Мақалада жай және құрама сандар ұғымдары қарастырылады. Мұндай сандардың анықтамалары мысалдармен берілген. Біз дәлелдейміз жай сандаршектеусіз және Эратосфен әдісі арқылы жай сандар кестесіне жазба енгізіңіз. Санның жай немесе құрама екендігіне дәлелдер беріледі.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Жай және құрама сандар - анықтамалар мен мысалдар

Жай және құрама сандар натурал сандар ретінде жіктеледі. Олар біреуден үлкен болуы керек. Бөлгіштер де жай және күрделі болып бөлінеді. Құрама сандар ұғымын түсіну үшін ең алдымен бөлгіш және еселік ұғымдарды зерттеу керек.

Анықтама 1

Жай сандар - бірден үлкен және екі оң бөлгіші бар, яғни өздері және 1 болатын бүтін сандар.

Анықтама 2

Құрама сандар - бірден үлкен және кемінде үш оң бөлгіші бар бүтін сандар.

Бір жай сан да, құрама сан да емес. Оның бір ғана оң бөлгіші бар, сондықтан ол барлық басқа оң сандардан ерекшеленеді. Барлық натурал сандар натурал деп аталады, яғни санауда қолданылады.

Анықтама 3

жай сандартек екі оң бөлгіші бар натурал сандар.

Анықтама 4

Құрама сан- Бұл натурал санекіден көп оң бөлгіштері бар.

1-ден үлкен кез келген сан жай немесе құрама болады. Бөлінгіштік қасиетінен бізде бұл 1 және а саны әрқашан кез келген а санының бөлгіші болады, яғни ол өзіне және 1-ге бөлінетін болады. Біз бүтін сандардың анықтамасын береміз.

Анықтама 5

Жай сандар емес натурал сандар құрама сандар деп аталады.

Жай сандар: 2, 3, 11, 17, 131, 523. Олар тек өзіне және 1-ге бөлінеді. Құрама сандар: 6, 63, 121, 6697. Яғни, 6 санын 2 мен 3-ке, 63-ті 1, 3, 7, 9, 21, 63, 121-ді 11, 11-ге бөлуге болады, яғни оның бөлгіштері 1, 11, 121 болады. 6697 саны 37 және 181 болып ыдырайды. Жай сандар мен салыстырмалы жай сандар ұғымдары әртүрлі ұғымдар екенін ескеріңіз.

Жай сандарды пайдалануды жеңілдету үшін кестені пайдалану керек:

Барлық бар натурал сандар үшін кесте шындыққа жанаспайды, өйткені олардың шексіз саны бар. Сандар 10000 немесе 1000000000 өлшемдерге жеткенде, сіз Эратосфен елегін пайдалану туралы ойлануыңыз керек.

Соңғы мәлімдемені түсіндіретін теореманы қарастырыңыз.

Теорема 1

1-ден басқа натурал санның ең кіші оң бөлгіші жай сан.

Дәлелдеу 1

a - 1-ден үлкен натурал сан, b - а-ның ең кіші бір емес бөлгіші деп есептейік. b-ның жай сан екенін қайшылық әдісі арқылы дәлелдеуіміз керек.

b - құрама сан делік. Осы жерден біз b үшін бөлгіш бар, ол 1-ден де, b-дан да ерекшеленеді. Мұндай бөлгіш b 1 деп белгіленеді. Бұл 1-шарт қажет< b 1 < b аяқталды.

Оны а-ның в-ға, в-ның в-ге бөлінуін шарттан көруге болады, яғни бөлінгіштік ұғымы былайша өрнектеледі: a = b qжәне b = b 1 q 1 , мұндағы a = b 1 (q 1 q) , мұндағы q және q 1бүтін сандар. Бүтін сандарды көбейту ережесі бойынша бізде бүтін сандардың туындысы a = b 1 · (q 1 · q) түріндегі теңдігі бар бүтін сан болады. b 1 екенін көруге болады a-ның бөлгіші. Теңсіздік 1< b 1 < b Жоқсәйкес келеді, өйткені біз b - а-ның 1 емес оң бөлгіші ең кіші екенін аламыз.

2-теорема

Шексіз көп жай сандар бар.

Дәлелдеу 2

Айталық, n натурал сандардың шектеулі санын алайық және p 1 , p 2 , … , p n деп белгілейік. Көрсетілгендерден басқа жай санды табудың нұсқасын қарастырайық.

p 1 , p 2 , … , p n + 1 тең p санын қарастырайық. Ол p 1 , p 2 , … , p n түріндегі жай сандарға сәйкес келетін сандардың әрқайсысына тең емес. p саны жай. Сонда теорема дәлелденген болып саналады. Егер ол құрама болса, онда біз p n + 1 белгісін алуымыз керек және p 1 , p 2 , … , p n кез келгенімен бөлгіш сәйкессіздігін көрсетіңіз.

Егер бұлай болмаса, онда көбейтіндінің бөлінгіштік қасиетіне негізделген p 1 , p 2 , … , p n , біз оның p n + 1 -ге бөлінетінін аламыз. p n + 1 өрнегі екенін ескеріңіз бөлінген p саны p 1 , p 2 , … , p n + 1 қосындысына тең. Біз p n + 1 өрнегін аламыз бұл қосындының 1-ге тең екінші мүшесін бөлу керек, бірақ бұл мүмкін емес.

Кез келген жай санды кез келген берілген жай сандардың арасынан табуға болатынын көруге болады. Бұдан шығатыны, жай сандар шексіз көп.

Жай сандар көп болғандықтан, кестелер 100, 1000, 10000 және т.б. сандармен шектелген.

Жай сандар кестесін құрастыру кезінде мұндай тапсырма 2-ден 100-ге дейінгі сандарды ретімен тексеруді қажет ететінін ескеру керек. Егер бөлгіш болмаса, ол кестеге жазылады, егер ол құрама болса, онда ол кестеге енгізілмейді.

Біртіндеп қарастырайық.

Егер сіз 2 санынан бастасаңыз, онда оның тек 2 бөлгіші бар: 2 және 1, яғни оны кестеге енгізуге болады. Сондай-ақ 3 санымен. 4 саны құрама, оны 2 және 2-ге бөлу керек. 5 саны қарапайым, яғни оны кестеде бекітуге болады. Мұны 100 санына дейін орындаңыз.

Бұл әдіс ыңғайсыз және уақытты қажет етеді. Сіз үстел жасай аласыз, бірақ сіз жұмсауыңыз керек көп саныуақыт. Бөлінгіштерді табу процесін тездететін бөлінгіштік критерийлерін қолдану қажет.

Эратосфен елегін қолданатын әдіс ең қолайлы болып саналады. Төмендегі кестелерді қарастырайық. Бастау үшін 2, 3, 4, ..., 50 сандары жазылады.

Енді 2-ге еселік барлық сандарды сызып тастау керек. Тізбектей сызып тастау. Біз пішіннің кестесін аламыз:

5-ке еселік сандарды сызып тастауға көшейік. Біз алып жатырмыз:

7-ге, 11-ге еселік сандарды сызып тастаймыз. Ақырында үстел осылай көрінеді

Теореманы тұжырымдауға көшейік.

Теорема 3

Негізгі а санының ең кіші оң және 1 емес бөлгіші a -дан аспайды, мұндағы a - берілген санның арифметикалық түбірі.

Дәлелдеу 3

Құрама а санының ең кіші бөлгіші ретінде b деп белгілеу керек. q бүтін саны бар, мұндағы a = b · q және бізде бұл b ≤ q бар. Пішіннің теңсіздігі b > qсебебі шарт бұзылған. b ≤ q теңсіздігінің екі жағын 1-ге тең емес кез келген оң b санына көбейту керек. Біз b b ≤ b q аламыз, мұндағы b 2 ≤ a және b ≤ a.

Дәлелденген теоремадан кестедегі сандарды алып тастау b 2-ге тең және b 2 ≤ a теңсіздігін қанағаттандыратын саннан бастау қажет екендігіне әкелетінін көруге болады. Яғни, егер сіз 2-ге еселік сандарды сызып тастасаңыз, онда процесс 4-тен басталады, ал 3-ке көбейткіштер 9-дан басталады және 100-ге дейін жалғасады.

Мұндай кестені Эратосфен теоремасы арқылы құрастыру, барлық құрама сандарды сызып тастағанда, n-ден аспайтын жай сандар қалады. n = 50 болатын мысалда бізде n = 50 бар. Осы жерден біз Эратосфен елеуішінің барлық құрама сандарды електен өткізетінін көреміз. көбірек мәнтүбірі 50. Сандарды іздеу сызып тастау арқылы жүзеге асырылады.

Шешу алдында санның жай немесе құрама екенін анықтау керек. Бөлінгіштік критерийлері жиі қолданылады. Мұны төмендегі мысалда қарастырайық.

1-мысал

898989898989898989 құрама сан екенін дәлелдеңдер.

Шешім

Берілген санның цифрларының қосындысы 9 8 + 9 9 = 9 17 . Сонымен 9 17 саны 9-ға бөлінгіштік белгісі бойынша 9-ға бөлінеді. Бұдан оның композиттік екендігі шығады.

Мұндай белгілер санның жай екенін дәлелдей алмайды. Тексеру қажет болса, басқа қадамдар жасалуы керек. Көпшілігі қолайлы жол- Бұл сандардың шоғыры. Процесс барысында жай және құрама сандарды табуға болады. Яғни мәндегі сандар a -дан аспауы керек. Яғни, а саны ыдырауға тиіс негізгі факторлар. егер бұл дұрыс болса, онда а санын жай деп санауға болады.

2-мысал

11723 құрама немесе жай санды анықтаңыз.

Шешім

Енді 11723 санының барлық бөлгіштерін табу керек. Бағалау керек 11723 .

Осы жерден біз 11723 екенін көреміз< 200 , то 200 2 = 40 000 , және 11 723< 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 саннан аз 200 .

11723 санын дәлірек бағалау үшін 108 2 = 11 664 өрнегін жазу керек және 109 2 = 11 881 , Бұл 108 2 < 11 723 < 109 2 . Бұдан шығатыны 11723 ж< 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.

Ыдырау кезінде біз мынаны аламыз: 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 7 , 7, 6 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 - барлығы жай сандар. Бұл процесті бағанға бөлу ретінде бейнелеуге болады. Яғни 11723-ті 19-ға бөліңіз. 19 саны оның факторларының бірі болып табылады, өйткені біз қалдықсыз бөлуді аламыз. Бөлуді бағанмен бейнелейік:

Бұдан 11723 құрама сан екені шығады, өйткені оның өзіне және 1-ге қосымша 19 бөлгіші бар.

Жауап: 11723 – құрама сан.

Мәтінде қатені байқасаңыз, оны бөлектеп, Ctrl+Enter пернелерін басыңыз

Бөлгіштер тізімі.Анықтама бойынша, сан nтек 2-ге және 1-ден және өзінен басқа кез келген бүтін сандарға біркелкі бөлінбесе ғана жай болады. Жоғарыдағы формула қажет емес қадамдарды жояды және уақытты үнемдейді: мысалы, санның 3-ке бөлінетінін тексергеннен кейін оның 9-ға бөлінетінін тексерудің қажеті жоқ.

  • floor(x) функциясы x-ті x-тен кіші немесе оған тең ең жақын бүтін санға дейін дөңгелектейді.

Модульдік арифметикамен танысу.«x mod y» операциясы (mod – латынның «modulo» деген сөзінің қысқасы, «модуль» дегенді білдіреді) «х-ті у-ға бөліп, қалдықты табу» дегенді білдіреді. Басқаша айтқанда, модульдік арифметикада белгілі бір мәнге жеткенде, ол аталады модуль, сандар қайтадан нөлге «айнады». Мысалы, сағат уақытты 12 модулімен өлшейді: ол 10, 11 және 12 сағатты көрсетеді, содан кейін 1-ге оралады.

  • Көптеген калькуляторларда мод кілті бар. Бұл бөлімнің соңы үлкен сандар үшін бұл функцияны қолмен қалай есептеу керектігін көрсетеді.

  • Ферманың кіші теоремасының қателері туралы біліңіз.Сынақ шарттары орындалмаған барлық сандар құрама болып табылады, бірақ қалған сандар тек қана бәлкімқарапайым болып саналады. Қате нәтижелерден аулақ болғыңыз келсе, іздеңіз n«Кармайкл сандары» (осы сынақты қанағаттандыратын құрама сандар) және «жалған жай Ферма сандары» (бұл сандар тек кейбір мәндер үшін сынақ шарттарына сәйкес келеді) тізімінде а).

    Ыңғайлы болса, Миллер-Рабин сынамасын пайдаланыңыз.Дегенмен бұл әдісҚолмен есептеу үшін өте қиын, ол жиі пайдаланылады компьютерлік бағдарламалар. Ол қолайлы жылдамдықты қамтамасыз етеді және береді аз қателерФерма әдісіне қарағанда. ¼-ден астам мәндер үшін есептеулер жасалса, құрама сан жай сан ретінде қабылданбайды а. Егер сіз кездейсоқ таңдасаңыз әртүрлі мағыналар ажәне олардың барлығы үшін сынақ оң нәтиже береді, біз өте жоғары сенімділікпен болжауға болады nжай сан болып табылады.

  • Үлкен сандар үшін модульдік арифметиканы пайдаланыңыз.Қолыңызда mod функциясы бар калькулятор болмаса немесе калькулятор мұндай әрекеттерге арналмаған болса үлкен сандар, есептеулерді жеңілдету үшін қуат сипаттарын және модульдік арифметиканы пайдаланыңыз. Төменде мысал келтірілген 3 50 (\displaystyle 3^(50))мод 50:

    • Өрнекті көбірек қайта жазыңыз ыңғайлы жол: mod 50. Қолмен есептеулер үшін қосымша жеңілдету қажет болуы мүмкін.
    • (3 25 ∗ 3 25) (\displaystyle (3^(25)*3^(25))) mod 50 = mod 50 mod 50) mod 50. Бұл жерде модульдік көбейтудің қасиетін ескердік.
    • 3 25 (\displaystyle 3^(25))мод 50 = 43.
    • (3 25 (\displaystyle (3^(25)))мод 50 ∗ 3 25 (\displaystyle *3^(25))мод 50) мод 50 = (43 ∗ 43) (\displaystyle (43*43))мод 50.
    • = 1849 (\displaystyle =1849)мод 50.
    • = 49 (\displaystyle=49).

    • Ильяның жауабы дұрыс, бірақ өте егжей-тегжейлі емес. Айтпақшы, 18 ғасырда біреуі әлі де жай сан болып саналды. Мысалы, Эйлер және Голдбах сияқты ірі математиктер. Голдбах мыңжылдықтың жеті тапсырмасының бірі – Гольдбах гипотезасының авторы. Бастапқы тұжырымда кез келген жұп санекі жай санның қосындысы ретінде көрсетіледі. Оның үстіне, бастапқыда 1 жай сан ретінде ескерілді және біз мынаны көреміз: 2 = 1 + 1. Бұл ең кішкентай мысал, бұл гипотезаның бастапқы тұжырымын қанағаттандырады. Кейінірек ол түзетіліп, сөз тіркесі алынды заманауи көрініс: "4-тен басталатын әрбір жұп санды екі жай санның қосындысы ретінде көрсетуге болады."

    Анықтаманы еске түсірейік. Жай сан p - тек 2 түрлі натурал бөлгіші бар p натурал саны: p өзі және 1. Анықтамадан алынған нәтиже: p жай санының бір ғана жай бөлгіші бар - p-тің өзі.

    Енді 1 жай сан болсын. Анықтау бойынша жай санның бір ғана жай бөлгіші бар - өзі. Сонда 1-ден үлкен кез келген жай сан одан айырмашылығы бар жай санға (1-ге) бөлінетіні шығады. Бірақ екі бөлек жай санды бір-біріне бөлуге болмайды, өйткені әйтпесе олар жай емес, құрама сандар және бұл анықтамаға қайшы келеді. Бұл тәсілмен тек 1 жай сан бар екені белгілі болды - бірлік өзі. Бірақ бұл абсурд. Сондықтан 1 жай сан емес.

    1, сондай-ақ 0, сандардың басқа класын - алгебралық өрістің кейбір ішкі жиынындағы n-nar операцияларына қатысты бейтарап элементтер класын құрайды. Сонымен қатар, қосу операциясына қатысты 1 бүтін сандар сақинасының генерациялайтын элементі болып табылады.

    Осыны ескерсек, басқа алгебралық құрылымдардан жай сандардың аналогтарын табу қиын емес. Бізде 1: 2, 4, 8, 16, ... және т.б. бастап 2-нің дәрежелерінен құрылған мультипликативті топ бар делік. 2 мұнда қалыптастырушы элемент ретінде әрекет етеді. Бұл топтағы жай сан ең кіші элементтен үлкен және өзіне және өзіне ғана бөлінетін сан. ең кіші элемент. Біздің топта мұндай қасиет 4-еуінде ғана бар.Болды. Біздің топта енді жай сандар жоқ.

    Егер біздің тобымызда 2 де жай сан болса, онда бірінші абзацты қараңыз - қайтадан тек 2 жай сан екені белгілі болды.


    Бұл мақалада біз зерттейтін боламыз жай және құрама сандар. Алдымен жай және құрама сандарға анықтамалар береміз, сонымен қатар мысалдар келтіреміз. Осыдан кейін біз жай сандар шексіз көп екенін дәлелдейміз. Әрі қарай, біз жай сандар кестесін жазамыз және жай сандар кестесін құрастыру әдістерін қарастырамыз, әсіресе Эратосфен елегі деп аталатын әдіске мұқият тоқталамыз. Қорытындылай келе, біз оны дәлелдеу кезінде ескеру қажет негізгі ойларды атап өтеміз берілген нөмірқарапайым немесе күрделі.

    Бетті шарлау.

    Жай және құрама сандар - анықтамалар мен мысалдар

    Жай сандар және құрама сандар ұғымдары бірден үлкен сандарды білдіреді. Мұндай бүтін сандар өздерінің оң бөлгіштерінің санына қарай жай және құрама сандарға бөлінеді. Сондықтан түсіну үшін жай және құрама сандар анықтамалары, сіз бөлгіштер мен көбейткіштердің не екенін жақсы білуіңіз керек.

    Анықтама.

    жай сандарБірден үлкен, екі оң бөлгіші бар бүтін сандар, атап айтқанда, өздері және 1 .

    Анықтама.

    Құрама сандаркемінде үш оң бөлгіштері бар бірден үлкен бүтін сандар.

    1 саны жай сандарға да, құрама сандарға да қолданылмайтынын бөлек атап өтеміз. Бірліктің тек бір оң бөлгіші бар, ол 1 санының өзі. Бұл 1 санын кемінде екі оң бөлгіші бар барлық басқа натурал сандардан ажыратады.

    Натурал сандар - болатынын және бірлікте бір ғана оң бөлгіш болатынын ескере отырып, жай және құрама сандардың дыбысталған анықтамаларының басқа тұжырымдарын беруге болады.

    Анықтама.

    Жай сандартек екі оң бөлгіші бар натурал сандар.

    Анықтама.

    Құрама сандарекіден көп оң бөлгіштері бар натурал сандар.

    Бірден үлкен әрбір натурал сан не жай сан, не құрама сан екенін ескеріңіз. Басқаша айтқанда, жай да, құрама да емес бірде-бір бүтін сан жоқ. Бұл 1 және а сандары әрқашан кез келген бүтін а санының бөлгіштері болатынын айтатын бөлінгіштік қасиетінен шығады.

    Алдыңғы абзацтағы мәліметтерге сүйене отырып, құрама сандарға мынадай анықтама беруге болады.

    Анықтама.

    Жай сандар емес натурал сандар деп аталады құраушы.

    әкелейік жай және құрама сандар мысалдары.

    Құрама сандарға мысал ретінде біз 6 , 63 , 121 және 6697 сандарын береміз. Бұл мәлімдеме де түсіндіруді қажет етеді. 6 саны, 1 және 6 оң бөлгіштерінен басқа, 2 және 3 бөлгіштеріне де ие, өйткені 6 \u003d 2 3, сондықтан 6 шынымен құрама сан. 63 санының оң бөлгіштері 1 , 3 , 7 , 9 , 21 және 63 сандары . 121 саны 11 11 көбейтіндісіне тең, сондықтан оның оң бөлгіштері 1 , 11 және 121 . Ал 6697 саны құрама, өйткені оның оң бөлгіштері 1 мен 6697-ден басқа 37 және 181 сандары болып табылады.

    Осы абзацты қорытындылай келе, жай сандар мен қосымша жай сандар бір нәрседен алыс екеніне назар аударғым келеді.

    Жай сандар кестесі

    Жай сандар, әрі қарай пайдалану ыңғайлы болу үшін, жай сандар кестесі деп аталатын кестеге жазылады. Төменде жай сандар кестесі 1000 дейін.

    «Неге біз жай сандар кестесін 1000-ға дейін ғана толтырдық, бар барлық жай сандар кестесін құру мүмкін емес пе?» деген логикалық сұрақ туындайды?

    Алдымен осы сұрақтың бірінші бөлігіне жауап берейік. Жай сандарды қамтитын есептердің көпшілігі үшін мыңға дейінгі жай сандар жеткілікті. Басқа жағдайларда, ең алдымен, сізге арнайы шешім әдістеріне жүгінуге тура келеді. Әрине, біз ерікті үлкен соңғы бүтін санға дейінгі жай сандар кестесін жасай аламыз оң сан, ол 10 000 немесе 1 000 000 000 болсын, келесі абзацта жай сандар кестелерін құрастыру әдістері туралы айтатын боламыз, атап айтқанда, деп аталатын әдісті талдаймыз.

    Енді барлық бар жай сандар кестесін құрастыру мүмкіндігін (дәлірек айтсақ, мүмкін еместігін) қарастырайық. Біз барлық жай сандар кестесін жасай алмаймыз, өйткені олардың саны шексіз көп. Соңғы тұжырым - бұл келесі көмекші теоремадан кейін дәлелдейтін теорема.

    Теорема.

    1-ден басқа натурал санның ең кіші оң бөлгіші жай сан.

    Дәлелдеу.

    Болсын a - бірден үлкен натурал сан, ал b - а-ның ең аз оң бір емес бөлгіші. b-ның жай сан екенін қарама-қайшылық арқылы дәлелдейік.

    b құрама сан болсын. Сонда b санының бөлгіші бар (оны b 1 деп белгілейік), ол 1 және b санының екеуінен де ерекшеленеді. Бөлгіштің абсолютті мәні аспайтынын да ескерсек абсолютті мәнбөлінетін (біз мұны бөлінгіштік қасиеттерінен білеміз), онда 1-шарт

    Шарт бойынша а саны b-ға бөлінетіндіктен, ал b-ның b 1-ге бөлінетінін айтқандықтан, бөлінгіштік ұғымы a=b q және b=b 1 болатын q және q 1 бүтін сандарының бар екендігі туралы айтуға мүмкіндік береді. q 1 , мұндағы a= b 1 ·(q 1 ·q) . Осыдан екі бүтін санның көбейтіндісі бүтін сан болатыны шығады, онда a=b 1 ·(q 1 ·q) теңдігі b 1 санының a санының бөлгіші екенін көрсетеді. Жоғарыдағы теңсіздіктерді ескере отырып 1

    Енді біз шексіз көп жай сандар бар екенін дәлелдей аламыз.

    Теорема.

    Шексіз көп жай сандар бар.

    Дәлелдеу.

    Ол емес деп есептейік. Яғни, тек n жай сандар бар делік және бұл жай сандар p 1 , p 2 , …, p n . Көрсетілгеннен басқа жай санды әрқашан таба алатынымызды көрсетейік.

    p 1 ·p 2 ·…·p n +1 тең p санын қарастырайық. Бұл сан p 1 , p 2 , …, p n жай сандарының әрқайсысынан өзгеше екені анық. Егер p саны жай болса, онда теорема дәлелденеді. Егер бұл сан құрама болса, онда алдыңғы теореманың күші бойынша бұл санның жай бөлгіші бар (оны p n+1 деп белгілейік). Бұл бөлгіш p 1 , p 2 , …, p n сандарының ешқайсысымен сәйкес келмейтінін көрсетейік.

    Егер бұлай болмаса, онда бөлінгіштік қасиеттері бойынша p 1 ·p 2 ·…·p n көбейтіндісі p n+1 -ге бөлінетін еді. Бірақ p саны да p n+1-ге бөлінеді, p 1 ·p 2 ·…·p n +1 қосындысына тең. Бұл осы қосындының бірге тең екінші мүшесі p n+1-ге бөлінуі керек дегенді білдіреді және бұл мүмкін емес.

    Осылайша, алдын ала берілген жай сандардың ешбір санына кірмейтін жаңа жай санды әрқашан табуға болатыны дәлелденді. Демек, жай сандар шексіз көп.

    Сонымен, жай сандар шексіз көп болғандықтан, жай сандар кестелерін құрастыру кезінде олар әрқашан жоғарыдан қандай да бір санға дейін шектейді, әдетте 100, 1000, 10000 және т.б.

    Эратосфен елегі

    Енді жай сандар кестесін құрастыру жолдарын қарастырамыз. 100-ге дейінгі жай сандар кестесін жасау керек делік.

    Бұл мәселені шешудің ең айқын әдісі - 2-ден басталып 100-ге дейін аяқталатын натурал сандарды 1-ден үлкен және тексерілетін саннан кіші оң бөлгіштің бар-жоғын ретімен тексеру (бөлінгіштік қасиеттерінен біз бөлгіштің абсолютті мәні дивидендтің абсолютті мәнінен аспайтынын білу, нөлден өзгеше). Егер мұндай бөлгіш табылмаса, онда тексерілетін сан жай сан болып табылады және ол жай сандар кестесіне енгізіледі. Егер мұндай бөлгіш табылса, онда тексерілетін сан құрама болып табылады, ол жай сандар кестесіне ЕНГІЗІЛМЕЙДІ. Осыдан кейін келесі санға көшу бар, ол бөлгіштің бар-жоғына ұқсас тексеріледі.

    Алғашқы бірнеше қадамдарды сипаттап көрейік.

    Біз 2 санынан бастаймыз. 2 санының 1 және 2-ден басқа оң бөлгіштері жоқ. Сондықтан ол жай сандар, сондықтан оны жай сандар кестесіне енгіземіз. Мұнда 2 ең кіші жай сан екенін айту керек. 3 санына көшейік. Оның 1 мен 3-тен басқа мүмкін оң бөлгіші 2. Бірақ 3 саны 2-ге бөлінбейді, сондықтан 3 жай сан, оны жай сандар кестесіне де енгізу керек. 4 санына көшейік. Оның 1 және 4-тен басқа оң бөлгіштері 2 және 3 болуы мүмкін, оларды тексерейік. 4 саны 2-ге бөлінеді, сондықтан 4 құрама сан және оны жай сандар кестесіне енгізудің қажеті жоқ. 4 ең кіші құрама сан екенін ескеріңіз. 5 санына көшейік. 2 , 3 , 4 сандарының кем дегенде біреуі оның бөлгіші екенін тексереміз. 5 саны 2-ге де, 3-ке де, 4-ке де бөлінбейтіндіктен, ол жай сан болып табылады және оны жай сандар кестесінде жазу керек. Содан кейін 100-ге дейін 6, 7 және т.б. сандарға көшу бар.

    Жай сандар кестесін құрастырудың бұл тәсілі идеалдан алыс. Қалай болғанда да, оның өмір сүруге құқығы бар. Бүтін сандар кестесін құрудың бұл әдісімен бөлінгіштік критерийлерін қолдануға болатынын ескеріңіз, бұл бөлгіштерді табу процесін сәл жылдамдатады.

    деп аталатын жай сандар кестесін құрастырудың ыңғайлы тәсілі бар. Атаудағы «елеуіш» сөзі кездейсоқ емес, өйткені бұл әдістің әрекеттері қарапайымды күрделіден ажырату үшін Eratosthenes бүтін сандарын, үлкен бірліктерді елеуіш арқылы «елеуге» көмектеседі.

    50-ге дейінгі жай сандар кестесін құрастыру кезіндегі Эратосфен елеуішінің әрекетін көрсетейік.

    Алдымен 2, 3, 4, ..., 50 сандарын ретімен жазамыз.


    2 деп жазылған бірінші сан жай сан. Енді 2 санынан біз екі санға ретімен оңға жылжып, құрастырылған сандар кестесінің соңына жеткенше осы сандарды сызып тастаймыз. Сонымен екі еселік барлық сандар сызылады.

    2-ден кейінгі бірінші сызылмаған сан - 3 . Бұл сан қарапайым. Енді 3 санынан біз үш санға ретімен оңға жылжып (сызылған сандарды ескере отырып) және оларды сызып тастаймыз. Сонымен үшке еселік барлық сандар сызылады.

    3-тен кейінгі бірінші сызылмаған сан - 5 . Бұл сан қарапайым. Енді 5 санынан оңға қарай ретімен 5 санға жылжытамыз (бұрын сызылған сандарды да ескереміз) және оларды сызып тастаймыз. Сонымен беске еселік барлық сандар сызылады.

    Әрі қарай 7-ге еселік, содан кейін 11-ге еселік және т.б. сандарды сызып тастаймыз. Процесс сызылатын сандар қалмағанда аяқталады. Төменде Эратосфен елеуішінің көмегімен алынған 50-ге дейінгі сандар толтырылған кесте берілген. Барлық қиылыспаған сандар жай сандар, ал барлық сызылған сандар құрама сандар.

    Ератосфен елеуішінің көмегімен жай сандар кестесін құрастыру процесін жылдамдататын теореманы тұжырымдап, дәлелдеп көрейік.

    Теорема.

    Құрама санның ең аз оң бір емес бөлгіші a аспайды, мұндағы а -дан.

    Дәлелдеу.

    Құрама а санының бірліктен ерекшеленетін ең кіші бөлгішін b әрпімен белгілейміз (b саны жай сан, ол алдыңғы абзацтың ең басында дәлелденген теоремадан туындайды). Сонда a=b q (мұнда q – бүтін сандарды көбейту ережелерінен шығатын оң бүтін сан) және (b>q болғанда b а-ның ең кіші бөлгіші деген шарт бұзылады, өйткені q бүтін саны бар. q a=q b ) теңдігіне байланысты a-ның бөлгіші де болып табылады. Теңсіздіктің екі жағын оң және бір бүтін b-дан үлкен санға көбейту (бізге мұны істеуге рұқсат етіледі), біз , қайдан және .

    Эратосфен елеуішіне қатысты дәлелденген теорема бізге не береді?

    Біріншіден, b жай санына еселік болатын құрама сандарды жоюды тең саннан бастау керек (бұл теңсіздіктен шығады). Мысалы, екі еселік сандарды сызып тастау 4 санынан, үшке көбейткіштер - 9 санынан, беске еселік - 25 санынан және т.б.

    Екіншіден, n санына дейінгі жай сандар кестесін Эратосфен елеуішінің көмегімен құрастыру, аспайтын жай сандарға еселік болатын барлық құрама сандарды сызып тастаған кезде аяқталды деп санауға болады. Біздің мысалда n=50 (өйткені біз 50-ге дейінгі жай сандарды кестелеп жатырмыз) және , сондықтан Эратосфен елеуіші 50-нің арифметикалық квадрат түбірінен аспайтын 2 , 3 , 5 және 7 жай сандарының барлық құрама еселіктерін арамшөптерден тазартуы керек. . Яғни, енді 11 , 13 , 17 , 19 , 23 және т.б. 47 -ге дейінгі жай сандарға еселік болатын сандарды іздеп, сызып тастаудың қажеті жоқ, өйткені олар қазірдің өзінде 2 кіші жай сандардың еселіктері ретінде сызылып тасталады. 3, 5 және 7.

    Бұл сан жай немесе құрама сан ба?

    Кейбір тапсырмалар берілген санның жай немесе құрама екенін анықтауды талап етеді. Жалпы жағдайда бұл тапсырма қарапайым емес, әсіресе жазбасы таңбалардың айтарлықтай санынан тұратын сандар үшін. Көп жағдайда оны шешудің белгілі бір жолын іздеу керек. Дегенмен, біз қарапайым жағдайлар үшін ой тізбегіне бағыт беруге тырысамыз.

    Берілген санның құрама екенін дәлелдеу үшін бөлінгіштік критерийлерін қолдануға болатыны сөзсіз. Егер, мысалы, бөлінгіштіктің қандай да бір критерийі берілген санның біреуден үлкен қандай да бір натурал санға бөлінетінін көрсетсе, онда бастапқы сан құрама болады.

    Мысал.

    898 989 898 989 898 989 санының құрама екенін дәлелдеңдер.

    Шешім.

    Бұл санның цифрларының қосындысы 9 8+9 9=9 17 . 9 17-ге тең сан 9-ға бөлінетіндіктен, 9-ға бөлінгіштік критерийі бойынша бастапқы сан да 9-ға бөлінеді деп дәлелдеуге болады. Сондықтан ол композициялық.

    Бұл тәсілдің елеулі кемшілігі – бөлінгіштік критерийлері санның қарапайымдылығын дәлелдеуге мүмкіндік бермейді. Сондықтан, санның жай немесе құрама екенін тексергенде, басқаша әрекет ету керек.

    Ең қисынды тәсіл – берілген санның барлық мүмкін бөлгіштерін санау. Егер мүмкін болатын бөлгіштердің ешқайсысы берілген санның шын бөлгіші болмаса, онда бұл сан жай, әйтпесе ол құрама болады. Алдыңғы абзацта дәлелденген теоремалардан, берілген а санының бөлгіштерін -ден аспайтын жай сандардан іздеу керек екендігі шығады. Осылайша, берілген а санын жай сандарға (жай сандар кестесінен алуға ыңғайлы) ретімен бөлуге болады, а санының бөлгішін табуға тырысады. Егер бөлгіш табылса, онда а саны құрама болады. Егер -ден аспайтын жай сандар арасында а санының бөлгіші болмаса, онда а саны жай болады.

    Мысал.

    Сан 11 723 жай немесе күрделі?

    Шешім.

    11 723 санының бөлгіштері қандай жай санға болатынын білейік. Бұл үшін біз бағалаймыз.

    Бұл өте анық , 200 2 \u003d 40 000 және 11 723 бастап<40 000 (при необходимости смотрите статью сандарды салыстыру). Осылайша, 11 723-тің мүмкін болатын жай бөлгіштері 200-ден аз. Бұл қазірдің өзінде біздің міндетімізді айтарлықтай жеңілдетеді. Егер біз мұны білмесек, онда 200-ге дейін емес, 11 723 санына дейінгі барлық жай сандарды сұрыптауымыз керек еді.

    Қаласаңыз, дәлірек бағалауға болады. 108 2 \u003d 11 664 және 109 2 \u003d 11 881, содан кейін 108 2 болғандықтан<11 723<109 2 , следовательно, . Осылайша, 109-дан кіші жай сандар берілген 11,723 санының ықтимал жай бөлгіші болып табылады.

    Енді 11 723 санын 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 56 , 56 , 11 723 сандарына ретімен бөлеміз. 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 . Егер 11 723 саны жазылған жай сандардың біріне толығымен бөлінсе, онда ол құрама болады. Егер ол жазылған жай сандардың ешқайсысына бөлінбесе, онда бастапқы сан жай сан болады.

    Біз бұл монотонды және монотонды бөлу процесін сипаттамаймыз. Айталық, 11 723

    Сандар әртүрлі: натурал, натурал, рационал, бүтін және бөлшек, оң және теріс, күрделі және жай, тақ және жұп, нақты және т.б. Бұл мақаладан жай сандардың не екенін білуге ​​болады.

    Қандай сандар ағылшынның «қарапайым» сөзі деп аталады?

    Көбінесе мектеп оқушылары математикадағы ең қарапайым болып көрінетін сұрақтардың біріне қалай жауап беру керектігін білмейді, жай санның не екендігі туралы. Олар көбінесе жай сандарды натурал сандармен шатастырады (яғни, адамдар объектілерді санау кезінде қолданатын сандар, ал кейбір көздерде олар нөлден басталады, ал басқаларында - бірден басталады). Бірақ бұл екі мүлдем басқа ұғымдар. Жай сандар - натурал сандар, яғни бірден үлкен және тек 2 натурал бөлгіші бар бүтін және оң сандар. Бұл жағдайда бұл бөлгіштердің бірі берілген сан, ал екіншісі бірлік болады. Мысалы, үш жай сан, өйткені ол өзінен және бір саннан басқа ешбір санға біркелкі бөлінбейді.

    Құрама сандар

    Жай сандарға қарама-қарсы сандар құрама сандар. Олар да табиғи, сонымен бірге біреуден үлкен, бірақ екі емес, көп бөлгіштер бар. Сонымен, мысалы, 4, 6, 8, 9 және т.б. сандар натурал, құрама, бірақ жай сандар емес. Көріп отырғаныңыздай, бұл негізінен жұп сандар, бірақ бәрі емес. Бірақ «екі» жұп сан және жай сандар қатарындағы «бірінші сан».

    Кіші реттілік

    Жай сандар қатарын құру үшін олардың анықтамасын ескере отырып, барлық натурал сандардан таңдау жасау керек, яғни қарама-қайшылықпен әрекет ету керек. Оның екіден көп бөлгіші бар ма деген тақырыпта натурал оң сандардың әрқайсысын қарастыру қажет. Жай сандардан тұратын қатарды (тізбекті) құрастырып көрейік. Тізім екіден басталады, содан кейін үш келеді, өйткені ол тек өзіне және біреуге бөлінеді. Төрт санына назар аударыңыз. Оның төрт пен бірден басқа бөлгіштері бар ма? Иә, бұл сан 2. Демек, төрт жай сан емес. Бес де жай (1 мен 5-тен басқа, ол басқа санға бөлінбейді), бірақ алты саны бөлінеді. Жалпы, егер сіз барлық жұп сандарды ұстанатын болсаңыз, «екіден» басқа олардың ешқайсысы жай сандар емес екенін байқайсыз. Бұдан біз екіден басқа жұп сандар жай сандар емес деген қорытындыға келеміз. Тағы бір жаңалық: үштіктің өзінен басқа үшке бөлінетін барлық сандар, жұп немесе тақ сандар да жай сандар емес (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, т.б.). Бұл беске және жетіге бөлінетін сандарға да қатысты. Олардың жиынтығы да қарапайым емес. Қорытындылайық. Сонымен, бір және тоғыздан басқа барлық тақ сандар қарапайым бір таңбалы сандарға жатады, ал жұп сандардан тек «екі» ғана. Ондықтардың өзі (10, 20,... 40, т.б.) жай сандар емес. Екі таңбалы, үш таңбалы және т.б. жай сандарды жоғарыда келтірілген принциптерге сүйене отырып анықтауға болады: егер олардың өзінен және біреуден басқа бөлгіштері болмаса.

    Жай сандардың қасиеттері туралы теориялар

    Бүтін сандардың, соның ішінде жай сандардың қасиеттерін зерттейтін ғылым бар. Бұл жоғары деп аталатын математиканың бір саласы. Ол бүтін сандардың қасиеттерінен басқа алгебралық, трансценденттік сандармен, сондай-ақ осы сандардың арифметикасымен байланысты әртүрлі шығу тегі функцияларымен айналысады. Бұл зерттеулерде элементар және алгебралық әдістермен қатар аналитикалық және геометриялық әдістер де қолданылады. Атап айтқанда, жай сандарды зерттеу «Сандар теориясымен» айналысады.

    Жай сандар натурал сандардың «құрылыс материалы» болып табылады

    Арифметикада негізгі теорема деп аталатын теорема бар. Оған сәйкес, бірліктен басқа кез келген натурал санды көбейтінді ретінде көрсетуге болады, оның көбейткіштері жай сандар, ал көбейткіштердің реті бірегей, яғни бейнелеу әдісі бірегей. Натурал санның жай көбейткіштерге ыдырауы деп аталады. Бұл процестің басқа атауы бар - сандарды көбейткіштерге бөлу. Осыған сүйене отырып, жай сандарды «құрылыс материалы», натурал сандарды құруға арналған «блоктар» деп атауға болады.

    Жай сандарды іздеу. Қарапайымдылық сынақтары

    Әр түрлі дәуірдегі көптеген ғалымдар жай сандар тізімін табудың кейбір принциптерін (жүйесін) табуға тырысты. Ғылым Аткин елегі, Сундартам елегі, Эратосфен елегі деп аталатын жүйелерді біледі. Бірақ олар айтарлықтай нәтиже бермейді, жай сандарды табу үшін қарапайым тест қолданылады. Алгоритмдерді де математиктер жасаған. Олар біріншілік сынақтары деп аталады. Мысалы, Рабин мен Миллер әзірлеген тест бар. Оны криптографтар пайдаланады. Сондай-ақ Каяла-Агравала-Саскена сынағы бар. Дегенмен, оның жеткілікті дәлдігіне қарамастан, оны есептеу өте қиын, бұл оның практикалық құндылығын төмендетеді.

    Жай сандар жиынының шегі бар ма?

    Жай сандар жиынының шексіздік екендігі ежелгі грек ғалымы Евклидтің «Бастаулар» кітабында жазылған. Ол былай деді: «Бір сәт жай сандардың шегі бар екенін елестетіп көрейік. Содан кейін оларды бір-біріне көбейтіп, көбейтіндіге бір қосайық. Осы қарапайым амалдардың нәтижесінде алынған санды жай сандар қатарының ешқайсысына бөлуге болмайды, өйткені қалдық әрқашан бір болады. Бұл жай сандар тізіміне әлі қосылмаған басқа сан бар дегенді білдіреді. Демек, біздің болжам дұрыс емес және бұл жиынның шегі болуы мүмкін емес. Евклидтің дәлелдеуінен басқа, XVIII ғасырдағы швейцар математигі Леонхард Эйлер берген заманауи формуласы бар. Оның ойынша, қосынды, бірінші n санның қосындысының кері мәні n санының өсуімен шексіз өседі. Жай сандарды бөлуге қатысты теореманың формуласы мынада: (n) n / ln (n) сияқты өседі.

    Ең үлкен жай сан қандай?

    Леонард Эйлер өз уақытындағы ең үлкен жай санды таба алды. Бұл 2 31 - 1 = 2147483647. Алайда 2013 жылға қарай жай сандар тізіміндегі тағы бір ең дәл ең үлкені есептелді - 2 57885161 - 1. Ол Мерсен саны деп аталады. Онда шамамен 17 миллион ондық цифр бар. Көріп отырғаныңыздай, он сегізінші ғасырдағы ғалым тапқан сан осыдан бірнеше есе аз. Бұлай болуы керек еді, өйткені Эйлер бұл есептеуді қолмен жасады, бірақ біздің замандасымызға компьютер көмектескен шығар. Оның үстіне бұл сан Америка кафедраларының біріндегі математика кафедрасында алынған. Осы ғалымның атымен аталған сандар Люк-Лемер қарапайымдылық сынағынан өтеді. Дегенмен, ғылым мұнымен тоқтап қалғысы келмейді. 1990 жылы Америка Құрама Штаттарында (EFF) негізі қаланған «Электрондық шекара» қоры үлкен сандарды тапқаны үшін ақшалай сыйлық ұсынды. Ал 2013 жылға дейін сыйлық 1 және 10 миллион ондық сандар арасынан табатын ғалымдарға берілсе, бүгінде бұл көрсеткіш 100 миллионнан 1 миллиардқа жетті. Жүлделер 150-ден 250 мың АҚШ долларына дейін.

    Арнайы жай сандардың атаулары

    Белгілі бір ғалымдар жасаған алгоритмдердің арқасында табылған және қарапайымдылық сынағынан өткен сандар арнайы деп аталады. Мұнда олардың кейбіреулері бар:

    1. Мерсин.

    4. Каллен.

    6. Миллс және т.б.

    Жоғарыда аталған ғалымдардың атымен аталған бұл сандардың қарапайымдылығы келесі сынақтар арқылы анықталады:

    1. Лукас-Лемер.

    2. Пепина.

    3. Ризель.

    4. Биллхарт – Лемер – Селфридж және т.б.

    Заманауи ғылым мұнымен тоқтап қалмайды, ең үлкен жай санды табу арқылы 250 000 доллар жүлде ұтып алғандардың есімін таяу болашақта әлем білетін шығар.