Прямий вигин. Побудова епюр Q і М за рівняннями Побудова епюр Q і М за характерними перерізами (точками) Розрахунки на міцність при прямому вигині балок Головні напруги при згині. Повна перевірка міцності балок Поняття про центр вигину Визначення переміщень у балках при згинанні. Поняття деформації балок та умови їх жорсткості Диференційне рівняння вигнутої осі балки Метод безпосереднього інтегрування Приклади визначення переміщень у балках методом безпосереднього інтегрування Фізичний зміст постійних інтегрування Метод початкових параметрів (універсальне рівняння вигнутої осі балки). Приклади визначення переміщень у балці методом початкових параметрів Визначення переміщень методом Мора. Правило А.К. Верещагіна. Обчислення інтеграла Мора за правилом А.К. Верещагіна Приклади визначення переміщень через інтеграл Мора Бібліографічний список Прямий вигин. Плоский поперечний згин. 1.1. Побудова епюр внутрішніх силових факторів для балок Прямим вигином називається такий вид деформації, при якому в поперечних перерізах стрижня виникають два внутрішні силові фактори: згинальний момент і поперечна сила. В окремому випадку, поперечна сила може дорівнювати нулю, тоді вигин називається чистим. При плоскому поперечному згині всі сили розташовані в одній з головних площин інерції стрижня і перпендикулярні до поздовжньої осі, в тій же площині розташовані моменти (рис. 1.1, а,б). Мал. 1.1 Поперечна сила в довільному поперечному перерізі балки чисельно дорівнює сумі алгебри проекцій на нормаль до осі балки всіх зовнішніх сил, що діють по одну сторону від аналізованого перерізу. Поперечна сила в перерізі m-n балки (рис. 1.2 а) вважається позитивною, якщо рівнодіюча зовнішніх сил зліва від перерізу спрямована вгору, а справа – вниз, і негативної – в протилежному випадку (рис. 1.2, б). Мал. 1.2 Обчислюючи поперечну силу у цьому перерізі, зовнішні сили, що лежать ліворуч від перерізу, беруть зі знаком плюс, якщо вони спрямовані вгору, і зі знаком мінус, якщо вниз. Для правої частини балки – навпаки. 5 Згинальний момент у довільному поперечному перерізі балки чисельно дорівнює сумі алгебри моментів щодо центральної осі z перерізу всіх зовнішніх сил, що діють по одну сторону від аналізованого перерізу. Згинальний момент у перерізі m-n балки (рис. 1.3 а) вважається позитивним, якщо рівнодіючий момент зовнішніх сил зліва від перерізу направлений за стрілкою годинника, а праворуч – проти годинникової стрілки, і негативним – у протилежному випадку (рис. 1.3 б). Мал. 1.3 При обчисленні згинального моменту в даному перерізі моменти зовнішніх сил, що лежать ліворуч від перерізу, вважаються позитивними, якщо вони спрямовані протягом годинної стрілки. Для правої частини балки – навпаки. Зручно визначати знак згинального моменту характером деформації балки. Згинальний момент вважається позитивним, якщо в аналізованому перерізі відсічена частина балки згинається опуклістю вниз, тобто розтягуються нижні волокна. У протилежному випадку згинальний момент у перерізі негативний. Між моментом, що згинає М, поперечною силою Q і інтенсивністю навантаження q існують диференціальні залежності. 1. Перша похідна від поперечної сили за абсцисом перерізу дорівнює інтенсивності розподіленого навантаження, тобто. . (1.1) 2. Перша похідна від згинального моменту по абсцисі перерізу дорівнює поперечній силі, тобто. (1.2) 3. Друга похідна за абсцисом перерізу дорівнює інтенсивності розподіленого навантаження, тобто. (1.3) Розподілене навантаження, спрямоване вгору, вважаємо позитивним. З диференціальних залежностей між М, Q, q випливає ряд важливих висновків: 1. Якщо ділянці балки: а) поперечна сила позитивна, то згинальний момент зростає; б) поперечна сила негативна, то згинальний момент зменшується; в) поперечна сила дорівнює нулю, то згинальний момент має постійне значення (чистий згин); 6 г) поперечна сила проходить через нуль, змінюючи знак із плюса на мінус, max M M, у протилежному випадку M Mmin. 2. Якщо на ділянці балки розподілене навантаження відсутнє, то поперечна сила постійна, а згинальний момент змінюється за лінійним законом. 3. Якщо на ділянці балки є рівномірно розподілене навантаження, то поперечна сила змінюється за лінійним законом, а згинальний момент – за законом квадратної параболи, зверненою опуклістю у бік дії навантаження (у разі побудови епюри М з боку розтягнутих волокон). 4. У перерізі під зосередженою силою епюра Q має стрибок (на величину сили), епюра М - злам у бік дії сили. 5. У перерізі, де прикладений зосереджений момент, епюра М має стрибок, що дорівнює значенню цього моменту. На епюрі Q це не відбивається. При складному навантаженні балки будують епюри поперечних сил Q і моментів, що згинають М. Епюрою Q(M) називається графік, що показує закон зміни поперечної сили (згинального моменту) по довжині балки. На основі аналізу епюр М та Q встановлюють небезпечні перерізи балки. Позитивні ординати епюри Q відкладаються вгору, а негативні – вниз від базисної лінії, що проводиться паралельно поздовжньої осі балки. Позитивні ординати епюри М відкладаються донизу, а негативні – вгору, т. е. епюра М будується із боку розтягнутих волокон. Побудова епюр Q та М для балок слід розпочинати з визначення опорних реакцій. Для балки з одним защемленим та іншим вільним кінцями побудова епюр Q і М можна починати від вільного кінця, не визначаючи реакцій у закладенні. 1.2. Побудова епюр Q і М за рівняннями Балка розбивається на ділянки, в межах яких функції згинального моменту і поперечної сили залишаються постійними (не мають розривів). Межами ділянок служать точки докладання зосереджених сил, пар сил та місця зміни інтенсивності розподіленого навантаження. На кожній ділянці береться довільний переріз на відстані х від початку координат, і для цього перерізу складаються рівняння для Q і М. За цими рівняннями будуються епюри Q і M. Приклад 1.1 Побудувати епюри поперечних сил Q і моментів М, що згинають М для заданої балки (рис. 1.4, а). Рішення: 1. Визначення реакцій опор. Складаємо рівняння рівноваги: ​​з яких отримуємо Реакції опор визначено правильно. Балка має чотири ділянки Мал. 1.4 навантаження: СА, AD, DB, BE. 2. Побудова епюри Q. Ділянка СА. На ділянці СА 1 проводимо довільний переріз 1-1 з відривом x1 від лівого кінця балки. Визначаємо Q як суму алгебри всіх зовнішніх сил, що діють зліва від перерізу 1-1: Знак мінус взятий тому, що сила, що діє зліва від перерізу, спрямована вниз. Вираз Q не залежить від змінної x1. Епюра Q на цій ділянці зобразиться прямий, паралельної осі абсцис. Ділянка AD. На ділянці проводимо довільний переріз 2-2 з відривом x2 від лівого кінця балки. Визначаємо Q2 як суму алгебри всіх зовнішніх сил, що діють ліворуч від перерізу 2-2: 8 Величина Q постійна на ділянці (не залежить від змінної x2). Епюра Q на ділянці є прямою, паралельною осі абсцис. Ділянка DB. На ділянці проводимо довільний переріз 3-3 з відривом x3 від правого кінця балки. Визначаємо Q3 як суму алгебри всіх зовнішніх сил, що діють праворуч від перерізу 3-3: Отримане вираз є рівняння похилої прямої лінії. Ділянка BE. На ділянці проводимо перетин 4-4 з відривом x4 від правого кінця балки. Визначаємо Q як суму алгебри всіх зовнішніх сил, що діють праворуч від перерізу 4-4: 4 Тут знак плюс взятий тому, що рівнодіюче навантаження праворуч від перерізу 4-4 спрямована вниз. За отриманими значеннями будуємо епюри Q (рис. 1.4 б). 3. Побудова епюри М. Ділянка м1. Визначаємо згинальний момент у перерізі 1-1 як алгебраїчну суму моментів сил, що діють ліворуч від перерізу 1-1. - Рівняння прямої. Ділянка A 3Визначаємо згинальний момент у перерізі 2-2 як суму алгебри моментів сил, що діють ліворуч від перерізу 2-2. - Рівняння прямої. Ділянка DB 4 Визначаємо згинальний момент у перерізі 3-3 як алгебраїчну суму моментів сил, що діють праворуч від перерізу 3-3. - Рівняння квадратної параболи. 9 Знаходимо три значення на кінцях ділянки і в точці з координатою xk , де Ділянка BE 1 Визначаємо згинальний момент у перерізі 4-4 як суму алгебри моментів сил, що діють праворуч від перерізу 4-4. - Рівняння квадратної параболи знаходимо три значення M4: За отриманими значеннями будуємо епюру М (рис. 1.4, в). На ділянках CA та AD епюра Q обмежена прямими, паралельними осі абсцис, а на ділянках DB та BE – похилими прямими. У перерізах C, A і B на епюрі Q мають місце стрибки на величину відповідних сил, що служить перевіркою правильності побудови епюри Q. На ділянках, де Q 0, моменти зростають зліва направо. На ділянках, де Q  0, моменти зменшуються. Під зосередженими силами є злами у бік дії сил. Під зосередженим моментом має місце стрибок на величину моменту. Це вказує на правильність побудови епюри М. Приклад 1.2 Побудувати епюри Q та М для балки на двох опорах, навантаженому розподіленим навантаженням, інтенсивність якого змінюється за лінійним законом (рис. 1.5, а). Рішення Визначення реакцій опор. Рівнодія розподіленого навантаження дорівнює площі трикутника, що є епюрою навантаження і прикладена в центрі тяжкості цього трикутника. Складаємо суми моментів усіх сил щодо точок А та В: Побудова епюри Q. Проведемо довільний переріз на відстані x від лівої опори. Ордината епюри навантаження, що відповідає перерізу, визначається з подоби трикутників Рівнодіюча частина навантаження, яка розташована зліва від перерізу Поперечна сила в перерізі дорівнює Поперечна сила змінюється за законом квадратної параболи Прирівнюючи рівняння поперечної сили нулю, знаходимо абсцу нуль: Епюра Q представлена ​​на рис. 1.5 б. Згинальний момент у довільному перерізі дорівнює Згинальний момент змінюється за законом кубічної параболи: Максимальне значення згинальний момент має в перерізі, де 0, тобто при Епюр М представлена ​​на рис. 1.5 ст. 1.3. Побудова епюр Q та M за характерними перерізами (точками) Використовуючи диференціальні залежності між М, Q, q та висновки, що з них випливають, доцільно будувати епюри Q та М за характерними перерізами (без складання рівнянь). Застосовуючи цей спосіб, обчислюють значення Q та М у характерних перерізах. Характерними перерізами є граничні перерізи ділянок, а також перерізи, де даний внутрішній силовий фактор має екстремальне значення. У межах між характерними перерізами обрис 12 епюри встановлюється на основі диференціальних залежностей між М, Q, q та висновками, що випливають з них. Приклад 1.3 Побудувати епюри Q та М для балки, зображеної на рис. 1.6 а. Мал. 1.6. Рішення: Побудова епюр Q і М починаємо від вільного кінця балки, при цьому реакції в закладенні можна не визначати. Балка має три ділянки навантаження: АВ, НД, CD. На ділянках АВ та ПС розподілене навантаження відсутнє. Поперечні сили постійні. Епюра Q обмежена прямими, паралельними осі абсцис. Згинальні моменти змінюються за лінійним законом. Епюра М обмежена прямими, похилими до осі абсцис. На ділянці CD є рівномірно розподілене навантаження. Поперечні сили змінюються за лінійним законом, а згинальні моменти – за законом квадратної параболи з опуклістю у бік дії розподіленого навантаження. На межі ділянок АВ і ПС поперечна сила змінюється стрибкоподібно. На межі ділянок ЗС і CD стрибкоподібно змінюється згинальний момент. 1. Побудова епюри Q. Обчислюємо значення поперечних сил Q у граничних перерізах ділянок: За результатами розрахунків будуємо епюру Q для балки (рис. 1, б). З епюри Q випливає, що поперечна сила на ділянці CD дорівнює нулю в перерізі, що знаходиться на відстані qa a q від початку цієї ділянки. У цьому перерізі згинальний момент має максимальне значення. 2. Побудова епюри М. Обчислюємо значення згинальних моментів у граничних перерізах ділянок: При мaаксимальний момент на ділянці За результатами розрахунків будуємо епюру М (рис. 5.6, в). Приклад 1.4 По заданій епюрі згинальних моментів (рис. 1.7 а) для балки (рис. 1.7 б) визначити діючі навантаження і побудувати епюру Q. Гуртком позначена вершина квадратної параболи. Рішення: Визначимо навантаження, що діють на балку. Ділянка АС завантажений рівномірно розподіленим навантаженням, оскільки епюра М цьому ділянці – квадратна парабола. В опорному перерізі до балки прикладений зосереджений момент, що діє за годинниковою стрілкою, так як на епюрі М маємо стрибок вгору на величину моменту. На ділянці СВ балка не навантажена, тому що епюра М на цій ділянці обмежена похилою прямою. Реакція опори визначається з умови, що згинальний момент у перерізі дорівнює нулю, т. е. Для визначення інтенсивності розподіленого навантаження складемо вираз для згинального моменту в перерізі А як суму моментів сил справа і прирівняємо до нуля Тепер визначимо реакцію опори А. Для цього складемо вираз для згинальних моментів у перерізі як суму моментів сил зліва Розрахункова схема балки з навантаженням показана на рис. 1.7, ст. Починаючи з лівого кінця балки, обчислюємо значення поперечних сил у граничних перерізах ділянок: Епюра Q представлена ​​на рис. 1.7, г. Розглянута задача може бути вирішена шляхом складання функціональних залежностей для М Q на кожній ділянці. Виберемо початок координат на лівому кінці балки. На ділянці АС епюра М виражається квадратною параболою, рівняння якої має вигляд Постійні а, b, з знаходимо з умови, що парабола проходить через три точки з відомими координатами: Підставляючи координати точок у рівняння параболи, отримаємо: Вираз для згинального моменту буде Диференціюючи функцію , отримаємо залежність для поперечної сили Після диференціювання функції Q отримаємо вираз для інтенсивності розподіленого навантаження На ділянці СВ вираз для згинального моменту представляється у вигляді лінійної функції Для визначення постійних а і b використовуємо умови, що дана пряма проходить через дві точки, координати яких відомі Отримаємо два рівняння: ,b з яких маємо a 20. Рівняння для згинального моменту на ділянці СВ буде Після дворазового диференціювання М2 знайдемо За знайденими значеннями М і Q будуємо епюри моментів, що згинають, і поперечних сил для балки. Крім розподіленого навантаження до балки прикладаються зосереджені сили у трьох перерізах, де на епюрі Q є стрибки та зосереджені моменти в тому перерізі, де на епюрі М є стрибок. Приклад 1.5 Для балки (рис. 1.8, а) визначити раціональне положення шарніра С, при якому найбільший згинальний момент у прольоті дорівнює згинальному моменту в закладенні (за абсолютною величиною). Побудувати епюри Q та М. Рішення Визначення реакцій опор. Незважаючи на те, що загальна кількість опорних зв'язків дорівнює чотирьом, балка статично визначна. Згинальний момент у шарнірі З дорівнює нулю, що дозволяє скласти додаткове рівняння: сума моментів щодо шарніру всіх зовнішніх сил, що діють по одну сторону від цього шарніра, дорівнює нулю. Складемо суму моментів усіх сил праворуч від шарніра С. Епюра Q для балки обмежена похилою прямою, оскільки q = const. Визначаємо значення поперечних сил у граничних перерізах балки: Абсцис xK перерізу, де Q = 0, визначається з рівняння звідки Епюра М для балки обмежена квадратною параболою. Вирази для згинальних моментів у перерізах, де Q = 0, і в закладенні записуються відповідно так: З умови рівності моментів отримуємо квадратне рівняння щодо параметра х, що шукається: Реальне значення x2x 1,029 м. Визначаємо чисельні значення поперечних сил і згинальних моментів у характерних перерізах балки. На рис.1.8 б показана епюра Q, а на рис. 1.8, в - епюра М. Розглянуту задачу можна було вирішити способом розчленування шарнірної балки на її елементи, як це показано на рис. 1.8, м. На початку визначаються реакції опор VC та VB . Будуються епюри Q та М для підвісної балки СВ від дії прикладеного до неї навантаження. Потім переходять до основної балки АС, навантаживши її додатковою силою VC , що є силою тиску балки СВ на балку АС. Після цього будують епюри Q і М для балки АС. 1.4. Розрахунки на міцність при прямому згинанні балок Розрахунок на міцність за нормальними і дотичними напругами. При прямому згинанні балки в поперечних перерізах її виникають нормальні та дотичні напруги (рис. 1.9). 18 Мал. 1.9 Нормальні напруги пов'язані з згинальним моментом, дотичні напруги пов'язані з поперечною силою. При прямому чистому згині дотичні напруги дорівнюють нулю. Нормальні напруги в довільній точці поперечного перерізу балки визначаються за формулою (1.4) де M – згинальний момент у цьому перерізі; Iz – момент інерції перерізу щодо нейтральної осі z; y – відстань від точки, де визначається нормальна напруга, до нейтральної осі z. Нормальна напруга по висоті перерізу змінюється за лінійним законом і досягає найбільшої величини в точках, найбільш віддалених від нейтральної осі. 1.11 найбільші напруги, що розтягують і стискають, однакові і визначаються за формулою,  – осьовий момент опору перерізу при згині. Для прямокутного перерізу шириною b заввишки h: (1.7) Для круглого перерізу діаметра d: (1.8) Для кільцевого перерізу   – відповідно внутрішній та зовнішній діаметри кільця. Для балок із пластичних матеріалів найбільш раціональними є симетричні 20 форми перерізів (двотаврове, коробчасте, кільцеве). Для балок з крихких матеріалів, що не однаково чинять опір розтягуванню та стиску, раціональними є перерізи, несиметричні щодо нейтральної осі z (тавр., П-подібне, несиметричний двотавр). Для балок постійного перерізу із пластичних матеріалів при симетричних формах перерізів умова міцності записується так: (1.10) де Mmax – максимальний згинальний момент за модулем; - Допустима напруга для матеріалу. Для балок постійного перерізу із пластичних матеріалів при несиметричних формах перерізів умова міцності записується у такому вигляді: (1. 11) Для балок із крихких матеріалів з перерізами, несиметричними щодо нейтральної осі, у разі, якщо епюра М однозначна (рис. 1.12), потрібно записати дві умови міцності – відстані від нейтральної осі до найбільш віддалених точок відповідно до розтягнутої та стисненої зон небезпечного перерізу; P – допустимі напруги відповідно на розтягування та стиск. Рис.1.12. 21 Якщо епюра згинальних моментів має ділянки різних знаків (рис. 1.13), то крім перевірки перерізу 1-1, де діє Mmax, необхідно провести розрахунок за найбільшою напругою, що розтягує, для перерізу 2-2 (з найбільшим моментом протилежного знака). Мал. 1.13 Поряд з основним розрахунком за нормальними напругами в ряді випадків доводиться робити перевірку міцності балки по дотичних напругах. Дотичні напруги в балки обчислюються за формулою Д. І. Журавського (1.13) де Q - поперечна сила в аналізованому поперечному перерізі балки; Szотс – статичний момент щодо нейтральної осі площі частини перерізу, розташованої по один бік прямої, проведеної через дану точку та паралельної осі z; b – ширина перерізу на рівні розглянутої точки; Iz – момент інерції всього перерізу щодо нейтральної осі z. У багатьох випадках максимальна дотична напруга виникає на рівні нейтрального шару балки (прямокутник, двотавр, коло). У разі умова міцності по дотичних напруг записується як, (1.14) де Qmax – найбільша за модулем поперечна сила; – допустима дотична напруга для матеріалу. Для прямокутного перерізу балки умова міцності має вигляд (1.15) А – площа поперечного перерізу балки. Для круглого перерізу умова міцності представляється у вигляді (1.16) Для двотаврового перерізу умова міцності записується так: (1.17) де Szо, tmсax – статичний момент напівтину щодо нейтральної осі; d – товщина стінки двотавра. Зазвичай розміри поперечного перерізу балки визначаються з умови міцності за нормальними напругами. Перевірка міцності балок по дотичних напругах проводиться в обов'язковому порядку для коротких балок і балок будь-якої довжини, якщо поблизу опор є зосереджені сили великої величини, а також для дерев'яних, клепаних і зварних балок. Приклад 1.6 Перевірити міцність балки коробчатого перерізу (рис. 1.14) по нормальних і дотичних напругах, якщо МПа. Побудувати епюри у небезпечному перерізі балки. Мал. 1.14 Рішення 23 1. Побудова епюр Q та М за характерними перерізами. Розглядаючи ліву частину балки, отримаємо Епюра поперечних сил представлена ​​на рис. 1.14, ст. Епюра згинальних моментів показано на рис. 5.14, г. 2. Геометричні характеристики поперечного перерізу 3. Найбільші нормальні напруги переріз С, де діє Mmax (за модулем): МПа. Максимальна нормальна напруга в балці практично дорівнює допустимим. 4. Найбільша дотична напруга в перерізі С (або А), де діє max Q (за модулем): Тут – статичний момент площі півсічення щодо нейтральної осі; b2 см – ширина перерізу на рівні нейтральної осі. 5. Дотичні напруги у точці (у стінці) у перерізі С: Рис. 1.15 Тут Szomc 834,5 108 см3 – статичний момент площі частини перерізу, розташованої вище за лінію, що проходить через точку K1; b2 см – товщина стінки на рівні точки K1. Епюри  та  для перерізу З балки показані рис. 1.15. Приклад 1.7. Для балки, показаної на рис. 1.16, а потрібно: 1. Побудувати епюри поперечних сил і згинальних моментів за характерними перерізами (точками). 2. Визначити розміри поперечного перерізу у вигляді кола, прямокутника та двотавра з умови міцності за нормальними напругами, порівняти площі перерізів. 3. Перевірити підібрані розміри перерізів балок щодо напруги. Дано: Рішення: 1. Визначаємо реакції опор балки Перевірка: 2. Побудова епюр Q та М. Значення поперечних сил у характерних перерізах балки 25 Мал. 1.16 На ділянках CA та AD інтенсивність навантаження q = const. Отже, цих ділянках епюра Q обмежується прямими, похилими до осі. На ділянці DB інтенсивність розподіленого навантаження q = 0, отже, цій ділянці епюра Q обмежується прямої, паралельної осі х. Епюра Q для балки показано на рис. 1.16,б. Значення згинальних моментів у характерних перерізах балки: На другій ділянці визначаємо абсцис x2 перерізу, в якому Q = 0: Максимальний момент на другій ділянці Епюра М для балки показано на рис. 1.16 ст. 2. Складаємо умову міцності за нормальними напругами звідки визначаємо необхідний осьовий момент опору перерізу з виразу визначається необхідний діаметр d балки круглого перерізу. За таблицями ГОСТ 8239-89 знаходимо найближче значення осьового моменту опору 597см3, яке відповідає двутавру № 33 з характеристиками: A z 9840 см4. Перевірка на допуск: (недовантаження на 1% від допустимого 5%) найближчий двотавр № 30 (W 2 см3) призводить до значного навантаження (більше 5%). Остаточно приймаємо двотавр № 33. Порівнюємо площі круглого та прямокутного перерізів з найменшою площею А двотавра: З трьох розглянутих перерізів найбільш економічним є двотавровий перетин. 3. Обчислюємо найбільшу нормальну напругу в небезпечному перерізі 27 двотаврової балки (рис. 1.17, а): Нормальна напруга в стінці біля полиці двотаврового перетину балки Епюра нормальних напруг у небезпечному перерізі балки показана на рис. 1.17, б. 5. Визначаємо найбільшу дотичну напругу для підібраних перерізів балки. а) прямокутний переріз балки: б) круглий переріз балки: в) двотавровий перетин балки: Дотичні напруги в стінці біля полиці двотавра в небезпечному перерізі А (праворуч) (у точці 2): Епюра дотичних напруг у небезпечних перерізах двотавра показана на рис. 1.17, ст. Максимальна дотична напруга в балці не перевищує допустимих напруг Приклад 1.8 Визначити допустиме навантаження на балку (рис. 1.18, а), якщо 60МПа, розміри поперечного перерізу задані (рис. 1.19, а). Побудувати епюру нормальних напруг у небезпечному перерізі балки при навантаженні, що допускається. Рис 1.18 1. Визначення реакцій опор балки. Зважаючи на симетрію системи 2. Побудова епюр Q і M за характерними перерізами. Поперечні сили у характерних перерізах балки: Епюра Q для балки показана на рис. 5.18, б. Згинальні моменти у характерних перерізах балки Для другої половини балки ординати М – по осях симетрії. Епюра М для балки показано на рис. 1.18, б. 3.Геометричні характеристики перерізу (рис. 1.19). Розбиваємо фігуру на два найпростіші елементи: двотавр – 1 та прямокутник – 2. Рис. 1.19 За сортаментом для двотавра № 20 маємо Для прямокутника: Статичний момент площі перерізу щодо осі z1 Відстань від осі z1 до центру тяжкості перерізу Момент інерції перерізу щодо головної центральної осі z всього перерізу за формулами переходу до паралельних осей 4. Умова міцності по нормальних напругах небезпечної точки «а» (рис. 1.19) у небезпечному перерізі I (рис. 1.18): Після підстановки числових даних 5. При навантаженні, що допускається, у небезпечному перерізі нормальні напруги в точках «а» і «b» будуть рівні: Епюра нормальних напруг для небезпечного перерізу 1-1 показано на рис. 1.19, б.

Вигином називається вид навантаження бруса, при якому до нього прикладається момент, що лежить в площині проходить через поздовжню вісь. У поперечних перерізах бруса виникають згинальні моменти. При згинанні виникають деформація, при якій відбувається викривлення осі прямого бруса або зміна кривизни кривого бруса.

Брус, що працює при згинанні, називається балкою . Конструкція, що складається з декількох стрижнів, що згинаються, з'єднаних між собою найчастіше під кутом 90°, називається рамою .

Вигин називається плоским чи прямим , якщо площина навантаження проходить через головну центральну вісь інерції перерізу (рис.6.1).

Рис.6.1

При плоскому поперечному згині у балці виникають два види внутрішніх зусиль: поперечна сила Qі згинальний момент M. У рамі при плоскому поперечному згині виникають три зусилля: поздовжня N, поперечна Qсили та згинальний момент M.

Якщо згинальний момент є єдиним внутрішнім силовим фактором, такий згин називається чистим (Рис.6.2). За наявності поперечної сили вигин називається поперечним . Строго кажучи, до найпростіших видів опору належить лише чистий вигин; поперечний вигин відносять до простих видів опору умовно, так як у більшості випадків (для досить довгих балок) дією поперечної сили при розрахунках на міцність можна знехтувати.

22.Плоский поперечний згин. Диференціальні залежності між внутрішніми зусиллями та зовнішнім навантаженням.Між згинальним моментом, поперечною силою та інтенсивністю розподіленого навантаження існують диференціальні залежності, засновані на теоремі Журавського, названої на ім'я російського інженера-мостобудівника Д. І. Журавського (1821-1891 р.р.).

Ця теорема формулюється так:

Поперечна сила дорівнює першій похідній від згинального моменту по абсцисі перерізу балки.

23. Плоский поперечний згин. Посторіння епюр поперечних сил та згинальних моментів. Визначення поперечних сил та згинальних моментів - переріз 1

Відкинемо праву частину балки і замінимо її дію на ліву частину поперечною силою та згинальним моментом. Для зручності обчислення закриємо праву частину балки, що відкидається, листком паперу, поєднуючи лівий край листка з аналізованим перетином 1.

Поперечна сила в перерізі 1 балки дорівнює сумі алгебри всіх зовнішніх сил, які бачимо після закриття

Бачимо лише реакцію опори, спрямовану вниз. Таким чином, поперечна сила дорівнює:

кн.

Знак «мінус» нами взято тому, що сила обертає видиму нами частину балки щодо першого перерізу проти ходу годинникової стрілки (або тому, що однаково спрямована із напрямком поперечної сили за правилом знаків)

Згинальний момент у перерізі 1 балки, дорівнює сумі алгебри моментів всіх зусиль, які ми бачимо після закриття відкинутої частини балки, щодо аналізованого перерізу 1.

Бачимо два зусилля: реакцію опори і момент M. Однак у сили плече практично дорівнює нулю. Тому згинальний момент дорівнює:

кН·м.

Тут знак «плюс» нами взято тому, що зовнішній момент M вигинає видиму частину балки опуклістю вниз. (або тому, що протилежно направлений напрямку згинального моменту за правилом знаків)

Визначення поперечних сил та згинальних моментів - переріз 2

На відміну від першого перерізу, у сили реакції з'явилося плече, що дорівнює а.

поперечна сила:

кН;

згинальний момент:

Визначення поперечних сил і згинальних моментів - перетин 3

поперечна сила:

згинальний момент:

Визначення поперечних сил та згинальних моментів - перетин 4

Тепер зручніше закривати листком ліву частину балки.

поперечна сила:

згинальний момент:

Визначення поперечних сил та згинальних моментів - перетин 5

поперечна сила:

згинальний момент:

Визначення поперечних сил та згинальних моментів - переріз 1

поперечна сила та згинальний момент:

.

За знайденими значеннями виробляємо побудову епюри поперечних сил (рис. 7.7, б) і згинальних моментів (рис. 7.7, в).

КОНТРОЛЬ ПРАВИЛЬНОСТІ ПОБУДУВАННЯ ЕПЮР

Переконаємося у правильності побудови епюр за зовнішніми ознаками, користуючись правилами побудови епюр.

Перевірка епюри поперечних сил

Переконуємося: під незавантаженими ділянками епюра поперечних сил йде паралельно осі балки, а під розподіленим навантаженням q – нахиленою вниз прямою. На епюрі поздовжньої сили три стрибки: під реакцією вниз на 15 кН, під силою P вниз на 20 кН і під реакцією вгору на 75 кН.

Перевірка епюри згинальних моментів

На епюрі згинальних моментів бачимо злами під зосередженою силою P та під опорними реакціями. Кути зламів спрямовані назустріч цим силам. Під розподіленим навантаженням q епюра згинальних моментів змінюється за квадратичною параболою, опуклість якої спрямована назустріч навантаженню. У перерізі 6 на епюрі згинального моменту – екстремум, оскільки епюра поперечної сили в цьому місці проходить через нульове значення.

Вигином називається вид деформації, при якому викривляється поздовжня вісь бруса. Прямі бруси, що працюють на вигин, називаються балками. Прямим вигином називається вигин, при якому зовнішні сили, що діють на балку, лежать в одній площині (силовій площині), що проходить через поздовжню вісь балки та головну центральну вісь інерції поперечного перерізу.

Вигин називається чистимякщо в будь-якому поперечному перерізі балки виникає тільки один згинальний момент.

Вигин, при якому в поперечному перерізі балки одночасно діють згинальний момент і поперечна сила, називається поперечним. Лінія перетину силової площини та площини поперечного перерізу називається силовою лінією.

Внутрішні силові фактори при згинанні балки.

При плоскому поперечному згині в перерізах балки виникають два внутрішні силові фактори: поперечна сила Q і згинальний момент М. Для їх визначення використовують метод перерізів (див. лекцію 1). Поперечна сила Q в перерізі балки дорівнює сумі алгебри проекцій на площину перерізу всіх зовнішніх сил, що діють по одну сторону від розрізу.

Правило знаків для поперечних сил Q:

Згинальний момент М у перерізі балки дорівнює сумі алгебри моментів щодо центру тяжкості цього перерізу всіх зовнішніх сил, що діють по один бік від аналізованого перерізу.

Правило знаків для згинальних моментів M:

Диференційні залежності Журавського.

Між інтенсивністю q розподіленого навантаження, виразами для поперечної сили Q та згинального моменту М встановлені диференціальні залежності:

На основі цих залежностей можна виділити такі загальні закономірності епюр поперечних сил Q і згинальних моментів М:

Особливості епюр внутрішніх силових факторів при згинанні.

1. На ділянці балки, де немає розподіленого навантаження, епюра Q представлена прямою лінією , паралельній базі епюре, а епюра М - похилої прямої (рис. а).

2. У перерізі, де прикладена зосереджена сила, на епюрі Q має бути стрибок , що дорівнює значенню цієї сили, а на епюрі М - точка перелому (Рис. А).

3. У перерізі, де прикладений зосереджений момент, значення Q не змінюється, а епюра М має стрибок , що дорівнює значенню цього моменту, (рис. 26, б).

4. На ділянці балки з розподіленим навантаженням інтенсивності q епюра Q змінюється за лінійним законом, а епюра М - за параболічним, причому опуклість параболи спрямована назустріч напрямку розподіленого навантаження (Рис. в, г).

5. Якщо в межах характерної ділянки епюра Q перетинає базу епюри, то в перерізі, де Q = 0, момент, що згинає, має екстремальне значення M max або M min (рис. г).

Нормальна напруга при згинанні.

Визначаються за такою формулою:

Моментом опору перерізу вигину називається величина:

Небезпечним перетиномпри згинанні називається поперечний переріз бруса, в якому виникає максимальна нормальна напруга.

Дотичні напруження при прямому згині.

Визначаються за формулі Журавського для дотичних напруг при прямому згинанні балки:

де S отс - статичний момент поперечної площі відсіченого шару поздовжніх волокон щодо нейтральної лінії.

Розрахунки на міцність при згинанні.

1. При перевірочному розрахунку визначається максимальна розрахункова напруга, яка порівнюється з напругою, що допускається:

2. При проектному розрахунку підбір перерізу бруса проводиться з умови:

3. При визначенні допустимого навантаження допустимий згинальний момент визначається за умови:

Переміщення при згинанні.

Під впливом навантаження при згині вісь балки викривляється. При цьому спостерігається розтягнення волокон на опуклій і стиск - на увігнутій частинах балки. Крім того, відбувається вертикальне переміщення центрів ваги поперечних перерізів та їх поворот щодо нейтральної осі. Для характеристики деформації при згинанні використовують такі поняття:

Прогин балки Y- переміщення центру тяжкості поперечного перерізу балки у напрямі, перпендикулярному до її осі.

Прогин вважають позитивним, якщо переміщення центру тяжкості відбувається нагору. Величина прогину змінюється довжиною балки, тобто. y = y(z)

Кут повороту перерізу- Кут θ, на який кожен перетин повертається по відношенню до свого початкового положення. Кут повороту вважають позитивним при повороті перерізу проти перебігу годинникової стрілки. Розмір кута повороту змінюється по довжині балки, будучи функцією θ = θ (z).

Найпоширенішими способами визначення переміщень є метод Мореі правило Верещагіна.

Метод мору.

Порядок визначення переміщень методом Мора:

1. Будується «допоміжна система» та навантажується одиничним навантаженням у точці, де потрібно визначити переміщення. Якщо визначається лінійне переміщення, то його напрямі прикладається одинична сила, щодо кутових переміщень – одиничний момент.

2. Для кожної ділянки системи записуються вирази згинальних моментів М f від прикладеного навантаження і М 1 від одиничного навантаження.

3. По всіх ділянках системи обчислюють і підсумовують інтеграли Мора, отримуючи в результаті переміщення:

4. Якщо обчислене переміщення має позитивний знак, це означає, що його напрямок збігається з напрямком одиничної сили. Негативний знак вказує на те, що дійсне переміщення протилежне до напрямку одиничної сили.

Правило Верещагіна.

Для випадку, коли епюра згинальних моментів від заданого навантаження має довільне, а від одиничного навантаження – прямолінійне обрис, зручно використовувати графоаналітичний спосіб або правило Верещагіна.

де A f - площа епюри згинального моменту М f від заданого навантаження; y c - ордината епюри від одиничного навантаження під центром тяжкості епюри М f; EI x – жорсткість перерізу ділянки балки. Обчислення за цією формулою проводяться по ділянках, на кожному з яких прямолінійна епюра має бути без переломів. Величина (A f * y c) вважається позитивною, якщо обидві епюри розташовуються по одну сторону від балки, негативною, якщо вони розташовуються по різні боки. Позитивний результат перемноження епюр означає, що напрямок переміщення збігається із напрямком одиничної сили (або моменту). Складна епюра М f повинна бути розбита на прості постаті (застосовується так зване "розшарування епюри"), для кожної з яких легко визначити ординату центру тяжкості. У цьому площа кожної фігури множиться на ординату під її центром тяжкості.

Ми почнемо з найпростішої нагоди, так званого чистого вигину.

Чистий вигин є окремий випадок вигину, при якому в перерізах балки поперечна сила дорівнює нулю. Чистий вигин може мати місце лише в тому випадку, коли власна вага балки настільки мала, що його впливом можна знехтувати. Для балок на двох опорах приклади навантажень, що викликають чистий

вигин, представлені на рис. 88. На ділянках цих балок, де Q = 0 і, отже, М = const; має місце чистий вигин.

Зусилля в будь-якому перерізі балки при чистому вигині зводяться до пари сил, площина дії якої проходить через вісь балки, а момент постійний.

Напруги можуть бути визначені на підставі наступних міркувань.

1. Дотичні складові зусиль за елементарними майданчиками в поперечному перерізі балки не можуть бути приведені до пари сил, площина дії якої перпендикулярна до площини перерізу. Звідси випливає, що згинальне зусилля в перерізі є результатом дії по елементарним майданчикам

лише нормальних зусиль, тому при чистому згині і напруги зводяться лише до нормальним.

2. Щоб зусилля елементарними майданчиками звелися лише до пари сил, серед них мають бути як позитивні, так і негативні. Тому мають бути як розтягнуті, і стислі волокна балки.

3. Зважаючи на те, що зусилля в різних перерізах однакові, то і напруги у відповідних точках перерізів однакові.

Розглянемо якийсь елемент поблизу поверхні (рис. 89, а). Так як по нижній його грані, що збігається з поверхнею балки, сили не прикладені, то на ній немає і напружень. Тому і на верхній грані елемента немає напруг, так як інакше елемент не знаходився б і рівновазі, роздивляючись сусідній з ним по висоті елемент (рис. 89, б), прийдемо до

Такому ж висновку і т. д. Звідси випливає, що по горизонтальних гранях будь-якого елемента напруги відсутні. Розглядаючи елементи, що входять до складу горизонтального шару, починаючи з елемента біля поверхні балки (рис. 90), прийдемо до висновку, що і з бокових вертикальних граней будь-якого елемента напруги відсутні. Таким чином, напружений стан будь-якого елемента (рис. 91,а), а в межі і волокна, має бути представлений так, як це показано на рис. 91,б, тобто воно може бути або осьовим розтягуванням, або осьовим стисненням.

4. У силу симетрії докладання зовнішніх сил перетин по середині довжини балки після деформації повинен залишитися пло- ським і нормальним до осі балки (рис. 92, а). З цієї ж причини і перерізу в чвертях довжини балки теж залишаються плоскими і нормальними до осі балки (рис. 92, б), якщо тільки крайні перерізи балки при деформації залишаються плоскими і нормальними до осі балки. Аналогічний висновок справедливий і для перерізів у восьмих довжинах балки (рис. 92, в) і т. д. Отже, якщо при згинанні крайні перерізи балки залишаються плоскими, то і для будь-якого перерізу

справедливим твердження, що воно після деформації залишається плоским і нормальним до осі зігнутої балки. Але в такому випадку очевидно, що зміна подовжень волокон балки по її висоті має відбуватися не тільки безперервно, але і монотонно. Якщо назвати шаром сукупність волокон, що мають однакові подовження, то зі сказаного випливає, що розтягнуті і стислі волокна балки повинні розташовуватися по різні боки від шару, в якому подовження волокон дорівнюють нулю. Будемо називати волокна, подовження яких дорівнюють нулю, нейтральними; шар, що складається з нейтральних волокон, - нейтральним шаром; лінію перетину нейтрального шару з площиною поперечного перерізу балки - нейтральною лінією цього перерізу. Тоді на підставі попередніх міркувань можна стверджувати, що при чистому вигині балки в кожному її перерізі є нейтральна лінія, яка ділить цей перетин на дві частини (зони): зону розтягнутих волокон (розтягнуту зону) і зону стиснутих волокон (стиснуту зону ). Відповідно з цим у точках розтягнутої зони перетину повинні діяти нормальні розтягуючі напруги, у точках стиснутої зони - стискаючі напруги, а в точках нейтральної лінії напруги дорівнюють нулю.

Таким чином, при чистому згині балки постійного січення:

1) у перерізах діють лише нормальні напруження;

2) весь переріз може бути розбитий на дві частини (зони) - розтягнуту та стиснуту; межею зон є нейтральна лінія перерізу, у точках якої нормальні напруги дорівнюють нулю;

3) будь-який поздовжній елемент балки (у межі будь-яке волокно) піддається осьовому розтягуванню або стиску, так що сусідні волокна один з одним не взаємодіють;

4) якщо крайні перерізи балки при деформації залишаються плоскими та нормальними до осі, то і всі її поперечні перерізи залишаються плоскими та нормальними до осі вигнутої балки.

Напружений стан балки при чистому вигині

Розглянемо елемент балки, схильної до чистого вигину, заклю- чений між перерізами m - m і n - n, які відстоять одне від іншого на нескінченно малому відстані dx (рис. 93). Внаслідок положення (4) попереднього пункту, перерізу m - m і n - n, що були до деформації паралельними, після вигину, залишаючись плоскими, будуть становити кут dQ і перетинатися по прямій, що проходить через точку С, яка є центром кривизни нейтрального волокна NN. Тоді укладена між ними частина АВ волокна, що знаходиться на відстані z від нейтрального волокна (позитивний напрямок осі z приймаємо у бік випуклості балки при згині), перетвориться після деформації в дугу А "В". Відрізок нейтрального волокна О1О2, перетворившись на дугу О1О2 не змінить своєї довжини, тоді як волокно АВ отримає подовження:

до деформації

після деформації

де р – радіус кривизни нейтрального волокна.

Тому абсолютне подовження відрізка АВ дорівнює

та відносне подовження

Оскільки згідно з положенням (3) волокно АВ піддається осьовому розтягуванню, то при пружній деформації

Звідси видно, що нормальні напруги за висотою балки розподіляються за лінійним законом (рис. 94). Так як рівнодіюча всіх зусиль по всіх елементарних майданчиках перетину повинна дорівнювати нулю, то

звідки, підставляючи значення (5.8), знайдемо

Але останній інтеграл є статичний момент щодо осі Оу, перпендикулярної до площини дії згинальних зусиль.

Внаслідок рівності його нулю ця вісь повинна проходити через центр тяжкості Про перерізу. Таким чином, нейтральна лінія перерізу балки є пряма уу, перпендикулярна до площини дії згинальних зусиль. Її називають нейтральною віссю перерізу балки. Тоді з (5.8) слід, що напруги в точках, що лежать на однаковій відстані від нейтральної осі, однакові.

Випадок чистого вигину, при якому згинальні зусилля діють тільки в одній площині, викликаючи вигин тільки в цій площині, є чистим плоским вигином. Якщо названа площина проходить через вісь Oz, то момент елементарних зусиль щодо цієї осі повинен дорівнювати нулю, тобто.

Підставляючи сюди значення σ (5.8), знаходимо

Стоячий у лівій частині цієї рівності інтеграл, як відомо, є відцентровим моментом інерції перерізу щодо осей у і z, так що

Осі, щодо яких відцентровий момент інерції перерізу дорівнює нулю, називають головними осями інерції цього перерізу. Якщо вони, крім того, проходять через центр тяжкості перерізу, їх можна назвати головними центральними осями інерції перерізу. Таким чином, при плоскому чистому згині напрям площини дії згинальних зусиль і нейтральна вісь перерізу є головними центральними осями інерції останнього. Іншими словами, для отримання плоского чистого вигину балки навантаження до неї не може прикладатися довільно: вона повинна зводитися до сил, що діють у площині, яка проходить через одну з головних центральних осей інерції перерізів балки; при цьому інша головна центральна вісь інерції буде нейтральною віссю перерізу.

Як відомо, у разі перерізу, симетричного щодо будь-якої осі, вісь симетрії є однією з головних центральних осей його інерції. Отже, у цьому окремому випадку ми явно отримаємо чистий вигин, приклавши відповідні анавантаження в площині, що проходить через поздовжню вісь балки і вісь симетрії її перерізу. Пряма, перпендикулярна до осі симетрії і проходить через центр тяжкості перерізу, є нейтральною віссю цього перерізу.

Встановивши положення нейтральної осі, неважко знайти і величину напруги в будь-якій точці перерізу. Справді, оскільки сума моментів елементарних зусиль щодо нейтральної осі уу повинна дорівнювати згинальний момент, то

звідки, підставляючи значення з (5.8), знайдемо

Оскільки інтеграл є. моментом інерції перерізу щодо осі уу, то

і з виразу (5.8) отримаємо

Добуток ЕI У називають жорсткістю балки при згинанні.

Найбільше розтягує і найбільше по абсолютній величині напруга, що стискає діють в точках перерізу, для яких абсолютна величина z найбільша, тобто в точках, найбільш віддалених від нейтральної осі. При позначеннях, рис. 95 маємо

Величину Jy/h1 називають моментом опору перерізу розтягу і позначають Wyр; аналогічно, Jy/h2 називають моментом опору перерізу стиску

і позначають Wyc,так що

і тому

Якщо нейтральна вісь є віссю симетрії перерізу, то h1 = h2 = h/2 і, отже, Wyp = Wyc, так що їх розрізняти немає потреби, і користуються одним позначенням:

називаючи W y просто моментом опору перерізу. Отже, у разі перерізу, симетричного щодо нейтральної осі,

Всі наведені вище висновки отримані на підставі припущення, що поперечні перерізи балки, при згині залишаються пласкими і нормальними до її осі (гіпотеза плоских перерізів). Як було показано, це припущення справедливе лише у тому випадку, коли крайні (кінцеві) перерізи балки при згинанні залишаються плоскими. З іншого боку, з гіпотези плоских перерізів слід, що елементарні зусилля в таких перерізах повинні розподілятися за лінійним законом. Тому для справедливості отриманої теорії плоского чистого вигину необхідно, щоб згинальні моменти на кінцях балки були прикладені у вигляді елементарних сил, розподілених по висоті перерізу за лінійним законом (рис. 96), що збігається з законом розподілу напруг по висоті перерізу балки. Однак на підставі принципу Сен-Венана можна стверджувати, що зміна способу застосування згинальних моментів на кінцях балки викликає лише місцеві деформації, вплив яких позначиться лише на деякій відстані від цих кінців (приблизно рівному висоті перерізу). Перетини ж, що знаходяться у всій іншій частині довжини балки, залишаться плоскими. Отже, викладена теорія плоского чистого вигину при будь-якому способі застосування згинальних моментів справедлива тільки в межах середньої частини довжини балки, що знаходиться від її кінців на відстанях, приблизно рівних висоті перерізу. Звідси ясно, що ця теорія явно не застосовна, якщо висота перерізу перевищує половину довжини або прольоту балки.