In deze video analyseren we een hele reeks lineaire vergelijkingen die met hetzelfde algoritme worden opgelost - daarom worden ze de eenvoudigste genoemd.

Laten we eerst definiëren: wat is een lineaire vergelijking en welke wordt de eenvoudigste genoemd?

Een lineaire vergelijking is een vergelijking waarin er slechts één variabele is, en alleen tot de eerste graad.

De eenvoudigste vergelijking betekent de constructie:

Alle andere lineaire vergelijkingen worden met behulp van het algoritme tot de eenvoudigste teruggebracht:

1. Vouw eventuele haakjes uit;
2. Verplaats termen die een variabele bevatten naar de ene kant van het gelijkteken, en termen zonder variabele naar de andere kant;
3. Geef soortgelijke termen links en rechts van het gelijkteken;
4. Deel de resulterende vergelijking door de coëfficiënt van de variabele $x$.

Natuurlijk helpt dit algoritme niet altijd. Feit is dat na al deze machinaties soms de coëfficiënt van de variabele $x$ gelijk aan nul blijkt te zijn. In dit geval zijn er twee opties mogelijk:

1. De vergelijking heeft helemaal geen oplossingen. Wanneer bijvoorbeeld zoiets als $0\cdot x=8$ uitkomt, d.w.z. aan de linkerkant is nul en aan de rechterkant is een ander getal dan nul. In de onderstaande video bekijken we verschillende redenen waarom deze situatie mogelijk is.
2. De oplossing bestaat uit alle getallen. Het enige geval waarin dit mogelijk is, is wanneer de vergelijking is teruggebracht tot de constructie $0\cdot x=0$. Het is heel logisch dat, ongeacht hoeveel $x$ we vervangen, het nog steeds zal blijken dat “nul gelijk is aan nul”, d.w.z. correcte numerieke gelijkheid.

Laten we nu eens kijken hoe dit allemaal werkt aan de hand van voorbeelden uit de praktijk.

Voorbeelden van het oplossen van vergelijkingen

Tegenwoordig hebben we te maken met lineaire vergelijkingen, en alleen met de eenvoudigste. Over het algemeen betekent een lineaire vergelijking elke gelijkheid die precies één variabele bevat, en deze gaat alleen tot de eerste graad.

Dergelijke constructies worden op ongeveer dezelfde manier opgelost:

1. Allereerst moet je de haakjes uitvouwen, als die er zijn (zoals in ons laatste voorbeeld);
2. Combineer dan vergelijkbaar
3. Isoleer ten slotte de variabele, d.w.z. verplaats alles wat verband houdt met de variabele (de termen waarin deze is vervat) naar de ene kant, en verplaats alles wat er zonder blijft naar de andere kant.

Dan moet je in de regel soortgelijke waarden aan elke kant van de resulterende gelijkheid brengen, en daarna hoef je alleen nog maar te delen door de coëfficiënt van "x", en dan krijgen we het definitieve antwoord.

In theorie ziet dit er mooi en eenvoudig uit, maar in de praktijk kunnen zelfs ervaren middelbare scholieren aanstootgevende fouten maken in vrij eenvoudige lineaire vergelijkingen. Meestal worden er fouten gemaakt bij het openen van haakjes of bij het berekenen van de “plus- en minpunten”.

Bovendien komt het voor dat een lineaire vergelijking helemaal geen oplossingen heeft, of dat de oplossing de gehele getallenlijn is, d.w.z. elk nummer. We zullen deze subtiliteiten in de les van vandaag bekijken. Maar we zullen beginnen, zoals je al hebt begrepen, met de zeer eenvoudige taken.

Schema voor het oplossen van eenvoudige lineaire vergelijkingen

Laat me eerst nogmaals het hele schema voor het oplossen van de eenvoudigste lineaire vergelijkingen schrijven:

1. Vouw de haakjes uit, indien aanwezig.
2. We isoleren de variabelen, d.w.z. We verplaatsen alles dat “X’s” bevat naar de ene kant, en alles zonder “X’s” naar de andere kant.
3. We presenteren vergelijkbare termen.
4. We delen alles door de coëfficiënt van “x”.

Natuurlijk werkt dit schema niet altijd; het bevat bepaalde subtiliteiten en trucs, en nu zullen we ze leren kennen.

Echte voorbeelden van eenvoudige lineaire vergelijkingen oplossen

Taak nr. 1

Voor de eerste stap moeten we de haakjes openen. Maar ze staan ​​niet in dit voorbeeld, dus we slaan ze over dit stadium. In de tweede stap moeten we de variabelen isoleren. Opmerking: we praten over alleen over individuele termen. Laten we het opschrijven:

We presenteren links en rechts vergelijkbare termen, maar dit is hier al gedaan. Daarom gaan we verder met de vierde stap: delen door de coëfficiënt:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Dus we hebben het antwoord.

Taak nr. 2

We kunnen de haakjes in dit probleem zien, dus laten we ze uitbreiden:

Zowel links als rechts zien we ongeveer hetzelfde ontwerp, maar laten we handelen volgens het algoritme, d.w.z. het scheiden van de variabelen:

Hier zijn enkele soortgelijke:

Bij welke wortels werkt dit? Antwoord: voor iedereen. Daarom kunnen we schrijven dat $x$ een willekeurig getal is.

Taak nr. 3

De derde lineaire vergelijking is interessanter:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Er zijn verschillende haakjes, maar deze worden nergens mee vermenigvuldigd, ze worden eenvoudigweg voorafgegaan door verschillende tekens. Laten we ze opsplitsen:

We voeren de tweede stap uit die ons al bekend is:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Laten we de wiskunde doen:

We voeren de laatste stap uit: deel alles door de coëfficiënt van "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Dingen om te onthouden bij het oplossen van lineaire vergelijkingen

Als we te eenvoudige taken negeren, zou ik het volgende willen zeggen:

• Zoals ik hierboven al zei, heeft niet elke lineaire vergelijking een oplossing - soms zijn er gewoon geen wortels;
• Zelfs als er wortels zijn, kunnen er nul zijn - daar is niets mis mee.

Nul is hetzelfde getal als de anderen; je mag er op geen enkele manier tegen discrimineren of ervan uitgaan dat als je nul krijgt, je iets verkeerd hebt gedaan.

Een ander kenmerk houdt verband met het openen van haakjes. Let op: als er een “min” voor staat, verwijderen we deze, maar tussen haakjes veranderen we de tekens in tegenovergestelde. En dan kunnen we het openen met behulp van standaardalgoritmen: we krijgen wat we in de bovenstaande berekeningen zagen.

Als je dit simpele feit begrijpt, kun je voorkomen dat je domme en kwetsende fouten maakt op de middelbare school, terwijl zulke dingen als vanzelfsprekend worden beschouwd.

Complexe lineaire vergelijkingen oplossen

Laten we verder gaan met complexere vergelijkingen. Nu zullen de constructies complexer worden en bij het uitvoeren van verschillende transformaties zal een kwadratische functie verschijnen. We moeten hier echter niet bang voor zijn, want als we, volgens het plan van de auteur, een lineaire vergelijking oplossen, dan zullen tijdens het transformatieproces alle monomialen die een kwadratische functie bevatten zeker worden geannuleerd.

Voorbeeld nr. 1

Uiteraard is de eerste stap het openen van de haakjes. Laten we dit heel voorzichtig doen:

Laten we nu eens kijken naar privacy:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Hier zijn enkele soortgelijke:

Het is duidelijk dat deze vergelijking geen oplossingen heeft, dus we zullen dit in het antwoord schrijven:

\[\varniets\]

of er zijn geen wortels.

Voorbeeld nr. 2

Wij voeren dezelfde acties uit. Eerste stap:

Laten we alles met een variabele naar links verplaatsen, en zonder variabele naar rechts:

Hier zijn enkele soortgelijke:

Het is duidelijk dat deze lineaire vergelijking geen oplossing heeft, dus schrijven we deze op deze manier:

\[\varniets\],

of er zijn geen wortels.

Nuances van de oplossing

Beide vergelijkingen zijn volledig opgelost. Met deze twee uitdrukkingen als voorbeeld waren we er opnieuw van overtuigd dat zelfs in de eenvoudigste lineaire vergelijkingen alles misschien niet zo eenvoudig is: er kan één zijn, of geen, of oneindig veel wortels. In ons geval hebben we twee vergelijkingen overwogen, beide hebben eenvoudigweg geen wortels.

Maar ik zou uw aandacht willen vestigen op een ander feit: hoe u met haakjes werkt en hoe u ze opent als er een minteken voor staat. Beschouw deze uitdrukking:

Voordat je het opent, moet je alles met "X" vermenigvuldigen. Let op: vermenigvuldigt elke afzonderlijke term. Binnenin zijn er twee termen - respectievelijk twee termen en vermenigvuldigd.

En pas nadat deze ogenschijnlijk elementaire, maar zeer belangrijke en gevaarlijke transformaties zijn voltooid, kun je het haakje openen vanuit het oogpunt van het feit dat er een minteken achter staat. Ja, ja: pas nu, wanneer de transformaties zijn voltooid, herinneren we ons dat er een minteken voor de haakjes staat, wat betekent dat alles daaronder eenvoudigweg van teken verandert. Tegelijkertijd verdwijnen de haakjes zelf en, belangrijker nog, ook de voorste “minus” verdwijnt.

Hetzelfde doen we met de tweede vergelijking:

Het is geen toeval dat ik aandacht besteed aan deze kleine, ogenschijnlijk onbelangrijke feiten. Omdat het oplossen van vergelijkingen altijd een opeenvolging van elementaire transformaties is, waarbij het onvermogen om eenvoudige handelingen duidelijk en competent uit te voeren ertoe leidt dat middelbare scholieren naar mij toe komen en opnieuw leren zulke eenvoudige vergelijkingen op te lossen.

Natuurlijk zal er een dag komen waarop je deze vaardigheden zult aanscherpen tot het punt van automatisme. Je hoeft niet meer elke keer zoveel transformaties uit te voeren; je schrijft alles op één regel. Maar terwijl je net aan het leren bent, moet je elke actie afzonderlijk schrijven.

Nog complexere lineaire vergelijkingen oplossen

Wat we nu gaan oplossen kan nauwelijks de eenvoudigste opgave worden genoemd, maar de betekenis blijft hetzelfde.

Taak nr. 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Laten we alle elementen in het eerste deel vermenigvuldigen:

Laten we wat privacy doen:

Hier zijn enkele soortgelijke:

Laten we de laatste stap voltooien:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Hier is ons definitieve antwoord. En ondanks het feit dat we tijdens het oplossen coëfficiënten met een kwadratische functie hadden, heffen ze elkaar op, wat de vergelijking lineair maakt en niet kwadratisch.

Taak nr. 2

\[\links(1-4x \rechts)\links(1-3x \rechts)=6x\links(2x-1 \rechts)\]

Laten we de eerste stap zorgvuldig uitvoeren: vermenigvuldig elk element uit de eerste haak met elk element uit de tweede. Er zouden in totaal vier nieuwe termen moeten zijn na de transformaties:

Laten we nu zorgvuldig de vermenigvuldiging in elke term uitvoeren:

Laten we de termen met “X” naar links verplaatsen, en die zonder – naar rechts:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Hier zijn vergelijkbare termen:

We hebben wederom het definitieve antwoord ontvangen.

Nuances van de oplossing

De belangrijkste opmerking over deze twee vergelijkingen is dat zodra we beginnen met het vermenigvuldigen van haakjes die meer dan één term bevatten, dit gebeurt door volgende regel: we nemen de eerste term uit de eerste en vermenigvuldigen met elk element uit de tweede; dan nemen we het tweede element uit het eerste en vermenigvuldigen we op dezelfde manier met elk element uit het tweede. Als gevolg hiervan zullen we vier termijnen hebben.

Over de algebraïsche som

Met dit laatste voorbeeld wil ik de leerlingen eraan herinneren wat een algebraïsche som is. In de klassieke wiskunde bedoelen we met $1-7$ simpel ontwerp: trek zeven van één af. In de algebra bedoelen we hiermee het volgende: aan het getal “één” voegen we nog een getal toe, namelijk “min zeven”. Dit is hoe een algebraïsche som verschilt van een gewone rekenkundige som.

Zodra je bij het uitvoeren van alle transformaties, elke optelling en vermenigvuldiging constructies begint te zien die lijken op de hierboven beschreven, zul je eenvoudigweg geen problemen ondervinden in de algebra als je met polynomen en vergelijkingen werkt.

Laten we tot slot nog een paar voorbeelden bekijken die nog complexer zullen zijn dan de voorbeelden waar we zojuist naar hebben gekeken, en om ze op te lossen zullen we ons standaardalgoritme iets moeten uitbreiden.

Vergelijkingen met breuken oplossen

Om dergelijke taken op te lossen, zullen we nog een stap aan ons algoritme moeten toevoegen. Maar laat me u eerst herinneren aan ons algoritme:

1. Open de beugels.
2. Afzonderlijke variabelen.
3. Neem soortgelijke mee.
4. Deel door de verhouding.

Helaas blijkt dit prachtige algoritme, ondanks al zijn effectiviteit, niet helemaal geschikt te zijn als we breuken voor ons hebben. En in wat we hieronder zullen zien, hebben we in beide vergelijkingen zowel links als rechts een breuk.

Hoe te werk te gaan in dit geval? Ja, het is heel eenvoudig! Om dit te doen, moet je nog een stap aan het algoritme toevoegen, wat zowel vóór als na de eerste actie kan worden gedaan, namelijk het wegwerken van breuken. Het algoritme zal dus als volgt zijn:

1. Weg met breuken.
2. Open de beugels.
3. Afzonderlijke variabelen.
4. Neem soortgelijke mee.
5. Deel door de verhouding.

Wat betekent het om ‘breuken weg te werken’? En waarom kan dit zowel na als vóór de eerste standaardstap? In ons geval zijn alle breuken in feite numeriek in hun noemer, d.w.z. Overal is de noemer slechts een getal. Als we dus beide zijden van de vergelijking met dit getal vermenigvuldigen, zullen we breuken wegwerken.

Voorbeeld nr. 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Laten we de breuken in deze vergelijking wegwerken:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Let op: alles wordt één keer met “vier” vermenigvuldigd, d.w.z. Het feit dat je twee haakjes hebt, betekent niet dat je ze allemaal met 'vier' moet vermenigvuldigen. Laten we opschrijven:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Laten we nu uitbreiden:

We scheiden de variabele:

We voeren de reductie van vergelijkbare termen uit:

\[-4x=-1\links| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

We hebben de uiteindelijke oplossing ontvangen, laten we verder gaan met de tweede vergelijking.

Voorbeeld nr. 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Hier voeren we allemaal dezelfde acties uit:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Het probleem is opgelost.

Dat is eigenlijk alles wat ik je vandaag wilde vertellen.

Belangrijkste punten

De belangrijkste bevindingen zijn:

• Ken het algoritme voor het oplossen van lineaire vergelijkingen.
• Mogelijkheid om haakjes te openen.
• Maak je geen zorgen als je het ziet kwadratische functies Hoogstwaarschijnlijk zullen ze tijdens het proces van verdere transformaties afnemen.
• Er zijn drie soorten wortels in lineaire vergelijkingen, zelfs de eenvoudigste: één enkele wortel, de hele getallenlijn is een wortel en helemaal geen wortels.

Ik hoop dat deze les je zal helpen een eenvoudig, maar zeer belangrijk onderwerp onder de knie te krijgen voor een beter begrip van alle wiskunde. Als iets niet duidelijk is, ga dan naar de site en los de daar gepresenteerde voorbeelden op. Houd ons in de gaten, er staan ​​je nog veel meer interessante dingen te wachten!

Enz., het is logisch om kennis te maken met vergelijkingen van andere typen. De volgende in de rij zijn lineaire vergelijkingen, waarvan de gerichte studie begint in de algebralessen in het 7e leerjaar.

Het is duidelijk dat we eerst moeten uitleggen wat een lineaire vergelijking is, een definitie van een lineaire vergelijking moeten geven, de coëfficiënten ervan, en de algemene vorm ervan moeten laten zien. Vervolgens kun je uitzoeken hoeveel oplossingen een lineaire vergelijking heeft, afhankelijk van de waarden van de coëfficiënten, en hoe de wortels worden gevonden. Hierdoor kun je verder gaan met het oplossen van voorbeelden en daardoor de geleerde theorie consolideren. In dit artikel zullen we dit doen: we zullen in detail stilstaan ​​bij alle theoretische en praktische punten met betrekking tot lineaire vergelijkingen en hun oplossingen.

Laten we meteen zeggen dat we hier alleen lineaire vergelijkingen met één variabele zullen beschouwen, en in een apart artikel zullen we de principes van oplossing bestuderen lineaire vergelijkingen met twee variabelen.

Paginanavigatie.

Wat is een lineaire vergelijking?

De definitie van een lineaire vergelijking wordt gegeven door de manier waarop deze is geschreven. Bovendien vertonen de formuleringen van de definities van lineaire vergelijkingen in verschillende wiskunde- en algebra-leerboeken enkele verschillen die de essentie van het probleem niet beïnvloeden.

In het algebraleerboek voor graad 7 van Yu.N. Makarychev et al. wordt een lineaire vergelijking bijvoorbeeld als volgt gedefinieerd:

Definitie.

Vergelijking van de vorm eenx=b, waarbij x een variabele is, en a en b enkele getallen zijn, wordt genoemd lineaire vergelijking met één variabele.

Laten we voorbeelden geven van lineaire vergelijkingen die aan de gestelde definitie voldoen. 5 x = 10 is bijvoorbeeld een lineaire vergelijking met één variabele x, hier is de coëfficiënt a 5 en het getal b 10. Nog een voorbeeld: −2,3·y=0 is ook een lineaire vergelijking, maar met een variabele y, waarbij a=−2,3 en b=0. En in lineaire vergelijkingen x=−2 en −x=3,33 is a niet expliciet aanwezig en is deze gelijk aan respectievelijk 1 en −1, terwijl in de eerste vergelijking b=−2, en in de tweede - b=3,33.

En een jaar eerder, in het wiskundeboek van N. Ya. Vilenkin, werden lineaire vergelijkingen met één onbekende, naast vergelijkingen van de vorm a x = b, ook beschouwd als vergelijkingen die in deze vorm kunnen worden gebracht door termen van één deel over te dragen van de vergelijking naar een andere met het tegenovergestelde teken, en door vergelijkbare termen te reduceren. Volgens deze definitie zijn vergelijkingen van de vorm 5 x = 2 x + 6, enz. ook lineair.

Op zijn beurt wordt in het algebra-leerboek voor graad 7 van A.G. Mordkovich de volgende definitie gegeven:

Definitie.

Lineaire vergelijking met één variabele x is een vergelijking van de vorm a·x+b=0, waarbij a en b enkele getallen zijn die coëfficiënten van de lineaire vergelijking worden genoemd.

Lineaire vergelijkingen van dit type zijn bijvoorbeeld 2 x−12=0, hier is de coëfficiënt a 2, en b is gelijk aan −12, en 0,2 y+4,6=0 met coëfficiënten a=0,2 en b =4,6. Maar tegelijkertijd zijn er voorbeelden van lineaire vergelijkingen die niet de vorm a·x+b=0 hebben, maar a·x=b, bijvoorbeeld 3·x=12.

Laten we, zodat we in de toekomst geen discrepanties hebben, met een lineaire vergelijking met één variabele x en coëfficiënten a en b een vergelijking bedoelen van de vorm a x + b = 0. Dit type lineaire vergelijking lijkt het meest gerechtvaardigd, aangezien lineaire vergelijkingen dat ook zijn algebraïsche vergelijkingen eerste graad. En alle andere hierboven aangegeven vergelijkingen, evenals vergelijkingen die, met behulp van equivalente transformaties, worden gereduceerd tot de vorm a x + b = 0, zullen we noemen vergelijkingen die reduceren tot lineaire vergelijkingen. Met deze benadering is de vergelijking 2 x+6=0 een lineaire vergelijking, en 2 x=−6, 4+25 y=6+24 y, 4 (x+5)=12, enz. - Dit zijn vergelijkingen die tot lineaire vergelijkingen worden gereduceerd.

Hoe lineaire vergelijkingen op te lossen?

Nu is het tijd om uit te zoeken hoe lineaire vergelijkingen a·x+b=0 worden opgelost. Met andere woorden: het is tijd om uit te zoeken of een lineaire vergelijking wortels heeft, en zo ja, hoeveel daarvan en hoe je ze kunt vinden.

De aanwezigheid van wortels van een lineaire vergelijking hangt af van de waarden van de coëfficiënten a en b. In dit geval geldt de lineaire vergelijking a x+b=0

• de enige wortel voor a≠0,
• heeft geen wortels voor a=0 en b≠0,
• heeft oneindig veel wortels voor a=0 en b=0, in welk geval elk getal een wortel is van een lineaire vergelijking.

Laten we uitleggen hoe deze resultaten werden verkregen.

We weten dat we, om vergelijkingen op te lossen, van de oorspronkelijke vergelijking naar equivalente vergelijkingen kunnen gaan, dat wil zeggen naar vergelijkingen met dezelfde wortels of, zoals de originele, zonder wortels. Om dit te doen, kunt u de volgende equivalente transformaties gebruiken:

• het overbrengen van een term van de ene kant van de vergelijking naar de andere met het tegenovergestelde teken,
• evenals het vermenigvuldigen of delen van beide zijden van een vergelijking door hetzelfde getal dat niet nul is.

Dus in een lineaire vergelijking met één variabele van de vorm a·x+b=0 kunnen we de term b van de linkerkant naar de rechterkant verplaatsen met het tegenovergestelde teken. In dit geval zal de vergelijking de vorm a·x=−b aannemen.

En dan roept het de vraag op om beide kanten van de vergelijking te delen door het getal a. Maar er is één ding: het getal a kan gelijk zijn aan nul, in welk geval een dergelijke verdeling onmogelijk is. Om dit probleem op te lossen, zullen we eerst aannemen dat het getal a niet nul is, en zullen we het geval waarin a gelijk is aan nul iets later afzonderlijk bekijken.

Dus als a niet gelijk is aan nul, dan kunnen we beide zijden van de vergelijking a·x=−b delen door a, waarna deze wordt getransformeerd naar de vorm x=(−b):a, dit resultaat kan zijn geschreven met de fractionele schuine streep als.

Voor a≠0 is de lineaire vergelijking a·x+b=0 dus equivalent aan de vergelijking waaruit de wortel zichtbaar is.

Het is gemakkelijk aan te tonen dat deze wortel uniek is, dat wil zeggen dat de lineaire vergelijking geen andere wortels heeft. Hierdoor kunt u de tegenovergestelde methode uitvoeren.

Laten we de wortel aanduiden als x 1. Laten we aannemen dat er nog een wortel is van de lineaire vergelijking, die we aanduiden als x 2, en x 2 ≠x 1, die, als gevolg van definities gelijke aantallen door het verschil is equivalent aan de voorwaarde x 1 −x 2 ≠0. Omdat x 1 en x 2 wortels zijn van de lineaire vergelijking a·x+b=0, gelden de numerieke gelijkheden a·x 1 +b=0 en a·x 2 +b=0. We kunnen de overeenkomstige delen van deze gelijkheden aftrekken, wat de eigenschappen van numerieke gelijkheden ons toelaten, we hebben a·x 1 +b−(a·x 2 +b)=0−0, waarvan a·(x 1 −x 2)+( b−b)=0 en dan a·(x 1 −x 2)=0 . Maar deze gelijkheid is onmogelijk, aangezien zowel a≠0 als x 1 − x 2 ≠0. We kwamen dus tot een tegenstrijdigheid, die de uniciteit van de wortel van de lineaire vergelijking a·x+b=0 voor a≠0 bewijst.

Daarom hebben we de lineaire vergelijking a·x+b=0 opgelost voor a≠0. Het eerste resultaat dat aan het begin van deze paragraaf wordt gegeven, is gerechtvaardigd. Er zijn er nog twee over die voldoen aan de voorwaarde a=0.

Wanneer a=0, heeft de lineaire vergelijking a·x+b=0 de vorm 0·x+b=0. Uit deze vergelijking en de eigenschap van het vermenigvuldigen van getallen met nul volgt dat ongeacht welk getal we als x nemen, wanneer het wordt vervangen door de vergelijking 0 x + b=0, de numerieke gelijkheid b=0 zal worden verkregen. Deze gelijkheid is waar als b=0, en in andere gevallen als b≠0 is deze gelijkheid onwaar.

Bijgevolg is, met a=0 en b=0, elk getal de wortel van de lineaire vergelijking a·x+b=0, aangezien onder deze omstandigheden het vervangen van x door een willekeurig getal de correcte numerieke gelijkheid 0=0 oplevert. En wanneer a=0 en b≠0 heeft de lineaire vergelijking a·x+b=0 geen wortels, omdat onder deze omstandigheden het vervangen van een willekeurig getal in plaats van x leidt tot de onjuiste numerieke gelijkheid b=0.

De gegeven rechtvaardigingen stellen ons in staat een reeks acties te formuleren waarmee we elke lineaire vergelijking kunnen oplossen. Dus, algoritme voor het oplossen van lineaire vergelijkingen is:

• Door eerst de lineaire vergelijking te schrijven, vinden we de waarden van de coëfficiënten a en b.
• Als a=0 en b=0, dan heeft deze vergelijking oneindig veel wortels, namelijk elk getal is een wortel van deze lineaire vergelijking.
• Als a niet nul is, dan
• de coëfficiënt b wordt naar de rechterkant overgebracht met het tegenovergestelde teken, en de lineaire vergelijking wordt getransformeerd naar de vorm a·x=−b,
• waarna beide zijden van de resulterende vergelijking worden gedeeld door een getal a dat niet nul is, wat de gewenste wortel van de oorspronkelijke lineaire vergelijking oplevert.

Het geschreven algoritme is een alomvattend antwoord op de vraag hoe lineaire vergelijkingen moeten worden opgelost.

Ter afsluiting van dit punt is het de moeite waard om te zeggen dat een soortgelijk algoritme wordt gebruikt om vergelijkingen van de vorm a·x=b op te lossen. Het verschil is dat wanneer a≠0, beide zijden van de vergelijking onmiddellijk worden gedeeld door dit getal; hier staat b al in het vereiste deel van de vergelijking en is het niet nodig om dit over te dragen.

Om vergelijkingen van de vorm a x = b op te lossen, wordt het volgende algoritme gebruikt:

• Als a=0 en b=0, dan heeft de vergelijking oneindig veel wortels, dit zijn willekeurige getallen.
• Als a=0 en b≠0, heeft de oorspronkelijke vergelijking geen wortels.
• Als a niet nul is, worden beide zijden van de vergelijking gedeeld door een getal a dat niet nul is, waaruit de enige wortel van de vergelijking wordt gevonden, gelijk aan b/a.

Voorbeelden van het oplossen van lineaire vergelijkingen

Laten we verder gaan met oefenen. Laten we eens kijken hoe het algoritme voor het oplossen van lineaire vergelijkingen wordt gebruikt. Laten we oplossingen geven voor typische voorbeelden die overeenkomen met verschillende betekenissen coëfficiënten van lineaire vergelijkingen.

Voorbeeld.

Los de lineaire vergelijking 0·x−0=0 op.

Oplossing.

In deze lineaire vergelijking zijn a=0 en b=−0 , wat hetzelfde is als b=0 . Daarom heeft deze vergelijking oneindig veel wortels; elk getal is een wortel van deze vergelijking.

Antwoord:

x – elk getal.

Voorbeeld.

Heeft de lineaire vergelijking 0 x + 2,7 = 0 oplossingen?

Oplossing.

In dit geval is coëfficiënt a gelijk aan nul, en is coëfficiënt b van deze lineaire vergelijking gelijk aan 2,7, dat wil zeggen verschillend van nul. Daarom heeft een lineaire vergelijking geen wortels.

Een lineaire vergelijking is een algebraïsche vergelijking waarvan het totale aantal polynomen gelijk is aan één. Lineaire vergelijkingen oplossen - deel schoolcurriculum en niet de moeilijkste. Sommigen hebben echter nog steeds moeite met het voltooien van dit onderwerp. Wij hopen na het lezen dit materiaal, zullen alle moeilijkheden voor u tot het verleden behoren. Dus laten we het uitzoeken. Hoe lineaire vergelijkingen op te lossen.

Algemene vorm

De lineaire vergelijking wordt weergegeven als:

• ax + b = 0, waarbij a en b willekeurige getallen zijn.

Hoewel a en b elk getal kunnen zijn, beïnvloeden hun waarden het aantal oplossingen van de vergelijking. Er zijn verschillende speciale gevallen van oplossing:

• Als a=b=0 heeft de vergelijking een oneindig aantal oplossingen;
• Als a=0, b≠0, heeft de vergelijking geen oplossing;
• Als a≠0, b=0, heeft de vergelijking een oplossing: x = 0.

In het geval dat beide getallen waarden hebben die niet nul zijn, moet de vergelijking worden opgelost om de uiteindelijke uitdrukking voor de variabele af te leiden.

Hoe beslissen?

Het oplossen van een lineaire vergelijking betekent het vinden van waar de variabele gelijk aan is. Hoe doe je dit? Ja, het is heel eenvoudig: met behulp van eenvoudige algebraïsche bewerkingen en het volgen van de overdrachtsregels. Als de vergelijking in algemene vorm voor je verschijnt, heb je geluk; het enige wat je hoeft te doen is:

1. Verplaats b naar de rechterkant van de vergelijking en vergeet niet het teken te veranderen (overdrachtsregel!). Uit een uitdrukking van de vorm ax + b = 0 zou dus een uitdrukking van de vorm moeten worden verkregen: ax = -b.
2. Pas de regel toe: om een ​​van de factoren (x - in ons geval) te vinden, moet je het product (-b in ons geval) delen door een andere factor (a - in ons geval). Je zou dus een uitdrukking van de vorm moeten krijgen: x = -b/a.

Dat is alles: er is een oplossing gevonden!

Laten we nu eens naar een specifiek voorbeeld kijken:

1. 2x + 4 = 0 - verplaats b, in dit geval gelijk aan 4, naar de rechterkant
2. 2x = -4 - deel b door a (vergeet het minteken niet)
3. x = -4/2 = -2

Dat is alles! Onze oplossing: x = -2.

Zoals je kunt zien is de oplossing voor een lineaire vergelijking met één variabele vrij eenvoudig te vinden, maar alles is zo eenvoudig als we het geluk hebben de vergelijking in zijn algemene vorm tegen te komen. In de meeste gevallen moet u, voordat u de vergelijking in de twee hierboven beschreven stappen oplost, ook de bestaande uitdrukking reduceren tot algemeen voorkomen. Dit is echter ook geen extreem moeilijke taak. Laten we enkele speciale gevallen bekijken aan de hand van voorbeelden.

Oplossen van bijzondere gevallen

Laten we eerst eens kijken naar de gevallen die we aan het begin van het artikel hebben beschreven en uitleggen wat het betekent om een ​​oneindig aantal oplossingen te hebben en geen oplossing.

• Als a=b=0, ziet de vergelijking er als volgt uit: 0x + 0 = 0. Als we de eerste stap uitvoeren, krijgen we: 0x = 0. Wat betekent deze onzin, roept u uit! Welk getal je ook met nul vermenigvuldigt, je krijgt immers altijd nul! Rechts! Daarom zeggen ze dat de vergelijking een oneindig aantal oplossingen heeft - ongeacht welk getal je neemt, de gelijkheid zal waar zijn, 0x = 0 of 0 = 0.
• Als a=0, b≠0, ziet de vergelijking er als volgt uit: 0x + 3 = 0. Voer de eerste stap uit, we krijgen 0x = -3. Weer onzin! Het is duidelijk dat deze gelijkheid nooit waar zal zijn! Daarom zeggen ze dat de vergelijking geen oplossingen heeft.
• Als a≠0, b=0, ziet de vergelijking er als volgt uit: 3x + 0 = 0. Als we de eerste stap uitvoeren, krijgen we: 3x = 0. Wat is de oplossing? Het is gemakkelijk, x = 0.

Verloren in vertaling

De beschreven speciale gevallen zijn niet het enige waarmee lineaire vergelijkingen ons kunnen verrassen. Soms is de vergelijking op het eerste gezicht moeilijk te identificeren. Laten we eens kijken naar een voorbeeld:

• 12x - 14 = 2x + 6

Is dit een lineaire vergelijking? Hoe zit het met de nul aan de rechterkant? We zullen niet overhaast conclusies trekken, we zullen handelen - we zullen alle componenten van onze vergelijking naar de linkerkant verplaatsen. We krijgen:

• 12x - 2x - 14 - 6 = 0

Trek nu like van like af, we krijgen:

• 10x - 20 = 0

Geleerd? De meest lineaire vergelijking ooit! De oplossing hiervoor is: x = 20/10 = 2.

Wat als we dit voorbeeld hebben:

• 12((x + 2)/3) + x) = 12 (1 - 3x/4)

Ja, dit is ook een lineaire vergelijking, er moeten alleen meer transformaties worden uitgevoerd. Laten we eerst de haakjes openen:

1. (12(x+2)/3) + 12x = 12 - 36x/4
2. 4(x+2) + 12x = 12 - 36x/4
3. 4x + 8 + 12x = 12 - 9x - nu voeren we de overdracht uit:
4. 25x - 4 = 0 - het blijft een oplossing vinden met behulp van het reeds bekende schema:
5. 25x = 4,
6. x = 4/25 = 0,16

Zoals je kunt zien, kan alles worden opgelost, het belangrijkste is om je geen zorgen te maken, maar om te handelen. Onthoud dat als uw vergelijking alleen variabelen van de eerste graad en getallen bevat, u een lineaire vergelijking heeft die, hoe deze er in eerste instantie ook uitziet, kan worden teruggebracht tot een algemene vorm en kan worden opgelost. Wij hopen dat alles goed voor je komt! Succes!

Bij het oplossen van lineaire vergelijkingen streven we ernaar de wortel te vinden, dat wil zeggen de waarde van de variabele die de vergelijking in een correcte gelijkheid zal veranderen.

Om de wortel van de vergelijking te vinden die je nodig hebt gelijkwaardige transformaties brengen de vergelijking die ons wordt gegeven naar de vorm

\(x=[getal]\)

Dit nummer zal de wortel zijn.

Dat wil zeggen, we transformeren de vergelijking, waardoor deze bij elke stap eenvoudiger wordt, totdat we deze terugbrengen tot een volledig primitieve vergelijking “x = getal”, waarbij de wortel duidelijk is. De meest gebruikte transformaties bij het oplossen van lineaire vergelijkingen zijn de volgende:

Bijvoorbeeld: voeg \(5\) toe aan beide zijden van de vergelijking \(6x-5=1\)

\(6x-5=1\) \(|+5\)
\(6x-5+5=1+5\)
\(6x=6\)

Houd er rekening mee dat we sneller hetzelfde resultaat kunnen bereiken door simpelweg de vijf aan de andere kant van de vergelijking te schrijven en het teken ervan te veranderen. Eigenlijk is dit precies hoe de school “overdracht via gelijken met een verandering van teken naar het tegenovergestelde” gebeurt.

2. Beide zijden van een vergelijking vermenigvuldigen of delen door hetzelfde getal of dezelfde uitdrukking.

Bijvoorbeeld: deel de vergelijking \(-2x=8\) door min twee

\(-2x=8\) \(|:(-2)\)
\(x=-4\)

Normaal gesproken wordt deze stap helemaal aan het einde uitgevoerd, wanneer de vergelijking al is gereduceerd tot de vorm \(ax=b\), en we delen door \(a\) om deze van links te verwijderen.

3. Gebruik maken van de eigenschappen en wetten van de wiskunde: haakjes openen, soortgelijke termen gebruiken, breuken verkleinen, enz.

Voeg links en rechts \(2x\) toe

Trek \(24\) af van beide kanten van de vergelijking

We presenteren soortgelijke termen opnieuw

Nu delen we de vergelijking door \(-3\), waardoor de voorste X aan de linkerkant wordt verwijderd.

Antwoord : \(7\)

Het antwoord is gevonden. Laten we het echter eens bekijken. Als zeven werkelijk een wortel is, dan zou bij vervanging van X in de oorspronkelijke vergelijking de juiste gelijkheid moeten worden verkregen: dezelfde getallen links en rechts. Laten we proberen.

Inspectie:
\(6(4-7)+7=3-2\cdot7\)
\(6\cdot(-3)+7=3-14\)
\(-18+7=-11\)
\(-11=-11\)

Het is gelukt. Dit betekent dat zeven inderdaad de wortel is van de oorspronkelijke lineaire vergelijking.

Wees niet lui om de antwoorden te controleren die je door vervanging hebt gevonden, vooral als je een vergelijking op een toets of examen oplost.

De vraag blijft: hoe bepaal je wat je met de vergelijking moet doen? volgende stap? Hoe moet je het precies omzetten? Door iets delen? Of aftrekken? En wat moet ik precies aftrekken? Delen door wat?

Het antwoord is simpel:

Je doel is om de vergelijking in de vorm \(x=[getal]\) te brengen, dat wil zeggen dat aan de linkerkant x staat zonder coëfficiënten en getallen, en aan de rechterkant alleen een getal zonder variabelen. Kijk daarom naar wat je tegenhoudt en het tegenovergestelde doen van wat de interfererende component doet.

Om dit beter te begrijpen, gaan we stap voor stap kijken naar de oplossing van de lineaire vergelijking \(x+3=13-4x\).

Laten we nadenken: wat gegeven vergelijking verschillend van \(x=[getal]\)? Wat houdt ons tegen? Wat is er mis?

Ten eerste komen de drie tussenbeide, omdat er aan de linkerkant alleen een enkele X zou moeten zijn, zonder cijfers. Wat ‘doet’ de trojka? Toegevoegd aan X. Dus om het te verwijderen - aftrekken dezelfde drie. Maar als we er drie van links aftrekken, moeten we die van rechts aftrekken, zodat de gelijkheid niet wordt geschonden.

\(x+3=13-4x\) \(|-3\)
\(x+3-3=13-4x-3\)
\(x=10-4x\)

Prima. Wat houdt je tegen? \(4x\) aan de rechterkant, omdat daar alleen cijfers mogen staan. \(4x\) afgetrokken- wij verwijderen door toe te voegen.

\(x=10-4x\) \(|+4x\)
\(x+4x=10-4x+4x\)

Nu presenteren we links en rechts vergelijkbare termen.

Het is bijna klaar. Het enige dat overblijft is het verwijderen van de vijf aan de linkerkant. Wat doet ze"? Vermenigvuldigt op x. Dus laten we het verwijderen divisie.

\(5x=10\) \(|:5\)
\(\frac(5x)(5)\) \(=\)\(\frac(10)(5)\)
\(x=2\)

De oplossing is voltooid, de wortel van de vergelijking is twee. U kunt dit controleren door vervanging.

Let erop dat Meestal is er maar één wortel in lineaire vergelijkingen. Er kunnen zich echter twee bijzondere gevallen voordoen.

Speciaal geval 1 – er zijn geen wortels in een lineaire vergelijking.

Voorbeeld . Los de vergelijking \(3x-1=2(x+3)+x\) op

Oplossing :

Antwoord : geen wortels.

Dat we tot een dergelijk resultaat zullen komen was zelfs al eerder zichtbaar, zelfs toen we \(3x-1=3x+6\) ontvingen. Denk er eens over na: hoe kunnen \(3x\) waarvan we \(1\) hebben afgetrokken, en \(3x\) waarvan we \(6\) hebben opgeteld gelijk zijn? Uiteraard niet, want ze deden verschillende dingen met hetzelfde! Het is duidelijk dat de resultaten zullen variëren.

Speciaal geval 2 – een lineaire vergelijking heeft een oneindig aantal wortels.

Voorbeeld . Los lineaire vergelijking \(8(x+2)-4=12x-4(x-3)\) op

Oplossing :

Antwoord : elk nummer.

Dit was overigens al eerder merkbaar, in het stadium: \(8x+12=8x+12\). Links en rechts inderdaad identieke uitdrukkingen. Welke X je ook vervangt, het zal daar en daar hetzelfde getal zijn.

Complexere lineaire vergelijkingen.

De oorspronkelijke vergelijking ziet er niet altijd meteen lineair uit; soms wordt deze ‘gemaskeerd’ als andere, meer nog complexe vergelijkingen. Tijdens het transformatieproces verdwijnt de vermomming echter.

Voorbeeld . Zoek de wortel van de vergelijking \(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)

Oplossing :

\(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)		Het lijkt erop dat hier een x-kwadraat is - dit is geen lineaire vergelijking! Maar haast je niet. Laten we solliciteren
\(2x^(2)-(x^(2)-8x+16)=9+6x+x^(2)-15\)		Waarom staat het uitbreidingsresultaat \((x-4)^(2)\) tussen haakjes, maar het resultaat \((3+x)^(2)\) niet? Omdat er een minpunt voor het eerste vierkant staat, waardoor alle tekens veranderen. En om dit niet te vergeten, nemen we het resultaat tussen haakjes, dat we nu openen.
\(2x^(2)-x^(2)+8x-16=9+6x+x^(2)-15\)		We presenteren vergelijkbare termen
\(x^(2)+8x-16=x^(2)+6x-6\)
\(x^(2)-x^(2)+8x-6x=-6+16\)		We presenteren soortgelijke opnieuw.
		Soortgelijk. Het blijkt dat de oorspronkelijke vergelijking behoorlijk lineair is, en dat het X-kwadraat niets meer is dan een scherm om ons in verwarring te brengen. :) We voltooien de oplossing door de vergelijking te delen door \(2\), en we krijgen het antwoord.

Antwoord : \(x=5\)

Voorbeeld . Los lineaire vergelijking \(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6) op )\)

Oplossing :

\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\)		De vergelijking ziet er niet lineair uit, het zijn een soort breuken... Laten we echter de noemers wegwerken door beide zijden van de vergelijking te vermenigvuldigen met de gemeenschappelijke noemer van alles: zes.
\(6\cdot\)\((\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3))\) \(=\) \(\frac( 9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		Vouw de beugel aan de linkerkant uit
\(6\cdot\)\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(6\cdot\)\(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		Laten we nu de noemers verkleinen
\(3(x+2)-2=9+7x\)		Nu ziet het eruit als een gewone lineaire! Laten we het afmaken.
		Door te vertalen via gelijken verzamelen we X'en aan de rechterkant en getallen aan de linkerkant
		Als we de rechter- en linkerkant delen door \(-4\), krijgen we het antwoord

Antwoord : \(x=-1,25\)

Systemen van vergelijkingen ontvangen brede toepassing in de economische sector in het wiskundig modelleren van verschillende processen. Bijvoorbeeld bij het oplossen van problemen op het gebied van productiebeheer en -planning, logistieke routes (transportprobleem) of plaatsing van apparatuur.

Vergelijkingssystemen worden niet alleen in de wiskunde gebruikt, maar ook in de natuurkunde, scheikunde en biologie, bij het oplossen van problemen bij het vinden van de populatiegrootte.

Een systeem van lineaire vergelijkingen bestaat uit twee of meer vergelijkingen met verschillende variabelen waarvoor het nodig is een gemeenschappelijke oplossing te vinden. Zo'n reeks getallen waarvoor alle vergelijkingen echte gelijkheden worden of bewijzen dat de reeks niet bestaat.

Lineaire vergelijking

Vergelijkingen van de vorm ax+by=c worden lineair genoemd. De aanduidingen x, y zijn de onbekenden waarvan de waarde moet worden gevonden, b, a zijn de coëfficiënten van de variabelen, c is de vrije term van de vergelijking.
Als u een vergelijking oplost door deze uit te zetten, ziet het eruit als een rechte lijn, waarvan alle punten oplossingen zijn voor de polynoom.

Soorten systemen van lineaire vergelijkingen

De eenvoudigste voorbeelden worden beschouwd als stelsels van lineaire vergelijkingen met twee variabelen X en Y.

F1(x, y) = 0 en F2(x, y) = 0, waarbij F1,2 functies zijn en (x, y) functievariabelen zijn.

Systeem van vergelijkingen oplossen - dit betekent het vinden van waarden (x, y) waarbij het systeem in een echte gelijkheid verandert, of vaststellen dat geschikte waarden van x en y niet bestaan.

Een paar waarden (x, y), geschreven als de coördinaten van een punt, wordt een oplossing voor een stelsel lineaire vergelijkingen genoemd.

Als systemen één gemeenschappelijke oplossing hebben of als er geen oplossing bestaat, worden ze gelijkwaardig genoemd.

Homogene systemen van lineaire vergelijkingen zijn systemen waarvan de rechterkant gelijk is aan nul. Als het rechterdeel na het gelijkteken een waarde heeft of wordt uitgedrukt door een functie, is zo'n systeem heterogeen.

Het aantal variabelen kan veel meer dan twee zijn, dan zouden we het moeten hebben over een voorbeeld van een systeem van lineaire vergelijkingen met drie of meer variabelen.

Wanneer schoolkinderen met systemen worden geconfronteerd, gaan ze ervan uit dat het aantal vergelijkingen noodzakelijkerwijs moet samenvallen met het aantal onbekenden, maar dit is niet het geval. Het aantal vergelijkingen in het systeem is niet afhankelijk van de variabelen; er kunnen er zoveel zijn als gewenst.

Eenvoudige en complexe methoden voor het oplossen van stelsels vergelijkingen

Er bestaat geen algemene analytische methode om dergelijke systemen op te lossen; alle methoden zijn gebaseerd op numerieke oplossingen. IN schoolcursus Wiskunde beschrijft in detail methoden als permutatie, algebraïsche optelling, substitutie, evenals grafische en matrixmethoden, oplossing volgens de Gauss-methode.

De belangrijkste taak bij het aanleren van oplossingsmethoden is om te leren hoe je het systeem correct kunt analyseren en voor elk voorbeeld het optimale oplossingsalgoritme kunt vinden. Het belangrijkste is niet om voor elke methode een systeem van regels en acties uit het hoofd te leren, maar om de principes van het gebruik van een bepaalde methode te begrijpen

Het oplossen van voorbeelden van stelsels van lineaire vergelijkingen in het algemene leerplan van groep 7 is vrij eenvoudig en wordt tot in detail uitgelegd. In elk wiskundehandboek krijgt dit gedeelte voldoende aandacht. Het oplossen van voorbeelden van stelsels lineaire vergelijkingen met behulp van de Gauss- en Cramer-methode wordt in de eerste jaren van het hoger onderwijs nader bestudeerd.

Systemen oplossen met behulp van de substitutiemethode

De acties van de substitutiemethode zijn erop gericht de waarde van de ene variabele uit te drukken in termen van de tweede. De uitdrukking wordt vervangen door de resterende vergelijking en vervolgens gereduceerd tot een vorm met één variabele. De actie wordt herhaald afhankelijk van het aantal onbekenden in het systeem

Laten we een oplossing geven voor een voorbeeld van een systeem van lineaire vergelijkingen van klasse 7 met behulp van de substitutiemethode:

Zoals uit het voorbeeld blijkt, werd de variabele x uitgedrukt via F(X) = 7 + Y. De resulterende uitdrukking, gesubstitueerd in de tweede vergelijking van het systeem in plaats van X, hielp om één variabele Y in de tweede vergelijking te verkrijgen . Oplossing dit voorbeeld veroorzaakt geen problemen en stelt u in staat de waarde van Y te verkrijgen. De laatste stap is het controleren van de verkregen waarden.

Het is niet altijd mogelijk om een ​​voorbeeld van een stelsel van lineaire vergelijkingen op te lossen door middel van substitutie. De vergelijkingen kunnen complex zijn en het uitdrukken van de variabele in termen van de tweede onbekende zal te omslachtig zijn voor verdere berekeningen. Als er meer dan 3 onbekenden in het systeem zitten, is oplossen door vervanging ook ongepast.

Oplossing van een voorbeeld van een systeem van lineaire inhomogene vergelijkingen:

Oplossing met behulp van algebraïsche optelling

Bij het zoeken naar oplossingen voor systemen die de optelmethode gebruiken, voeren ze term-voor-term optelling en vermenigvuldiging van vergelijkingen uit verschillende nummers. Het ultieme doel wiskundige bewerkingen is een vergelijking met één variabele.

Voor toepassingen deze methode oefening en observatie zijn vereist. Het oplossen van een stelsel lineaire vergelijkingen met behulp van de optellingsmethode als er drie of meer variabelen zijn, is niet eenvoudig. Algebraïsche optelling is handig als vergelijkingen breuken en decimalen bevatten.

Oplossingsalgoritme:

1. Vermenigvuldig beide zijden van de vergelijking met een bepaald getal. Als resultaat van de rekenkundige bewerking moet een van de coëfficiënten van de variabele gelijk worden aan 1.
2. Voeg de resulterende uitdrukking term voor term toe en vind een van de onbekenden.
3. Vervang de resulterende waarde in de tweede vergelijking van het systeem om de resterende variabele te vinden.

Oplossingsmethode door een nieuwe variabele te introduceren

Een nieuwe variabele kan worden geïntroduceerd als het systeem een ​​oplossing voor niet meer dan twee vergelijkingen vereist; het aantal onbekenden mag ook niet meer dan twee zijn.

De methode wordt gebruikt om een ​​van de vergelijkingen te vereenvoudigen door een nieuwe variabele te introduceren. De nieuwe vergelijking wordt opgelost voor het geïntroduceerde onbekende, en de resulterende waarde wordt gebruikt om de oorspronkelijke variabele te bepalen.

Het voorbeeld laat zien dat door het introduceren van een nieuwe variabele t het mogelijk was om de eerste vergelijking van het systeem terug te brengen tot de standaardvergelijking kwadratische trinominaal. Je kunt een polynoom oplossen door de discriminant te vinden.

Het is noodzakelijk om de waarde van de discriminant te vinden met behulp van de bekende formule: D = b2 - 4*a*c, waarbij D de gewenste discriminant is, b, a, c zijn de factoren van de polynoom. In het gegeven voorbeeld is a=1, b=16, c=39, dus D=100. Als de discriminant groter is dan nul, dan zijn er twee oplossingen: t = -b±√D / 2*a, als de discriminant minder dan nul, dan is er maar één oplossing: x= -b / 2*a.

De oplossing voor de resulterende systemen wordt gevonden door de toevoegingsmethode.

Visuele methode voor het oplossen van systemen

Geschikt voor 3 vergelijkingssystemen. De methode bestaat uit het construeren van grafieken van elke vergelijking in het systeem op de coördinatenas. De coördinaten van de snijpunten van de curven zullen de algemene oplossing van het systeem zijn.

De grafische methode kent een aantal nuances. Laten we verschillende voorbeelden bekijken van het op een visuele manier oplossen van stelsels van lineaire vergelijkingen.

Zoals uit het voorbeeld blijkt, werden voor elke lijn twee punten geconstrueerd, de waarden van de variabele x werden willekeurig gekozen: 0 en 3. Op basis van de waarden van x werden de waarden voor y gevonden: 3 en 0. Punten met coördinaten (0, 3) en (3, 0) zijn gemarkeerd in de grafiek en verbonden door een lijn.

De stappen moeten worden herhaald voor de tweede vergelijking. Het snijpunt van de lijnen is de oplossing van het systeem.

Het volgende voorbeeld vereist het vinden van een grafische oplossing voor een stelsel van lineaire vergelijkingen: 0,5x-y+2=0 en 0,5x-y-1=0.

Zoals uit het voorbeeld blijkt, heeft het systeem geen oplossing, omdat de grafieken evenwijdig zijn en elkaar niet over de gehele lengte snijden.

De systemen uit de voorbeelden 2 en 3 zijn vergelijkbaar, maar wanneer ze worden geconstrueerd, wordt het duidelijk dat hun oplossingen verschillend zijn. Houd er rekening mee dat het niet altijd mogelijk is om te zeggen of een systeem een ​​oplossing heeft of niet; het is altijd nodig om een ​​grafiek te construeren.

De matrix en zijn variëteiten

Matrices worden gebruikt om een ​​systeem van lineaire vergelijkingen beknopt te schrijven. Een matrix is ​​een tabel speciaal soort gevuld met cijfers. n*m heeft n - rijen en m - kolommen.

Een matrix is ​​vierkant als het aantal kolommen en rijen gelijk is. Een matrixvector is een matrix van één kolom met een oneindig aantal rijen. Een matrix met enen langs een van de diagonalen en andere nulelementen wordt identiteit genoemd.

Een inverse matrix is ​​een matrix waarmee de originele matrix, wanneer deze wordt vermenigvuldigd, verandert in een eenheidsmatrix; zo'n matrix bestaat alleen voor de originele vierkante matrix.

Regels voor het omzetten van een stelsel vergelijkingen in een matrix

Met betrekking tot stelsels van vergelijkingen worden de coëfficiënten en vrije termen van de vergelijkingen geschreven als matrixgetallen; één vergelijking is één rij van de matrix.

Er wordt gezegd dat een matrixrij niet nul is als ten minste één element van de rij niet nul is. Als het aantal variabelen in een van de vergelijkingen verschilt, is het daarom noodzakelijk om nul in te voeren in plaats van de ontbrekende onbekende.

De matrixkolommen moeten strikt overeenkomen met de variabelen. Dit betekent dat de coëfficiënten van de variabele x slechts in één kolom kunnen worden geschreven, bijvoorbeeld de eerste, de coëfficiënt van de onbekende y - alleen in de tweede.

Bij het vermenigvuldigen van een matrix worden alle elementen van de matrix opeenvolgend vermenigvuldigd met een getal.

Opties voor het vinden van de inverse matrix

De formule voor het vinden van de inverse matrix is ​​vrij eenvoudig: K -1 = 1 / |K|, waarbij K -1 - omgekeerde matrix en |K| is de determinant van de matrix. |K| mag niet gelijk zijn aan nul, dan heeft het systeem een ​​oplossing.

De determinant kan eenvoudig worden berekend voor een twee-bij-twee-matrix; je hoeft alleen maar de diagonale elementen met elkaar te vermenigvuldigen. Voor de optie “drie bij drie” is er een formule |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + een 3 b 2 c 1 . U kunt de formule gebruiken, of u kunt onthouden dat u uit elke rij en elke kolom één element moet nemen, zodat het aantal kolommen en rijen met elementen niet in het werk wordt herhaald.

Voorbeelden van stelsels van lineaire vergelijkingen oplossen met behulp van de matrixmethode

Met de matrixmethode voor het vinden van een oplossing kunt u omslachtige invoer verminderen bij het oplossen van systemen met een groot aantal variabelen en vergelijkingen.

In het voorbeeld zijn nm de coëfficiënten van de vergelijkingen, de matrix is ​​een vector, x n zijn variabelen en bn zijn vrije termen.

Systemen oplossen met behulp van de Gaussiaanse methode

In de hogere wiskunde wordt de Gaussiaanse methode samen met de Cramer-methode bestudeerd, en het proces van het vinden van oplossingen voor systemen wordt de Gauss-Cramer-oplossingsmethode genoemd. Deze methoden worden gebruikt om te vinden variabele systemen met een groot aantal lineaire vergelijkingen.

De Gauss-methode lijkt sterk op oplossingen door substitutie en algebraïsche optelling, maar is systematischer. In de schoolcursus wordt de oplossing volgens de Gaussische methode gebruikt voor stelsels van 3- en 4-vergelijkingen. Het doel van de methode is om het systeem terug te brengen tot de vorm van een omgekeerde trapezium. Door middel van algebraïsche transformaties en substituties wordt de waarde van één variabele gevonden in een van de vergelijkingen van het systeem. De tweede vergelijking is een uitdrukking met 2 onbekenden, terwijl 3 en 4 respectievelijk 3 en 4 variabelen zijn.

Nadat het systeem in de beschreven vorm is gebracht, wordt de verdere oplossing gereduceerd tot de opeenvolgende vervanging van bekende variabelen in de vergelijkingen van het systeem.

In schoolboeken voor groep 7 wordt een voorbeeld van een oplossing volgens de Gauss-methode als volgt beschreven:

Zoals uit het voorbeeld blijkt, werden bij stap (3) twee vergelijkingen verkregen: 3x 3 -2x 4 =11 en 3x 3 +2x 4 =7. Door een van de vergelijkingen op te lossen, kun je een van de variabelen x n ontdekken.

Stelling 5, die in de tekst wordt genoemd, stelt dat als een van de vergelijkingen van het systeem wordt vervangen door een equivalent, het resulterende systeem ook equivalent zal zijn aan het oorspronkelijke.

De Gaussiaanse methode is voor studenten moeilijk te begrijpen middelbare school, maar is een van de meest interessante manieren om de vindingrijkheid te ontwikkelen van kinderen die zijn ingeschreven voor geavanceerde studieprogramma's in wiskunde- en natuurkundelessen.

Om de registratie te vergemakkelijken, worden de berekeningen meestal als volgt uitgevoerd:

De coëfficiënten van de vergelijkingen en vrije termen worden geschreven in de vorm van een matrix, waarbij elke rij van de matrix overeenkomt met een van de vergelijkingen van het systeem. scheidt de linkerkant van de vergelijking van de rechterkant. Romeinse cijfers geven het aantal vergelijkingen in het systeem aan.

Schrijf eerst de matrix op waarmee u wilt werken en vervolgens alle acties die met een van de rijen worden uitgevoerd. De resulterende matrix wordt na het "pijl" -teken geschreven en de noodzakelijke algebraïsche bewerkingen worden voortgezet totdat het resultaat is bereikt.

Het resultaat zou een matrix moeten zijn waarin een van de diagonalen gelijk is aan 1 en alle andere coëfficiënten gelijk zijn aan nul, dat wil zeggen dat de matrix wordt gereduceerd tot een eenheidsvorm. We mogen niet vergeten berekeningen uit te voeren met getallen aan beide kanten van de vergelijking.

Deze opnamemethode is minder omslachtig en zorgt ervoor dat u niet wordt afgeleid door het opsommen van talloze onbekenden.

Het gratis gebruik van elke oplossingsmethode vereist zorg en enige ervaring. Niet alle methoden zijn van toegepaste aard. Sommige methoden om oplossingen te vinden verdienen meer de voorkeur op een bepaald gebied van menselijke activiteit, terwijl andere voor educatieve doeleinden bestaan.