Якщо при прямому або косому згині в поперечному перерізі бруса діє тільки згинальний момент, то є чистий прямий або чистий косий вигин. Якщо в поперечному перерізі діє також і поперечна сила, є поперечний прямий або поперечний косий вигин. Якщо згинальний момент є єдиним внутрішнім силовим фактором, такий згин називається чистим(Рис.6.2). За наявності поперечної сили вигин називається поперечним. Строго кажучи, до простим видамопору належить лише чистий вигин; поперечний вигин відносять до простих видів опору умовно, так як у більшості випадків (для досить довгих балок) дією поперечної сили при розрахунках на міцність можна знехтувати. Дивіться умову міцності при плоскому згинанні.ри розрахунку балки на вигин однієї з найважливіших є завдання визначення її міцності. Плоский вигин називається поперечним, якщо в поперечних перерізах балки виникає два внутрішніх силових фактора: М - згинальний момент і Q - поперечна сила, і чистим, якщо виникає тільки М. У поперечному згині силова площина проходить через вісь симетрії балки, що є однією з головних осей інерції перерізу.

При згинанні балки одні шари її розтягуються, інші стискаються. Між ними знаходиться нейтральний шар, який лише викривляється, не змінюючи своєї довжини. Лінія перетину нейтрального шару з площиною поперечного перерізузбігається з другою головною віссю інерції та називається нейтральною лінією (нейтральною віссю).

Від дії згинального моменту в поперечних перерізах балки виникають нормальні напруги, що визначаються за формулою

де М - згинальний момент у аналізованому перерізі;

I – момент інерції поперечного перерізу балки щодо нейтральної осі;

у – відстань від нейтральної осі до точки, де визначається напруги.

Як видно з формули (8.1), нормальні напруги в перерізі балки по її висоті лінійні, досягаючи максимального значення найбільш віддалених точках від нейтрального шару.

де W – момент опору поперечного перерізу балки щодо нейтральної осі.

27.Дотичні напруги в поперечному перерізі балки. Формула Журавський.

Формула Журавського дозволяє визначити дотичні напруги при згинанні, що виникають у точках поперечного перерізу балки, що знаходяться на відстані від нейтральної осіx.

ВИСНОВОК ФОРМУЛИ ЖУРАВСЬКОГО

Виріжемо з балки прямокутного поперечного перерізу (рис. 7.10 а) елемент довжиною і додатковим поздовжнім перерізом розсічемо на дві частини (рис. 7.10 б).

Розглянемо рівновагу верхньої частини: через відмінність згинальних моментів виникають різні стискаючі напруги. Щоб ця частина балки перебувала у рівновазі () у її поздовжньому перерізі повинна виникнути дотична сила. Рівняння рівноваги частини балки:

де інтегрування ведеться тільки по відсіченій частині площі поперечного перерізу балки (на рис. 7.10, заштрихована), - Статичний момент інерції відсіченої (заштрихованої) частини площі поперечного перерізу щодо нейтральної осі x.

Припустимо: дотичні напруги (), що виникають у поздовжньому перерізі балки, рівномірно розподілені за її шириною () у місці перерізу:

Отримаємо вираз для дотичних напруг:

, а тоді формула дотичних напруг (), що виникають в точках поперечного перерізу балки, що знаходяться на відстані y від нейтральної осі x:

Формула Журавського

Формула Журавського отримано 1855 р. Д.І. Журавським, тож носить його ім'я.

При розтягуванні (стиснення) бруса в його поперечних перерізахвиникають тільки нормальні напруги.Рівночинна відповідних елементарних сил, dA - поздовжня сила N -може бути знайдено за допомогою методу перерізів. Для того щоб мати можливість визначити нормальну напругу при відомому значенні поздовжньої сили, необхідно встановити закон їх розподілу по поперечному перерізу бруса.

Це завдання вирішується на основі протези плоских перерізів(гіпотези Я. Бернуллі),яка говорить:

перерізи бруса, плоскі та нормальні до його осі до деформації, залишаються плоскими та нормальними до осі та при деформації.

При розтягуванні бруса (виготовленого, наприклад, длябільшої наочності досвіду з гуми), на поверхні якогонанесена система продольнь1х і поперечних рисок (рис. 2.7,а), можна переконатися, що ризики залишаються прямолінійними та взаємно перпендикулярними, змінюються лише

де А – площа поперечного перерізу бруса. Опускаючи індекс z, остаточно отримуємо

Для нормальних напруг приймають те правило знаків, що й для поздовжніх сил, тобто. при розтягуванні вважають напружена позитивними.

Фактично розподіл напруг у перерізах бруса, що примикають до місця застосування зовнішніх сил, залежить від способу застосування навантаження і може бути нерівномірним. Експериментальні та теоретичні дослідження показують, що це порушення рівномірності розподілу напруг носить місцевий характер.У перерізах бруса, віддалених від місця навантаження на відстані, приблизно рівному найбільшому з поперечних розмірів бруса, розподіл напруг можна вважати практично рівномірним (рис. 2.9).

Розглянуте становище є окремим випадком принципу Сен-Венана,який можна сформулювати наступним чином:

розподіл напруг істотно залежить від способу застосування зовнішніх сил лише поблизу місця навантаження.

У частинах, досить віддалених від місця застосування сил, розподіл напруг практично залежить тільки від статичного еквівалента цих сил, а не від способу їх застосування.

Таким чином, застосовуючи принцип Сен-Венанаі відволікаючись від питання про місцеві напруги, маємо можливість (як у цій, так і в наступних розділах курсу) не цікавитися конкретними способами застосування зовнішніх сил.

У місцях різкої зміни форми та розмірів поперечного перерізу бруса також виникають місцеві напруги. Це явище називають концентрацією напруг,яку в цьому розділі не враховуватимемо.

У тих випадках, коли нормальна напруга в різних поперечних перерізах бруса неоднакова, доцільно показувати закон їх зміни по довжині бруса у вигляді графіка - епюри нормальних напруг.

Примір 2.3. Для бруса зі ступінчасто-змінним поперечним перерізом (рис. 2.10,а) побудувати епюри поздовжніх сил інормальних напруг.

Рішення.Розбиваємо брус на ділянки, починаючи від вільного гінця. Межами ділянок є місця застосування зовнішніх сил і зміни розмірів поперечного перерізу, тобто брус має п'ять ділянок. При побудові лише епюри Nварто було б розбити брус лише на три ділянки.

Застосовуючи метод перерізів, визначаємо поздовжні сили у поперечних перерізах бруса та будуємо відповідну епюру (рис. 2.10,6). Побудова епюри І принципово нічим не відрізняється від розглянутого у прикладі 2.1, тому подробиці цієї побудови опускаємо.

Нормальну напругу обчислимо за формулою (2.1), підставляючи значення сил у ньютонах, а площ – у квадратних метрах.

У межах кожної з ділянок напруги незмінні, т.е. е.епюра даному ділянці - пряма, паралельна осі абсцис (рис. 2.10, в). Для розрахунків на міцність інтерес становлять насамперед ті перерізи, у яких виникають найбільші напруження. Істотно, що у розглянутому разі де вони збігаються з тими перерізами, де поздовжні сили максимальні.

У тих випадках, коли перетин бруса по всій довжині постійно, епюра аподібна до епюрі Nі відрізняється від неї лише масштабом, тому, природно, має сенс побудова лише однієї із зазначених епюр.

Розтягування (стиск)- Це вид навантаження бруса, при якому в його поперечних перерізах виникає тільки один внутрішній силовий фактор - поздовжня сила N.

При розтягуванні та стисканні зовнішні сили прикладені вздовж поздовжньої осі z (рисунок 109).

Малюнок 109

Застосовуючи метод перерізів, можна визначити величину ВСФ – поздовжню силу N при простому навантаженні.

Внутрішні сили (напруги), що виникають у довільному поперечному перерізі при розтягуванні (стисненні), визначаються за допомогою гіпотези плоских перерізів Бернуллі:

Перетин бруса, плоске та перпендикулярне осі до навантаження, залишається таким же і при навантаженні.

Звідси випливає, що волокна бруса (рисунок 110) подовжуються однакові величини. Значить внутрішні сили (тобто напруги), що діють кожне волокно будуть однакові і розподілені по перерізу рівномірно.

Малюнок 110

Так як N - рівнодіюча внутрішніх сил, то N = σ · А, згачить нормальні напруги σ при розтягуванні та стисканні визначаються за формулою:

[Н/мм 2 = МПа], (72)

де А – площа поперечного перерізу.

Приклад 24.Два стрижні: круглого перерізудіаметром d = 4 мм і квадратного перерізузі стороною 5 мм розтягуються однаковою силою F = 1000 Н. Який із стрижнів більше навантажений?

Дано: d = 4 мм; а = 5 мм; F = 1000 н.

Визначити: σ 1 та σ 2 – у стрижнях 1 та 2.

Рішення:

При розтягуванні поздовжня сила у стрижнях N = F = 1000 Н.

Площі поперечних перерізів стрижнів:

; .

Нормальна напругау поперечних перерізах стрижнів:

, .

Оскільки 1 > 2 , то перший стрижень круглого перерізу навантажений більше.

Приклад 25.Трос, звитий з 80 зволікань діаметром 2 мм розтягується силою 5 кН. Визначити напругу у поперечному перерізі.

Дано:до = 80; d = 2 мм; F = 5 кН.

Визначити: σ.

Рішення:

N = F = 5 кН, ,

тоді .

Тут А 1 - площа перерізу однієї тяганини.

Примітка: перетин троса - не коло!

2.2.2 Епюри поздовжніх сил N та нормальних напруг σ по довжині бруса

Для розрахунків на міцність та жорсткість складно навантаженого бруса при розтягуванні та стисканні необхідно знати значення N та σ у різних поперечних перерізах.

Для цього будуються епюри: епюра N та епюра σ.

Епюра– це графік зміни поздовжньої сили N та нормальних напруг σ по довжині бруса.

Поздовжня сила Nв довільному поперечному перерізі бруса дорівнює сумі алгебри всіх зовнішніх сил, прикладених до частини, що залишилася, тобто. по один бік від перерізу

Зовнішні сили F, що розтягують брус і спрямовані у бік перерізу, вважаються позитивними.

Порядок побудови епюр N та σ

1 Поперечними перерізами розбиваємо брус на ділянки, межами яких є:

а) перерізи на кінцях бруса;

б) де докладено сили F;

в) де змінюється площа перерізу А.

2 Нумеруємо ділянки, починаючи з

вільного кінця.

3 Для кожної ділянки, використовуючи метод

перерізів визначаємо поздовжню силу N

і будуємо у масштабі епюру N.

4 Визначаємо нормальну напругу σ

на кожній ділянці і будуємо в

масштабі епюру σ.

Приклад 26Побудувати епюри N і σ за довжиною ступінчастого бруса (рисунок 111).

Дано: F1 = 10 кН; F2 = 35 кН; А 1 = 1 см 2; А 2 = 2 см2.

Рішення:

1) Розбиваємо брус на ділянки, межами яких є: перерізи на кінцях бруса, де прикладені зовнішні сили F, де змінюється площа перерізу А – всього вийшло 4 ділянки.

2) Нумеруємо ділянки, починаючи з вільного кінця:

з I по IV. Малюнок 111

3) Для кожної ділянки, використовуючи метод перерізів, визначаємо поздовжню силу N.

Поздовжня сила N дорівнює сумі алгебри всіх зовнішніх сил, прикладених до частини бруса, що залишилася . Причому зовнішні сили F, що розтягують брус, вважаються позитивними.

Таблиця 13

4) Будуємо в масштабі епюру N. Масштаб вказуємо тільки позитивними величинами N, на епюрі знак "плюс" або "мінус" (розтяг або стиснення) вказується в кружечку в прямокутнику епюри. Позитивні величини N відкладаються вище від нульової осі епюри, негативні – нижче від осі.

5) Перевірка (усна):У перерізах, де прикладені зовнішні сили F, на епюрі N будуть вертикальні стрибки, рівні за величиною цих сил.

6) Визначаємо нормальні напруги в перерізах кожної ділянки:

; ;

; .

Будуємо у масштабі епюру σ.

7) Перевірка:Знаки N та σ однакові.

Подумай та відповісти на запитання

1) не можна; 2) можна.

53 Чи залежить напруги при розтягуванні (стисканні) стрижнів від форми їх поперечного перерізу (квадрат, прямокутник, коло та ін.)?

1) залежать; 2) не залежать.

54 Чи залежить величина напруги у поперечному перерізі від матеріалу, з якого виготовлений стрижень?

1) залежить; 2) не залежить.

55 Які точки поперечного перерізу круглого стрижня навантажені більше під час розтягування?

1) на осі бруса; 2) лежить на поверхні кола;

3) у всіх точках перерізу напруги однакові.

56 Стрижні зі сталі та дерева з рівною площею поперечного перерізу розтягуються однаковими силами. Чи будуть рівні напруги, що виникають у стрижнях?

1) у сталевому напруження більше;

2) у дерев'яній напругі більше;

3) у стрижнях виникнуть рівні напруги.

57 Для бруса (рисунок 112) побудувати епюри N та σ, якщо F 1 = 2 кН; F2 = 5 кН; А 1 = 1,2 см 2; А 2 = 1,4 см2.

Косимназивають такий вид вигину, при якому всі зовнішні навантаження, Що викликають вигин, діють в одній силовій площині, що не збігається з жодною з головних площин.

Розглянемо брус, затиснутий одним кінцем і завантажений на вільному кінці силою F(Рис. 11.3).

Мал. 11.3. Розрахункова схема до косого вигину

Зовнішня сила Fприкладена під кутом до осі y.Розкладемо силу Fна складові, що лежать у основних площинах бруса, тоді:

Згинальні моменти у довільному перерізі, взятому на відстані zвід вільного кінця, будуть рівні:

Таким чином, у кожному перерізі бруса одночасно діють два згинальні моменти, які створюють вигин у головних площинах. Тому косий вигин можна розглядати як окремий випадокпросторового вигину.

Нормальні напруги в поперечному перерізі бруса при косому згині визначаються за формулою

Для знаходження найбільших розтягуючих і стискаючих нормальних напруг при косому згині необхідно вибрати небезпечний переріз бруса.

Якщо згинальні моменти | М х| та | М у| досягають най великих значеньу деякому перерізі, то це і є небезпечний переріз. Таким чином,

До небезпечних перерізів належать також перерізи, де згинальні моменти | М х| та | М у| одночасно досягають чималих значень. Тому при косому згині може бути кілька небезпечних перерізів.

У загальному випадку, коли - Несиметричний переріз, тобто нейтральна вісь не перпендикулярна силовій площині. Для симетричних перерізів косий вигин неможливий.

11.3. Положення нейтральної осі та небезпечних точок

у поперечному перерізі. Умова міцності при косому вигині.

Визначення розмірів поперечного перерізу.

Переміщення при косому вигині

Положення нейтральної осі при косому вигині визначається за формулою

де кут нахилу нейтральної осі до осі х;

Кут нахилу силової площини до осі у(Рис. 11.3).

У небезпечному перерізі бруса (у закладенні, рис. 11.3) напруги в кутових точках визначаються за формулами:

При косому згині, як і при просторовому, нейтральна вісь ділить перетин бруса на дві зони - зону розтягування та зону стиснення. Для прямокутного перерізу ці зони показано на рис. 11.4.

Мал. 11.4. Схема перерізу защемленого бруса при косому вигині

Для визначення екстремальних напруг, що розтягують і стискають, необхідно провести дотичні до перерізу в зонах розтягування і стиснення, паралельні нейтральній осі (рис. 11.4).

Найбільш віддалені від нейтральної осі точки торкання Аі З– небезпечні точки в зонах стиснення та розтягування відповідно.

Для пластичних матеріалів, коли розрахункові опориматеріалу бруса при розтягуванні та стисканні рівні між собою, тобто [ σ р] = = [σ c] = [σ ], в небезпечному перерізі визначається і умову міцності можна подати у вигляді

Для симетричних перерізів (прямокутник, двотавровий переріз) умова міцності має такий вигляд:

З умови міцності випливає три види розрахунків:

Перевірочний;

Проектувальний – визначення геометричних розмірів перерізу;

Визначення несучої здатностібруса (навантаження, що допускається).

Якщо відоме співвідношення між сторонами поперечного перерізу, наприклад, для прямокутника h = 2b, то з умови міцності защемленого бруса можна визначити параметри bі hнаступним чином:

або

остаточно.

Аналогічно визначаються параметри будь-якого перерізу. Повне переміщення перерізу бруса при косому згині з урахуванням принципу незалежності дії сил визначається як геометрична сумапереміщень у основних площинах.

Визначимо рух вільного кінця бруса. Скористаємося способом Верещагіна. Вертикальне переміщення знаходимо перемноженням епюр (рис. 11.5) за формулою

Аналогічно визначимо горизонтальне переміщення:

Тоді повне переміщення визначимо за формулою

Мал. 11.5. Схема визначення повного переміщення

при косому вигині

Напрямок повного переміщення визначається кутом β (рис. 11.6):

Отримана формула ідентична формулі визначення положення нейтральної осі перерізу бруса. Це дозволяє дійти невтішного висновку, що , т. е. напрям прогину перпендикулярно нейтральній осі. Отже, площина прогинів не збігається із площиною навантаження.

Мал. 11.6. Схема визначення площини прогину

при косому вигині

Кут відхилення площини прогину від головної осі yбуде тим більшим, чим більшим буде рух. Тому для бруса з пружним перетином, у якого ставлення J x/J yвелике, косий вигин небезпечний, так як викликає великі прогини і напруги в площині найменшої жорсткості. Для бруса, у якого J x= J yсумарний прогин лежить у силовій площині і косий вигин неможливий.

11.4. Нецентроване розтягування та стиск бруса. Нормальні

напруги в поперечних перерізах бруса

Позацентровим розтягуванням (стиском) називається такий вид деформації, при якому сила, що розтягує (стискає) паралельна поздовжній осі бруса, але точка її застосування не збігається з центром тяжкості поперечного перерізу.

Такий тип завдань часто застосовується у будівництві при розрахунку колон будівель. Розглянемо позацентрове стиск бруса. Позначимо координати точки докладання сили Fчерез х Fі у F ,а головні осі поперечного перерізу – через х та у.Ось zнаправимо таким чином, щоб координати х Fі у Fбули позитивними (рис. 11.7 а)

Якщо перенести силу Fпаралельно самій собі з точки Зв центр тяжкості перерізу, то позацентрове стиск можна подати як суму трьох простих деформацій: стискування та вигину у двох площинах (рис. 11.7, б). При цьому маємо:

Напруги у довільній точці перерізу при позацентровому стисканні, що лежить у першому квадранті, з координатами x та yможна знайти виходячи з принципу незалежності дії сил:

квадрати радіусів інерції перерізу, то

де xі y- Координати точки перерізу, в якій визначається напруга.

При визначенні напруги необхідно враховувати знаки координат як точки програми зовнішньої сили, і точки, де визначається напруга.

Мал. 11.7. Схема бруса при позацентровому стисканні

У разі позацентрового розтягування бруса в отриманій формулі слід замінити знак мінус на знак плюс.

З формули для визначення напруги і епюри розподілу дотичних напруг при крученні видно, що максимальні напруги виникають на поверхні.

Визначимо максимальну напругу, враховуючи, що ρ тах = d/ 2, де d- Діаметр бруса круглого перерізу.

Для круглого перерізу полярний момент інерції розраховується за формулою (див. лекцію 25).

Максимальна напруга виникає на поверхні, тому маємо

Зазвичай J P /p maxпозначають W pі називають моментом опорупри крученні, або полярним моментом опоруперерізу

Таким чином, для розрахунку максимальної напруги на поверхні круглого брусаотримуємо формулу

Для круглого перерізу

Для кільцевого перерізу

Умова міцності при крученні

Руйнування бруса при крученні відбувається з поверхні, при розрахунку на міцність використовують умову міцності.

де [ τ до ] - напруга кручення, що допускається.

Види розрахунків на міцність

Існує два види розрахунку на міцність.

1. Проектувальний розрахунок - Визначається діаметр бруса (валу) в небезпечному перерізі:

2. Перевірочний розрахунок - перевіряється виконання умови міцності

3. Визначення здатності навантаження (максимального моменту, що крутить)

Розрахунок на жорсткість

При розрахунку жорсткість визначається деформація і порівнюється з допускаемой. Розглянемо деформацію круглого бруса над дією зовнішньої пари сил із моментом т(Рис. 27.4).

При крученні деформація оцінюється кутом закручування (див. лекцію 26):

Тут φ - Кут закручування; γ - Кут зсуву; l- Довжина бруса; R- Радіус; R = d/2.Звідки

Закон Гука має вигляд τ до = G γ. Підставимо вираз для γ , отримаємо

твір GJ Pназивають твердістю перерізу.

Модуль пружності можна визначити як G = 0,4е.Для сталі G= 0,8 105 МПа.

Зазвичай розраховується кут закручування, що припадає на один метр довжини бруса (валу) φ o.

Умову жорсткості під час кручення можна записати у вигляді

де φ o - відносний кут закручування, φ про = φ/l; [φ про ]≈ 1град/м = 0,02рад/м - відносний кут закручування, що допускається.

Приклади розв'язання задач

приклад 1.З розрахунків на міцність і жорсткість визначити потрібний діаметр валу передачі потужності 63 кВт при швидкості 30 рад/с. Матеріал валу - сталь, допустима напруга при крученні 30 МПа; відносний кут закручування, що допускається [φ про ]= 0,02 рад/м; модуль пружності при зрушенні G= 0,8*10 5 МПа.

Рішення

1. Визначення розмірів поперечного перерізу з розрахунку міцність.

Умови міцності при крученні:

Визначаємо крутний момент із формули потужності при обертанні:

З умови міцності визначаємо момент опору валу під час кручення

Значення підставляємо в ньютонах та мм.

Визначаємо діаметр валу:

2. Визначення розмірів поперечного перерізу з розрахунку жорсткість.

Умова жорсткості при крученні:

З умови жорсткості визначаємо момент інерції перерізу під час кручення:

Визначаємо діаметр валу:

3. Вибір потрібного діаметра валу з розрахунків на міцність та жорсткість.

Для забезпечення міцності та жорсткості одночасно із двох знайдених значень вибираємо більше.

Отримане значення слід округлити, використовуючи ряд бажаних чисел. Практично округляємо отримане значення те щоб число закінчувалося на 5 чи 0. Приймаємо значення d вала = 75 мм.

Для визначення діаметра валу бажано користуватися стандартним рядом діаметрів, наведеним у Додатку 2.

приклад 2.У поперечному перерізі бруса d= 80 мм найбільша дотична напруга τ тах= 40 Н/мм2. Визначити дотичну напругу в точці віддаленої від центру перерізу на 20 мм.

Рішення

б. Очевидно,

приклад 3.У точках внутрішнього контуру поперечного перерізу труби (d 0 = 60 мм; d = 80 мм) виникають дотичні напруги, що дорівнюють 40 Н/мм 2 . Визначити максимальну дотичну напругу, що виникає в трубі.

Рішення

Епюра дотичних напруг у поперечному перерізі представлена ​​на рис. 2.37, в. Очевидно,

приклад 4.У кільцевому поперечному перерізі бруса ( d 0= 30 мм; d = 70 мм) виникає крутний момент М z= 3 кН-м. Обчислити дотичну напругу в точці віддаленої від центру перерізу на 27 мм.

Рішення

Відносна напруга в довільній точці поперечного перерізу обчислюється за формулою

У цьому прикладі М z= 3 кН-м = 3-10 6 Н мм,

Приклад 5. Сталева труба(d 0 = l00 мм; d = 120 мм) завдовжки l= 1,8 м закручується моментами т, прикладеними у її торцевих перерізах Визначити величину т, при якій кут закручування φ = 0,25 °. При знайденому значенні тобчислити максимальну дотичну напругу.

Рішення

Кут закручування (град/м) для однієї ділянки обчислюється за формулою

В даному випадку

Підставляючи числові значення, отримуємо

Обчислюємо максимальні дотичні напруги:

Приклад 6.Для заданого бруса (рис. 2.38 а) побудувати епюри крутних моментів, максимальних дотичних напруг, кутів повороту поперечних перерізів.

Рішення

Заданий брус має ділянки І, ІІ, ІІІ, ІV, V(Рис. 2. 38, а).Нагадаємо, що межами ділянок є перерізи, в яких прикладені зовнішні (скручують) моменти та місця зміни розмірів поперечного перерізу.

Користуючись співвідношенням

будуємо епюру крутних моментів.

Побудова епюри М zпочинаємо з вільного кінця бруса:

для ділянок IIIі IV

для ділянки V

Епюра моментів, що крутять, представлена ​​на рис, 2.38, б. Будуємо епюру максимальної дотичної напруги по довжині бруса. Умовно приписуємо τ шах ті ж знаки, що й відповідним моментам, що крутять. На ділянці I

на ділянці II

на ділянці III

на ділянці IV

на ділянці V

Епюра максимальної дотичної напруги показана на рис. 2.38, в.

Кут повороту поперечного перерізу бруса при постійних (у межах кожної ділянки) діаметрі перерізу та крутному моменті визначається за формулою

Будуємо епюру кутів повороту поперечних перерізів. Кут повороту перерізу А φл = 0, тому що в цьому перерізі брус закріплений.

Епюра кутів повороту поперечних перерізів зображено на рис. 2.38, г.

Приклад 7.На шків Уступінчастого валу (рис. 2.39, а)передається від двигуна потужність N B = 36 кВт, шківи Аі Звідповідно передають на верстати потужності N A= 15 кВт та N C= 21 кВт. Частота обертання валу п= 300 об/хв. Перевірити міцність і жорсткість валу, якщо [ τ K J = 30 Н/мм 2 , [Θ] = 0,3 град/м, G = 8,0-10 4 Н/мм 2 d 1= 45 мм, d 2= 50 мм.

Рішення

Обчислимо зовнішні (скручують) моменти, прикладені до валу:

Будуємо епюру моментів, що крутять. При цьому, рухаючись від лівого кінця валу, умовно вважаємо момент, що відповідає NА, позитивним, N c- Негативним. Епюра M z показано на рис. 2.39, б. Максимальна напруга в поперечних перерізах ділянки АВ

що менше [т до ] на

Відносний кут закручування ділянки АВ

що значно більше [?] == 0,3 град/м.

Максимальна напруга в поперечних перерізах ділянки НД

що менше [т до ] на

Відносний кут закручування ділянки НД

що значно більше [?] = 0,3 град/м.

Отже, міцність валу забезпечена, а жорсткість – ні.

приклад 8.Від електродвигуна за допомогою ременя на вал 1 передається потужність N= 20 кВт, З валу 1 надходить на вал 2 потужність N 1= 15 кВт і до робочих машин - потужності N 2= 2 кВт та N 3= 3 квт. З валу 2 до робочих машин надходять потужності N 4= 7 кВт, N 5= 4 кВт, N 6= 4 кВт (рис. 2.40, а).Визначити діаметри валів d 1 і d 2 з умови міцності та жорсткості, якщо [ τ K J = 25 Н/мм 2 , [Θ] = 0,25 град/м, G = 8,0-10 4 Н/мм 2 . Переріз валів 1 і 2 вважати по всій довжині постійними. Частота обертання валу електродвигуна п = 970 об/хв, діаметри шківів D 1 = 200 мм, D 2 = 400 мм, D 3 = 200 мм, D 4 = 600 мм. Ковзанням у ремінній передачі знехтувати.

Рішення

Нарис. 2.40, бзображено вал I. На нього надходить потужність Nі з нього знімаються потужності N l, N 2 , N 3 .

Визначимо кутову швидкість обертання валу 1 і зовнішні скручують моменти m, m 1 , т 2 , т 3:

Будуємо епюру моментів, що крутять, для валу 1 (рис. 2.40, в). При цьому, рухаючись від лівого кінця валу, умовно вважаємо моменти, що відповідають N 3і N 1, позитивними, а N- Негативним. Розрахунковий (максимальний) крутний момент N x 1 max = 354,5 H*м.

Діаметр валу 1 із умови міцності

Діаметр валу 1 із умови жорсткості ([Θ], рад/мм)

Остаточно приймаємо із заокругленням до стандартного значення d 1 = 58 мм.

Частота обертання валу 2

На рис. 2.40, гзображено вал 2; на вал надходить потужність N 1, а знімаються з нього потужності N 4, N 5, N 6 .

Обчислимо зовнішні скручують моменти:

Епюра крутних моментів для валу 2 показано на рис. 2.40, буд.Розрахунковий (максимальний) момент, що крутить, М я max " = 470 H-м.

Діаметр валу 2 з умови міцності

Діаметр валу 2 з умови жорсткості

Остаточно приймаємо d 2 = 62 мм.

Приклад 9.Визначити з умов міцності та жорсткості потужність N(Рис. 2.41, а), яку може передати сталевий вал діаметром d = 50мм, якщо [т до ] = 35 Н/мм 2 [JJ = 0,9 град/м; G = 8,0* I0 4 Н/мм 2 n= 600 об/хв.

Рішення

Обчислимо зовнішні моменти, що додаються до валу:

Розрахункова схема валу показано на рис. 2.41, б.

На рис. 2.41, впредставлена ​​епюра крутних моментів. Розрахунковий (максимальний) крутний момент M z = 9,54N. Умови міцності

Умова жорсткості

Лімітує умова жорсткості. Отже, допустиме значення потужності, що передається [N] = 82,3 кВт.