- Бұл пирамиданың табанынан және оған параллель кесіндіден құралған көпбұрыш. Біз кесілген пирамиданы төбесі кесілген пирамида деп айта аламыз. Бұл фигура көптеген ерекше қасиеттерге ие:
- Пирамиданың бүйір беттері трапеция тәрізді;
- Тұрақты кесілген пирамиданың бүйір қабырғалары бірдей ұзындықта және бірдей бұрышта негізге еңкейген;
- Негіздері ұқсас көпбұрыштар;
- Кәдімгі кесілген пирамидада беттер бірдей тең қабырғалы трапецияларауданы тең. Олар сондай-ақ бір бұрышта негізге бейім.
Кесілген пирамиданың бүйір бетінің ауданының формуласы оның қабырғаларының аудандарының қосындысы болып табылады: 
Кесілген пирамиданың қабырғалары трапеция болғандықтан, параметрлерді есептеу үшін формуланы қолдануға тура келеді. трапеция аймағы. Кәдімгі кесілген пирамида үшін ауданды есептеудің басқа формуласын қолдануға болады. Оның барлық қабырғалары, беттері және табандағы бұрыштары тең болғандықтан, негіз мен апотеманың периметрін қолдануға, сонымен қатар негіздегі бұрыш арқылы ауданды шығаруға болады.
Егер кәдімгі кесілген пирамидадағы шарттарға сәйкес апотема (жүйенің биіктігі) және табанның қабырғаларының ұзындықтары берілсе, онда ауданды периметрлердің қосындысының жарты көбейтіндісі арқылы есептеуге болады. негіздері мен апотемасы:
Кесілген пирамиданың бүйір бетінің ауданын есептеудің мысалын қарастырайық.
Кәдімгі бесбұрышты пирамида берілген. Апотем л\u003d 5 см, үлкен негізде беттің ұзындығы а\u003d 6 см, ал бет кішірек негізде б\u003d 4 см. Кесілген пирамиданың ауданын есептеңіз.
Алдымен табандардың периметрлерін табайық. Бізге бесбұрышты пирамида берілгендіктен, біз табандары бесбұрыштар екенін түсінеміз. Бұл негіздердің бес бірдей жақтары бар фигура екенін білдіреді. Үлкен табанның периметрін табыңыз:
Дәл осылай кіші табанның периметрін табамыз:
Енді біз кәдімгі кесілген пирамиданың ауданын есептей аламыз. Формуладағы деректерді ауыстырамыз:
Осылайша, біз периметрі мен апотемасы арқылы қалыпты кесілген пирамиданың ауданын есептедік.
Бүйір бетінің ауданын есептеудің тағы бір жолы дұрыс пирамида, бұл формула негіздегі бұрыштар арқылы және дәл осы негіздердің ауданы.
Есептің мысалын қарастырайық. Мұны есте сақтаңыз берілген формулакәдімгі кесілген пирамидаға ғана қатысты.
Тұрақты төртбұрышты пирамида берілсін. Төменгі табанның беті a = 6 см, ал үстіңгі бөлігінің беті b = 4 см табандағы екібұрышты бұрыш β = 60 °. Дұрыс кесілген пирамиданың бүйір бетінің ауданын табыңыз.
Алдымен, негіздердің ауданын есептейік. Пирамида дұрыс болғандықтан, табандардың барлық беттері бір-біріне тең. Негіз төртбұрыш екенін ескерсек, есептеу қажет болатынын түсінеміз шаршы алаңы. Бұл ені мен ұзындығының көбейтіндісі, бірақ квадрат болса, бұл мәндер бірдей. Үлкен табанының ауданын табыңыз: 
Енді біз бүйір бетінің ауданын есептеу үшін табылған мәндерді қолданамыз. 
Бірнеше қарапайым формулаларды біле отырып, біз әртүрлі мәндер арқылы кесілген пирамиданың бүйірлік трапециясының ауданын оңай есептедік.
Кеңістіктік фигуралардың көлемін есептей білу геометрияның бірқатар практикалық есептерін шешуде маңызды. Ең көп таралған пішіндердің бірі - пирамида. Бұл мақалада біз толық және кесілген пирамидаларды қарастырамыз.
Пирамида үш өлшемді фигура ретінде
Барлығы біледі Египет пирамидалары, сондықтан қандай фигураның талқыланатыны жақсы ұсынылған. Дегенмен, Египеттің тас құрылымдары үлкен пирамидалар класының ерекше жағдайы ғана.
Жалпы жағдайда қарастырылатын геометриялық объект – көпбұрышты табан, оның әрбір төбесі кеңістіктегі негіз жазықтығына жатпайтын қандай да бір нүктемен байланысқан. Бұл анықтамабір n-бұрыштан және n үшбұрыштан тұратын фигураға әкеледі.
Кез келген пирамида n+1 бет, 2*n шет және n+1 төбеден тұрады. Қарастырылып отырған фигура тамаша көп қырлы болғандықтан, белгіленген элементтердің саны Эйлер теңдеуіне бағынады:
2*n = (n+1) + (n+1) - 2.
Негізінде орналасқан көпбұрыш пирамиданың атын береді, мысалы, үшбұрышты, бесбұрышты және т.б. Пирамидалар жиынтығы әртүрлі негіздертөмендегі фотода көрсетілген.
Фигураның n үшбұрышы қосылған нүкте пирамиданың төбесі деп аталады. Егер одан табанға перпендикуляр түсірілсе және ол оны геометриялық орталықта қиып өтсе, онда мұндай фигураны түзу деп атайды. Егер бұл шарт орындалмаса, онда көлбеу пирамида бар.
Негізі тең бүйірлі (теңбұрышты) n-бұрыштан тұратын түзу фигураны дұрыс деп атайды.
Пирамида көлемінің формуласы
Пирамиданың көлемін есептеу үшін біз интегралдық есептеуді қолданамыз. Ол үшін фигураны табанға параллель секант жазықтықтары арқылы шексіз көп жұқа қабаттарға бөлеміз. Төмендегі суретте биіктігі h және бүйірінің ұзындығы L төртбұрышты пирамида көрсетілген, онда төртбұрыш белгіленеді. жұқа қабатбөлімдер.
Әрбір осындай қабаттың ауданын формула бойынша есептеуге болады:
A(z) = A 0 *(h-z) 2 /сағ 2 .
Мұнда A 0 – негіздің ауданы, z – тік координатаның мәні. Егер z = 0 болса, онда формула А 0 мәнін беретінін көруге болады.
Пирамида көлемінің формуласын алу үшін фигураның бүкіл биіктігіне интегралды есептеу керек, яғни:
V = ∫ h 0 (A(z)*dz).
A(z) тәуелділігін қойып, антитуындыны есептеп, өрнекке келеміз:
V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*сағ 2)| h 0 \u003d 1/3 * A 0 * сағ.
Біз пирамида көлемінің формуласын алдық. V мәнін табу үшін фигураның биіктігін негіздің ауданына көбейту жеткілікті, содан кейін нәтижені үшке бөлу керек.
Алынған өрнек ерікті типтегі пирамиданың көлемін есептеу үшін жарамды екенін ескеріңіз. Яғни, ол көлбеу болуы мүмкін, ал оның негізі ерікті n-гон болуы мүмкін.
және оның көлемі
Жоғарыдағы абзацта алынды жалпы формулакөлемі үшін пирамида жағдайында көрсетілуі мүмкін дұрыс негіз. Мұндай негіздің ауданы келесі формула бойынша есептеледі:
A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).
Мұнда L – n төбелері бар дұрыс көпбұрыштың қабырғасының ұзындығы. Пи символы пи саны болып табылады.
Жалпы формулаға A 0 өрнегін қойып, дұрыс пирамиданың көлемін аламыз:
V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).
Мысалы, үшбұрышты пирамида үшін бұл формула әкеледі келесі өрнек:
V 3 \u003d 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) \u003d √3 / 12 * L 2 * сағ.
Кәдімгі төртбұрышты пирамида үшін көлем формуласы келесідей болады:
V 4 \u003d 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) \u003d 1/3 * L 2 * сағ.
Тұрақты пирамидалардың көлемдерін анықтау үшін олардың табанының жағын және фигураның биіктігін білу қажет.
Пирамида кесілген
Біз ерікті пирамиданы алып, оның бүйір бетінің шыңы бар бөлігін кесіп алдық делік. Қалған фигура кесілген пирамида деп аталады. Ол қазірдің өзінде екі n-бұрышты негізден және оларды қосатын n трапециядан тұрады. Егер қиюшы жазықтық фигураның табанына параллель болса, онда параллель ұқсас табандары бар кесілген пирамида пайда болады. Яғни, олардың біреуінің қабырғаларының ұзындықтарын екіншісінің ұзындықтарын қандай да бір k коэффициентіне көбейту арқылы алуға болады.
Жоғарыдағы суретте қысқартылған дұрыс кескін көрсетілген.Оның жоғарғы табаны төменгі сияқты дұрыс алтыбұрыштан құралғанын көруге болады.
Жоғарыда келтірілгенге ұқсас интегралдық есептеуді пайдаланып шығаруға болатын формула:
V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).
Мұндағы A 0 және A 1 сәйкесінше төменгі (үлкен) және жоғарғы (кіші) табандардың аудандары. h айнымалысы кесілген пирамиданың биіктігін білдіреді.
Хеопс пирамидасының көлемі
Ең үлкен Египет пирамидасының көлемін анықтау мәселесін шешу қызықты.
1984 жылы британдық египтологтар Марк Ленер мен Джон Гудман Хеопс пирамидасының нақты өлшемдерін анықтады. Оның бастапқы биіктігі 146,50 метр (қазіргі уақытта шамамен 137 метр) болды. Құрылымның төрт жағының әрқайсысының орташа ұзындығы 230,363 метрді құрады. Пирамиданың негізі жоғары дәлдікшаршы болып табылады.
Берілген фигуралар арқылы осы тас алыптың көлемін анықтайық. Пирамида дұрыс төртбұрыш болғандықтан, ол үшін формула жарамды:
Сандарды қоса отырып, біз аламыз:
V 4 \u003d 1/3 * (230,363) 2 * 146,5 ≈ 2591444 м 3.
Хеопс пирамидасының көлемі шамамен 2,6 миллион м 3 құрайды. Салыстыру үшін олимпиадалық бассейннің көлемі 2,5 мың м 3 екенін атап өтеміз. Яғни, бүкіл Хеопс пирамидасын толтыру үшін 1000-нан астам осындай бассейндер қажет болады!
Бір беті көпбұрыш, ал қалған барлық беттері ортақ төбесі бар үшбұрыштар болатын көпбұрышты пирамида деп атайды.
Пирамиданы құрайтын бұл үшбұрыштар деп аталады бүйір беттері, ал қалған көпбұрыш болады негізіпирамидалар.
Пирамиданың түбінде жатыр геометриялық фигура– n-gon. Бұл жағдайда пирамида деп те аталады n-көмір.
Барлық шеттері тең үшбұрышты пирамида деп аталады тетраэдр.
Пирамиданың табанына жатпайтын шеттері деп аталады бүйірлік, және олардың ортақ нүктесі шыңыпирамидалар. Пирамиданың басқа шеттері әдетте деп аталады құрылтай партиялары.
пирамида деп аталады дұрысоның негізі болса дұрыс көпбұрыш, және барлық бүйір жиектер бір-біріне тең.
Пирамиданың төбесінен табанының жазықтығына дейінгі қашықтық деп аталады биікпирамидалар. Пирамиданың биіктігін табанға перпендикуляр кесінді деп айта аламыз, оның ұштары пирамиданың жоғарғы жағында және табан жазықтығында орналасқан.
Кез келген пирамида үшін келесі формулалар орындалады:
1) S толық \u003d S жағы + S негізгі, Қайда
S толық аумақ толық бетіпирамидалар;
S жағы - бүйір бетінің ауданы, яғни. пирамиданың барлық бүйір беттерінің аудандарының қосындысы;
S негізі – пирамида табанының ауданы.
2) V = 1/3 S негізгі N, Қайда
V – пирамиданың көлемі;
H - пирамиданың биіктігі.
Үшін дұрыс пирамидаорын алады:
S жағы = 1/2 P негізгі h, Қайда
P негізгі – пирамида табанының периметрі;
h – апотеманың ұзындығы, яғни пирамиданың төбесінен түсірілген бүйір бетінің биіктігінің ұзындығы.
Пирамиданың табанға параллель жүргізілген екі жазықтық – табан жазықтығы мен секант жазықтығы арасында орналасқан бөлігі деп аталады. кесілген пирамида.
Пирамиданың табаны және пирамиданың параллель жазықтыққа кесіндісі деп аталады негіздеркесілген пирамида. Қалған беттер деп аталады бүйірлік. Негіздердің жазықтықтары арасындағы қашықтық деп аталады биіккесілген пирамида. Негіздерге жатпайтын жиектер деп аталады бүйірлік.
Сонымен қатар, кесілген пирамиданың негіздері ұқсас n-гондар. Егер қиық пирамиданың табандары дұрыс көпбұрыштар болса және барлық бүйір қырлары бір-біріне тең болса, онда мұндай қиық пирамида деп аталады. дұрыс.
Үшін ерікті кесілген пирамидакелесі формулалар орындалады:
1) S толық \u003d S жағы + S 1 + S 2, Қайда
S толық – жалпы бетінің ауданы;
S жағы - бүйір бетінің ауданы, яғни. трапеция болып табылатын кесілген пирамиданың барлық бүйір беттерінің аудандарының қосындысы;
S 1, S 2 - базалық аймақтар;
2) V = 1/3(S 1 + S 2 + √(S 1 S 2))H, Қайда
V – кесілген пирамиданың көлемі;
H – кесілген пирамиданың биіктігі.
Үшін тұрақты кесілген пирамидабізде де бар:
S жағы \u003d 1/2 (P 1 + P 2) сағ,Қайда
P 1, P 2 - негіздердің периметрлері;
h - апотема (трапеция болып табылатын бүйір бетінің биіктігі).
Кесілген пирамидадағы бірнеше есептерді қарастырыңыз.
1-тапсырма.
Биіктігі 10 болатын үшбұрышты қиық пирамидада табандарының бірінің қабырғалары 27, 29 және 52. Екінші табанының периметрі 72 болса, қиылған пирамиданың көлемін анықтаңдар.
Шешім.
Суретте көрсетілген ABCA 1 B 1 C 1 кесілген пирамидасын қарастырайық 1-сурет.
1. Кесілген пирамиданың көлемін формула бойынша табуға болады
V = 1/3H (S 1 + S 2 + √(S 1 S 2)), мұнда S 1 - негіздердің бірінің ауданы, Герон формуласы арқылы табуға болады.
S = √(p(p – a)(p – b)(p – c)),
өйткені Есеп үшбұрыштың үш қабырғасының ұзындықтары берілген.
Бізде: p 1 \u003d (27 + 29 + 52) / 2 \u003d 54.
S 1 \u003d √ (54 (54 - 27) (54 - 29) (54 - 52)) \u003d √ (54 27 25 2) \u003d 270.
2. Пирамида кесілген, яғни ұқсас көпбұрыштар табандарда жатыр. Біздің жағдайда ABC үшбұрышы A 1 B 1 C 1 үшбұрышына ұқсас. Сонымен қатар, ұқсастық коэффициентін қарастырылатын үшбұрыштардың периметрлерінің қатынасы ретінде табуға болады, ал олардың аудандарының қатынасы ұқсастық коэффициентінің квадратына тең болады. Осылайша, бізде:
S 1 /S 2 \u003d (P 1) 2 / (P 2) 2 \u003d 108 2 / 72 2 \u003d 9/4. Демек, S 2 \u003d 4S 1/9 \u003d 4 270/9 \u003d 120.
Сонымен V = 1/3 10(270 + 120 + √(270 120)) = 1900.
Жауабы: 1900 ж.
2-тапсырма.
Үшбұрышты кесілген пирамидада үстіңгі табанның бүйір жағы арқылы қарама-қарсы бүйір жиегіне параллель жазықтық жүргізілген. Егер табандарының сәйкес қабырғалары 1:2 қатынасында болса, кесілген пирамиданың көлемі қандай қатынасқа бөлінеді?
Шешім.
ABCA 1 B 1 C 1 - суретте бейнеленген кесілген пирамиданы қарастырайық. күріш. 2.
Табандарда қабырғалар 1:2 қатынасында болғандықтан, табандардың аудандары 1:4 қатынасында болады (АВС үшбұрышы А 1 В 1 С 1 үшбұрышына ұқсас).
Сонда кесілген пирамиданың көлемі:
V = 1/3сағ (S 1 + S 2 + √(S 1 S 2)) = 1/3сағ (4S 2 + S 2 + 2S 2) = 7/3 сағ S 2, мұндағы S 2 - ауданы жоғарғы негіз, h - биіктік.
Бірақ ADEA 1 B 1 C 1 призманың көлемі V 1 = S 2 h, демек,
V 2 \u003d V - V 1 \u003d 7/3 сағ S 2 - сағ S 2 \u003d 4/3 сағ S 2.
Сонымен, V 2: V 1 \u003d 3: 4.
Жауабы: 3:4.
3-тапсырма.
Дұрыс төртбұрышты қиық пирамиданың табандарының қабырғалары 2 және 1, ал биіктігі 3. Пирамиданың табандарына параллель болатын пирамида диагональдарының қиылысу нүктесі арқылы пирамиданы екі бөлікке бөлетін жазықтық жүргізілген. . Олардың әрқайсысының көлемін табыңыз.
Шешім.
Суретте көрсетілген ABCD 1 B 1 C 1 D 1 кесілген пирамидасын қарастырайық. күріш. 3.
O 1 O 2 \u003d x, содан кейін OO₂ \u003d O 1 O - O 1 O 2 \u003d 3 - x деп белгілейік.
B 1 O 2 D 1 үшбұрышын және BO 2 D үшбұрышын қарастырайық:
бұрышы B 1 O 2 D 1 бұрышқа тең BO 2 D тік ретінде;
ВDO 2 бұрышы D 1 B 1 O 2 бұрышына және O 2 ВD бұрышы B 1 D 1 көлденең жатқандағы B 1 D 1 O 2 бұрышына тең || BD және сәйкесінше B₁D және BD₁ секандары.
Демек, B 1 O 2 D 1 үшбұрышы BO 2 D үшбұрышына ұқсас және қабырғаларының қатынасы орын алады:
B1D 1 / BD \u003d O 1 O 2 / OO 2 немесе 1/2 \u003d x / (x - 3), қайдан x \u003d 1.
В 1 D 1 В үшбұрышын және LO 2 B үшбұрышын қарастырайық: В бұрышы ортақ, сонымен қатар B 1 D 1 нүктесінде бір жақты бұрыштар жұбы бар || LM, онда B 1 D 1 B үшбұрышы LO 2 B үшбұрышына ұқсас, мұндағы B 1 D: LO 2 \u003d OO 1: OO 2 \u003d 3: 2, яғни.
LO 2 \u003d 2/3 B 1 D 1, LN \u003d 4/3 B 1 D 1.
Сонда S KLMN = 16/9 S A 1 B 1 C 1 D 1 = 16/9.
Сонымен, V 1 \u003d 1/3 2 (4 + 16/9 + 8/3) \u003d 152/27.
V 2 \u003d 1/3 1 (16/9 + 1 + 4/3) \u003d 37/27.
Жауабы: 152/27; 37/27.
blog.site, материалды толық немесе ішінара көшіру арқылы дереккөзге сілтеме қажет.
Пирамида. Кесілген пирамида
Пирамидакөпбұрыш деп аталады, оның бір беті көпбұрыш ( негіз ) және барлық басқа беттер ортақ төбесі бар үшбұрыштар ( бүйір беттері ) (Cурет 15). пирамида деп аталады дұрыс , егер оның табаны дұрыс көпбұрыш болса және пирамиданың төбесі табанның ортасына проекцияланса (16-сурет). Барлық шеттері бірдей үшбұрышты пирамида деп аталады тетраэдр .
Бүйір қабырғасыпирамида негізге жатпайтын бүйір бетінің жағы деп аталады Биіктігі пирамида – оның төбесінен табан жазықтығына дейінгі қашықтық. Дұрыс пирамиданың барлық бүйір жиектері бір-біріне тең, барлық бүйір беттері бірдей тең қабырғалы үшбұрыштар. Төбесінен жүргізілген дұрыс пирамиданың бүйір бетінің биіктігі деп аталады апотема . диагональды кесінді Пирамиданың қимасы бір бетке жатпайтын екі бүйір жиегі арқылы өтетін жазықтық деп аталады.
Бүйір бетінің ауданыпирамида барлық бүйір беттерінің аудандарының қосындысы деп аталады. Толық бетінің ауданы барлық бүйір беттер мен негіз аудандарының қосындысы болып табылады.
Теоремалар
1. Егер пирамидада барлық бүйір қырлары табан жазықтығына бірдей көлбеу болса, онда пирамиданың төбесі табанның жанындағы сызылған шеңбердің ортасына проекцияланады.
2. Егер пирамидада барлық бүйір қырларының ұзындығы бірдей болса, онда пирамиданың төбесі табанының жанындағы сызылған шеңбердің ортасына проекцияланады.
3. Егер пирамидада барлық беттер табан жазықтығына бірдей көлбеу болса, онда пирамиданың төбесі табанына сызылған шеңбердің ортасына проекцияланады.
Ерікті пирамиданың көлемін есептеу үшін формула дұрыс:
Қайда В- көлем;
S негізгі- базалық аумақ;
Хпирамиданың биіктігі.
Тұрақты пирамида үшін келесі формулалар дұрыс:
Қайда б- негіздің периметрі;
h a- апотема;
Х- биіктігі;
S толы
S жағы
S негізгі- базалық аумақ;
Вқалыпты пирамиданың көлемі.
кесілген пирамидапирамиданың табаны мен пирамида табанына параллель қиюшы жазықтықтың арасына қоршалған бөлігін атайды (17-сурет). Дұрыс кесілген пирамида пирамида табанына параллель табан мен қиюшы жазықтықтың арасында орналасқан қалыпты пирамиданың бөлігі деп аталады.
Негіздеркесілген пирамида – ұқсас көпбұрыштар. Бүйір беттер - трапеция. Биіктігі кесілген пирамида табандарының арасындағы қашықтық деп аталады. Диагональ Қиық пирамида деп оның бір бетінде жатпайтын төбелерін қосатын кесіндіні айтады. диагональды кесінді Кесілген пирамиданың кесіндісі бір бетке жатпайтын екі бүйір жиегі арқылы өтетін жазықтық деп аталады.
Кесілген пирамида үшін формулалар жарамды:
(4)
Қайда С 1 , С 2 - жоғарғы және төменгі негіздердің аудандары;
S толыжалпы бетінің ауданы;
S жағыбүйір бетінің ауданы болып табылады;
Х- биіктігі;
В- қиылған пирамиданың көлемі.
Тұрақты кесілген пирамида үшін келесі формула дұрыс:
Қайда б 1 , б 2 - базалық периметрлер;
h a- кәдімгі кесілген пирамиданың апотемасы.
1-мысалТұрақты үшбұрышты пирамидада табандағы екібұрышты бұрыш 60º. Бүйірлік жиектің табан жазықтығына еңкею бұрышының тангенсін табыңыз.
Шешім.Сурет салайық (18-сурет).
 |
Пирамида дұрыс, яғни табаны тең бүйірлі үшбұрыш және барлық бүйір беттері бірдей тең қабырғалы үшбұрыштар. Негіздегі екібұрышты бұрыш – пирамиданың бүйір бетінің табан жазықтығына еңкею бұрышы. Сызықтық бұрыш бұрыш болады аекі перпендикуляр арасында: яғни. Пирамиданың төбесі үшбұрыштың центріне (шектелген шеңбердің және үшбұрышта сызылған шеңбердің центріне) проекцияланған. ABC). Бүйірлік қабырғаның көлбеу бұрышы (мысалы СБ) жиектің өзі мен оның негізгі жазықтыққа проекциясы арасындағы бұрыш. Қабырға үшін СБбұл бұрыш бұрыш болады SBD. Тангенсті табу үшін аяқтарды білу керек SOЖәне ОБ. Сегменттің ұзындығы болсын BD 3 болып табылады А. нүкте ТУРАЛЫсызық сегменті BDбөліктерге бөлінеді: және Біз табамыз SO: 
Біз мынаны табамыз: 
Жауап:
2-мысалТұрақты қиық төртбұрышты пирамиданың көлемін табыңыз, егер оның табандарының диагональдары см және см, ал биіктігі 4 см болса.
Шешім.Қиық пирамиданың көлемін табу үшін (4) формуланы қолданамыз. Негіздердің аудандарын табу үшін олардың диагональдарын біле отырып, табан квадраттарының қабырғаларын табу керек. Негіздердің қабырғалары сәйкесінше 2 см және 8 см. Бұл негіздердің аудандарын білдіреді және барлық деректерді формулаға ауыстырып, кесілген пирамиданың көлемін есептейміз:
Жауап: 112 см3.
3-мысалТабандарының қабырғалары 10 см және 4 см, пирамидасының биіктігі 2 см болатын дұрыс үшбұрышты кесілген пирамиданың бүйір бетінің ауданын табыңыз.
Шешім.Сурет салайық (19-сурет).
Бұл пирамиданың бүйір беті тең қабырғалы трапеция. Трапецияның ауданын есептеу үшін табандары мен биіктігін білу керек. Негіздер шарт бойынша берілген, тек биіктігі белгісіз болып қалады. Қайдан тауып ал А 1 Енүктеден перпендикуляр А 1 төменгі негіз жазықтығында, А 1 D- перпендикуляр А 1 қосулы AC. А 1 Е\u003d 2 см, өйткені бұл пирамиданың биіктігі. табу үшін DEбіз қосымша сызба жасаймыз, онда біз жоғарғы көріністі бейнелейміз (Cурет 20). Нүкте ТУРАЛЫ- жоғарғы және төменгі негіздердің орталықтарының проекциясы. бері (20-суретті қараңыз) және Екінші жағынан ЖАРАЙДЫ МАсызылған шеңбердің радиусы және 
ОМсызылған шеңбердің радиусы:
MK=DE.
-дан Пифагор теоремасы бойынша
Бүйірлік бет аймағы: 
Жауап:
4-мысалПирамиданың табанында табандары тең қабырғалы трапеция жатыр АЖәне б (а> б). Әрбір бүйір бетіпирамида табанының жазықтығымен бұрыш жасайды j. Пирамиданың жалпы бетінің ауданын табыңыз.
Шешім.Сурет салайық (21-сурет). Пирамиданың жалпы бетінің ауданы SABCDтрапецияның аудандары мен ауданының қосындысына тең А Б С Д.
Пирамиданың барлық беттері табан жазықтығына бірдей көлбеу болса, онда төбе табанға сызылған шеңбердің ортасына проекцияланады деген тұжырымды қолданамыз. Нүкте ТУРАЛЫ- шыңның проекциясы Спирамиданың негізінде. Үшбұрыш SODүшбұрыштың ортогональ проекциясы болып табылады CSDбазалық жазықтыққа. Жазық фигураның ортогональ проекциясының ауданы туралы теорема бойынша мынаны аламыз:
Сол сияқты, бұл білдіреді 
Осылайша, мәселе трапецияның ауданын табуға дейін қысқарды А Б С Д. Трапеция сызыңыз А Б С Дбөлек (Cурет 22). Нүкте ТУРАЛЫтрапецияға сызылған шеңбердің центрі.
Шеңберді трапецияға жазуға болатындықтан, Пифагор теоремасы бойынша бізде
