Na tej lekcji każdy będzie mógł przestudiować temat „Prostokątne pudełko”. Na początku lekcji powtórzymy, czym są dowolne i proste równoległościany, przypomnimy sobie właściwości ich przeciwległych ścian i przekątnych równoległościanu. Następnie zastanowimy się, czym jest prostopadłościan i omówimy jego główne właściwości.

Temat: Prostopadłość linii i płaszczyzn

Lekcja: prostopadłościan

Powierzchnia złożona z dwóch równych równoległoboków ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 oraz czterech równoległoboków ABB 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 nazywa się równoległościan(Rys. 1).

Ryż. 1 równoległościan

To znaczy: mamy dwa równe równoległoboki ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 (podstawy), leżą one w równoległych płaszczyznach, tak że krawędzie boczne AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 są równoległe. Tak więc nazywa się powierzchnię złożoną z równoległoboków równoległościan.

Zatem powierzchnia równoległościanu jest sumą wszystkich równoległoboków tworzących równoległościan.

1. Przeciwległe ściany równoległościanu są równoległe i równe.

(liczby są równe, czyli można je łączyć nakładką)

Na przykład:

ABCD \u003d A 1 B 1 C 1 D 1 (równe równoległoboki z definicji),

AA 1 B 1 B \u003d DD 1 C 1 C (ponieważ AA 1 B 1 B i DD 1 C 1 C są przeciwległymi ścianami równoległościanu),

AA 1 D 1 D \u003d BB 1 C 1 C (ponieważ AA 1 D 1 D i BB 1 C 1 C są przeciwległymi ścianami równoległościanu).

2. Przekątne równoległościanu przecinają się w jednym punkcie i przecinają ten punkt.

Przekątne równoległościanu AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B przecinają się w jednym punkcie O, a każda przekątna jest podzielona przez ten punkt na pół (ryc. 2).

Ryż. 2 Przekątne równoległościanu przecinają się i przecinają punkt przecięcia.

3. Istnieją trzy poczwórne równe i równoległe krawędzie równoległościanu: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, pne, 3 - AA 1, BB 1, SS 1, DD 1.

Definicja. Równoległościan nazywamy prostym, jeśli jego krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw.

Niech krawędź boczna AA 1 będzie prostopadła do podstawy (ryc. 3). Oznacza to, że prosta AA 1 jest prostopadła do prostych AD i AB, które leżą w płaszczyźnie podstawy. A zatem prostokąty leżą na bocznych ścianach. A podstawami są dowolne równoległoboki. Oznaczmy, ∠BAD = φ, kąt φ może być dowolny.

Ryż. 3 Prawe pudełko

Zatem pudełko prawe to pudełko, w którym krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw pudełka.

Definicja. Równoległościan nazywa się prostokątnym, jeśli jego krawędzie boczne są prostopadłe do podstawy. Podstawy to prostokąty.

Równoległościan АВСДА 1 В 1 С 1 D 1 jest prostokątny (ryc. 4), jeśli:

1. AA 1 ⊥ ABCD (krawędź boczna jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, czyli prostopadłościanu).

2. ∠BAD = 90°, czyli podstawa jest prostokątem.

Ryż. 4 prostopadłościan

Prostokątne pudełko ma wszystkie właściwości dowolnego pudełka. Istnieją jednak dodatkowe właściwości, które wywodzą się z definicji prostopadłościanu.

Więc, prostopadłościan jest równoległościanem, którego boczne krawędzie są prostopadłe do podstawy. Podstawą prostopadłościanu jest prostokąt.

1. W prostopadłościanie wszystkie sześć ścian to prostokąty.

ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 są z definicji prostokątami.

2. Żebra boczne są prostopadłe do podstawy. Więc wszystko twarze boczne prostopadłościan - prostokąty.

3. Wszystkie kąty dwuścienne prostopadłościanu są kątami prostymi.

Rozważmy na przykład kąt dwuścienny równoległościanu prostokątnego o krawędzi AB, tj. kąt dwuścienny między płaszczyznami ABB 1 i ABC.

AB jest krawędzią, punkt A 1 leży w jednej płaszczyźnie - w płaszczyźnie ABB 1, a punkt D w drugiej - w płaszczyźnie A 1 B 1 C 1 D 1. Następnie można również oznaczyć rozważany kąt dwuścienny w następujący sposób: ∠A 1 ABD.

Weź punkt A na krawędzi AB. AA 1 jest prostopadła do krawędzi AB na płaszczyźnie ABB-1, AD jest prostopadła do krawędzi AB na płaszczyźnie ABC. Zatem ∠A 1 AD jest kątem liniowym danego kąta dwuściennego. ∠A 1 AD \u003d 90 °, co oznacza, że ​​​​kąt dwuścienny na krawędzi AB wynosi 90 °.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

Udowodniono podobnie, że dowolne kąty dwuścienne prostokątnego równoległościanu są właściwe.

Kwadrat przekątnej prostopadłościanu jest równy sumie kwadratów jego trzech wymiarów.

Notatka. Długości trzech krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu są wymiarami prostopadłościanu. Czasami nazywa się je długością, szerokością, wysokością.

Biorąc pod uwagę: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - prostokątny równoległościan (ryc. 5).

Udowodnić: .

Ryż. 5 Prostopadłościan

Dowód:

Prosta CC 1 jest prostopadła do płaszczyzny ABC, a więc do prostej AC. Zatem trójkąt CC 1 A jest trójkątem prostokątnym. Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa:

Rozważać trójkąt prostokątny ABC. Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa:

Ale BC i AD są przeciwległymi bokami prostokąta. Więc pne = ne. Następnie:

Ponieważ , A , To. Skoro CC 1 = AA 1, to co należało udowodnić.

Przekątne równoległościanu prostokątnego są równe.

Oznaczmy wymiary równoległościanu ABC jako a, b, c (patrz ryc. 6), a następnie AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

Równoległościan jest figura geometryczna, którego wszystkie 6 ścian jest równoległobokami.

W zależności od rodzaju tych równoległoboków wyróżnia się następujące typy równoległościanów:

• prosty;
• skłonny;
• prostokątny.

Prawy równoległościan to graniastosłup czworokątny, którego krawędzie tworzą kąt 90° z płaszczyzną podstawy.

Prostokątny równoległościan to czworokątny graniastosłup, którego wszystkie ściany są prostokątami. Sześcian to rodzaj graniastosłupa czworokątnego, w którym wszystkie ściany i krawędzie są równe.

Cechy figury determinują jej właściwości. Obejmują one następujące 4 stwierdzenia:

Zapamiętanie wszystkich powyższych właściwości jest proste, są one łatwe do zrozumienia i wyprowadzane logicznie w oparciu o typ i cechy bryły geometrycznej. Jednak proste instrukcje mogą być niezwykle przydatne podczas rozwiązywania typowych zadań USE i pozwolą zaoszczędzić czas potrzebny do zdania testu.

Formuły równoległościanów

Aby znaleźć odpowiedzi na problem, nie wystarczy znać tylko właściwości figury. Możesz także potrzebować kilku wzorów, aby znaleźć pole i objętość bryły geometrycznej.

Obszar podstaw znajduje się również jako odpowiedni wskaźnik równoległoboku lub prostokąta. Możesz sam wybrać podstawę równoległoboku. Z reguły przy rozwiązywaniu problemów łatwiej jest pracować z pryzmatem opartym na prostokącie.

Wzór na znalezienie bocznej powierzchni równoległościanu może być również potrzebny w zadaniach testowych.

Przykłady rozwiązywania typowych zadań USE

Ćwiczenie 1.

Dany: prostopadłościan o wymiarach 3, 4 i 12 cm.
Niezbędny Znajdź długość jednej z głównych przekątnych tej figury.
Rozwiązanie: Każde rozwiązanie problemu geometrycznego musi rozpocząć się od skonstruowania poprawnego i jasnego rysunku, na którym zostanie wskazana „podana” i pożądana wartość. Poniższy rysunek jest przykładem poprawny projekt warunki zadania.

Po zbadaniu wykonanego rysunku i zapamiętaniu wszystkich właściwości ciała geometrycznego dochodzimy do jedynego właściwy sposób rozwiązania. Stosując właściwość 4 równoległościanu, otrzymujemy następujące wyrażenie:

Po prostych obliczeniach otrzymujemy wyrażenie b2=169, a więc b=13. Odpowiedź na zadanie została znaleziona, jej wyszukanie i narysowanie nie powinno zająć więcej niż 5 minut.

Istnieje kilka rodzajów równoległościanów:

· prostopadłościan jest równoległościanem ze wszystkimi ścianami - prostokąty;

Prosty równoległościan to równoległościan z 4 ścianami bocznymi - równoległobokami;

· Pudełko ukośne to pudełko, którego ściany boczne nie są prostopadłe do podstaw.

Niezbędne elementy

Dwie ściany równoległościanu, które nie mają wspólnej krawędzi, nazywane są przeciwległymi, a te, które mają wspólną krawędź, nazywane są sąsiednimi. Dwa wierzchołki równoległościanu, które nie należą do tej samej ściany, nazywamy przeciwnymi. Odcinek, nazywa się łączenie przeciwległych wierzchołków przekątna równoległościan. Nazywamy długości trzech krawędzi prostopadłościanu, które mają wspólny wierzchołek pomiary.

Nieruchomości

· Równoległościan jest symetryczny względem środka swojej przekątnej.

Każdy odcinek, którego końce należą do powierzchni równoległościanu i przechodzi przez środek jego przekątnej, jest przez niego podzielony na pół; w szczególności wszystkie przekątne równoległościanu przecinają się w jednym punkcie i dzielą go na pół.

Przeciwległe ściany równoległościanu są równoległe i równe.

Kwadrat długości przekątnej równoległościanu prostokątnego jest równy sumie kwadratów jego trzech wymiarów

Podstawowe formuły

Prawy równoległościan

· Powierzchnia boczna S b \u003d R o * h, gdzie R o to obwód podstawy, h to wysokość

· Kwadrat pełna powierzchnia S p \u003d S b + 2S o, gdzie S o jest obszarem podstawy

· Tom V=S o *h

prostopadłościan

· Powierzchnia boczna S b \u003d 2c (a + b), gdzie a, b to boki podstawy, c to boczna krawędź prostokątnego równoległościanu

· Całkowita powierzchnia S str \u003d 2 (ab + pne + ac)

· Tom V=abc, gdzie a, b, c to wymiary prostopadłościanu.

· Powierzchnia boczna S=6*h 2 , gdzie h jest wysokością krawędzi sześcianu

34. Czworościan jest regularnym wielościanem, ma 4 krawędzie, które są regularne trójkąty. Wierzchołki czworościanu 4 , zbiega się do każdego wierzchołka 3 żeberka, ale całe żebra 6 . Czworościan jest również piramidą.

Nazywa się trójkąty, które tworzą czworościan twarze (AOC, OSV, ACB, AOB), ich boki --- krawędzie (AO, OC, OB), a wierzchołki --- wierzchołki (A, B, C, O) czworościan. Nazywamy dwie krawędzie czworościanu, które nie mają wspólnych wierzchołków naprzeciwko... Czasami jedna z twarzy czworościanu jest wyróżniana i nazywana podstawa i trzy inne --- twarze boczne.

Nazywa się czworościan prawidłowy jeśli wszystkie jego ściany są trójkątami równobocznymi. W tym samym czasie regularny czworościan i regularny trójkątna piramida- to nie to samo.

Na regularny czworościan wszystkie kąty dwuścienne na krawędziach i wszystkie kąty trójścienne na wierzchołkach są równe.

35. Poprawny pryzmat

Pryzmat to wielościan, w którym dwie ściany (podstawy) leżą w równoległych płaszczyznach, a wszystkie krawędzie poza tymi ścianami są do siebie równoległe. Ściany inne niż podstawy nazywane są ścianami bocznymi, a ich krawędzie krawędziami bocznymi. Wszystkie krawędzie boczne są sobie równe jako równoległe odcinki ograniczone dwiema równoległymi płaszczyznami. Wszystkie ściany boczne graniastosłupa są równoległobokami. Odpowiednie boki podstaw graniastosłupa są równe i równoległe. Nazywa się prosty pryzmat, w którym krawędź boczna jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, inne pryzmaty nazywane są pochylonymi. W bazie prawy pryzmat kłamstwa regularny wielokąt. W takim pryzmacie wszystkie ściany są równymi prostokątami.

Powierzchnia graniastosłupa składa się z dwóch podstaw i powierzchni bocznej. Wysokość graniastosłupa to odcinek będący wspólną prostopadłą do płaszczyzn, w których leżą podstawy graniastosłupa. Wysokość graniastosłupa to odległość H między płaszczyznami podstawowymi.

Powierzchnia boczna S Pryzmat b nazywamy sumą pól jego ścian bocznych. Pełna powierzchnia S n graniastosłupa nazywa się sumą pól wszystkich jego ścian. S n = S b + 2 S,Gdzie S jest polem podstawy pryzmatu, S b – pole powierzchni bocznej.

36. Wielościan, który ma jedną ścianę, tzw podstawa, jest wielokątem,
a pozostałe ściany są trójkątami o wspólnym wierzchołku, nazywa się piramida .

Twarze inne niż podstawa są nazywane strona.
Nazywa się wspólny wierzchołek ścian bocznych szczycie piramidy.
Nazywa się krawędzie łączące wierzchołek piramidy z wierzchołkiem podstawy strona.
Wysokość piramidy nazywana prostopadłą poprowadzoną od wierzchołka piramidy do jej podstawy.

Piramida nazywa się prawidłowy, jeśli jego podstawą jest wielokąt foremny, a jego wysokość przechodzi przez środek podstawy.

apotem boczna twarz właściwa piramida zwaną wysokością tej ściany, narysowaną od szczytu piramidy.

Płaszczyzna równoległa do podstawy piramidy przecina ją w podobny ostrosłup i ścięta piramida.

Właściwości regularnych piramid

• Boczne krawędzie regularnego ostrosłupa są równe.
• Ściany boczne regularnej piramidy są równymi sobie trójkątami równoramiennymi.

Jeśli wszystkie krawędzie boczne są równe, to

Wysokość jest rzutowana na środek opisanego okręgu;

żebra boczne tworzą równe kąty z płaszczyzną podstawy.

Jeśli ściany boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod jednym kątem, to

Wysokość jest rzutowana na środek wpisanego okręgu;

wysokości ścian bocznych są równe;

Pole powierzchni bocznej jest równe połowie iloczynu obwodu podstawy i wysokości powierzchni bocznej

37. Funkcja y=f(x), gdzie x należy do zbioru liczby naturalne, nazywamy funkcją argumentu naturalnego lub ciągiem liczbowym. Oznacz to y=f(n) lub (y n)

Sekwencje można ustawić różne sposoby, werbalnie, tak jest podawana sekwencja liczby pierwsze:

2, 3, 5, 7, 11 itd

Uważa się, że ciąg jest dany analitycznie, jeśli podany jest wzór jego n-tego elementu:

1, 4, 9, 16, …, n2, …

2) y n = C. Taka sekwencja nazywana jest stałą lub stacjonarną. Na przykład:

2, 2, 2, 2, …, 2, …

3) y n \u003d 2 n. Na przykład,

2, 2 2 , 2 3 , 2 4 , …, 2n , …

Mówimy, że ciąg jest ograniczony z góry, jeśli wszystkie jego elementy są co najwyżej pewną liczbą. Innymi słowy, ciąg można nazwać ograniczonym, jeśli istnieje taka liczba M, że nierówność y n jest mniejsza lub równa M. Liczbę M nazywamy górną granicą ciągu. Na przykład sekwencja: -1, -4, -9, -16, ..., - n 2 ; ograniczona od góry.

Podobnie można powiedzieć, że ciąg jest ograniczony od dołu, jeśli wszystkie jego elementy są większe niż pewna liczba. Jeśli ciąg jest ograniczony zarówno z góry, jak i z dołu, mówimy, że jest ograniczony.

Mówimy, że ciąg jest rosnący, jeśli każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego.

Ciąg nazywamy malejącym, jeśli każdy kolejny wyraz jest mniejszy od poprzedniego. Ciągi rosnące i malejące określa jeden termin - ciągi monotoniczne.

Rozważ dwie sekwencje:

1) y n: 1, 3, 5, 7, 9, …, 2n-1, …

2) x n: 1, ½, 1/3, 1/4, …, 1/n, …

Jeśli przedstawimy elementy tego ciągu na prostej rzeczywistej, to zauważymy, że w drugim przypadku elementy tego ciągu skupiają się wokół jednego punktu, aw pierwszym przypadku tak nie jest. W takich przypadkach mówimy, że ciąg y n jest rozbieżny, a ciąg x n jest zbieżny.

Liczbę b nazywamy granicą ciągu y n, jeśli dowolne wybrane z góry otoczenie punktu b zawiera wszystkie elementy ciągu, począwszy od pewnej liczby.

W tym przypadku możemy napisać:

Jeśli iloraz modulo progresji jest mniejszy niż jeden, to granica tego ciągu, gdy x dąży do nieskończoności, jest równa zeru.

Jeśli ciąg jest zbieżny, to tylko do jednej granicy

Jeśli ciąg jest zbieżny, to jest ograniczony.

Twierdzenie Weierstrassa: Jeśli ciąg jest zbieżny monotonicznie, to jest ograniczony.

Granica ciągu stacjonarnego jest równa dowolnemu członowi ciągu.

Nieruchomości:

1) Limit sumy jest równy sumie limitów

2) Limit produktu jest równy iloczynowi limitów

3) Granica ilorazu jest równa ilorazowi granic

4) Stały współczynnik można usunąć ze znaku granicy

Pytanie 38
suma nieskończonego postępu geometrycznego

Postęp geometryczny- ciąg liczb b 1 , b 2 , b 3 ,.. (elementy ciągu), w którym każda kolejna liczba, począwszy od drugiej, jest otrzymywana z poprzedniej przez pomnożenie jej przez określoną liczbę q (tzw. mianownik progresji), gdzie b 1 ≠0, q ≠0.

Suma nieskończonego postępu geometrycznego jest liczbą graniczną, do której zbiega się sekwencja progresji.

Innymi słowy, nieważne jak długo postęp geometryczny, suma jego członków jest nie większa niż pewna liczba i jest praktycznie równa tej liczbie. Nazywa się to sumą postępu geometrycznego.

Nie każdy postęp geometryczny ma taką graniczną sumę. Może być tylko w takim przebiegu, którego mianownik jest liczba ułamkowa mniej niż 1.

Równoległobok oznacza płaszczyznę w języku greckim. Równoległościan to graniastosłup, którego podstawą jest równoległobok. Istnieje pięć rodzajów równoległoboków: ukośny, prosty i prostokątny. Sześcian i romboedr również należą do równoległościanu i są jego odmianą.

Zanim przejdziemy do podstawowych pojęć, podajmy kilka definicji:

• Przekątna równoległościanu to odcinek łączący przeciwległe wierzchołki równoległościanu.
• Jeśli dwie ściany mają wspólną krawędź, możemy je nazwać sąsiednimi krawędziami. Jeśli nie ma wspólnej krawędzi, wówczas twarze nazywane są przeciwnymi.
• Dwa wierzchołki, które nie leżą na tej samej ścianie, nazywamy przeciwnymi.

Jakie są właściwości równoległościanu?

1. Ściany równoległościanu leżącego po przeciwnych stronach są do siebie równoległe i równe.
2. Jeśli narysujesz przekątne z jednego wierzchołka do drugiego, punkt przecięcia tych przekątnych podzieli je na pół.
3. Boki równoległościanu leżącego pod tym samym kątem do podstawy będą równe. Innymi słowy, kąty boków współkierunkowych będą sobie równe.

Jakie są rodzaje równoległościanów?

Teraz dowiedzmy się, czym są równoległościany. Jak wspomniano powyżej, istnieje kilka rodzajów tej figury: prosty, prostokątny, ukośny równoległościan, a także sześcian i romboedr. Czym się od siebie różnią? Chodzi o płaszczyzny, które je tworzą, i kąty, które tworzą.

Przyjrzyjmy się bliżej każdemu z wymienionych typów równoległościanów.

• Jak sama nazwa wskazuje, skośne pudełko ma skośne ściany, a mianowicie te ściany, które nie są pod kątem 90 stopni w stosunku do podstawy.
• Ale dla prawego równoległościanu kąt między podstawą a ścianą wynosi zaledwie dziewięćdziesiąt stopni. Z tego powodu ten typ równoległościanu ma taką nazwę.
• Jeśli wszystkie ściany równoległościanu są tymi samymi kwadratami, to tę figurę można uznać za sześcian.
• Prostokątny równoległościan ma swoją nazwę ze względu na płaszczyzny, które go tworzą. Jeśli wszystkie są prostokątami (łącznie z podstawą), to jest to prostopadłościan. Ten typ równoległościanu nie jest tak powszechny. W języku greckim romboedr oznacza twarz lub podstawę. Tak nazywa się trójwymiarowa figura, w której twarze są rombami.

Podstawowe wzory na równoległościan

Objętość równoległościanu jest równa iloczynowi pola podstawy i jego wysokości prostopadłej do podstawy.

Pole powierzchni bocznej będzie równe iloczynowi obwodu podstawy i wysokości.
Znając podstawowe definicje i wzory, możesz obliczyć pole podstawy i objętość. Możesz wybrać bazę według własnego uznania. Jednak z reguły prostokąt jest używany jako podstawa.