Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різноманітну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної поштиі т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Збирається нами Персональна інформаціядозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органівна території РФ – розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

До появи калькуляторів студенти та викладачі обчислювали квадратне коріння вручну. Існує кілька способів обчислення квадратного кореня числа вручну. Деякі з них пропонують лише приблизне рішення, інші дають точну відповідь.

Кроки

Розкладання на прості множники

Розкладіть підкорене число на множники, які є квадратними числами.Залежно від підкореного числа, ви отримаєте приблизну чи точну відповідь. Квадратні числа - числа, з яких можна витягти цілий квадратний корінь. Множники – числа, які за перемноженні дають вихідне число. Наприклад, множниками числа 8 є 2 і 4, оскільки 2 х 4 = 8, числа 25, 36, 49 є квадратними числами, оскільки √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Квадратні множники – це множники які є квадратними числами. Спочатку спробуйте розкласти підкорене число на квадратні множники.

• Наприклад, обчисліть квадратний корінь із 400 (вручну). Спочатку спробуйте розкласти 400 на квадратні множники. 400 разів 100, тобто ділиться на 25 - це квадратне число. Розділивши 400 на 25, ви отримаєте 16. Число 16 є квадратним числом. Таким чином, 400 можна розкласти на квадратні множники 25 та 16, тобто 25 х 16 = 400.
• Записати це можна наступним чином: √400 = √(25 х 16).

1. Квадратний корінь із твору деяких членів дорівнює твору квадратного корінняз кожного члена, тобто √(а х b) = √a x √b. Скористайтеся цим правилом та вийміть квадратний корінь з кожного квадратного множника та перемножте отримані результати, щоб знайти відповідь.

   • У нашому прикладі вийміть корінь із 25 та з 16.
     • √(25 х 16)
     • √25 х √16
     • 5 х 4 = 20

2. Якщо підкорене число не розкладається на два квадратних множника(а так відбувається в більшості випадків), ви не зможете знайти точну відповідь у вигляді цілого числа. Але ви можете спростити завдання, розклавши підкорене число на квадратний множник та звичайний множник (число, з якого цілий квадратний корінь витягти не можна). Потім ви витягнете квадратний корінь із квадратного множника і витягуватимете корінь зі звичайного множника.

   • Наприклад, обчисліть квадратний корінь із числа 147. Число 147 не можна розкласти на два квадратні множники, але його можна розкласти на наступні множники: 49 і 3. Розв'яжіть задачу таким чином:
     • = √(49 х 3)
     • = √49 х √3
     • = 7√3

3. Якщо необхідно, оцініть значення кореня.Тепер можна оцінити значення кореня (знайти приблизне значення), порівнявши його зі значеннями коренів квадратних чисел, що знаходяться найближче (з обох сторін на числовій прямій) до підкореного числа. Ви отримаєте значення кореня у вигляді десяткового дробу, який необхідно помножити на число, що стоїть за знаком кореня.

   • Повернемося до нашого прикладу. Підкорене число 3. Найближчими до нього квадратними числами будуть числа 1 (√1 = 1) та 4 (√4 = 2). Таким чином, значення √3 розташоване між 1 і 2. Так як значення √3, ймовірно, ближче до 2, ніж до 1, то наша оцінка: √3 = 1,7. Помножуємо це значення на число біля знака кореня: 7 х 1,7 = 11,9. Якщо ви зробите розрахунки на калькуляторі, то отримаєте 12,13, що досить близько до нашої відповіді.
     • Цей метод також працює з великими числами. Наприклад, розглянемо √35. Підкорене число 35. Найближчими до нього квадратними числами будуть числа 25 (25 = 5) і 36 (36 = 6). Таким чином, значення √35 розташоване між 5 і 6. Так як значення √35 набагато ближче до 6, ніж до 5 (бо 35 всього на 1 менше 36), то можна заявити, що √35 трохи менше 6. Перевірка на калькуляторі дає нам відповідь 5,92 - ми мали рацію.

4. Ще один спосіб - розкладіть підкорене число на прості множники.Прості множники – числа, які діляться лише з 1 і себе. Запишіть прості множникиряд і знайдіть пари однакових множників. Такі множники можна винести за знак кореня.

   • Наприклад, обчисліть квадратний корінь із 45. Розкладаємо підкорене число на прості множники: 45 = 9 х 5, а 9 = 3 х 3. Таким чином, √45 = √(3 х 3 х 5). 3 можна винести за знак кореня: √45 = 3√5. Тепер можна оцінити √5.
   • Розглянемо інший приклад: √88.
     • = √(2 х 44)
     • = √ (2 х 4 х 11)
     • = √ (2 х 2 х 2 х 11). Ви отримали три множники 2; Візьміть пару з них і винесіть за знак кореня.
     • = 2√(2 х 11) = 2√2 х √11. Тепер можна оцінити √2 та √11 та знайти приблизну відповідь.

   Обчислення квадратного кореня вручну

   За допомогою поділу в стовпчик

   1. Цей метод включає процес, аналогічний поділу в стовпчик, і дає точну відповідь.Спочатку проведіть вертикальну лінію, що ділить лист на дві половини, а потім праворуч і трохи нижче верхнього краю листа до вертикальної лінії намалюйте горизонтальну лінію. Тепер поділіть підкорене число на пари чисел, починаючи з дробової частини після коми. Так, число 79520789182,47897 записується як "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Наприклад обчислимо квадратний корінь числа 780,14. Намалюйте дві лінії (як показано на малюнку) і зліва зверху напишіть це число у вигляді "7 80, 14". Це нормально, що перша цифра зліва є непарною цифрою. Відповідь (корінь з даного числа) записуватимете праворуч зверху.

   2. Для першої зліва пари чисел (або одного числа) знайдіть найбільше ціле число n, квадрат якого менший або дорівнює парі чисел (або одного числа), що розглядається. Іншими словами, знайдіть квадратне число, яке розташоване ближче всього до першої зліва пари чисел (або одного числа), але менше її, і вийміть квадратний корінь з цього квадратного числа; ви отримаєте число n. Напишіть знайдене n зверху праворуч, а квадрат n запишіть знизу праворуч.

      • У нашому випадку, першим зліва числом буде число 7. Далі, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Відніміть квадрат числа n, яке ви щойно знайшли, з першої зліва пари чисел (або одного числа).Результат обчислення запишіть під віднімається (квадратом числа n).

      • У нашому прикладі відніміть 4 з 7 і отримайте 3.

   4. Знесіть другу пару чисел і запишіть її біля значення, отриманого на попередньому кроці.Потім подвайте число зверху праворуч і запишіть отриманий результат знизу праворуч з додаванням "_×_=".

      • У прикладі другий парою чисел є " 80 " . Запишіть "80" після 3. Потім подвоєне число зверху праворуч дає 4. Запишіть "4_×_=" знизу праворуч.

   5. Заповніть прочерки праворуч.

      • У нашому випадку, якщо замість прочерків поставити число 8, то 48 х 8 = 384, що більше за 380. Тому 8 - занадто велике число, а ось 7 підійде. Напишіть 7 замість прочерків і отримайте: 47 х 7 = 329. Запишіть 7 зверху праворуч - це друга цифра в квадратному корені числа 780,14.

   6. Відніміть отримане число з поточного числа зліва.Запишіть результат з попереднього кроку під поточним числом зліва, знайдіть різницю та запишіть її під віднімається.

      • У нашому прикладі відніміть 329 з 380, що дорівнює 51.

   7. Повторіть крок 4.Якщо парою чисел, що зноситься, є дробова частина вихідного числа, то поставте роздільник (кому) цілою і дробовою частин у шуканому квадратному корені зверху праворуч. Зліва знесіть наступну пару чисел. Подвійте число зверху праворуч та запишіть отриманий результат знизу праворуч з додаванням "_×_=".

      • У нашому прикладі наступною парою чисел, що зноситься, буде дробова частина числа 780.14, тому поставте роздільник цілої і дробової частин у шуканому квадратному корені зверху праворуч. Знесіть 14 і запишіть знизу ліворуч. Подвоєним числом зверху праворуч (27) буде 54, тому напишіть "54_×_=" знизу праворуч.

   8. Повторіть кроки 5 та 6.Знайдіть таке найбільше число на місце прочерків праворуч (замість прочерків потрібно підставити одне й те саме число), щоб результат множення був меншим або дорівнює поточному числу зліва.

      • У прикладі 549 x 9 = 4941, що менше поточного числа зліва (5114). Напишіть 9 зверху праворуч та відніміть результат множення з поточного числа зліва: 5114 - 4941 = 173.

   9. Якщо для квадратного кореня вам необхідно знайти більше знаків після коми, напишіть пару нулів у поточного числа зліва і повторюйте кроки 4, 5 і 6. Повторюйте кроки, доки не отримаєте потрібну вам точність відповіді (число знаків після коми).

   Розуміння процесу

   Для засвоєння даного методууявіть число, квадратний корінь якого необхідно знайти, як площа квадрата S. У цьому випадку ви шукатимете довжину сторони L такого квадрата. Обчислюємо таке значення L, у якому L² = S.

   Введіть літеру для кожної цифри у відповіді.Позначимо через A першу цифру значення L (потрібний квадратний корінь). B буде другою цифрою, C - третьою тощо.

   Введіть літеру для кожної пари перших цифр.Позначимо через Sa першу пару цифр у значенні S, через S b - другу пару цифр і так далі.

   Уясніть зв'язок даного методу з розподілом у стовпчик.Як і в операції поділу, де щоразу нас цікавить лише одна наступна цифра діленого числа, при обчисленні квадратного кореня ми послідовно працюємо з кількома цифрами (для отримання однієї наступної цифри у значенні квадратного кореня).

   1. Розглянемо першу пару цифр Sa числа S (Sa = 7 у прикладі) і знайдемо її квадратний корінь.У цьому випадку першою цифрою A значення квадратного кореня, що шукається, буде така цифра, квадрат якої менший або дорівнює S a (тобто шукаємо таке A, при якому виконується нерівність A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Припустимо, що потрібно розділити 88 962 на 7; тут перший крок буде аналогічним: розглядаємо першу цифру діленого числа 88962 (8) і підбираємо таке найбільше число, яке при множенні на 7 дає значення менше або дорівнює 8. Тобто, шукаємо таке число d, при якому вірна нерівність: 7×d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Подумки уявіть квадрат, площу якого вам потрібно обчислити.Ви шукайте L, тобто довжину сторони квадрата, площа якого дорівнює S. A, B, C - цифри в числі L. Записати можна інакше: 10А + B = L (для двозначного числа) або 100А + 10В + С = L (для тризначного числа) і таке інше.

      • Нехай (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Запам'ятайте, що 10A+B - це число, у якого цифра B означає одиниці, а цифра A - десятки. Наприклад, якщо A=1 і B=2, то 10A+B дорівнює числу 12. (10A+B)²- Це площа всього квадрата, 100A²- Площа великого внутрішнього квадрата, B²- Площа малого внутрішнього квадрата, 10A×B- Площа кожного із двох прямокутників. Склавши площі описаних фігур, ви знайдете площу вихідного квадрата.

Учні завжди запитують: «Чому не можна користуватися калькулятором на іспиті з математики? Як витягти квадратний корінь з числа без калькулятора?» Спробуємо відповісти на це запитання.

Як же витягти корінь квадратний з числа без допомоги калькулятора?

Дія вилучення кореня квадратногоназад дії зведення у квадрат.

√81= 9 9 2 =81

Якщо з позитивного числа витягти квадратний корінь і результат звести в квадрат, отримаємо те ж число.

З не великих чисел, що є точними квадратами натуральних чисел, наприклад 1, 4, 9, 16, 25, …, 100 квадратне коріння можна отримати усно. Зазвичай у школі навчають таблицю квадратів натуральних чисел до двадцяти. Знаючи цю таблицю легко витягти корені квадратні з чисел 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. З чисел великих 400 можна витягувати методом підбору, використовуючи деякі підказки. Спробуємо на прикладі розглянути цей метод.

Приклад: Витягти корінь із числа 676.

Помічаємо, що 20 2 = 400, а 30 2 = 900, отже 20< √676 < 900.

Точні квадрати натуральних чисел закінчуються цифрами 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Цифру 6 дають 4 2 та 6 2 .
Значить, якщо з 676 вилучається корінь, це або 24, або 26.

Залишилося перевірити: 242=576, 262=676.

Відповідь: √676 = 26 .

Ще приклад: √6889 .

Оскільки 80 2 = 6400, а 90 2 = 8100, то 80< √6889 < 90.
Цифру 9 дають 3 2 і 7 2 то √6889 дорівнює або 83, або 87.

Перевіряємо: 832 = 6889.

Відповідь: √6889 = 83 .

Якщо важко вирішувати методом підбору, то можна підкорене вираз розкласти на множники.

Наприклад, знайти √893025.

Розкладемо число 893025 на множники, згадайте, ви робили це у шостому класі.

Отримуємо: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Ще приклад: √20736. Розкладемо число 20736 на множники:

Отримуємо √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Звісно, ​​розкладання на множники вимагає знання ознак ділимості та навичок розкладання на множники.

І, нарешті, є ж правило вилучення коренів квадратних. Давайте познайомимося із цим правилом на прикладах.

Обчисліть √279841.

Щоб витягти корінь з багатоцифрового цілого числа, розбиваємо його праворуч наліво на межі, що містять по 2 цифри (у крайній лівій грані може виявитися і одна цифра). Записуємо так 27’98’41

Щоб отримати першу цифру кореня (5), витягаємо квадратний корінь з найбільшого точного квадрата, що міститься в першій ліворуч (27).
Потім віднімають із першої грані квадрат першої цифри кореня (25) і до різниці приписують (зносять) наступну грань (98).
Зліва від отриманого числа 298 пишуть подвоєну цифру кореня (10), ділять на неї число всіх десятків раніше отриманого числа (29/2 ≈ 2), відчувають приватне (102 ∙2 = 204 має бути не більше 298) і записують (2) після першої цифри кореня.
Потім віднімають від отримане 298 приватне 204 і до різниці (94) приписують (зносять) наступну грань (41).
Зліва від отриманого числа 9441 пишуть подвоєний добуток цифр кореня (52 ∙2 = 104), ділять на цей твір число всіх десятків числа 9441 (944/104 ≈ 9), відчувають приватне (1049 ∙9 = 9441) має бути 9441 (9) після другої цифри кореня.

Отримали відповідь √279841 = 529.

Аналогічно витягують коріння з десяткових дробів. Тільки підкорене число треба розбивати на межі так, щоб кома була між гранями.

приклад. Знайдіть значення √0,00956484.

Тільки треба пам'ятати, що якщо десятковий дрібмає непарне число десяткових знаків, з неї точно квадратний корінь не витягується.

Тепер ви познайомилися з трьома способами вилучення кореня. Вибирайте той, який вам найбільше підходить і практикуйтеся. Щоб навчитися розв'язувати завдання, їх треба розв'язувати. А якщо у Вас виникнуть питання.

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

факт 1.
\(\bullet\) Візьмемо деяке не від'ємне число\(a\) (тобто \(a\geqslant 0\)). Тоді (арифметичним) квадратним коренемз числа \(a\) називається таке невід'ємне число \(b\), при зведенні якого в квадрат ми отримаємо число \(a\): \[\sqrt a=b\quad \text(те саме, що )\quad a=b^2\]З визначення випливає, що \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Ці обмеження є важливою умовоюіснування квадратного кореня та його слід запам'ятати!
Згадаймо, що будь-яке число при зведенні квадрата дає невід'ємний результат. Тобто \(100^2=10000\geqslant 0\) і \((-100)^2=10000\geqslant 0\).
\(\bullet\) Чому дорівнює \(\sqrt(25)\)? Ми знаємо, що \(5^2=25\) і \((-5)^2=25\). Так як за визначенням ми повинні знайти невід'ємне число, то \(-5\) не підходить, отже, \(\sqrt(25)=5\) (оскільки \(25=5^2\)).
Знаходження значення \(\sqrt a\) називається вилученням квадратного кореня з числа \(a\) , а число \(a\) називається підкореним виразом.
\(\bullet\) Виходячи з визначення, виразу \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) і т.п. немає сенсу.

факт 2.
Для швидких обчислень корисно буде вивчити таблицю квадратів натуральних чисел від (1) до (20): \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\hline \end(array)\]

факт 3.
Які дії можна виконувати з квадратним корінням?
\(\bullet\) Сума чи різниця квадратного коріння НЕ РІВНА квадратному кореню із суми чи різниці, тобто \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]Таким чином, якщо вам потрібно обчислити, наприклад, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , то спочатку ви повинні знайти значення \(\sqrt(25)\) і \(\sqrt(49)\ ), а потім їх скласти. Отже, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Якщо значення \(\sqrt a\) або \(\sqrt b\) при додаванні \(\sqrt a+\sqrt b\) знайти не вдається, то такий вираз далі не перетворюється і залишається таким, як є. Наприклад, у сумі \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) ми можемо знайти \(\sqrt(49)\) - це \(7\) , а от \(\sqrt 2\) ніяк перетворити не можна, тому \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Далі цей вислів, на жаль, спростити неможливо\(\bullet\) Твір/приватне квадратного коріння дорівнює квадратному кореню з твору/приватного, тобто \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(і)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (за умови, що обидві частини рівностей мають сенс)
Приклад: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Користуючись цими властивостями, зручно знаходити квадратне коріння з великих чисел шляхом розкладання їх на множники.
Розглянемо приклад. Знайдемо \(\sqrt(44100)\). Так як \ (44100: 100 = 441 \), то (44100 = 100 \ cdot 441 \). За ознакою ділимості число \(441\) ділиться на \(9\) (оскільки сума його цифр дорівнює 9 і ділиться на 9), отже, \(441:9=49\) , тобто \(441=9\) cdot 49) .
Таким чином, ми отримали: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]Розглянемо ще один приклад: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 = \ dfrac (56) 3 \]
\(\bullet\) Покажемо, як вносити числа під знак квадратного кореня на прикладі виразу \(5\sqrt2\) (скорочений запис від виразу \(5\cdot \sqrt2\)). Оскільки \(5=\sqrt(25)\) , то \ Зауважимо також, що, наприклад,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \ (5 \ sqrt3- \ sqrt3 = 4 \ sqrt3 \)
3) (sqrt a + sqrt a = 2 sqrt a) .

Чому так? Пояснимо з прикладу 1). Як ви вже зрозуміли, якось перетворити число (sqrt2) ми не можемо. Припустимо, що \(\sqrt2\) - це деяке число \(a\). Відповідно, вираз \(\sqrt2+3\sqrt2\) є не що інше, як \(a+3a\) (одне число \(a\) плюс ще три таких же числа \(a\) ). А ми знаємо, що це дорівнює чотирьом таким числам \(a\), тобто \(4\sqrt2\).

факт 4.
\(\bullet\) Часто кажуть "не можна витягти корінь", коли не вдається позбутися знака \(\sqrt() \ \) кореня (радикала) при знаходженні значення якогось числа. Наприклад, витягти корінь у складі \(16\) можна, тому що \(16=4^2\) , тому \(\sqrt(16)=4\) . А ось витягти корінь із числа \(3\), тобто знайти \(\sqrt3\), не можна, тому що немає такого числа, яке в квадраті дасть \(3\).
Такі числа (або вирази з такими числами) є ірраціональними. Наприклад, числа \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\)і т.п. є ірраціональними.
Також ірраціональними є числа \(\pi\) (число "пі", приблизно рівне \(3,14\) ), \(e\) (це число називають числом Ейлера, приблизно воно дорівнює \(2,7\) ) і т.д.
\(\bullet\) Звертаємо вашу увагу на те, що будь-яке число буде або раціональним, або ірраціональним. А разом усі раціональні та всі ірраціональні числаутворюють безліч, що називається безліччю дійсних (речових) чисел.Позначається це безліч буквою \(\mathbb(R)\).
Значить, усі числа, які на Наразіми знаємо, називаються речовими числами.

Факт 5.
\(\bullet\) Модуль речового числа \(a\) – це невід'ємне число \(|a|\) , що дорівнює відстані від точки \(a\) до \(0\) на речовій прямій. Наприклад, \(|3|\) і \(|-3|\) дорівнюють 3, тому що відстані від точок \(3\) і \(-3\) до \(0\) однакові і рівні \(3 \).
\(\bullet\) Якщо \(a\) – невід'ємне число, то \(|a|=a\) .
Приклад: \(|5|=5\); \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Якщо \(a\) – від'ємне число, то \(|a|=-a\) .
Приклад: \(|-5|=-(-5)=5\); \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Кажуть, що у негативних чисел модуль "з'їдає" мінус, а позитивні числа, а також число (0), модуль залишає без змін.
АЛЕтаке правило годиться лише для чисел. Якщо у вас під знаком модуля знаходиться невідома \(x\) (або якась інша невідома), наприклад, \(|x|\) , про яку ми не знаємо, чи позитивна вона, дорівнює нулю або негативна, то позбутися модуля ми не можемо. І тут цей вислів таким і залишається: \(|x|\) . \(\bullet\) Мають місце такі формули: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( за умови ) a\geqslant 0\]Дуже часто допускається така помилка: кажуть, що \(sqrt(a^2)\) і \((sqrt a)^2\) - одне і те ж. Це вірно лише в тому випадку, коли \(a\) - додатне числочи нуль. А ось якщо \(a\) - негативне число, то це не так. Достатньо розглянути такий приклад. Візьмемо замість \(a\) число \(-1\). Тоді \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , а ось вираз \((\sqrt(-1))^2\) взагалі не існує (адже не можна під знак кореня поміщати негативні числа!).
Тому звертаємо вашу увагу, що \(\sqrt(a^2)\) не дорівнює \((\sqrt a)^2\) !Приклад: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), т.к. \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Оскільки \(\sqrt(a^2)=|a|\) , то \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (вираз \(2n\) позначає парне число)
Тобто при витягуванні кореня з числа, що знаходиться певною мірою, цей ступінь зменшується вдвічі.
Приклад:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (зауважимо, що якщо модуль не поставити, то вийде, що корінь з числа дорівнює \(-25\); але ми пам'ятаємо , Що за визначенням кореня такого бути не може: у нас завжди при вилученні кореня має виходити позитивне число або нуль)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (оскільки будь-яке число парною мірою неотрицательно)

Факт 6.
Як порівняти два квадратні корені?
\(\bullet\) Для квадратного коріння вірно: якщо \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aПриклад:
1) порівняємо \(\sqrt(50)\) і \(6\sqrt2\) . Для початку перетворимо другий вираз у \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Таким чином, оскільки \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Між якими цілими числами знаходиться (sqrt (50))?
Оскільки \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) , а \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Порівняємо \(\sqrt 2-1\) і \(0,5\). Припустимо, що \(\sqrt2-1>0,5\): \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((додамо одиницю до обох частин))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ big| \ ^2 \quad\text((зведемо обидві частини в квадрат))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(aligned)\]Бачимо, що ми здобули неправильну нерівність. Отже, наше припущення було невірним і (sqrt 2-1<0,5\) .
Зауважимо, що додавання деякого числа до обох частин нерівності впливає з його знак. Множення/поділ обох частин нерівності на позитивне число також не впливає на його знак, а множення/розподіл на негативне число змінює знак нерівності на протилежний!
Зводити обидві частини рівняння/нерівності в квадрат можна ТІЛЬКИ ТОДІ, коли обидві частини невід'ємні. Наприклад, у нерівності з попереднього прикладу зводити обидві частини квадрат можна, в нерівності \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Слід запам'ятати, що \[\begin(aligned) &\sqrt 2\approx 1,4\\ \sqrt 3\approx 1,7 \end(aligned)\]Знання приблизного значення цих чисел допоможе вам порівняти чисел! \(\bullet\) Для того, щоб витягти корінь (якщо він витягується) з якогось великого числа, якого немає в таблиці квадратів, потрібно спочатку визначити, між якими “сотнями” воно знаходиться, потім – між якими “десятками”, а потім уже визначити останню цифру цього числа. Покажемо, як це працює на прикладі.
Візьмемо \(\sqrt(28224)\). Ми знаємо, що \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\) і т.д. Зауважимо, що \(28224\) знаходиться між \(10\,000\) та \(40\,000\) . Отже, \(\sqrt(28224)\) знаходиться між \(100\) і \(200\) .
Тепер визначимо, між якими “десятками” знаходиться наше число (тобто, наприклад, між (120) і (130)). Також із таблиці квадратів знаємо, що \(11^2=121\) , \(12^2=144\) і т.д., тоді \(110^2=12100\) , \(120^2=14400) \) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \). Таким чином, ми бачимо, що \(28224\) знаходиться між \(160^2\) і \(170^2\). Отже, число (sqrt (28224)) знаходиться між (160) і (170).
Спробуймо визначити останню цифру. Згадаймо, які однозначні числа при зведенні в квадрат дають на кінці (4)? Це \(2^2\) і \(8^2\). Отже, \(\sqrt(28224)\) буде закінчуватися або на 2, або на 8. Перевіримо це. Знайдемо \(162^2\) і \(168^2\):
\ (162 ^ 2 = 162 \ cdot 162 = 26224 \)
\ (168 ^ 2 = 168 \ cdot 168 = 28224 \) .
Отже, (sqrt (28224) = 168) . Вуаль!

Для того, щоб гідно вирішити ЄДІ з математики, насамперед необхідно вивчити теоретичний матеріал, який знайомить із численними теоремами, формулами, алгоритмами тощо. На перший погляд може здатися, що це досить просто. Однак знайти джерело, в якому теорія для ЄДІ з математики викладена легко і зрозуміло для учнів з будь-яким рівнем підготовки, - завдання досить складне. Шкільні підручники неможливо завжди тримати під рукою. А знайти основні формули для ЄДІ з математики непросто буває навіть в Інтернеті.

Чому так важливо вивчати теорію з математики не лише для тих, хто здає ЄДІ?

1. Тому що це розширює кругозір. Вивчення теоретичного матеріалу з математики корисно всім, хто хоче отримати відповіді широке коло питань, що з пізнанням навколишнього світу. Все у природі впорядковане і має чітку логіку. Саме це і відбивається у науці, через яку можна зрозуміти світ.
2. Тому що це розвиває інтелект. Вивчаючи довідкові матеріали для ЄДІ з математики, а також вирішуючи різноманітні завдання, людина вчиться логічно мислити та розмірковувати, грамотно та чітко формулювати думки. У нього виробляється здатність аналізувати, узагальнювати, робити висновки.

Пропонуємо вам особисто оцінити всі переваги нашого підходу до систематизації та викладу навчальних матеріалів.