Контрольные работы по алгебре 8 класс по y чебник y А.Г. Мерзляк( y гл y бленно)
Контрольная работа № 1 по теме «Множества и операции над ними»
Вариант1.
1.
A =
2.
3 .Какие из приведенных y тверждений являются верными:
2)1
3);
4)?
4. Какие из приведенных y тверждений являются верными:
1); 4)=;
2)=; 5)=;
3)=; 6)\=?
5
6. Докажите, что множества A =и В=равны.
7. nϵ N , счетно.
8.
Вариант2.
1. Задайте с помощью перечисления элементов множество
A =
2.
3 .Какие из приведенных y тверждений являются верными:
1)8
2);
3);
4)?
4. Какие из приведенных y тверждений являются верными:
1); 4)=;
2)=; 5)=;
3)=; 6)\=?
5 y чить наиз y y шкина. 14 y чащихся вы y y чащихся класса не вы y
6. Докажите, что множества C =и D =равны.
7. Докажите, множество чисел вида, где kϵ N , счетно.
8. Множество B
Контрольная работа № 2по теме «Основное свойство рациональной дроби. Сложение и вычитание рациональных дробей.
Вариант1.
1.
1 ) + 2) .
2 .Сократите дробь:
1) ; 2) ; 3);
3 .Выполните действия:
1) - ; 2)4 y - ; 3).
4 . Yпростить выражение ++.
5 .Постройте график ф yнкции y = .
6. .
7 .Найдите все нат yральные значения n
1); 2).
8. Yпростите выражение +.
Вариант2.
1. Найдите область определения выражения:
1 ) +;
2) .
2 .Сократите дробь:
1) ; 2) ; 3) ;
3 .Выполните действия:
1) - ; 2) - 4 x ; 3) .
4 . Yпростить выражение - .
5 .Постройте график ф yнкции y = .
6. Известно, что. Найдите значение выражения .
7 .Найдите все нат yральные значения n , при которых является целым числом значение выражения:
1); 2).
8. Yпростите выражение -.
Контрольная работа № 3 по теме « y множение и деление рациональных дробей. Тождественные преобразования рациональных выражений».
Вариант1.
1. Выполните действия: 1) ∙ ; 2) ꞉ ) ;
3) : ; 4)∙
2.
3. Yпростить выражение: .
4. Yпростить выражение: 1) ∙ – ; 2) : .
5. Докажите тождество
: =
6. Известно, что 9 = 226. Найдите значение выражения 3 x -.
Вариант2.
1. Выполните действия: 1) ∙ ; 2) ꞉ ) ; 3) : ; 4)∙
2. Представьте в виде дроби выражение:2).
3. Yпростить выражение: .
4. Yпростить выражение: 1) ∙ – ; 2) : .
5. Докажите тождество
: =
6. Известно, что 16 =145. Найдите значение выражения 4 x +.
Контрольная работа № 4 по теме « Равносильные y равнения. Рациональные y равнения. Степень с целым отрицательным показателем. Ф y нкция y = и ее график.
Вариант1.
1. Решите равнение.
1)+ =1 2)- =0
2. Катер проплыл 18 км по течению реки и верн yлся обратно, потратив на п yть по течению на 48 мин меньше, чем на п yть против течения. Найдите собственн yю скорость катера, если скорость течения реки равн a 3 км/ч.
3.
1)126000 ; 2) 0,0035.
4. Представьте в виде степени с основанием а выражение:
1) 2)
. Найдите значение выражения:
- ;.
6 . Yпростить выражение: -.
7 .Решить графически yравнение: = x-7.
8 yравнение:
1) =0; 2) = a+1. Вариант2.
1. Решите равнение.
1)+ =-1 2)- =0
2. Моторная лодка проплыла 20 км по течению реки и верн yлась обратно, потратив на весь п yть 2ч 15мин. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость моторной лодки равна 18 км/ч.
3. Запишите в стандартном виде число:
1)245 000 ; 2) 0,0019.
4. Представьте в виде степени с основанием а выражение:
. Найдите значение выражения:
6 . Yпростить выражение -.
7 .Решить графически yравнение : = 5- x .
8 . yравнение: 1) =0; 2) = a-1
Контрольная работа № 5 по теме «Основы теории делимости»
Вариант 1.
1. Натральные числа а и в таковы, что каждое из чисел а+12 и в-11 кратно 23. Докажите, что число а-в также кратно 23.
2. Известно, что число n при делении на 9 дает остаток 4. Какой остаток при делении на 9 дает число 5 n ?
3. yю цифр y, чтобы число 831*4 делилось нацело на 36.
4. Решите в нат yральных числах равнение -3 y =29.
5.
6. Найдите все нат yральные значения n
7. Докажите, что при всех нат yральных значениях n значение выражения 5∙ +13∙ кратно 24.
8. Чем может быть равным HOД (a; b), если a=10 n+5, b=15 n+9?
Вариант2.
1. Натральные числа m и n таковы, что каждое из чисел m -4 и n +23 кратно19. Докажите, что число m+ n также кратно19.
2. Известно, что число n при делении на 6 дает остаток5. Какой остаток при делении на 6 дает число 7 n ?
3. Вместо звездочки подставьте так yю цифр y, чтобы число 6472* делилось нацело на 36.
4. Решите в нат yральных числах равнение -4 y =31.
5. Какой остаток при делении на 6 дает число?
6. Найдите все нат yральные значения n , при которых значение выражения является простым числом.
7. Докажите, что при всех нат yральных значениях n значение выражения 3∙ +62∙ кратно43.
8. Чем может быть равным HOД (a; b), если a=14 n+7, b=21 n+13?
Контрольная работа №6 по теме «Неравенства»
Вариант1.
1)3 a-4b ; 2) ; 3) .
2.
1) 3 x-5(6- x) 6+7(x-4);
2) (x-9)(x+3)9+(x-3)² ;
3) - .
3. Решите систем y неравенств
4. Решите неравенство:
5. Постройте график ф yнкции y=+ x
6. Решите yравнение +=8
7.
Вариант 2 .
1) 6 b-2a 2) ; 3) .
2. Найдите множество решений неравенства:
1) 9 x -8 5( x +2)-3(8- x );
2) ( x -4)( x +12) ( x +4)²-7 ;
3) - .
3. Решите систем y неравенств
4. Решите неравенство:
2) 4
5. Постройте график ф yнкции y =- x
6. Решите yравнение += 10
7. Для каждого значения параметра а решите неравенство
( b +6 )² x - 36 .
Контрольная работа №7 по теме « Квадратные корни. Действительные числа.»
Вариант1.
1. Решите графически равнение +3 x+2=0.
2. Yпростите выражение:
1) 7 -3 +4 ; 2) .
3 .Сравните числа 7 и 6.
4
1) ,если b 0
3) ,если b0
5.
1) 2)
6
1) ab ,если b0
7 . Yпростите выражение
8. yнкции
y =
9. Для каждого значения параметра а решите yравнение
(x- 7) =0
Вариант2.
1. Решите графически равнение - 4 x+3=0.
2. Yпростите выражение:
1) 8 - 5 +4 ; 2) .
3 .Сравните числа 4 и 3.
4 . Вынесите множитель из- под знака корня:
1) ,если a 0
3) ,если a0
5. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
1) 2)
6 .Внесите множитель под знак корня:
1) - mn ,если m 0
2)(4 - y )
7 . Yпростите выражение
8. Найдите область определения ф yнкции
y =
9. Для каждого значения параметра а решите yравнение
(x+ 6) =0
Контрольная работа № 8 по теме «Квадратные y равнения. Теорема Виета.
Вариант1.
1. Решите y равнение:
2. Диагональ прямо y гольника на 8 см больше одной из его сторон и на 4см больше др y гой. Найдите стороны прямо y гольника..
3. Известно, что и - корни y равнения . Не решая y
4 .Составьте y равнение, корни которого на 3 больше корней y равнения
5 . Решите y равнение=2 x +1.
6 a произведение корней y равнения
равно 4 ?
Вариант2.
1. Решите y равнение:
2. Диагональ прямо y гольника на 6 см больше одной из его сторон и на 3см больше др y гой. Найдите стороны прямо y гольника..
3. Известно, что и - корни y равнения . Не решая y равнения, найдите значение выражения
4 . Составьте y равнение, корни которого на меньше корней y равнения
5 . Решите y равнение=2 x +3.
6 . При каких значениях параметра a произведение корней y равнения
равно 4 ?
Контрольная работа № 9 по теме « Квадратный трехчлен. Решение y равнений, сводящихся к квадратным. Рациональные y равнения как математические модели реальных сит y аций. Деление многочленов.
Вариант1.
1 .Сократите дробь.
2 .Решите равнение =0
3 .Пассажирский поезд проходит расстояние равное 120 км, на 1 час быстрее, чем товарный. Найдите скорость каждого поезда, если скорость товарного поезда на 20 км/ч меньше скорости пассажирского.
4 .Решите равнение:
2) (x-1)(x-5)(x+3)(x+7)=135
5
6
Вариант1.
1 .Сократите дробь.
2 .Решите равнение =0
3. Первый автомобиль проезжает расстояние, равное 300 км, на 1 час быстрее, чем второй. Найдите скорость каждого автомобиля, если скорость первого автомобиля на 10 км/ч больше скорости второго.
4. .Решите равнение:
2)( x - 2 )( x - 6 )( x + 1 )( x + 5 )= -180
5 . Разложите на множители многочлен
6 .Для каждого значения параметра а решите равнение
Контрольная работа № 10 по теме « Обобщение и систематизация знаний y чащихся»
Вариант1.
1.
2 Сократите дробь.
3 .Докажите тождество.
4 .Первый рабочий изготовил 120 деталей, а второй-144 детали. Первый рабочий изготавливал в час на 4 детали больше, чем второй, и работал на 3 ч меньше второго. Сколько деталей изготавливал за 1ч каждый рабочий?.
5 .Решите y равнение (-6)(2- x -15)=0
6 .Докажите, что при всех нат y ральных значениях n значение выражения
кратно 6.
7 y равнение a +2( a +6) x +24=0
имеет два различных корня?
Вариант2.
1. Представьте в виде степени выражение ꞉
2 Сократите дробь.
3 .Докажите тождество.
4 .Первый насос наполнил водой бассейн объемом 360 , а второй –объемом 480. Первый насос перекачивал в час на 10 воды меньше, чем второй, и работал на 2ч больше второго. Какой объем воды перекачивал за 1ч каждый насос?.
5 .Решите y равнение (-7)(3- x -10)=0
6 .Докажите, что при всех нат y ральных значениях n значение выражения
кратно 6.
7 .При каких значениях параметра а y равнение a +2( a +4) x +16=0
имеет два различных корня
Ответы к контрольным работам
Контрольная работа № 1
1. Задайте с помощью перечисления элементов множество
A =
2. Запишите все подмножества множества делителей числа 7.
3 .Какие из приведенных y тверждений являются верными:
2)1
3);
4)?
4. Какие из приведенных y тверждений являются верными:
1); 4)=;
2)=; 5)=;
3)=; 6)\=?
5 .На фирме работает 29 человек. Из них 15 человек знают немецкий язык, 21-английский и 8 человек знают оба языка. Сколько работников фирмы не знают ни одного из этих языков?.
Ответ : 15+21 +8 -29 =15.
6. Докажите, что множества A =и В=равны.
7. Докажите, множество чисел вида, где nϵ N , счетно.
8. Множество А содержит 25 элементов. Каких подмножеств этого множества больше: с четным количеством элементов или с нечетным количеством элементов?
Вариант2.
1. Задайте с помощью перечисления элементов множество
A =
2. Запишите все подмножества множества делителей числа5.
3 .Какие из приведенных y тверждений являются верными:
1)8
2);
3);
4)?
4. Какие из приведенных y тверждений являются верными:
1); 4)=;
2)=; 5)=;
3)=; 6)\=?
5 .Класс, в котором 28 человек, задали вы y чить наиз y сть два стихотворения А. С. П y шкина. 14 y чащихся вы y чили первое стихотворение, 16-второе и только 7- оба стихотворения. Сколько y чащихся класса не вы y чили ни одного стихотворения?
Ответ 14+16+7 -28=9
6. Докажите, что множества C =и D =равны.
7. Докажите, множество чисел вида, где kϵ N , счетно.
8. Множество B содержит 27 элементов. Каких подмножеств этого множества больше: с четным количеством элементов или с нечетным количеством элементов?
На простом примере напомним, что называется подмножеством, какие бывают подмножества (собственные и несобственные), формулу нахождения числа всех подмножеств, а также калькулятор, который выдает множество всех подмножеств.
Пример 1.
Дано множество А = {а, с, р, о}. Выпишите все подмножества
данного множества.
Решение:
Собственные подмножества: {а} , {с} , {р} , {о} , {а, с} , {а, р} , {а, о}, {с, р} , {с, о } ∈, {р, о}, {а, с,р} , {а, с, о}, {с, р, о}.
Несобственные: {а, с, р, о}, Ø.
Всего: 16 подмножеств.
Пояснение. Множество A является подмножеством множества B если каждый элемент множества A содержится также в B.
Пустое множество ∅ является подмножеством любого множества, называется несобственным;
. любое множество является подмножеством самого себя, также называется несобственным;
. У любого n-элементного множества ровно 2 n подмножеств.
Последнее утверждение является формулой для нахождения числа всех подмножеств без перечисления каждого.
Вывод формулы: Допустим у нас имеется множество из n-элементов. При составлении подмножеств первый элемент может принадлежать подмножеству или не принадлежать, т.е. первый элемент можем выбрать двумя способами, аналогично для всех остальных элементов (всего n-элементов), каждый можем выбрать двумя способами, и по правилу умножения получаем: 2∙2∙2∙ ...∙2=2 n
Для математиков сформулируем теорему и приведем строгое доказательство.
Теорема. Число подмножеств конечного множества, состоящего из n элементов, равно 2 n .
Доказательство.
Множество, состоящее из одного элемента a, имеет два (т.е. 2 1) подмножества: ∅ и {a}. Множество, состоящее из двух элементов a и b, имеет четыре (т.е. 2 2) подмножества: ∅, {a}, {b}, {a; b}.
Множество, состоящее из трех элементов a, b, c, имеет восемь (т.е. 2 3) подмножеств:
∅, {a}, {b}, {b; a}, {c}, {c; a},{c; b}, {c; b; a}.
Можно предположить, что добавление нового элемента удваивает число подмножеств.
Завершим доказательство применением метода математической индукции. Сущность этого метода в том, что если утверждение (свойство) справедливо для некоторого начального натурального числа n 0 и если из предположения, что оно справедливо для произвольного натурального n = k ≥ n 0 можно доказать его справедливость для числа k + 1, то это свойство справедливо для всех натуральных чисел.
1. Для n = 1 (база индукции) (и даже для n = 2, 3) теорема доказана.
2. Допустим, что теорема доказана для n = k, т.е. число подмножеств множества, состоящего из k элементов, равно 2 k .
3. Докажем, что число подмножеств множества B, состоящего из n = k + 1 элемента равно 2 k+1 .
Выбираем некоторый элемент b множества B. Рассмотрим множество A = B \ {b}. Оно содержит k элементов. Все подмножества множества A - это подмножества множества B, не содержащие элемент b и, по предположению, их 2 k штук. Подмножеств множества B, содержащих элемент b, столько же, т.е. 2 k
штук.
Следовательно, всех подмножеств множества B: 2 k + 2 k = 2 ⋅ 2 k = 2 k+1 штук.
Теорема доказана.
В примере 1 множество А = {а, с, р, о} состоит из четырех элементов, n=4, следовательно, число всех подмножеств равно 2 4 =16.
Если вам необходимо выписать все подмножества, или составить программу для написания множества всех подмножеств, то имеется алгоритма для решения: представлять возможные комбинации в виде двоичных чисел. Поясним на примере.
Пример 2.
Eсть множество {a b c}, в соответствие ставятся следующие числа:
000 = {0} (пустое множество)
001 = {c}
010 = {b}
011 = {b c}
100 = {a}
101 = {a c}
110 = {a b}
111 = {a b c}
Калькулятор множества всех подмножеств.
В калькуляторе уже набраны элементы множества А = {а, с, р, о} , достаточно нажать кнопку Submit. Если вам необходимо решение своей задачи, то набираем элементы множества на латинице, через запятую, как показано в примере.
Напомним, что "множество" – это неопределяемое понятие математики. Георг Кантор (1845 – 1918) – немецкий математик, чьи работы лежат в основе современной теории множеств, говорил, что "множество – это многое, мыслимое как единое".
Множества принято
обозначать большими латинскими буквами
,
элементы множества – малыми буквами.
Слова "принадлежит" и "не
принадлежит" обозначаются символами:
и
:
– элемент
принадлежит множеству
,
– элемент
не принадлежит множеству
.
Элементами множества могут быть любые объекты – числа, векторы, точки, матрицы и т.п. В частности элементами множества могут являться множества.
Для числовых множеств общепринятыми являются следующие обозначения:
–множество
натуральных чисел (целых положительных
чисел);
–расширенное
множество натуральных чисел (к натуральным
числам добавлено число нуль);
–множество всех
целых чисел, куда входят положительные
и отрицательные целые числа, а также
нуль.
–множество
рациональных чисел. Рациональное число
– это число, которое может быть записано
в виде обыкновенной дроби
– целые числа). Поскольку любое целое
число можно записать в виде обыкновенной
дроби, (например,
),
причем не единственным образом, все
целые числа являются рациональными.
–множество
действительных чисел, в которое входят
все рациональные числа, а также числа
иррациональные. (Например, числа
– являются иррациональными).
Каждый раздел математики использует свои множества. Начиная решать какую-либо задачу, прежде всего определяют множество тех объектов, которые будут в ней рассмотрены. Например, в задачах математического анализа изучают всевозможные числа, их последовательности, функции и т.п. Множество, включающее в себя все объекты, рассматриваемые в задаче, называют универсальным множеством (для данной задачи).
Универсальное
множество принято обозначать буквой
.
Универсальное множество является
максимальным множеством в том смысле,
что все объекты являются его элементами,
т. е. утверждение
в рамках задачи всегда истинно. Минимальным
множеством являетсяпустое
множество
–
,
которое не содержит ни одного элемента.
Задать множество
– это значит, указать способ, позволяющий
относительно любого элемента
универсального множества
однозначно
установить, принадлежит
множеству
или не принадлежит. Другими словами,
это правило, позволяющее определить,
какое из двух высказываний,
или
,
является истинным, а какое ложным.
Множества можно задавать различными способами. Рассмотрим некоторые из них.
1. Список элементов множества . Этим способом можно задавать конечные или счетные множества. Множество является конечным или счетным, если можно занумеровать его элементы, например, a 1 ,a 2 ,… и т. д. Если существует элемент с самым большим номером, то множество является конечным, если же в качестве номеров задействованы все натуральные числа, то множество является бесконечным счетным множеством.
1). – множество, содержащее 6 элементов (конечное множество).
2). – бесконечное счетное множество.
3).
- множество, содержащее 5 элементов, два
из которых –
и
,
сами являются множествами.
2. Характеристическое свойство. Характеристическое свойство множества – это свойство, которым обладает каждый элемент множества, но не обладает никакой объект, не принадлежащий множеству.
1).
- множество равносторонних треугольников.
2). – множество действительных чисел, больших или равных нулю, и меньших единицы.
3).
– множество
всех несократимых дробей, числитель
которых на единицу меньше знаменателя.
3. Характеристическая функция .
Определение 1.1.
Характеристической
функцией множества
называют функцию
,
заданную на универсальном множестве
и принимающую значение единица на тех
элементах множества
,
которые принадлежат
,
и значение нуль на элементах, которые
не принадлежат
:
|
|
|
,
Из определения характеристической функции следует два очевидных утверждения:
1.
,
;
2.
,
.
Рассмотрим в
качестве примера универсальное множество
=
и два его подмножества:
– множество чисел, меньших 7, и
– множество четных чисел. Характеристические
функции множеств
и
имеют вид
,
.
Запишем
характеристические функции
и
в таблицу:
|
| ||||||||||
|
| ||||||||||
|
|
(
)
Удобной иллюстрацией множеств являются диаграммы Эйлера-Венна, на которых универсальное множество изображается прямоугольником, а его подмножества – кругами или эллипсами (рис. 1.1(а-в )).
Как видно из рис.
1.1.(а
),
выделение в универсальном множестве U
одного множества – множества A
,
разбивает прямоугольник на две
непересекающиеся области, в которых
характеристическая функция
принимает разные значения:
=1внутри
эллипса и
=0
вне эллипса. Добавление еще одного
множества – множестваB
,
(рис. 1.1 (б
)),
снова делит каждую из уже имеющихся
двух областей на две подобласти.
Образуется
непересекающиеся
области, каждая
из которых соответствует определенной
паре значений характеристических
функций (
,
).
Например, пара (01) соответствует области,
в которой
=0,
=1.
Эта область включает в себя те элементы
универсального множестваU
,
которые не принадлежат множеству A
,
но принадлежат множеству B
.
Добавление третьего
множества – множества C
,
(рис. 1.1 (в
)),
снова делит на две подобласти каждую
из уже имеющихся четырех областей.
Образуется
непересекающихся областей. Каждая из
них соответствует определенной тройке
значений характеристических функций
(
,
,
).
Эти тройки можно рассматривать как
номера областей, записанные в двоичной
системе счисления. Например, № 101 2 =5 10 ,
т.е. область, в которой находятся элементы
множеств A
и C
,
но нет элементов множества
B
, – это
область №5. Таким образом, каждая из
восьми областей имеет свой двоичный
номер, несущий информацию о принадлежности
или непринадлежности элементов этой
области множествам A
,
B
и C
.
Добавляя четвертое, пятое и т.д. множества, получаем 2 4 , 2 5 ,…,2 n областей, каждая из которых имеет свой вполне определенный двоичный номер, составленный из значений характеристических функций множеств. Подчеркнем, что последовательность нулей и единиц в любом из номеров выстроена в определенном, заранее обговоренном порядке. Только при условии упорядоченности, двоичный номер области несет информацию о принадлежности или непринадлежности элементов этой области каждому из множеств.
Примечание.
Напомним, что последовательностьn
действительных чиселв линейной алгебре рассматривается как
n-мерный арифметический вектор с
координатами
.
Двоичный номер области также может быть
назван двоичным вектором, координаты
которого принимают значения во множестве
:.
Число различных n-мерных двоичных
векторов равно 2 n .
Множества. Операции над множествами.
Отображение множеств. Мощность множества
Приветствую вас на первом уроке по высшей алгебре, который появился… в канун пятилетия сайта, после того, как я уже создал более 150 статей по математике, и мои материалы начали оформляться в завершённый курс. Впрочем, буду надеяться, что не опоздал – ведь многие студенты начинают вникать в лекции только к государственным экзаменам =)
Вузовский курс вышмата традиционно зиждется на трёх китах:
– математическом анализе (пределы , производные и т.д.)
– и, наконец, сезон 2015/16 учебного года открывается уроками Алгебра для чайников
, Элементы математической логики
, на которых мы разберём основы раздела, а также познакомимся с базовыми математическими понятиями и распространёнными обозначениями. Надо сказать, что в других статьях я не злоупотребляю «закорючками» 
, однако то лишь стиль, и, конечно же, их нужно узнавать в любом состоянии =). Вновь прибывшим читателям сообщаю, что мои уроки ориентированы на практику, и нижеследующий материал будет представлен именно в этом ключе. За более полной и академичной информацией, пожалуйста, обращайтесь к учебной литературе. Поехали:
Множество. Примеры множеств
Множество – это фундаментальное понятие не только математики, но и всего окружающего мира. Возьмите прямо сейчас в руку любой предмет. Вот вам и множество, состоящее из одного элемента.
В широком смысле, множество – это совокупность объектов (элементов), которые понимаются как единое целое (по тем или иным признакам, критериям или обстоятельствам). Причём, это не только материальные объекты, но и буквы, цифры, теоремы, мысли, эмоции и т.д.
Обычно множества обозначаются большими латинскими буквами (как вариант, с подстрочными индексами: и т.п.) , а его элементы записываются в фигурных скобках, например:
– множество букв русского алфавита;
– множество натуральных чисел;
ну что же, пришла пора немного познакомиться:
– множество студентов в 1-м ряду
… я рад видеть ваши серьёзные и сосредоточенные лица =)
Множества и являются конечными (состоящими из конечного числа элементов), а множество – это пример бесконечного множества. Кроме того, в теории и на практике рассматривается так называемое пустое множество :
– множество, в котором нет ни одного элемента.
Пример вам хорошо известен – множество на экзамене частенько бывает пусто =)
Принадлежность элемента множеству записывается значком , например:
– буква «бэ» принадлежит множеству букв русского алфавита;
– буква «бета» не
принадлежит множеству букв русского алфавита;
– число 5 принадлежит множеству натуральных чисел;
– а вот число 5,5 – уже нет;
– Вольдемар не сидит в первом ряду (и тем более, не принадлежит множеству или =)).
В абстрактной и не очень алгебре элементы множества обозначают маленькими латинскими буквами 
и, соответственно, факт принадлежности оформляется в следующем стиле:
– элемент принадлежит множеству .
Вышеприведённые множества записаны прямым перечислением элементов, но это не единственный способ. Многие множества удобно определять с помощью некоторого признака (ов) , который присущ всем его элементам . Например:
– множество всех натуральных чисел, меньших ста.
Запомните : длинная вертикальная палка выражает словесный оборот «которые», «таких, что». Довольно часто вместо неё используется двоеточие: – давайте прочитаем запись более формально: «множество элементов , принадлежащих множеству натуральных чисел, таких, что » . Молодцы!
Данное множество можно записать и прямым перечислением:
Ещё примеры:
– и если и студентов в 1-м ряду достаточно много, то такая запись намного удобнее, нежели их прямое перечисление.
– множество чисел, принадлежащих отрезку . Обратите внимание, что здесь подразумевается множество действительных
чисел (о них позже)
, которые перечислить через запятую уже невозможно.
Следует отметить, что элементы множества не обязаны быть «однородными» или логически взаимосвязанными. Возьмите большой пакет и начните наобум складывать в него различные предметы. В этом нет никакой закономерности, но, тем не менее, речь идёт о множестве предметов. Образно говоря, множество – это и есть обособленный «пакет», в котором «волею судьбы» оказалась некоторая совокупность объектов.
Подмножества
Практически всё понятно из самого названия: множество является подмножеством
множества , если каждый элемент множества принадлежит множеству . Иными словами, множество содержится во множестве :
Значок называют значком включения .
Вернёмся к примеру, в котором – это множество букв русского алфавита. Обозначим через – множество его гласных букв. Тогда:
Также можно выделить подмножество согласных букв и вообще – произвольное подмножество, состоящее из любого количества случайно (или неслучайно) взятых кириллических букв. В частности, любая буква кириллицы является подмножеством множества .
Отношения между подмножествами удобно изображать с помощью условной геометрической схемы, которая называется кругами Эйлера .
Пусть – множество студентов в 1-м ряду, – множество студентов группы, – множество студентов университета. Тогда отношение включений можно изобразить следующим образом:
Множество студентов другого ВУЗа следует изобразить кругом, который не пересекает внешний круг; множество студентов страны – кругом, который содержит в себе оба этих круга, и т.д.
Типичный пример включений мы наблюдаем при рассмотрении числовых множеств. Повторим школьный материал, который важно держать на заметке и при изучении высшей математики:
Числовые множества
Как известно, исторически первыми появились натуральные числа, предназначенные для подсчёта материальных объектов (людей, кур, овец, монет и т.д.). Это множество уже встретилось в статье, единственное, мы сейчас чуть-чуть модифицируем его обозначение. Дело в том, что числовые множества принято обозначать жирными, стилизованными или утолщёнными буквами. Мне удобнее использовать жирный шрифт:
Иногда к множеству натуральных чисел относят ноль.
Если к множеству присоединить те же числа с противоположным знаком и ноль, то получится множество целых чисел :
Рационализаторы и лентяи записывают его элементы со значками «плюс минус» :))
Совершенно понятно, что множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел:
– поскольку каждый элемент множества принадлежит множеству . Таким образом, любое натуральное число можно смело назвать и целым числом.
Название множества тоже «говорящее»: целые числа – это значит, никаких дробей.
И, коль скоро, целые, то сразу же вспомним важные признаки их делимости на 2, 3, 4, 5 и 10, которые будут требоваться в практических вычислениях чуть ли не каждый день:
Целое число делится на 2 без остатка
, если оно заканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8 (т.е. любой чётной цифрой)
. Например, числа:
400, -1502, -24, 66996, 818 – делятся на 2 без остатка.
И давайте тут же разберём «родственный» признак: целое число делится на 4 , если число, составленное из двух его последних цифр (в порядке их следования) делится на 4.
400 – делится на 4 (т.к. 00 (ноль) делится на 4)
;
-1502 – не делится на 4 (т.к. 02 (двойка) не делится на 4)
;
-24, понятно, делится на 4;
66996 – делится на 4 (т.к. 96 делится на 4)
;
818 – не делится на 4 (т.к. 18 не делится на 4)
.
Самостоятельно проведите несложное обоснование данного факта.
С делимость на 3 чуть сложнее : целое число делится на 3 без остатка, если сумма входящих в него цифр делится на 3.
Проверим, делится ли на 3 число 27901. Для этого просуммируем его цифры:
2 + 7 + 9 + 0 + 1 = 19 – не делится на 3
Вывод: 27901 не делится на 3.
Просуммируем цифры числа -825432:
8 + 2 + 5 + 4 + 3 + 2 = 24 – делится на 3
Вывод: число -825432 делится на 3
Целое число делится на 5
, если оно заканчивается пятёркой либо нулём:
775, -2390 – делятся на 5
Целое число делится на 10
, если оно заканчивается на ноль:
798400 – делится на 10 (и, очевидно, на 100)
. Ну и, наверное, все помнят – для того, чтобы разделить на 10, нужно просто убрать один ноль: 79840
Также существуют признаки делимости на 6, 8, 9, 11 и т.д., но практического толку от них практически никакого =)
Следует отметить, что перечисленные признаки (казалось бы, такие простые) строго доказываются в теории чисел . Этот раздел алгебры вообще достаточно интересен, однако его теоремы… прямо современная китайская казнь =) А Вольдемару за последней партой и того хватило…, но ничего страшного, скоро мы займёмся живительными физическими упражнениями =)
Следующим числовым множеством идёт множество рациональных чисел
:
– то есть, любое рациональное число представимо в виде дроби с целым числителем
и натуральным знаменателем
.
Очевидно, что множество целых чисел является подмножеством
множества рациональных чисел:
И в самом деле – ведь любое целое число можно представить в виде рациональной дроби , например: 
и т.д. Таким образом, целое число можно совершенно законно назвать и рациональным числом.
Характерным «опознавательным» признаком рационального числа является то обстоятельство, что при делении числителя на знаменатель получается либо
– целое число,
либо
– конечная
десятичная дробь,
либо
– бесконечная периодическая
десятичная дробь (повтор может начаться не сразу)
.
Полюбуйтесь делением и постарайтесь выполнять это действие как можно реже! В организационной статье Высшая математика для чайников и на других уроках я неоднократно повторял, повторяю, и буду повторять эту мантру:
В высшей математике все действия стремимся выполнять в обыкновенных (правильных и неправильных) дробях
Согласитесь, что иметь дело с дробью значительно удобнее, чем с десятичным числом 0,375 (не говоря уже о бесконечных дробях) .
Едем дальше. Помимо рациональных существует множество иррациональных чисел, каждое из которых представимо в виде бесконечной НЕпериодической
десятичной дроби. Иными словами, в «бесконечных хвостах» иррациональных чисел нет никакой закономерности:
(«год рождения Льва Толстого» дважды)
и т.д.
О знаменитых константах «пи» и «е» информации предостаточно, поэтому на них я не останавливаюсь.
Объединение рациональных и иррациональных чисел образует множество действительных (вещественных) чисел
:
– значок объединения множеств.
Геометрическая интерпретация множества вам хорошо знакома – это числовая прямая:
Каждому действительному числу соответствует определённая точка числовой прямой, и наоборот – каждой точке числовой прямой обязательно соответствует некоторое действительное число. По существу, сейчас я сформулировал свойство непрерывности
действительных чисел, которое хоть и кажется очевидным, но строго доказывается в курсе математического анализа.
Числовую прямую также обозначают бесконечным интервалом , а запись или эквивалентная ей запись символизирует тот факт, что принадлежит множеству действительных чисел (или попросту «икс» – действительное число) .
С вложениями всё прозрачно: множество рациональных чисел – это подмножество
множества действительных чисел:
, таким образом, любое рациональное число можно смело назвать и действительным числом.
Множество иррациональных чисел – это тоже подмножество
действительных чисел:
При этом подмножества и не пересекаются – то есть ни одно иррациональное число невозможно представить в виде рациональной дроби.
Существуют ли какие-нибудь другие числовые системы? Существуют! Это, например, комплексные числа , с которыми я рекомендую ознакомиться буквально в ближайшие дни или даже часы.
Ну а пока мы переходим к изучению операций над множествами, дух которых уже материализовался в конце этого параграфа:
Действия над множествами. Диаграммы Венна
Диаграммы Венна (по аналогии с кругами Эйлера) – это схематическое изображение действий с множествами. Опять же предупреждаю, что я рассмотрю не все операции:
1) Пересечение И и обозначается значком
Пересечением множеств и называется множество , каждый элемент которого принадлежит и
множеству , и
множеству . Грубо говоря, пересечение – это общая часть множеств:
Так, например, для множеств :
Если у множеств нет одинаковых элементов, то их пересечение пусто. Такой пример нам только что встретился при рассмотрении числовых множеств:
Множества рациональных и иррациональных чисел можно схематически изобразить двумя непересекающимися кругами.
Операция пересечения применима и для бОльшего количества множеств, в частности в Википедии есть хороший пример пересечения множеств букв трёх алфавитов .
2) Объединение множеств характеризуется логической связкой ИЛИ и обозначается значком
Объединением множеств и называется множество , каждый элемент которого принадлежит множеству или
множеству :
Запишем объединение множеств :
– грубо говоря, тут нужно перечислить все элементы множеств и , причём одинаковые элементы (в данном случае единица на пересечении множеств)
следует указать один раз.
Но множества, разумеется, могут и не пересекаться, как это имеет место быть с рациональными и иррациональными числами:
В этом случае можно изобразить два непересекающихся заштрихованных круга.
Операция объединения применима и для бОльшего количества множеств, например, если , то:
При этом числа вовсе не обязательно располагать в порядке возрастания (это я сделал исключительно из эстетических соображений)
. Не мудрствуя лукаво, результат можно записать и так:
3) Разностью
и
не принадлежит множеству :
Разность читаются следующим образом: «а без бэ». И рассуждать можно точно так же: рассмотрим множества . Чтобы записать разность , нужно из множества «выбросить» все элементы, которые есть во множестве :
Пример с числовыми множествами:
– здесь из множества целых чисел исключены все натуральные, да и сама запись так и читается: «множество целых чисел без множества натуральных».
Зеркально: разностью
множеств и называют множество , каждый элемент которого принадлежит множеству и
не принадлежит множеству : 
Для тех же множеств
– из множества «выброшено» то, что есть во множестве .
А вот эта разность оказывается пуста: . И в самом деле – если из множества натуральных чисел исключить целые числа, то, собственно, ничего и не останется:)
Кроме того, иногда рассматривают симметрическую
разность , которая объединяет оба «полумесяца»:
– иными словами, это «всё, кроме пересечения множеств».
4) Декартовым (прямым) произведением множеств и называется множество всех упорядоченных пар , в которых элемент , а элемент
Запишем декартово произведение множеств :
– перечисление пар удобно осуществлять по следующему алгоритму: «сначала к 1-му элементу множества последовательно присоединяем каждый элемент множества , затем ко 2-му элементу множества присоединяем каждый элемент множества , затем к 3-му элементу множества присоединяем каждый элемент множества »:
Зеркально: декартовым произведением
множеств и называется множество всех упорядоченных
пар , в которых . В нашем примере:
– здесь схема записи аналогична: сначала к «минус единице» последовательно присоединяем все элементы множества , затем к «дэ» – те же самые элементы:
Но это чисто для удобства – и в том, и в другом случае пары можно перечислить в каком угодно порядке – здесь важно записать все возможные пары.
А теперь гвоздь программы: декартово произведение – это есть не что иное, как множество точек нашей родной декартовой системы координат .
Задание для самостоятельного закрепления материала:
Выполнить операции , если:
Множество 
удобно расписать перечислением его элементов.
И пунктик с промежутками действительных чисел:
Напоминаю, что квадратная скобка означает включение числа в промежуток, а круглая – его невключение , то есть «минус единица» принадлежит множеству , а «тройка» не принадлежит множеству . Постарайтесь разобраться, что представляет собой декартово произведение данных множеств. Если возникнут затруднения, выполните чертёж;)
Краткое решение задачи в конце урока.
Отображение множеств
Отображение множества во множество – это правило , по которому каждому элементу множества ставится в соответствие элемент (или элементы) множества . В том случае если в соответствие ставится единственный элемент, то данное правило называется однозначно определённой функцией или просто функцией .
Функцию, как многие знают, чаще всего обозначают буквой – она ставит в соответствие каждому элементу единственное значение , принадлежащее множеству .
Ну а сейчас я снова побеспокою множество студентов 1-го ряда и предложу им 6 тем для рефератов (множество ):
Установленное (добровольно или принудительно =)) правило ставит в соответствие каждому студенту множества единственную тему реферата множества .
…а вы, наверное, и представить себе не могли, что сыграете роль аргумента функции =) =)
Элементы множества образуют область определения функции (обозначается через ), а элементы множества – область значений функции (обозначается через ).
Построенное отображение множеств имеет очень важную характеристику: оно является взаимно-однозначным или биективным (биекцией). В данном примере это означает, что каждому студенту поставлена в соответствие одна уникальная тема реферата, и обратно – за каждой темой реферата закреплён один и только один студент.
Однако не следует думать, что всякое отображение биективно. Если на 1-й ряд (к множеству ) добавить 7-го студента, то взаимно-однозначное соответствие пропадёт – либо один из студентов останется без темы (отображения не будет вообще) , либо какая-то тема достанется сразу двум студентам. Обратная ситуация: если к множеству добавить седьмую тему, то взаимнооднозначность отображения тоже будет утрачена – одна из тем останется невостребованной.
Уважаемые студенты на 1-м ряду, не расстраивайтесь – остальные 20 человек после пар пойдут прибирать территорию университета от осенней листвы. Завхоз выдаст двадцать голиков, после чего будет установлено взаимно-однозначное соответствие между основной частью группы и мётлами…, а Вольдемар ещё и в магазин сбегать успеет =)).области определения соответствует свой уникальный «игрек», и наоборот – по любому значению «игрек» мы сможем однозначно восстановить «икс». Таким образом, это биективная функция.
!
На всякий случай ликвидирую возможное недопонимание: моя постоянная оговорка об области определения не случайна! Функция может быть определена далеко не при всех «икс», и, кроме того, может быть взаимно-однозначной и в этом случае. Типичный пример: 
А вот у квадратичной функции не наблюдается ничего подобного, во-первых:
– то есть, различные значения «икс» отобразились в одно и то же
значение «игрек»; и во-вторых: если кто-то вычислил значение функции и сообщил нам, что , то не понятно – этот «игрек» получен при или при ? Что и говорить, взаимной однозначностью здесь даже не пахнет.
Задание 2 : просмотреть графики основных элементарных функций и выписать на листок биективные функции. Список для сверки в конце этого урока.
Мощность множества
Интуиция подсказывает, что термин характеризует размер множества, а именно количество его элементов. И интуиция нас не обманывает!
Мощность пустого множества равна нулю.
Мощность множества равна шести.
Мощность множества букв русского алфавита равна тридцати трём.
И вообще – мощность любого конечного множества равно количеству элементов данного множества.
…возможно, не все до конца понимают, что такое конечное множество – если начать пересчитывать элементы этого множества, то рано или поздно счёт завершится. Что называется, и китайцы когда-нибудь закончатся.
Само собой, множества можно сравнивать по мощности и их равенство в этом смысле называется равномощностью . Равномощность определяется следующим образом:
Два множества являются равномощными, если между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие .
Множество студентов равномощно множеству тем рефератов, множество букв русского алфавита равномощно любому множеству из 33 элементов и т.д. Заметьте, что именно любому
множеству из 33 элементов – в данном случае имеет значение лишь их количество. Буквы русского алфавита можно сопоставить не только с множеством номеров
1, 2, 3, …, 32, 33, но и вообще со стадом в 33 коровы.
Гораздо более интересно обстоят дела с бесконечными множествами. Бесконечности тоже бывают разными! ...зелёными и красными Самые «маленькие» бесконечные множества – это счётные
множества. Если совсем просто, элементы такого множества можно пронумеровать. Эталонный пример – это множество натуральных чисел 
. Да – оно бесконечно, однако у каждого его элемента в ПРИНЦИПЕ есть номер.
Примеров очень много. В частности, счётным является множество всех чётных натуральных чисел . Как это доказать? Нужно установить его взаимно-однозначное соответствие с множеством натуральных чисел или попросту пронумеровывать элементы:
Взаимно-однозначное соответствие установлено, следовательно, множества равномощны и множество счётно. Парадоксально, но с точки зрения мощности – чётных натуральных чисел столько же, сколько и натуральных!
Множество целых чисел тоже счётно. Его элементы можно занумеровать, например, так:
Более того, счётно и множество рациональных чисел 
. Поскольку числитель – это целое число (а их, как только что показано, можно пронумеровать)
, а знаменатель – натуральное число, то рано или поздно мы «доберёмся» до любой рациональной дроби и присвоим ей номер.
А вот множество действительных чисел уже несчётно , т.е. его элементы пронумеровать невозможно. Данный факт хоть и очевиден, однако строго доказывается в теории множеств. Мощность множества действительных чисел также называют континуумом , и по сравнению со счётными множествами это «более бесконечное» множество.
Поскольку между множеством и числовой прямой существует взаимно-однозначное соответствие (см. выше)
, то множество точек числовой прямой тоже несчётно
. И более того, что на километровом, что на миллиметровом отрезке – точек столько же! Классический пример: 
Поворачивая луч против часовой стрелки до его совмещения с лучом мы установим взаимно-однозначное соответствие между точками синих отрезков. Таким образом, на отрезке столько же точек, сколько и на отрезке и !
Данный парадокс, видимо, связан с загадкой бесконечности… но мы сейчас не будем забивать голову проблемами мироздания, ибо на очереди
Задание 2 Взаимно-однозначные функции на иллюстрациях урока
2. сколькими способами тренер может определить, кто из 12 спортсменок готовых к участию в эстафете 4х100 м, побежит на первом, втором, третьем и четветом этапах?
3. в круговой дианрамме круг разбит на 5 секторов. секторы закрашенны разными красками, взятыми из набора, содержащего 10 красок. сколькими способами это можно сделать?
4. найдите значение выражения
в)(7!*5!)/(8!*4!)
ВСЕМ КТО РЕШИЛ, спасибо)))
№1. 1. Дайте понятие комплексного числа. Назовите три формы представления комплексных чисел (1 балл).2. Даны комплексные числа: z1=-4i и z2=-5+i. Укажите их форму представления, найдите действительную и мнимую части указанных чисел (1 балл).
3. Найдите их сумму, разность и произведение(1 балл).
4. Запишите числа, комплексно-сопряженные данным(1 балл).
№2. 1. Как изображается комплексное число на комплексной плоскости(1 балл)?
2. Дано комплексное число. Изобразите его на комплексной плоскости. (1 балл).
3. Запишите формулу для вычисления модуля комплексного числа и вычислите (2 балла).
№3. 1. Дайте определение матрицы, назовите виды матриц(1 балл).
2. Назовите линейные операции над матрицами(1 балл).
3. Найдите линейную комбинацию двух матриц, если, (2 балла).
№4. 1. Что такое определитель квадратной матрицы? Запишите формулу для вычисления определителя 2-го порядка(1 балл).
2. Вычислите определитель второго порядка: (1 балл).
3. Сформулируйте свойство, которое можно использовать для вычисления определителя 2-го порядка?(1 балл)
4. Вычислите определитель, используя его свойства(1 балл).
№5. 1. В каких случаях определитель квадратной матрицы равен нулю(1 балл)?
2. Сформулировать правило Саррюса (нарисовать схему) (1 балл).
3. Вычислите определитель 3-го порядка (любым из способов) (2 балла).
№6. 1. Какая матрица называется обратной заданной (1 балл)?
2. Для какой матрицы можно построить обратную? Определите, существует ли матрица, обратная матрице.(2 балла).
3. Запишите формулу для вычисления элементов обратной матрицы(1 балл).
№7. 1. Дайте определение ранга матрицы. Назовите способы нахождения ранга матрицы. Чему равен ранг матрицы?(2 балла).
2. Определите, между какими значениями заключается ранг матрицы А: А= . Вычислите какой-нибудь минор 2-го порядка (2 балла).
№8. 1. Приведите пример системы линейных алгебраических уравнений (1 балл).
2. Что называется решением системы? (1 балл).
3. Какая система называется совместной (несовместной), определенной (неопределенной)? Сформулировать критерий совместности системы(1 балл).
4. Дана расширенная матрица системы. Запишите систему, соответствующую данной матрице. Пользуясь критерием Кронекера-Капелли, сделайте вывод о совместности либо несовместности данной системы. (1 балл).
№9. 1. Записать систему линейных алгебраических уравнений в матричном виде. Запишите формулу для нахождения неизвестных с помощью обратной матрицы. (1 балл).
2. В каком случае система линейных алгебраических уравнений может быть решена матричным способом? (1 балл).
3. Запишите систему в матричном виде и определите, может ли быть она решена с помощью обратной матрицы? Сколько решений имеет данная система? (2 балла).
№10. 1. Какая система называется квадратной? (1 балл).
2. Сформулировать теорему Крамера и записать формулы Крамера. (1 балл).
3. Пользуясь формулами Крамера, решите систему.(2 балла).
1.Что называют квадратным трёхчленом
2.Что такое дискриминант
3Какое уравнение называют квадратным уравнением?
4. Какие уравнения называют равносильными?
5. Какое уравнение называют не полным квадратным уравнением?
6. Сколько корней может иметь неполное квадратное уравнение
7. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если дискриминант:
а) положителен; б) равен нулю; в) отрицателен?
8. По какой формуле можно найти корни квадратноrо ypaвнения, если eгo дискриминант неотрицателен?
9. Какое уравнение называют приведенным квадратным уравнением?
10. По какой формуле можно найти корни приведенного квадратного
уравнения, если eгo дискриминант неотрицателен?
11. Сформулируйте:
а) теорему Виета; б) теорему, обратную теореме Виета.
12. Какое уравнение называют рациональным с неизвестным х? Что называют корнем уравнения с неизвестным х? Что значит решить уравнение? Какие уравнения называют равносильными?
13. Какое уравнение называют биквадратным уравнением? Как решают биквадратное уравнение? Сколько корней может иметь биквадратное ypaв¬
нение?
14. Приведите пример распадающегося уравнения и объясните, как eгo решить Что значит «уравнение распадается на два ypaвнeния»?
15. Как можно решить уравнение, одна часть котopoгo нуль,
а другая ¬ алгебраическая дробь?
16. По какому правилу решают рациональные уравнения? Что
может произойти при отклонении от этого правила?