1. Прямий чистий вигин Поперечний вигин- деформація стрижня силами, перпендикулярними до осі (поперечними) та парами, площини дії яких перпендикулярні до нормальних перерізів. Стрижень, що працює на вигин, називають балкою. При прямому чистому вигині в поперечному перерізістрижня виникає лише один силовий фактор - згинальний момент Mz. Так як Qy = d. Mz/dx=0, Mz=const і чистий прямий вигин може бути реалізований при навантаженні стрижня парами сил, прикладеними в торцевих перерізах стрижня. σ Оскільки згинальний момент Mz за визначенням дорівнює сумі моментів внутрішніх сил щодо осі Оz з нормальними напругами його пов'язує рівняння статики, що викає з цього визначення:

Аналіз напруженого стану при чистому вигині Проаналізуємо деформації моделі стрижня на бічній поверхні якого нанесена сітка поздовжніх і поперечних рисок: Оскільки поперечні ризики при вигині стрижня парами сил, прикладеними в торцевих перерізах, залишаються прямими і перпендикулярними до викривлених поздовжніх ризиків, це дозволяє зробити висновок гіпотези плоских перерізів, а отже Заміряючи зміну відстаней між поздовжніми ризиками, приходимо до висновку про справедливість гіпотези про ненатискання поздовжніх волокон, тобто з усіх компонентів тензора напруг при чистому вигині не дорівнює нулю тільки напруга σx=σ і чистий прямий згин призмат зводиться до одновісного розтягування або стиснення поздовжніх волокон напругою σ. При цьому частина волокон знаходиться в зоні розтягування (на рис. це-нижні волокна), а інша частина-в зоні стиснення (верхні волокна). Ці зони розділені нейтральним шаром (n-n), що не змінює своєї довжини, напруги в якому рівні нулю.

Правило знаків згинальних моментів Правила знаків моментів у задачах теоретичної механіки та опору матеріалів не збігаються. Причина цього у відмінності аналізованих процесів. У теоретичній механіці аналізованим процесом є рух або рівновага твердих тілтому два моменти на малюнку прагнуть повернути Mz стрижень в різні сторони(правий момент за годинниковою стрілкою, а лівий – проти) мають завдання теоретичної механіки різний знак. У завданнях сопромату розглядаються напруги і деформації, що виникають у тілі. З цієї точки зору обидва моменти викликають у верхніх волокнах напруги стиснення, а в нижніх напруги розтягування, тому моменти мають однаковий знак. Правила знаків згинальних моментів щодо перерізу С-Спредставлені на схемі:

Розрахунок значень напруги при чистому вигині Виведемо формули для розрахунку радіуса кривизни нейтрального шару і нормальних напруг у стрижні. Розглянемо призматичний стрижень за умов прямого чистого згину з поперечним перерізом, симетричним щодо вертикальної осі Oy. Ось Ox помістимо на нейтральному шарі, положення якого наперед невідоме. Зазначимо, що сталість поперечного перерізу призматичного стрижня і згинального моменту (Mz=сonst) забезпечує сталість радіуса кривизни нейтрального шару по довжині стрижня. При згинанні з постійною кривизною нейтральний шар стрижня стає дугою кола, обмеженого кутом φ. Розглянемо вирізаний із стрижня нескінченно малий елемент завдовжки dx. При згинанні він перетвориться на нескінченно малий елемент дуги, обмежений нескінченно малим кутом dφ. φ ρ dφ З урахуванням залежностей між радіусом кола, кутом та довжиною дуги:

Оскільки інтерес становлять деформації елемента, зумовлені відносним зміщенням його точок, одне з торцевих перерізів елемента вважатимуться нерухомим. Зважаючи на дещицю dφ вважаємо, що точки поперечного перерізу при повороті на цей кут переміщуються не по дугах, а по відповідних дотичних. Обчислимо відносну деформацію поздовжнього волокна АВ, що віддаляється від нейтрального шару на у. лінійною функцієювідстані від нейтрального шару, що є наслідком закону плоских перерізів. Тоді нормальна напруга, що розтягує волокно АВ, на підставі закону Гука дорівнюватиме:

Отримана формула не придатна для практичного використання, Оскільки містить дві невідомі: кривизну нейтрального шару 1/ρ і положення нейтральної осі Ох, від якої відраховується координата у. Для визначення цих невідомих скористаємось рівняннями рівноваги статики. Перше висловлює вимогу рівності нулю поздовжньої сили Підставляючи в це рівняння вираз для σ: і враховуючи, що, отримуємо, що: осі (осі, що проходить через центр тяжкості перерізу). Тому нейтральна вісь Ох проходить через центр тяжіння поперечного перерізу. Другим рівнянням рівноваги статики є, що зв'язує нормальну напругу з згинальним моментом. Підставляючи в це рівняння вираз для напруги, отримаємо:

Інтеграл в отриманому рівнянні раніше вивчений: Jz-момент інерції щодо осі Оz. Відповідно до обраного положення осей координат він головний центральний момент інерції перерізу. Отримуємо формулу для кривизни нейтрального шару: Кривизна нейтрального шару 1/ρ є мірою деформації стрижня при чистому прямому вигині. Кривизна тим менша, чим більша величина EJz, звана жорсткістю поперечного перерізу при згинанні. Підставляючи вираз у формулу для σ, отримуємо: Таким чином, нормальні напруги при чистому згині призматичного стрижня є лінійною функцією координати і досягають найбільших значеньу волокнах, найбільш віддалених від нейтральної осі. геометрична характеристика, що має розмірність м 3 називається момент опору при згинанні.

Визначення моментів опору Wz поперечних перерізів - У найпростіших фігур у довіднику (лекція 4) або розрахувати самостійно - У стандартних профілів у сортаменті ГОСТ

Розрахунок на міцність при чистому вигині Проектувальний розрахунок Умова міцності при розрахунку чистого вигину матиме вигляд: З цієї умови визначають Wz, а далі або підбирають потрібний профіль із сортаменту стандартного прокату, або за геометричними залежностями розраховують розміри перерізу. При розрахунку балок з крихких матеріалів слід розрізняти найбільші розтягувальні та найбільші стискаючі напруги, які порівнюються відповідно з напругами, що допускаються на розтягування і стиск. Умов міцності в цьому випадку буде дві, окремо по розтягуванню і по стиску: Тут - відповідно напруги, що допускаються на розтягування і на стиск.

2. Прямий поперечний вигин τxy τxz σ При прямому поперечному згині в перерізах стрижня виникає згинальний момент Мz і поперечна сила Qy, які пов'язані з нормальними і дотичними напругами , Незастосовна, оскільки через зрушення, що викликаються дотичними напругами, відбувається депланація (викривлення) поперечних перерізів, тобто порушується гіпотеза плоских перерізів. Однак для балок з висотою перерізу h

При виведенні умови міцності при чистому згині використовувалася гіпотеза про відсутність поперечної взаємодії поздовжніх волокон. При поперечному згині спостерігаються відхилення від цієї гіпотези: а) у місцях застосування зосереджених сил. Під зосередженою силою напруги поперечної взаємодії σy можуть бути досить великі й у багато разів перевищувати поздовжні напруги, убуючи при цьому відповідно до принципу Сен-Венана, у міру віддалення від точки докладання сили; б) у місцях застосування розподілених навантажень. Так, у випадку, наведеному на рис, напруження від тиску на верхні волокна балки. Порівнюючи їх із поздовжніми напругами σz, що мають порядок: приходимо до висновку, що напруги σy

Розрахунок дотичних напруг при прямому поперечному згині Приймемо, що дотичні напруги рівномірно розподілені по ширині поперечного перерізу. Безпосереднє визначення напруг τyx важко, тому знаходимо рівні їм дотичні напруги τxy, що виникають на поздовжньому майданчику з координатою у елемента довжиною dx, вирізаного з балки z x Mz

Від цього елемента поздовжнім перетином, віддаленим від нейтрального шару на у, відсікаємо верхню частину, Замінюючи дію відкинутої нижньої частини дотичними напругами τ. Нормальні напруги σ і σ+dσ , що діють на торцевих майданчиках елемента, також замінимо їх рівнодіючими y Mz τ Mz+d. Mz by y z Qy Qy +d. Qy dx N + d N d. T статичний момент відсіченої частини площі поперечного перерізу відносно осі Оz. Розглянемо умову рівноваги відсіченого елемента склавши йому рівняння статики Nω dx b

звідки після нескладних перетворень, враховуючи, що отримаємо Формула Журавського Kасавальні напруги по висоті перерізу змінюються за законом квадратичної параболи, досягаючи максимуму на нейтральній осі Mz z Враховуючи, що найбільші нормальні напруги виникають у крайніх волокнах, де дотичні напруги відсутні, багатьох випадках мають місце в нейтральному шарі, де нормальні напруги дорівнюють нулю, умови міцності в цих випадках формулюються роздільно за нормальними і дотичними напругами

3. Складові балкипри згинанні Дотичні напруження в поздовжніх перерізах є виразом існуючого зв'язку між шарами стрижня при поперечному згинанні. Якщо цей зв'язок у деяких шарах порушено, характер вигину стрижня змінюється. У стрижні, складеному з листів, кожен лист за відсутності сил тертя згинається самостійно. Згинальний момент рівномірно розподіляється між складовими листами. Максимальне значення згинального моменту буде в середині балки і буде рівним. Mz = P · l. Найбільша нормальна напруга в поперечному перерізі листа дорівнює:

Якщо листи щільно стягнути досить жорсткими болтами, стрижень згинатиметься як цілий. У цьому випадку найбільша нормальна напруга виявляється у n разів меншою, тобто в поперечних перерізах болтів при згинанні стрижня виникають поперечні сили. Найбільша поперечна сила буде у перерізі, що збігається з нейтральною площиною вигнутого стрижня.

Цю силу можна визначити з рівності сум поперечних сил у перерізах болтів та поздовжньої рівнодіючої дотичної напруги у разі цілого стрижня: де m - число болтів. Порівняємо зміну кривизни стрижня в закладенні у разі пов'язаного та незв'язаного пакетів. Для пов'язаного пакета: Для незв'язаного пакета: Пропорційно змінам кривизни змінюються і прогини. Таким чином, порівняно з цілим стрижнем набір вільно складених листів виявляється у n 2 разів більш гнучким і лише у n разів менш міцним. Цю різницю в коефіцієнтах зниження жорсткості і міцності під час переходу до листового пакету використовують практично під час створення гнучких ресорних підвісок. Сили тертя між листами підвищують жорсткість пакета, оскільки частково відновлюють дотичні сили між шарами стрижня, усунені під час переходу до листового пакета. Ресори потребують тому мастила листів і їх слід оберігати від забруднення.

4. Раціональні форми поперечних перерізів при згинанні Найбільш раціональним є переріз, що володіє мінімальною площею при заданому навантаженні на балку. У цьому випадку витрата матеріалу на виготовлення балки буде мінімальною. Для отримання балки мінімальної матеріаломісткості потрібно прагнути до того, щоб по можливості найбільший обсяг матеріалу працював при напругах, рівних допустимим або близьким до них. Насамперед раціональний переріз балки при згині має задовольняти умові рівноміцності розтягнутої та стисненої зон балки. Для цього необхідно, щоб найбільша напруга розтягування і найбільша напруга стиснення одночасно досягали напруг, що допускаються. Приходимо до раціонального для пластичного матеріалуперерізу у формі симетричного двотавра, у якого можливо більша частинаматеріалу зосереджена на полицях, з'єднаних стінкою, товщина якої призначається з умов міцності стінки дотичних напруг. . До двотаврого перерізу близько за критерієм раціональності так званий коробчастий переріз

Для балок з крихкого матеріалу найбільш раціональним буде переріз у формі несиметричного двотавра, що задовольняє умові рівноміцності на розтяг і стиснення, яке випливає з вимоги. сталей, а також алюмінію та алюмінієвих сплавів. а-двутавр, б-швеллер, в - нерівнобокий куточок, холодногнуті замкнуті г-рівнобокий куточок. зварні профілі

Гіпотезу плоских перерізів при згинанніможна пояснити на прикладі: нанесемо на бічній поверхні недеформованої балки сітку, що складається з поздовжніх та поперечних (перпендикулярних до осі) прямих ліній. В результаті вигину балки поздовжні лінії приймуть криволінійне обрис, а поперечні практично залишаться прямими і перпендикулярними до вигнутої осі балки.

Формулювання гіпотези плоских перерізів: поперечні перерізи, плоскі та перпендикулярні до осі балки до , залишаються плоскими та перпендикулярними до вигнутої осі після її деформації.

Ця обставина свідчить: якщо виконується гіпотеза плоских перерізів, як при і

Крім гіпотези плоских перерізів приймається припущення: поздовжні волокна балки при її згинанні не натискають один на одного.

Гіпотезу плоских перерізів та припущення називають гіпотезою Бернуллі.

Розглянемо балку прямокутного поперечного перерізу, що зазнає чистого вигину (). Виділимо елемент балки завдовжки (рис. 7.8. а). В результаті вигину поперечні перерізи балки повернуться, утворивши кут. Верхні волокна зазнають стиску, а нижні розтягування. Радіус кривизни нейтрального волокна позначимо.

Умовно вважаємо, що волокна змінюють свою довжину, залишаючись у своїй прямими (рис. 7.8. б). Тоді абсолютне та відносне подовження волокна, що віддаляється на відстані y від нейтрального волокна:

Покажемо, що поздовжні волокна, які не випробовують при згинанні балки ні розтягування, ні стискування, проходять через головну центральну вісь x.

Оскільки довжина балки при згинанні не змінюється, поздовжнє зусилля (N), що виникає в поперечному перерізі, має дорівнювати нулю. Елементарне поздовжнє зусилля.

З урахуванням виразу :

Множник можна винести за знак інтеграла (не залежить від змінної інтеграції).

Вираз представляє поперечного перерізу балки щодо нейтральної осі x. Він дорівнює нулю, коли нейтральна вісь проходить через центр тяжіння поперечного перерізу. Отже, нейтральна вісь (нульова лінія) при згинанні балки проходить через центр тяжіння поперечного перерізу.

Очевидно: згинальний момент пов'язаний з нормальними напругами, що виникають у точках поперечного перерізу стрижня. Елементарний згинальний момент, що створюється елементарною силою:

,

де - осьовий момент інерції поперечного перерізу щодо нейтральної осі x, а відношення - кривизна осі балки.

Жорсткість балки при згинанні(Чим більше, тим менше радіус кривизни).

Отримана формула являє собою закон Гука при вигині для стрижня: згинальний момент, що виникає в поперечному перерізі, пропорційний кривизні осі балки.

Висловлюючи з формули закону Гука для стрижня при згинанні радіус кривизни () і підставляючи його значення формулу , Отримаємо формулу для нормальних напруг () у довільній точці поперечного перерізу балки, що віддаляється на відстані y від нейтральної осі x : .

У формулу для нормальних напруг () у довільній точці поперечного перерізу балки слід підставляти абсолютні значення згинального моменту () та відстані від точки до нейтральної осі (координати y). Чи напруга в даній точці розтягує або стискає легко встановити за характером деформації балки або по епюрі згинальних моментів, ординати якої відкладаються з боку стиснутих волокон балки.

З формули видно: нормальні напруги () змінюються за висотою поперечного перерізу балки за лінійним законом. На рис. 7.8, показана епюра . Найбільші напруження при згинанні балки виникають у точках, найбільш віддалених від нейтральної осі. Якщо в поперечному перерізі балки провести лінію, паралельну нейтральній осі x, то у всіх її точках виникають однакові нормальні напруги.

Нескладний аналіз епюри нормальних напругпоказує, при згинанні балки матеріал, розташований поблизу нейтральної осі, практично не працює. Тому з метою зниження ваги балки рекомендується вибирати такі форми поперечного перерізу, у яких більша частина матеріалу віддалена від нейтральної осі, як, наприклад, двотаврового профілю.

Сили, що діють перпендикулярно до осі бруса і розташовані в площині, що проходить через цю вісь, викликають деформацію, яка називається поперечним вигином. Якщо площина дії згаданих сил – головна площина, то має місце прямий (плоский) поперечний згин. В іншому випадку вигин називається косим поперечним. Брус, схильний переважно до вигину, називається балкою 1 .

По суті поперечний згин є поєднання чистого згину та зсуву. У зв'язку з викривленням поперечних перерізів через нерівномірність розподілу зсувів по висоті виникає питання про можливість застосування формули нормальної напруги σ хвиведеної для чистого вигину на підставі гіпотези плоских перерізів

1 Однопрогонова балка, що має по кінцях відповідно одну циліндричну нерухому опору і одну циліндричну рухому в напрямку осі балки, називається простий. Балка з одним защемленим та іншим вільним кінцем називається консоллю. Проста балка, що має одну або дві частини, що звисають за опору, називається консольної.

Якщо, крім того, перерізи взяті далеко від місць застосування навантаження (на відстані, не меншій за половину висоти перерізу бруса), то можна, як і у разі чистого вигину, вважати, що волокна не чинять тиску один на одного. Значить, кожне волокно відчуває одновісне розтягування чи стискування.

При дії розподіленого навантаження поперечні сили у двох суміжних перерізах відрізнятимуться на величину, рівну qdx. Тому викривлення перерізів також дещо відрізнятимуться. Крім того, волокна будуть чинити тиск один на одного. Ретельне дослідження питання показує, що якщо довжина бруса lдосить велика в порівнянні з його висотою h (l/ h> 5), те й за розподіленої навантаженні зазначені чинники не мають істотного впливу нормальні напруги у поперечному перерізі і тому в практичних розрахунках можуть враховуватися.

а Б В

Мал. 10.5 Мал. 10.6

У перерізах під зосередженими вантажами та поблизу них розподіл σ хвідхиляється від лінійного закону. Це відхилення, що носить місцевий характер і не супроводжується збільшенням найбільшої напруги (у крайніх волокнах), на практиці зазвичай не беруть до уваги.

Таким чином, при поперечному згині (у площині ху) нормальні напруги обчислюються за формулою

σ х= – [М z(x)/I z]y.

Якщо проведемо два суміжні перерізи на ділянці бруса, вільному від навантаження, то поперечна сила в обох перерізах буде однакова, а отже, однаково викривлення перерізів. При цьому будь-який відрізок волокна ab(Мал.10.5) переміститься в нове положення a"b", не зазнавши додаткового подовження, а отже, не змінюючи величину нормальної напруги.

Визначимо дотичні напруги в поперечному перерізі через парні їм напруги, що діють у поздовжньому перерізі бруса.

Виділимо з бруса елемент завдовжки dx(Рис. 10.7 а). Проведемо горизонталь-ний перетин на відстані увід нейтральної осі z, Що розділило елемент на дві частини (рис. 10.7) і розглянемо рівновагу верхньої частини, що має основу

ня шириною b. Відповідно до закону парності дотичних напруг, напруги, що діють у поздовжньому перерізі, рівні напругам, що діють у поперечному перерізі. З огляду на це припущення про те, що дотичні напруги в майданчику bрозподілені рівномірно використовуємо умову ΣХ = 0, отримаємо:

N * - (N * + dN *) +

де: N * - рівнодіюча нормальних сил у лівому поперечному перерізі елемента dx в межах "відсіченої" майданчика А * (рис. 10.7 г):

де: S = - статичний момент "відсіченої" частини поперечного перерізу (заштрихована площа на рис. 10.7 в). Отже, можна записати:

Тоді можна записати:

Ця формула була отримана в XIX столітті російським вченим та інженером Д.І. Журавським і має його ім'я. І хоча ця формула наближена, оскільки усереднює напругу по ширині перерізу, але отримані результати розрахунку за нею непогано узгоджуються з експериментальними даними.

Для того, щоб визначити дотичні напруги в довільній точці перерізу віддаленої на відстані y від осі z слід:

Визначити з епюри величину поперечної сили Q, що у перерізі;

Обчислити момент інерції I z перерізу;

Провести через цю точку площину паралельну площині xzта визначити ширину перерізу b;

Обчислити статичний момент відсіченої площі Щодо головної центральної осі zі підставити знайдені величини формулу Жура-вского.

Визначимо як приклад дотичні напруги в прямокутному поперечному перерізі (рис. 10.6, в). Статичний момент щодо осі zчастини перерізу вище лінії 1-1, на якій визначається напруга запишемо у вигляді:

Він змінюється згідно із законом квадратної параболи. Ширина перерізу вдля прямокутного бруса постійна, то параболічним буде закон зміни дотичних напруг у перерізі (рис.10.6, в). При y =і у = − дотичні напруги дорівнюють нулю, а на нейтральній осі zвони сягають найбільшого значення.

Для балки круглого поперечного перерізу на нейтральній осі маємо.

Прямий вигин- Це вид деформації, при якому в поперечних перерізах стрижня виникають два внутрішніх силових фактори: згинальний момент і поперечна сила.

Чистий вигин– це окремий випадокпрямого вигину, при якому в поперечних перерізах стрижня виникає тільки згинальний момент, а поперечна сила дорівнює нулю.

Приклад чистого вигину – ділянка CDна стрижні AB. Згинальний момент– це величина Paпари зовнішніх сил, Що викликає згин. З рівноваги частини стрижня ліворуч від поперечного перерізу mnслід, що внутрішні зусилля, розподілені за цим перерізом, статично еквівалентні моменту M, рівному і протилежно спрямованому згинальний момент Pa.

Щоб знайти розподіл цих внутрішніх зусиль з поперечного перерізу, необхідно розглянути деформацію стрижня.

У найпростішому випадку стрижень має поздовжню площину симетрії і піддається дії зовнішніх згинальних пар сил, що знаходяться в цій площині. Тоді вигин буде відбуватися у тій же площині.

Вісь стрижня nn 1- Це лінія, що проходить через центри тяжкості його поперечних перерізів.

Нехай поперечний переріз стрижня прямокутник. Нанесемо на його межі дві вертикальні лінії mmі pp. При згинанні ці лінії залишаються прямолінійними і повертаються так, що залишаються перпендикулярними поздовжнім волокнам стрижня.

Подальша теорія вигину ґрунтується на припущенні, що не тільки лінії mmі ppале весь плоский поперечний переріз стрижня залишається після вигину плоским і нормальним до поздовжніх волокон стрижня. Отже, при згинанні поперечні перерізи mmі ppповертаються відносно один одного навколо осей, перпендикулярних до площини вигину (площини креслення). При цьому поздовжні волокна на опуклій стороні зазнають розтягування, а волокна на увігнутій стороні – стиск.

Нейтральна поверхня- Це поверхня, що не відчуває деформації при згинанні. (Зараз вона розташована перпендикулярно до креслення, деформована вісь стрижня nn 1належить цій поверхні).

Нейтральна вісь перерізу- це перетин нейтральної поверхні з будь-яким з будь-яким поперечним перерізом (зараз теж розташована перпендикулярно кресленню).

Нехай довільне волокно знаходиться на відстані yвід нейтральної поверхні. ρ - Радіус кривизни вигнутої осі. Крапка O- Центр кривизни. Проведемо лінію n 1 s 1паралельно mm.ss 1- Абсолютне подовження волокна.

Відносне подовження ε xволокна

З цього виходить що деформації поздовжніх волоконпропорційні відстані yвід нейтральної поверхні і обернено пропорційні радіусу кривизни ρ .

Поздовжнє подовження волокон опуклої сторони стрижня супроводжується бічним звуженням, а поздовжнє укорочення увігнутої сторони – бічним розширенням, як у разі простого розтягування та стиснення. Через це вигляд усіх поперечних перерізів змінюється, вертикальні сторони прямокутника стають похилими. Деформація у бічному напрямку z:

μ - коефіцієнт Пуассона.

Внаслідок такого спотворення всі прямі лінії поперечного перерізу, паралельні осі z, викривляються те щоб залишитися нормальними до бічним сторонам перерізу. Радіус кривизни цієї кривої Rбуде більше, ніж ρ у такому ж відношенні, в якому ε x за абсолютної величинибільше ніж ε z , і ми отримаємо

Цим деформаціям поздовжніх волокон відповідають напруги.

Напруга в будь-якому волокні пропорційна його відстані від нейтральної осі n 1 n 2. Положення нейтральної осі та радіус кривизни ρ – дві невідомі у рівнянні для σ x – можна визначити з умови, що зусилля, розподілені за будь-яким поперечним перерізом, утворюють пару сил, що врівноважує зовнішній момент M.

Все вищесказане також справедливо, якщо стрижень не має поздовжню площину симетрії, в якій діє згинальний момент, аби тільки згинальний момент діяв в осьовій площині, яка містить одну з двох головних осейпоперечного перерізу. Ці площини називаються головними площинами вигину.

Коли є площина симетрії і момент, що згинає, діє в цій площині, прогин відбувається саме в ній. Моменти внутрішніх зусиль щодо осі zврівноважують зовнішній момент M. Моменти зусиль щодо осі yвзаємно знищуються.

Загальні концепції.

Деформація вигинуполягає у викривленні осі прямого стрижня або зміні початкової кривизни прямого стрижня(Рис. 6.1) . Ознайомимося з основними поняттями, що використовуються під час розгляду деформації вигину.

Стрижні, що працюють на вигин, називаютьбалками.

Чистим називається вигин, при якому згинальний момент є єдиним внутрішнім силовим фактором, що виникає в поперечному перерізі балки.

Найчастіше, у поперечному перерізі стрижня поряд із згинальним моментом виникає також і поперечна сила. Такий вигин називають поперечним.

Плоським (прямим) називають вигин, коли площина дії згинального моменту в поперечному перерізі проходить через одну з головних центральних осей поперечного перерізу.

При косому вигині площина дії згинального моменту перетинає поперечний переріз балки по лінії, що не збігається з жодною з головних центральних осей поперечного перерізу.

Вивчення деформації вигину почнемо з нагоди чистого плоского вигину.

Нормальні напруги та деформації при чистому вигині.

Як уже було сказано, при чистому плоскому згині в поперечному перерізі з шести внутрішніх силових факторів не дорівнює нулю тільки згинальний момент (рис. 6.1, в):

; (6.1)

Досліди, поставлені на еластичних моделях, показують, що якщо на поверхню моделі нанести сітку ліній(Рис. 6.1, а) , то при чистому вигині вона деформується наступним чином (рис. 6.1, б):

а) поздовжні лінії викривляються по довжині кола;

б) контури поперечних перерізів залишаються пласкими;

в) лінії контурів перерізів усюди перетинаються з поздовжніми волокнами під прямим кутом.

На підставі цього можна припустити, що при чистому згинанні поперечні перерізи балки залишаються плоскими і повертаються так, що залишаються нормальними до вигнутої осі балки (гіпотеза плоских перерізів при згинанні).

Мал. .

Вимірюючи довжину поздовжніх ліній (рис. 6.1 б), можна виявити, що верхні волокна при деформації вигину балки подовжуються, а нижні укорочуються. Очевидно, що можна знайти такі волокна, довжина яких залишається незмінною. Сукупність волокон, що не змінюють своєї довжини при згинанні балки, називаєтьсянейтральним шаром (н. с.). Нейтральний шар перетинає поперечний переріз балки по прямій, яка називаєтьсянейтральною лінією (н. л.) перерізу.

Для виведення формули, що визначає величину нормальних напруг, що виникають у поперечному перерізі, розглянемо ділянку балки в деформованому та не деформованому стані (рис. 6.2).

Мал. .

Двома нескінченно малими поперечними перерізами виділимо елемент завдовжки. До деформації перерізу, що обмежують елемент, були паралельні між собою (рис. 6.2 а), а після деформації вони дещо нахилилися, утворюючи кут. Довжина волокон, що лежать у нейтральному шарі, при згинанні не змінюється. Позначимо радіус кривизни сліду нейтрального шару на площині креслення літерою. Визначимо лінійну деформацію довільного волокна, що знаходиться на відстані від нейтрального шару.

Довжина цього волокна після деформації (довжина дуги) дорівнює. Враховуючи, що до деформації всі волокна мали однакову довжину, отримаємо, що абсолютне подовження волокна, що розглядається.

Його відносна деформація

Очевидно, що, оскільки довжина волокна, що лежить у нейтральному шарі, не змінилася. Тоді після підстановки отримаємо

(6.2)

Отже, відносна поздовжня деформаціяпропорційна відстані волокна від нейтральної осі.

Введемо припущення, що при згинанні поздовжні волокна не натискають один на одного. При такому припущенні кожне волокно деформується ізольовано, відчуваючи простий розтяг або стиск, при якому. З урахуванням (6.2)

, (6.3)

т. е. нормальні напруги прямо пропорційні відстаням розглянутих точок перерізу від нейтральної осі.

Підставимо залежність (6.3) у вираз згинального моменту в поперечному перерізі (6.1)

Пригадаємо, що інтеграл є моментом інерції перерізу щодо осі.

Або

(6.4)

Залежність (6.4) являє собою закон Гука при згинанні, оскільки вона пов'язує деформацію (кривизну нейтрального шару) з моментом, що діє в перерізі. Твір носить назву жорсткості перерізу при згинанні, Н·м2.

Підставимо (6.4) у (6.3)

(6.5)

Це і шукана формула для визначення нормальних напруг при чистому згині балки в будь-якій точці її перерізу.

Для того, щоб встановити, де в поперечному перерізі знаходиться нейтральна лінія підставимо значення нормальних напруг у вираз поздовжньої сили та згинального моменту

Оскільки,

то

(6.6)

(6.7)

Рівність (6.6) вказує, що вісь нейтральна вісь перерізу проходить через центр тяжкості поперечного перерізу.

Рівність (6.7) показує, що і - головні центральні осі перерізу.

Згідно з (6.5) найбільшої величини напруги досягають у волокнах найбільш віддалених від нейтральної лінії

Відношення є осьовим моментом опору перерізу щодо його центральної осі, значить

Значення для найпростіших поперечних перерізів таке:

Для прямокутного поперечного перерізу

, (6.8)

де - сторона перерізу перпендикулярна до осі;

Сторона перерізу паралельна осі;

Для круглого поперечного перерізу

, (6.9)

де - Діаметр круглого поперечного перерізу.

Умова міцності по нормальним напруженнямпри вигині можна записати у вигляді

(6.10)

Всі отримані формули отримані для чистого вигину прямого стрижня. Дія поперечної сили призводить до того, що гіпотези, покладені в основу висновків, втрачають свою силу. Однак практика розрахунків показує, що і при поперечному вигину балок і рам, коли в перерізі крім згинального моменту діє ще поздовжня сила і поперечна сила, можна користуватися формулами, наведеними для чистого вигину. Похибка при цьому виходить незначною.

Визначення поперечних сил та згинальних моментів.

Як було зазначено, при плоскому поперечному згині в поперечному перерізі балки виникають два внутрішніх силових чинника і.

Перед визначенням і визначають реакції опор балки (рис. 6.3 а), складаючи рівняння рівноваги статики.

Для визначення та застосуємо метод перерізів. У місці, що цікавить нас, зробимо уявний розріз балки, наприклад, на відстані від лівої опори. Відкинемо одну з частин балки, наприклад праву, та розглянемо рівновагу лівої частини (рис. 6.3, б). Взаємодія частин балки замінимо внутрішніми зусиллямив.

Встановимо наступні правилазнаків для та:

• Поперечна сила в перерізі позитивна, якщо її вектори прагнуть обертати перетин, що розглядається, за годинниковою стрілкою.;
• Згинальний момент у перерізі позитивний, якщо він викликає стиск верхніх волокон.

Мал. .

Для визначення цих зусиль використовуємо два рівняння рівноваги:

1. ; ; .

2. ;

Таким чином,

а) поперечна сила в поперечному перерізі балки чисельно дорівнює сумі алгебри проекцій на поперечну вісь перерізу всіх зовнішніх сил, що діють по один бік від перерізу;

б) згинальний момент у поперечному перерізі балки чисельно дорівнює сумі алгебри моментів (обчислених щодо центру тяжкості перерізу) зовнішніх сил, що діють по одну сторону від даного перерізу.

При практичному обчисленні керуються зазвичай наступним:

1. Якщо зовнішнє навантаженняпрагне повернути балку щодо розглянутого перерізу за годинниковою стрілкою, (рис. 6.4, б) то у виразі вона дає позитивний доданок.
2. Якщо зовнішнє навантаження створює щодо розглянутого перерізу момент, що викликає стиснення верхніх волокон балки (рис. 6.4, а), то у вираженні для цього перерізу вона дає позитивний доданок.

Мал. .

Побудова епюр та у балках.

Розглянемо двоопорну балку(Рис. 6.5, а) . На балку діє у точці зосереджений момент, у точці - зосереджена сила і дільниці - рівномірно розподілена навантаження інтенсивністю.

Визначимо опорні реакції та(Рис. 6.5, б) . Рівнодія розподіленого навантаження дорівнює, а лінія дії її проходить через центр ділянки. Складемо рівняння моментів щодо точок і.

Визначимо поперечну силу і згинальний момент у довільному перерізі, розташованому на ділянці на відстані від точки А(Рис. 6.5, в) .

(Рис. 6.5, г). Відстань може змінюватись у межах ().

Значення поперечної сили залежить від координати перерізу, отже, переважають у всіх перерізах ділянки поперечні сили однакові і епюра має вигляд прямокутника. Згинальний момент

Згинальний момент змінюється за лінійним законом. Визначимо ординати епюри для меж ділянки.

Визначимо поперечну силу і згинальний момент у довільному перерізі, розташованому на ділянці на відстані від точки(Рис. 6.5, д). Відстань може змінюватись у межах ().

Поперечна сила змінюється за лінійним законом. Визначимо для меж ділянки.

Згинальний момент

Епюра згинальних моментів на цій ділянці буде параболічною.

Щоб визначити екстремальне значення згинального моменту, прирівнюємо до нуля похідну від згинального моменту за абсцисом перерізу:

Звідси

Для перерізу з координатою значення згинального моменту становитиме

В результаті отримуємо епюри поперечних сил(рис. 6.5, е) та згинальних моментів (рис. 6.5, ж).

Диференціальні залежності при згинанні.

(6.11)

(6.12)

(6.13)

Ці залежності дозволяють встановити деякі особливості епюр згинальних моментів та поперечних сил:

Н а ділянках, де немає розподіленого навантаження, епюри обмежені прямими, паралельними нульовій лінії епюри, а епюри в загальному випадку - похилими прямими.

Н а ділянках, де до балки прикладено рівномірно розподілене навантаження, епюра обмежена похилими прямими, а епюра - квадратичними параболамиз опуклістю, зверненою убік, протилежну напрямку дії навантаження.

У перерізах, де, що стосується епюри паралельна нульової лінії епюри.

Н а ділянках, де момент зростає; на ділянках, де момент убуває.

У перетинах, де до балки прикладені зосереджені сили, на епюрі будуть стрибки на величину прикладених сил, а на епюрі будуть переломи.

У перерізах, де до балки додані зосереджені моменти, на епюрі будуть стрибки на величину цих моментів.

Ординати епюри пропорційні тангенсу кута нахилу дотичної до епюрі.