnen)\]
Eén van de module-eigenschappen: $\left| a\cdot b \right|=\left| a \right|\cdot \left| b \right|$ (d.w.z. de modulus van het product is gelijk aan het product van de moduli), dus de oorspronkelijke vergelijking kan als volgt worden herschreven:
\[\links| x-1 \rechts|=\links| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \rechts|\]
Zoals je kunt zien, hebben we echt een gemeenschappelijke factor. Als u nu alle modules aan één kant verzamelt, kunt u deze factor uit de beugel halen:
\[\begin(uitlijnen)& \left| x-1 \rechts|=\links| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \rechts|; \\& \links| x-1 \rechts|-\links| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \rechts|=0; \\& \links| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\eind(uitlijnen)\]
Bedenk nu dat het product gelijk is aan nul als ten minste één van de factoren gelijk is aan nul:
\[\left[ \begin(uitlijnen)& \left| x-1 \right|=0, \\& \left| x-2 \rechts|=1. \\\end(uitlijnen) \rechts.\]
De oorspronkelijke vergelijking met twee modules is dus teruggebracht tot de twee eenvoudigste vergelijkingen waar we het helemaal aan het begin van de les over hadden. Dergelijke vergelijkingen kunnen letterlijk in een paar regels worden opgelost :)
Deze opmerking kan in de praktijk onnodig complex en niet toepasbaar lijken. In werkelijkheid kun je echter nog veel meer tegenkomen complexe taken, dan die welke we vandaag analyseren. Daarin kunnen modules worden gecombineerd met polynomen, rekenkundige wortels, logaritmen, enz. En in dergelijke situaties kan de mogelijkheid om de algehele graad van de vergelijking te verlagen door iets tussen haakjes te verwijderen heel erg nuttig zijn :)
Nu zou ik graag een andere vergelijking willen analyseren, die op het eerste gezicht misschien gek lijkt. Veel studenten blijven daarin hangen, zelfs degenen die denken de modules goed te begrijpen.
Deze vergelijking is echter nog eenvoudiger op te lossen dan waar we eerder naar keken. En als je begrijpt waarom, krijg je nog een truc om vergelijkingen snel op te lossen met moduli.
De vergelijking is dus:
\[\links| x-((x)^(3)) \rechts|+\links| ((x)^(2))+x-2 \rechts|=0\]
Nee, dit is geen typefout: er staat een plusje tussen de modules. En we moeten uitzoeken bij hoeveel $x$ de som van twee modules gelijk is aan nul :)
Wat is eigenlijk het probleem? Maar het probleem is dat elke module een positief getal is, of, in extreme gevallen, nul. Wat gebeurt er als je twee positieve getallen bij elkaar optelt? Uiteraard weer een positief getal:
\[\begin(uitlijnen)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(uitlijnen)\]
De laatste regel doet je misschien denken: de enige keer dat de som van de modules nul is, is als elke module nul is:
\[\links| x-((x)^(3)) \rechts|+\links| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\Pijl naar rechts \left\( \begin(uitlijnen)& \left| x-((x)^(3)) \right|=0, \\& \left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0.
En wanneer is de module gelijk aan nul? Slechts in één geval - wanneer de submodulaire expressie gelijk is aan nul:
\[((x)^(2))+x-2=0\Pijl naar rechts \links(x+2 \right)\left(x-1 \right)=0\Pijl naar rechts \links[ \begin(uitlijnen)& x=-2 \\& x=1 \\\end(uitlijnen) \rechts.\]
We hebben dus drie punten waarop de eerste module op nul wordt gezet: 0, 1 en −1; evenals twee punten waarop de tweede module op nul wordt gereset: −2 en 1. We moeten echter beide modules tegelijkertijd op nul resetten, dus onder de gevonden getallen moeten we die kiezen die zijn opgenomen in beide setjes. Het is duidelijk dat er maar één zo'n getal bestaat: $x=1$ - dit zal het uiteindelijke antwoord zijn.
Splitsingsmethode
Welnu, we hebben al een heleboel problemen behandeld en veel technieken geleerd. Denk je dat dat alles is? Maar nee! Nu zullen we kijken naar de laatste techniek - en tegelijkertijd de belangrijkste. We zullen het hebben over het splitsen van vergelijkingen met modulus. Waar zullen we het überhaupt over hebben? Laten we een beetje teruggaan en naar een eenvoudige vergelijking kijken. Bijvoorbeeld dit:
\[\links| 3x-5 \rechts|=5-3x\]
In principe weten we al hoe we een dergelijke vergelijking moeten oplossen, omdat deze standaard ontwerp zoals $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. Maar laten we proberen deze vergelijking vanuit een iets andere hoek te bekijken. Meer precies, beschouw de uitdrukking onder het modulusteken. Laat me je eraan herinneren dat de modulus van elk getal gelijk kan zijn aan het getal zelf, of tegengesteld kan zijn aan dit getal:
\[\links| a \right|=\left\( \begin(uitlijnen)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(uitlijnen) \right.\]
Eigenlijk is deze dubbelzinnigheid het hele probleem: aangezien het getal onder de modulus verandert (het hangt af van de variabele), is het ons niet duidelijk of het positief of negatief is.
Maar wat als u in eerste instantie eist dat dit getal positief is? Laten we bijvoorbeeld $3x-5 \gt 0$ vereisen - in dit geval krijgen we gegarandeerd een positief getal onder het modulusteken, en kunnen we deze modulus volledig wegwerken:
Onze vergelijking zal dus een lineaire vergelijking worden, die gemakkelijk kan worden opgelost:
Het is waar dat al deze gedachten alleen zinvol zijn onder de voorwaarde $3x-5 \gt 0$ - we hebben deze vereiste zelf geïntroduceerd om de module ondubbelzinnig te onthullen. Laten we daarom de gevonden $x=\frac(5)(3)$ vervangen door deze voorwaarde en controleren:
Het blijkt dat wanneer gespecificeerde waarde$x$ aan onze eis is niet voldaan, omdat de uitdrukking bleek gelijk te zijn aan nul, en we hebben nodig dat deze strikt groter is dan nul. Triest. :(
Maar het is goed! Er is immers nog een optie $3x-5 \lt 0$. Bovendien: er is ook het geval $3x-5=0$ - daar moet ook rekening mee worden gehouden, anders is de oplossing onvolledig. Beschouw dus het geval $3x-5 \lt 0$:
Uiteraard wordt de module geopend met een minteken. Maar dan doet zich een vreemde situatie voor: zowel links als rechts in de oorspronkelijke vergelijking zal dezelfde uitdrukking naar voren komen:
Ik vraag me af bij hoeveel $x$ de uitdrukking $5-3x$ gelijk zal zijn aan de uitdrukking $5-3x$? Zelfs Kapitein Obviousness zou stikken in zijn speeksel als gevolg van dergelijke vergelijkingen, maar we weten: deze vergelijking is een identiteit, d.w.z. het geldt voor elke waarde van de variabele!
Dit betekent dat elke $x$ bij ons past. We hebben echter een beperking:
Met andere woorden, het antwoord zal niet een enkel getal zijn, maar een heel interval:
Ten slotte is er nog één geval dat we moeten overwegen: $3x-5=0$. Alles is hier eenvoudig: onder de modulus zal er nul zijn, en de modulus van nul is ook gelijk aan nul (dit volgt rechtstreeks uit de definitie):
Maar dan de oorspronkelijke vergelijking $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ wordt als volgt herschreven:
We hebben deze wortel hierboven al verkregen toen we het geval $3x-5 \gt 0$ beschouwden. Bovendien is deze wortel een oplossing voor de vergelijking $3x-5=0$ - dit is de beperking die we zelf hebben geïntroduceerd om de module te resetten.
Dus naast het interval zullen we ook tevreden zijn met het getal dat helemaal aan het einde van dit interval ligt:
Wortels combineren in modulovergelijkingen Totaal eindantwoord: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ Het is niet erg gebruikelijk om zulke onzin te zien in het antwoord op een vrij eenvoudige (in wezen lineaire) vergelijking met modulus , Echt, wen er maar aan: de moeilijkheid van de module is dat de antwoorden in dergelijke vergelijkingen volkomen onvoorspelbaar kunnen zijn.
Iets anders is veel belangrijker: we hebben zojuist een universeel algoritme geanalyseerd voor het oplossen van een vergelijking met een modulus! En dit algoritme bestaat uit de volgende stappen:
- Stel elke modulus in de vergelijking gelijk aan nul. We krijgen verschillende vergelijkingen;
- Los al deze vergelijkingen op en markeer de wortels op de getallenlijn. Als gevolg hiervan wordt de rechte lijn verdeeld in verschillende intervallen, waarbij alle modules op unieke wijze worden onthuld;
- Los de oorspronkelijke vergelijking voor elk interval op en combineer uw antwoorden.
Dat is alles! Er rest nog maar één vraag: wat te doen met de wortels verkregen in stap 1? Laten we zeggen dat we twee wortels hebben: $x=1$ en $x=5$. Ze splitsen de getallenlijn in 3 stukken:
De getallenlijn opsplitsen in intervallen met behulp van punten Dus wat zijn de intervallen? Het is duidelijk dat er drie zijn:
- De meest linkse: $x \lt 1$ — de eenheid zelf is niet opgenomen in het interval;
- Centraal: $1\le x \lt 5$ - hier is er één opgenomen in het interval, maar vijf niet;
- Meest rechtse: $x\ge 5$ - vijf zijn alleen hier inbegrepen!
Ik denk dat je het patroon al begrijpt. Elk interval omvat het linkeruiteinde en niet het rechteruiteinde.
Op het eerste gezicht lijkt een dergelijke invoer misschien ongemakkelijk, onlogisch en over het algemeen een beetje gek. Maar geloof me: na een beetje oefenen zul je merken dat deze aanpak het meest betrouwbaar is en het ondubbelzinnig openen van de modules niet in de weg staat. Het is beter om zo'n schema te gebruiken dan elke keer te denken: geef het linker-/rechteruiteinde aan het huidige interval of 'gooi' het in het volgende.
Het waarborgen van uw privacy is belangrijk voor ons. Om deze reden hebben wij een privacybeleid ontwikkeld waarin wordt beschreven hoe wij uw gegevens gebruiken en opslaan. Bekijk onze privacypraktijken en laat het ons weten als u vragen heeft.
Verzameling en gebruik van persoonlijke informatie
Persoonlijke informatie verwijst naar gegevens die kunnen worden gebruikt om een specifieke persoon te identificeren of ermee contact op te nemen.
Wanneer u contact met ons opneemt, kunt u op elk moment worden gevraagd om uw persoonlijke gegevens te verstrekken.
Hieronder vindt u enkele voorbeelden van de soorten persoonlijke informatie die we kunnen verzamelen en hoe we dergelijke informatie kunnen gebruiken.
Welke persoonlijke informatie verzamelen wij:
- Wanneer u een verzoek indient op de site, kunnen wij verschillende informatie verzamelen, waaronder uw naam, telefoonnummer en adres E-mail enz.
Hoe wij uw persoonlijke gegevens gebruiken:
- Door ons verzameld persoonlijke informatie stelt ons in staat contact met u op te nemen en u te informeren over unieke aanbiedingen, promoties en andere evenementen en aankomende evenementen.
- Van tijd tot tijd kunnen we uw persoonlijke gegevens gebruiken om belangrijke mededelingen en mededelingen te verzenden.
- We kunnen persoonlijke informatie ook gebruiken voor interne doeleinden, zoals het uitvoeren van audits, data-analyse en diverse onderzoeken om de diensten die wij leveren te verbeteren en u aanbevelingen te doen met betrekking tot onze diensten.
- Als u deelneemt aan een prijstrekking, wedstrijd of soortgelijke promotie, kunnen wij de door u verstrekte informatie gebruiken om dergelijke programma's te beheren.
Openbaarmaking van informatie aan derden
Wij maken de van u ontvangen gegevens niet bekend aan derden.
Uitzonderingen:
- Indien nodig - in overeenstemming met de wet, gerechtelijke procedure, in proces, en/of op basis van publieke verzoeken of verzoeken van overheidsinstellingen op het grondgebied van de Russische Federatie - geef uw persoonlijke gegevens vrij. We kunnen ook informatie over u vrijgeven als we vaststellen dat een dergelijke openbaarmaking noodzakelijk of gepast is voor veiligheids-, wetshandhavings- of andere doeleinden van openbaar belang.
- In het geval van een reorganisatie, fusie of verkoop kunnen we de persoonlijke informatie die we verzamelen overdragen aan de toepasselijke opvolger van een derde partij.
Bescherming van persoonlijke informatie
We nemen voorzorgsmaatregelen - inclusief administratieve, technische en fysieke - om uw persoonlijke gegevens te beschermen tegen verlies, diefstal en misbruik, evenals tegen ongeoorloofde toegang, openbaarmaking, wijziging en vernietiging.
Het respecteren van uw privacy op bedrijfsniveau
Om ervoor te zorgen dat uw persoonlijke gegevens veilig zijn, communiceren we privacy- en beveiligingsnormen met onze medewerkers en handhaven we de privacypraktijken strikt.
Vergelijkingen en ongelijkheden oplossen met modulus levert vaak moeilijkheden op. Als je echter goed begrijpt wat het is de absolute waarde van een getal, En hoe u uitdrukkingen die een modulusteken bevatten correct uitbreidt, dan de aanwezigheid in de vergelijking uitdrukking onder het modulusteken, is niet langer een obstakel voor de oplossing ervan.
Een beetje theorie. Elk getal heeft twee kenmerken: de absolute waarde van het getal en zijn teken.
Het getal +5, of simpelweg 5, heeft bijvoorbeeld een “+” teken en een absolute waarde van 5.
Het getal -5 heeft een "-" teken en een absolute waarde van 5.
De absolute waarden van de getallen 5 en -5 zijn 5.
De absolute waarde van een getal x wordt de modulus van het getal genoemd en wordt aangegeven met |x|.
Zoals we zien is de modulus van een getal gelijk aan het getal zelf als dit getal groter is dan of gelijk is aan nul, en aan dit getal met het tegenovergestelde teken als dit getal negatief is.
Hetzelfde geldt voor alle uitdrukkingen die onder het modulusteken verschijnen.
De module-uitbreidingsregel ziet er als volgt uit:
|f(x)|= f(x) als f(x) ≥ 0, en
|f(x)|= - f(x), als f(x)< 0
Bijvoorbeeld |x-3|=x-3, als x-3≥0 en |x-3|=-(x-3)=3-x, als x-3<0.
Om een vergelijking op te lossen die een uitdrukking bevat onder het modulusteken, moet je eerst een module uitbreiden volgens de module-uitbreidingsregel.
Dan wordt onze vergelijking of ongelijkheid in twee verschillende vergelijkingen die bestaan op twee verschillende numerieke intervallen.
Er bestaat één vergelijking op een numeriek interval waarop de uitdrukking onder het modulusteken niet-negatief is.
En de tweede vergelijking bestaat op het interval waarop de uitdrukking onder het modulusteken negatief is.
Laten we naar een eenvoudig voorbeeld kijken.
Laten we de vergelijking oplossen:
|x-3|=-x 2 +4x-3
1. Laten we de module openen.
|x-3|=x-3, als x-3≥0, d.w.z. als x≥3
|x-3|=-(x-3)=3-x als x-3<0, т.е. если х<3
2. We hebben twee numerieke intervallen ontvangen: x≥3 en x<3.
Laten we eens kijken in welke vergelijkingen de oorspronkelijke vergelijking op elk interval wordt omgezet:
A) Voor x≥3 |x-3|=x-3, en onze verwonding heeft de vorm:
Aandacht! Deze vergelijking bestaat alleen op het interval x≥3!
Laten we de haakjes openen en soortgelijke termen presenteren:
en los deze vergelijking op.
Deze vergelijking heeft wortels:
x 1 = 0, x 2 = 3
Aandacht! aangezien de vergelijking x-3=-x 2 +4x-3 alleen bestaat op het interval x≥3, zijn we alleen geïnteresseerd in de wortels die tot dit interval behoren. Aan deze voorwaarde wordt alleen voldaan als x 2 =3.
B) Bij x<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:
Aandacht! Deze vergelijking bestaat alleen op het interval x<3!
Laten we de haakjes openen en vergelijkbare termen presenteren. We krijgen de vergelijking:
x1=2,x2=3
Aandacht! aangezien de vergelijking 3-x=-x 2 +4x-3 alleen bestaat op het interval x<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 1 =2.
Dus: vanaf het eerste interval nemen we alleen de wortel x=3, vanaf het tweede - de wortel x=2.
Wij kiezen niet voor wiskunde haar beroep, en zij kiest voor ons.
Russische wiskundige Yu.I. Manin
Vergelijkingen met modulus
De moeilijkste problemen om op te lossen in de wiskunde op school zijn vergelijkingen die variabelen bevatten onder het modulusteken. Om dergelijke vergelijkingen succesvol op te lossen, moet u de definitie en basiseigenschappen van de module kennen. Uiteraard moeten studenten over de vaardigheden beschikken om dit soort vergelijkingen op te lossen.
Basisconcepten en eigenschappen
Modulus (absolute waarde) van een reëel getal aangegeven door en wordt als volgt gedefinieerd:
De eenvoudige eigenschappen van een module omvatten de volgende relaties:
Opmerking, dat de laatste twee eigenschappen geldig zijn voor elke even graad.
Bovendien: als, waar, dan en
Complexere module-eigenschappen, die effectief kan worden gebruikt bij het oplossen van vergelijkingen met moduli, worden geformuleerd via de volgende stellingen:
Stelling 1.Voor alle analytische functies En ongelijkheid is waar
Stelling 2. Gelijkheid is gelijk aan ongelijkheid.
Stelling 3. Gelijkwaardigheid gelijk aan ongelijkheid.
Laten we eens kijken naar typische voorbeelden van het oplossen van problemen over het onderwerp 'Vergelijkingen', met variabelen onder het modulusteken."
Vergelijkingen oplossen met modulus
De meest gebruikelijke methode in de wiskunde op school voor het oplossen van vergelijkingen met een modulus is de methode, gebaseerd op module-uitbreiding. Deze methode is universeel, In het algemene geval kan het gebruik ervan echter tot zeer omslachtige berekeningen leiden. In dit opzicht moeten studenten andere weten, effectievere methoden en technieken voor het oplossen van dergelijke vergelijkingen. In het bijzonder, het is noodzakelijk om vaardigheden te hebben in het toepassen van stellingen, gegeven in dit artikel.
Voorbeeld 1. Los De vergelijking op. (1)
Oplossing. We zullen vergelijking (1) oplossen met behulp van de “klassieke” methode – de methode om modules te onthullen. Om dit te doen, gaan we de getallenas splitsen stippen en in intervallen en beschouw drie gevallen.
1. Als , dan , , en vergelijking (1) de vorm heeft . Hieruit volgt. Hier is de gevonden waarde echter niet de wortel van vergelijking (1).
2. Als, dan verkrijgen we uit vergelijking (1). of .
Sindsdien wortel van vergelijking (1).
3. Als, dan neemt vergelijking (1) de vorm aan of . Laten we dat opmerken.
Antwoord: , .
Bij het oplossen van volgende vergelijkingen met een module zullen we actief gebruik maken van de eigenschappen van modules om de efficiëntie van het oplossen van dergelijke vergelijkingen te vergroten.
Voorbeeld 2. Los De vergelijking op.
Oplossing. Sinds en dan volgt uit de vergelijking. In dit verband, , , en de vergelijking neemt de vorm aan. Vanaf hier krijgen we. Echter , daarom heeft de oorspronkelijke vergelijking geen wortels.
Antwoord: geen wortels.
Voorbeeld 3. Los De vergelijking op.
Oplossing. Sindsdien. Als dan en de vergelijking neemt de vorm aan.
Vanaf hier krijgen we.
Voorbeeld 4. Los De vergelijking op.
Oplossing.Laten we de vergelijking in equivalente vorm herschrijven. (2)
De resulterende vergelijking behoort tot vergelijkingen van het type .
Rekening houdend met Stelling 2 kan worden beargumenteerd dat vergelijking (2) equivalent is aan de ongelijkheid . Vanaf hier krijgen we.
Antwoord: .
Voorbeeld 5. Los De vergelijking op.
Oplossing. Deze vergelijking heeft de vorm. Daarom , volgens Stelling 3, hier hebben we ongelijkheid of .
Voorbeeld 6. Los De vergelijking op.
Oplossing. Laten we dat aannemen. Omdat , dan neemt de gegeven vergelijking de vorm aan van een kwadratische vergelijking, (3)
Waar . Omdat vergelijking (3) één enkele positieve wortel heeft en dan . Vanaf hier krijgen we twee wortels van de oorspronkelijke vergelijking: En .
Voorbeeld 7. Los De vergelijking op. (4)
Oplossing. Sinds de vergelijkingis gelijk aan de combinatie van twee vergelijkingen: En , dan is het bij het oplossen van vergelijking (4) noodzakelijk om twee gevallen te overwegen.
1. Als , dan of .
Vanaf hier krijgen we , en .
2. Als , dan of .
Sindsdien.
Antwoord: , , , .
Voorbeeld 8.Los De vergelijking op . (5)
Oplossing. Sinds en , toen . Hieruit en uit vergelijking (5) volgt dat en , d.w.z. hier hebben we een systeem van vergelijkingen
Dit systeem van vergelijkingen is echter inconsistent.
Antwoord: geen wortels.
Voorbeeld 9. Los De vergelijking op. (6)
Oplossing. Als we aanduiden, dan en uit vergelijking (6) verkrijgen we
Of . (7)
Omdat vergelijking (7) de vorm heeft, is deze vergelijking equivalent aan de ongelijkheid . Vanaf hier krijgen we. Sinds , toen of .
Antwoord: .
Voorbeeld 10.Los De vergelijking op. (8)
Oplossing.Volgens Stelling 1 kunnen we schrijven
(9)
Rekening houdend met vergelijking (8) concluderen we dat beide ongelijkheden (9) in gelijkheden veranderen, d.w.z. er is een systeem van vergelijkingen
Volgens Stelling 3 is het bovenstaande stelsel van vergelijkingen echter equivalent aan het stelsel van ongelijkheden
(10)
Door het systeem van ongelijkheden (10) op te lossen, verkrijgen we . Omdat het stelsel van ongelijkheden (10) equivalent is aan vergelijking (8), heeft de oorspronkelijke vergelijking één enkele wortel.
Antwoord: .
Voorbeeld 11. Los De vergelijking op. (11)
Oplossing. Laat en , dan volgt de gelijkheid uit vergelijking (11).
Hieruit volgt dat en . Hier hebben we dus een systeem van ongelijkheid
De oplossing voor dit systeem van ongelijkheid is: En .
Antwoord: , .
Voorbeeld 12.Los De vergelijking op. (12)
Oplossing. Vergelijking (12) zal worden opgelost door de methode van opeenvolgende uitbreiding van modules. Laten we, om dit te doen, verschillende gevallen bekijken.
1. Als , dan .
1.1. Als , dan en , .
1.2. Als dan. Echter , daarom heeft vergelijking (12) in dit geval geen wortels.
2. Als , dan .
2.1. Als , dan en , .
2.2. Als , dan en .
Antwoord: , , , , .
Voorbeeld 13.Los De vergelijking op. (13)
Oplossing. Omdat de linkerkant van vergelijking (13) niet-negatief is, geldt dan . In dit opzicht, en vergelijking (13)
heeft de vorm of .
Het is bekend dat de vergelijking is gelijk aan de combinatie van twee vergelijkingen En , oplossen die we krijgen, . Omdat , dan heeft vergelijking (13) één wortel.
Antwoord: .
Voorbeeld 14. Systeem van vergelijkingen oplossen (14)
Oplossing. Sinds en , toen en . Bijgevolg verkrijgen we uit het stelsel van vergelijkingen (14) vier stelsels van vergelijkingen:
De wortels van de bovenstaande stelsels vergelijkingen zijn de wortels van het stelsel vergelijkingen (14).
Antwoord: ,, , , , , , .
Voorbeeld 15. Systeem van vergelijkingen oplossen (15)
Oplossing. Sindsdien. In dit opzicht verkrijgen we uit het stelsel van vergelijkingen (15) twee stelsels van vergelijkingen
De wortels van het eerste stelsel vergelijkingen zijn en , en uit het tweede stelsel vergelijkingen verkrijgen we en .
Antwoord: , , , .
Voorbeeld 16. Systeem van vergelijkingen oplossen (16)
Oplossing. Uit de eerste vergelijking van systeem (16) volgt dat .
Sindsdien . Laten we de tweede vergelijking van het systeem bekijken. Omdat de, Dat , en de vergelijking neemt de vorm aan, , of .
Als u de waarde vervangtin de eerste vergelijking van systeem (16), dan , of .
Antwoord: , .
Voor een diepere studie van probleemoplossende methoden, gerelateerd aan het oplossen van vergelijkingen, met variabelen onder het modulusteken, U kunt tutorials aanbevelen uit de lijst met aanbevolen literatuur.
1. Verzameling van problemen in de wiskunde voor kandidaten voor hogescholen / Ed. MI. Skanavi. – M.: Vrede en Onderwijs, 2013. – 608 blz.
2. Suprun V.P. Wiskunde voor middelbare scholieren: taken met verhoogde complexiteit. – M.: CD “Librocom” / URSS, 2017. – 200 blz.
3. Suprun V.P. Wiskunde voor middelbare scholieren: niet-standaardmethoden voor het oplossen van problemen. – M.: CD “Librocom” / URSS, 2017. – 296 blz.
Heeft u nog vragen?
Om hulp te krijgen van een docent, registreer je.
website, bij het geheel of gedeeltelijk kopiëren van materiaal is een link naar de bron vereist.
Deze online wiskundecalculator zal je helpen een vergelijking of ongelijkheid oplossen met moduli. Programma voor vergelijkingen en ongelijkheden oplossen met moduli geeft niet alleen het antwoord op het probleem, het leidt ook gedetailleerde oplossing met uitleg, d.w.z. toont het proces voor het verkrijgen van het resultaat.
Dit programma kan nuttig zijn voor middelbare scholieren op scholen voor algemeen onderwijs bij de voorbereiding op toetsen en examens, bij het testen van kennis vóór het Unified State Exam, en voor ouders om de oplossing van veel problemen op het gebied van wiskunde en algebra te controleren. Of is het misschien te duur voor je om een bijlesdocent in te huren of nieuwe studieboeken te kopen? Of wil je gewoon je wiskunde- of algebrahuiswerk zo snel mogelijk af hebben? In dit geval kunt u ook onze programma's met gedetailleerde oplossingen gebruiken.
Zo kun je zelf trainingen geven en/of trainingen geven aan je jongere broertjes of zusjes, terwijl het opleidingsniveau op het gebied van het oplossen van problemen omhoog gaat.
|x| of abs(x) - module xVoer een vergelijking of ongelijkheid met moduli in
Er is ontdekt dat sommige scripts die nodig zijn om dit probleem op te lossen, niet zijn geladen en dat het programma mogelijk niet werkt.
Mogelijk hebt u AdBlock ingeschakeld.
Schakel het in dit geval uit en vernieuw de pagina.
Om de oplossing te laten verschijnen, moet u JavaScript inschakelen.
Hier vindt u instructies voor het inschakelen van JavaScript in uw browser.
Omdat Er zijn veel mensen die het probleem willen oplossen, uw verzoek is in de wachtrij geplaatst.
Binnen enkele seconden verschijnt de oplossing hieronder.
Even geduld aub sec...
als jij heb een fout in de oplossing opgemerkt, dan kun je hierover schrijven in het Feedbackformulier.
Niet vergeten geef aan welke taak jij beslist wat voer de velden in.
Onze spellen, puzzels, emulators:
Een beetje theorie.
Vergelijkingen en ongelijkheden met moduli
In een algebracursus op de basisschool kun je de eenvoudigste vergelijkingen en ongelijkheden met moduli tegenkomen. Om ze op te lossen kun je een geometrische methode gebruiken die gebaseerd is op het feit dat \(|x-a| \) de afstand is op de getallenlijn tussen de punten x en a: \(|x-a| = \rho (x;\; a) \). Om bijvoorbeeld de vergelijking \(|x-3|=2\) op te lossen, moet je punten op de getallenlijn vinden die ver verwijderd zijn van punt 3 op een afstand van 2. Er zijn twee van dergelijke punten: \(x_1=1 \) en \(x_2=5\) .
De ongelijkheid \(|2x+7| 
Maar de belangrijkste manier om vergelijkingen en ongelijkheden met moduli op te lossen houdt verband met de zogenaamde ‘openbaring van de modulus per definitie’:
als \(a \geq 0 \), dan \(|a|=a \);
als \(a In de regel wordt een vergelijking (ongelijkheid) met moduli gereduceerd tot een reeks vergelijkingen (ongelijkheden) die het modulusteken niet bevatten.
Naast de bovenstaande definitie worden de volgende uitspraken gebruikt:
1) Als \(c > 0\), dan is de vergelijking \(|f(x)|=c \) equivalent aan de reeks vergelijkingen: \(\left[\begin(array)(l) f(x )=c \\ f(x)=-c \end(array)\right.
2) Als \(c > 0 \), dan is de ongelijkheid \(|f(x)| 3) Als \(c \geq 0 \), dan is de ongelijkheid \(|f(x)| > c \) gelijk aan een reeks ongelijkheden: \(\left[\begin(array)(l) f(x) c \end(array)\right. \)
4) Als beide zijden van de ongelijkheid \(f(x) VOORBEELD 1. Los de vergelijking \(x^2 +2|x-1| -6 = 0\) op.
Als \(x-1 \geq 0\), dan \(|x-1| = x-1\) en de gegeven vergelijking heeft de vorm
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Pijl naar rechts x^2 +2x -8 = 0 \).
Als \(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Pijl naar rechts x^2 -2x -4 = 0 \).
De gegeven vergelijking moet dus in elk van de twee aangegeven gevallen afzonderlijk worden beschouwd.
1) Stel \(x-1 \geq 0 \), d.w.z. \(x\geq 1\). Uit de vergelijking \(x^2 +2x -8 = 0\) vinden we \(x_1=2, \; x_2=-4\). Aan de voorwaarde \(x \geq 1 \) wordt alleen voldaan door de waarde \(x_1=2\).
2) Stel \(x-1 Antwoord: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)
VOORBEELD 2. Los de vergelijking \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\) op.
Eerste manier(module-uitbreiding per definitie).
Redenerend zoals in voorbeeld 1 komen we tot de conclusie dat de gegeven vergelijking afzonderlijk moet worden beschouwd als aan twee voorwaarden is voldaan: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) of \(x^2-6x+7
1) Als \(x^2-6x+7 \geq 0 \), dan \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) en de gegeven vergelijking heeft de vorm \(x ^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Pijl naar rechts 3x^2-23x+30=0 \). Nadat we deze kwadratische vergelijking hebben opgelost, krijgen we: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \).
Laten we eens kijken of de waarde \(x_1=6\) voldoet aan de voorwaarde \(x^2-6x+7 \geq 0\). Om dit te doen, vervangt u de aangegeven waarde door de kwadratische ongelijkheid. We krijgen: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), d.w.z. \(7 \geq 0 \) is een echte ongelijkheid. Dit betekent dat \(x_1=6\) de wortel is van de gegeven vergelijking.
Laten we eens kijken of de waarde \(x_2=\frac(5)(3)\) voldoet aan de voorwaarde \(x^2-6x+7 \geq 0\). Om dit te doen, vervangt u de aangegeven waarde door de kwadratische ongelijkheid. We krijgen: \(\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), d.w.z. \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) is een onjuiste ongelijkheid. Dit betekent dat \(x_2=\frac(5)(3)\) geen wortel is van de gegeven vergelijking.
2) Als \(x^2-6x+7 Waarde \(x_3=3\) voldoet aan de voorwaarde \(x^2-6x+7 Waarde \(x_4=\frac(4)(3) \) voldoet niet de voorwaarde \ (x^2-6x+7 De gegeven vergelijking heeft dus twee wortels: \(x=6, \; x=3 \).
Tweede manier. Als de vergelijking \(|f(x)| = h(x) \) gegeven is, dan geldt met \(h(x) \(\left[\begin(array)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end(array)\right \)
Beide vergelijkingen zijn hierboven opgelost (met behulp van de eerste methode om de gegeven vergelijking op te lossen), hun wortels zijn als volgt: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4 )(3)\). Aan de voorwaarde \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) van deze vier waarden wordt slechts door twee voldaan: 6 en 3. Dit betekent dat de gegeven vergelijking twee wortels heeft: \(x=6 , \; x=3 \ ).
Derde manier(grafisch).
1) Laten we een grafiek maken van de functie \(y = |x^2-6x+7| \). Laten we eerst een parabool \(y = x^2-6x+7\) construeren. We hebben \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). De grafiek van de functie \(y = (x-3)^2-2\) kan worden verkregen uit de grafiek van de functie \(y = x^2\) door deze 3 schaaleenheden naar rechts te verschuiven (langs de x-as) en 2 schaaleenheden naar beneden (langs de y-as). De rechte lijn x=3 is de as van de parabool waarin we geïnteresseerd zijn. Als controlepunten voor nauwkeuriger plotten is het handig om punt (3; -2) te nemen - het hoekpunt van de parabool, punt (0; 7) en punt (6; 7) symmetrisch ten opzichte van de as van de parabool .
Om nu een grafiek te construeren van de functie \(y = |x^2-6x+7| \), moet je de delen van de geconstrueerde parabool die niet onder de x-as liggen ongewijzigd laten, en dat deel van de parabool die onder de x-as ligt ten opzichte van de x-as.
2) Laten we een grafiek maken van de lineaire functie \(y = \frac(5x-9)(3)\). Het is handig om de punten (0; –3) en (3; 2) als controlepunten te nemen.
Het is belangrijk dat het punt x = 1,8 van het snijpunt van de rechte lijn met de abscis-as zich rechts van het linker snijpunt van de parabool met de abscis-as bevindt - dit is het punt \(x=3-\ sqrt(2) \) (sinds \(3-\sqrt(2 ) 3) Afgaande op de tekening snijden de grafieken elkaar op twee punten: A(3; 2) en B(6; 7). Vervang de abscis hiervan punten x = 3 en x = 6 in de gegeven vergelijking, zijn we ervan overtuigd dat in beide gevallen de juiste numerieke gelijkheid wordt verkregen. Dit betekent dat onze hypothese werd bevestigd - de vergelijking heeft twee wortels: x = 3 en x = 6. Antwoord: 3;
Opmerking. De grafische methode is, ondanks al zijn elegantie, niet erg betrouwbaar. In het beschouwde voorbeeld werkte het alleen omdat de wortels van de vergelijking gehele getallen zijn.
VOORBEELD 3. Los de vergelijking \(|2x-4|+|x+3| = 8\) op
Eerste manier
De uitdrukking 2x–4 wordt 0 op het punt x = 2, en de uitdrukking x + 3 wordt 0 op het punt x = –3. Deze twee punten verdelen de getallenlijn in drie intervallen: \(x
Beschouw het eerste interval: \((-\infty; \; -3) \).
Als x Beschouw het tweede interval: \([-3; \; 2) \).
Als \(-3 \leq x Beschouw het derde interval: \()