Формули ступеніввикористовують у процесі скорочення та спрощення складних виразів, у вирішенні рівнянь та нерівностей.

Число cє n-ний ступенем числа aколи:

Операції зі ступенями.

1. Помножуючи ступеня з однаковою основою їх показники складаються:

a m· a n = a m + n.

2. У розподілі ступенів з однаковою основою їх показники віднімаються:

3. Ступінь праці 2-х чи більшої кількості множників дорівнює добутку ступенів цих співмножників:

(abc ...) n = a n · b n · c n ...

4. Ступінь дробу дорівнює відношенню ступенів діленого та дільника:

(a/b) n = n / b n .

5. Зводячи ступінь у ступінь, показники ступенів перемножують:

(a m) n = a m n .

Кожна вищенаведена формула вірна у напрямах зліва направо та навпаки.

Наприклад. (2·3·5/15)² = 2²·3²·5²/15² = 900/225 = 4.

Операції з корінням.

1. Корінь із твору кількох співмножників дорівнює добутку коренів із цих співмножників:

2. Корінь із відношення дорівнює відношенню ділимого та дільника коренів:

3. При зведенні кореня на рівень досить звести на цей рівень підкорене число:

4. Якщо збільшити ступінь кореня в nраз і в той же час звести в n-у ступінь підкорене число, то значення кореня не зміниться:

5. Якщо зменшити ступінь кореня в nраз і в той же час витягти корінь n-ой ступеня з підкореного числа, то значення кореня не зміниться:

Ступінь із негативним показником.Ступінь деякого числа з непозитивним (цілим) показником визначають як одиницю, поділену на ступінь того ж числа з показником, що дорівнює абсолютній величині непозитивного показника:

Формулу a m:a n =a m - nможна використовувати не тільки при m> n, але і при m< n.

Наприклад. a4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Щоб формула a m:a n =a m - nстала справедливою за m=n, потрібна присутність нульового ступеня.

Ступінь із нульовим показником.Ступінь будь-якого числа, що не дорівнює нулю, з нульовим показником дорівнює одиниці.

Наприклад. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Ступінь із дробовим показником.Щоб звести дійсне число ау ступінь m/nнеобхідно вийняти корінь n-ого ступеня з m-ой ступеня цього числа а.

Количисло множиться саме на себе, твірназивається ступенем.

Так 2.2 = 4, квадрат або другий ступінь 2-х
2.2.2 = 8, куб або третій ступінь.
2.2.2.2 = 16, четвертий ступінь.

Також, 10.10 = 100, другий ступінь 10.
10.10.10 = 1000, третій ступінь.
10.10.10.10 = 10000 четвертий ступінь.

І a.a = aa, другий ступінь a
a.a.a = aaa, третій ступінь a
a.a.a.a = aaaa, четвертий ступінь a

Початкове число називається коріннямступеня цього числа, тому що це число, з якого були створені ступені.

Однак не зовсім зручно, особливо у разі високих ступенів, записувати всі множники, з яких складаються ступені. Тому використовується скорочений метод позначення. Корінь ступеня записується лише один раз, а праворуч і трохи вище біля нього, але трохи меншим шрифтом записується скільки разів виступає корінь як множник. Це число або буква називається показником ступеняабо ступенемчисла. Так, а 2 дорівнює a.a або aa, тому що корінь a двічі має бути помножений сам на себе, щоб вийшло ступінь aa. Також, a 3 означає aaa, тобто тут a повторюється три разияк множник.

Показник першого ступеня є 1, але зазвичай не записується. Так, a1 записується як a.

Ви не повинні плутати ступеня з коефіцієнтами. Коефіцієнт показує, як часто величина береться як частинацілого. Ступінь показує, як часто величина береться як множнику творі.
Так, 4a = a + a + a + a. Але a 4 = a.a.a.a

Схема позначення зі ступенями має своєрідну перевагу, дозволяючи нам висловлювати невідомуступінь. Для цього в показник ступеня замість числа записується літера. У процесі вирішення завдання ми можемо отримати величину, яка, як ми можемо знати, є деякоюступенем іншої величини. Але поки що ми не знаємо, це квадрат, куб чи інший, вищий ступінь. Так, у виразі a x показник ступеня означає, що цей вираз має деякуступінь, хоча не визначено який ступінь. Так, b m і d n зводяться ступенем m і n. Коли показник ступеня знайдено, числопідставляється замість літери. Тож якщо m=3, тоді b m = b 3 ; якщо m = 5, тоді b m =b 5 .

Метод запису значень за допомогою ступенів є також великою перевагою у разі використання виразів. Так, (a + b + d) 3 є (a + b + d). (a + b + d). (a + b + d), тобто куб тричлену (a + b + d). Але якщо записати цей вираз після зведення в куб, він матиме вигляд
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3 .

Якщо ми візьмемо ряд ступенів, чиї показники збільшуються або зменшуються на 1, ми виявимо, що твір збільшується на загальний множникабо зменшується на спільний дільник, і цей множник чи дільник є початковим числом, яке зводиться у ступінь.

Так, у ряді aaaaa, aaaa, aaa, aa, a;
або a 5, a 4, a 3, a 2, a 1;
показники, якщо рахувати праворуч наліво, дорівнюють 1, 2, 3, 4, 5; і різниця між їх значеннями дорівнює 1. Якщо ми почнемо справа множитина a ми успішно отримаємо кілька значень.

Так a.a = a 2 другий член. І a 3 .a = a 4
a 2 .a = a 3 , третій член. a 4 .a = a 5 .

Якщо ми почнемо зліва ділитина a,
ми отримаємо a 5:a = a 4 та a 3:a = a 2 .
a 4:a = a 3 a 2:a = a 1

Але такий процес розподілу може бути продовжений і надалі, і ми отримуємо новий набір значень.

Так, a: a = a/a = 1. (1/a): a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.

Повний ряд буде: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.

Або a 5 , a 4 , a 3 , a 2 , a, 1, 1/a, 1/a 2 , 1/a 3 .

Тут значення справавід одиниці є зворотнимизначенням ліворуч від одиниці. Тому ці ступені можуть бути названі зворотними ступенями a. Можна також сказати, що ліворуч є зворотними до ступенів праворуч.

Так, 1: (1/a) = 1. (a/1) = a. І 1: (1/a 3) = a 3 .

Той самий план запису може застосовуватися до багаточленам. Так, для a + b, ми отримаємо безліч,
(a + b) 3 , (a + b) 2 , (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b) 2 , 1/(a + b) 3 .

Для зручності використається ще одна форма запису зворотних ступенів.

Відповідно до цієї форми, 1/a або 1/a 1 = a -1 . І 1/aaa чи 1/a 3 = a -3 .
1/aa чи 1/a 2 = a -2 . 1/aaaa або 1/a 4 = a -4.

А щоб зробити з показниками закінчений ряд із 1 як загальна різниця, a/a або 1, розглядається як таке, що не має ступеня та записується як a 0 .

Тоді, враховуючи прямі та зворотні ступені
замість aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa
можна записати a4, a3, a2, a1, a0, a-1, a-2, a-3, a-4.
Або a+4, a+3, a+2, a+1, a0, a-1, a-2, a-3, a-4.

А ряд лише окремо взятих ступенів матиме вигляд:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

Корінь ступеня може бути виражений більш ніж однією літерою.

Так, aa.aa або (aa) 2 є другим ступенем aa.
І aa.aa.aa або (aa) 3 є третім ступенем aa.

Усі ступеня цифри 1 однакові: 1.1 чи 1.1.1. дорівнюватиме 1.

Зведення в ступінь є знаходження значення будь-якого числа шляхом множення цього числа саме на себе. Правило зведення у ступінь:

Помножуйте величину саму себе стільки разів, скільки зазначено у ступеня числа.

Це є загальним всім прикладів, які можуть виникнути у процесі зведення ступінь. Але правильно дати пояснення, яким чином воно застосовується до окремих випадків.

Якщо ступінь зводиться лише один член, він множиться сам він стільки разів, скільки показує показник ступеня.

Четвертий ступінь a є a 4 або aaaa. (Art. 195.)
Шоста ступінь y є y 6 або yyyyyy.
N-а ступінь x є x n або xxx ... n раз повторене.

Якщо необхідно звести у ступінь вираз із кількох членів, застосовується принцип, згідно з яким ступінь твору кількох множників дорівнює добутку цих множників, зведених у ступінь.

Так (ay) 2 = a 2 y 2; (ay) 2 = ay.ay.
Але ay.ay = ayay = aayy = a 2 y 2.
Так, (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3 .

Тому в знаходженні ступеня твору ми можемо або оперувати з усім твором відразу, або ми можемо оперувати з кожним множником окремо, а потім помножити їх значення зі ступенями.

Приклад 1. Четвертий ступінь dhy є (dhy) 4 або d 4 h 4 y 4 .

Приклад 2. Третій ступінь 4b, є (4b) 3 або 4 3 b 3 або 64b 3 .

Приклад 3. N-а ступінь 6ad є (6ad) n або 6 n a n d n .

Приклад 4. Третій ступінь 3m.2y є (3m.2y) 3 або 27m 3 .8y 3 .

Ступінь двочлена, що з членів, з'єднаних знаком + і -, обчислюється множенням його членів. Так,

(a + b) 1 = a + b, перший ступінь.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2 другий ступінь (a + b).
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 третій ступінь.
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 четвертий ступінь.

Квадрат a - b є a 2 - 2ab + b 2 .

Квадрат a + b + h є a 2 + 2ab + 2ah + b 2 + 2bh + h 2

Вправа 1. Знайдіть куб a + 2d + 3

Вправа 2. Знайдіть четвертий ступінь b+2.

Вправа 3. Знайдіть п'ятий ступінь x+1.

Вправа 4. Знайдіть шостий ступінь 1 – b.

Квадрати суми сумиі різницідвочленів зустрічаються так часто в алгебрі, що необхідно знати їх дуже добре.

Якщо ми множимо a + h саме на себе або a - h саме на себе,
ми отримуємо: (a + h)(a + h) = a 2 + 2ah + h 2 також, (a - h) (a - h) = a 2 - 2ah + h 2 .

Звідси видно, що у кожному разі, перший і останній члени є квадрати a і h, а середній член є подвоєний твір a на h. Звідси квадрат суми і різниці двочленів може бути знайдений, використовуючи таке правило.

Квадрат двочлена, обидва члени яких позитивні, дорівнює квадрату першого члена + подвоєний добуток обох членів + квадрат останнього члена.

Квадрат різницідвочленів дорівнює квадрату першого члена мінус подвоєний добуток обох членів плюс квадрат другого члена.

Приклад 1. Квадрат 2a + b є 4a 2 + 4ab + b 2 .

Приклад 2. Квадрат ab + cd є a 2 b 2 + 2abcd + c 2 d 2 .

Приклад 3. Квадрат 3d – h, є 9d 2 + 6dh + h 2 .

Приклад 4. Квадрат a – 1 є a 2 – 2a + 1.

Щоб дізнатися про метод знаходження вищих ступенів двочленів, дивіться наступні розділи.

У багатьох випадках є ефективним записувати ступенябез множення.

Так, квадрат a + b є (a + b) 2 .
N-а ступінь bc + 8 + x є (bc + 8 + x) n

У таких випадках дужки охоплюють Усечлени під ступенем.

Але якщо корінь ступеня складається з кількох множниківдужки можуть охоплювати весь вираз, або можуть застосовуватися окремо до множників в залежності від зручності.

Так, квадрат (a + b)(c + d) є або [(a + b).(c + d)] 2 або (a + b) 2 .(c + d) 2 .

Для першого з цих виразів результатом є квадрат твори двох множників, а для другого – твором їх квадратів. Але вони рівні один одному.

Куб a.(b + d), є 3 або a 3 .(b + d) 3 .

Необхідно також враховувати знак перед залученими членами. Дуже важливо пам'ятати, що коли корінь ступеня позитивний, всі його позитивні ступеня також позитивні. Але коли корінь негативний, значення з непарнимиступенями негативні, у той час як значення парнихступенів є позитивними.

Другий ступінь (-a) є +a 2
Третій ступінь (-a) є -a 3
Четвертий ступінь (-a) є +a 4
П'ятий ступінь (-a) є -a 5

Звідси будь-яка непарнаступінь має той самий знак, як і число. Але парнаступінь є позитивною незалежно від того, чи має число негативний або позитивний знак.
Так, +a.+a = +a 2
І -a.-a = +a 2

Величина, вже зведена до ступеня, ще раз зводиться до ступеня шляхом множення показників ступенів.

Третій ступінь a2 є a2.3 = a6.

Для a2 = aa; куб aa є aa.aa.aa = aaaaaa = a 6; що є шостим ступенем a, але третім ступенем a 2 .

Четвертий ступінь a 3 b 2 є a 3.4 b 2.4 = a 12 b 8

Третій ступінь 4a 2 x є 64a 6 x 3 .

П'ятий ступінь (a + b) 2 є (a + b) 10 .

N-ий ступінь a 3 є a 3n

N-ий ступінь (x - y) m є (x - y) mn

(a 3 .b 3) 2 = a 6 .b 6

(a 3 b 2 h 4) 3 = a 9 b 6 h 12

Правило однаково застосовується до негативнимступеням.

Приклад 1. Третій ступінь a -2 є a -3.3 = a -6.

Для a -2 = 1/aa, і третій ступінь цього
(1/aa).(1/aa).(1/aa) = 1/aaaaaa = 1/a 6 = a -6

Четвертий ступінь a2b-3 є a8b-12 або a8/b12.

Квадрат b3x-1, є b6x-2.

N-а ступінь ax-m є x-mn або 1/x.

Однак тут треба пам'ятати, що якщо знак, попереднійступеня є "-", то він повинен бути змінений на "+" завжди, коли ступінь є парним числом.

Приклад 1. Квадрат -a3 є +a6. Квадрат -a3 є -a3.-a3, яке, згідно з правилами знаків при множенні, є +a6.

2. Але куб -3 є -a 9 . Для -a3.-a3.-a3 = -a9.

3. N-а ступінь -a3 є a3n.

Тут результат може бути позитивним або негативним залежно від того, яке є n - парне чи непарне.

Якщо дрібзводиться в ступінь, то зводяться в ступінь чисельник та знаменник.

Квадрат a/b є a2/b2. Відповідно до правила множення дробів,
(a/b)(a/b) = aa/bb = a 2 b 2

Друга, третя і n-а ступеня 1/a є 1/a 2 1/a 3 і 1/a n .

Приклади двочленів, в яких один із членів є дробом.

1. Знайдіть квадрат x + 1/2 та x - 1/2.
(x + 1/2) 2 = x 2 + 2.x. (1/2) + 1/2 2 = x 2 + x + 1/4
(x - 1/2) 2 = x 2 - 2.x. (1/2) + 1/2 2 = x 2 - x + 1/4

2. Квадрат a+2/3 є a2+4a/3+4/9.

3. Квадрат x + b/2 = x 2 + bx + b2/4.

4 Квадрат x - b/m є x 2 - 2bx/m + b 2 /m 2 .

Раніше було показано, що дробовий коефіцієнтможе бути переміщений з чисельника до знаменника або зі знаменника до чисельника. Використовуючи схему запису зворотних ступенів, видно, що будь-який множниктакож може бути переміщений, якщо буде змінено знак ступеня.

Так, у дробі ax -2 /y, ми можемо перемістити x з чисельника у знаменник.
Тоді ax -2 / y = (a / y). x -2 = (a / y). (1 / x 2 = a / yx 2)

У дробі a/by 3 ми можемо перемістити з знаменника в чисельник.
Тоді a/by 2 = (a/b). (1/y 3) = (a/b). y -3 = ay -3 / b.

Так само ми можемо перемістити множник, який має позитивний показник ступеня в чисельник або множник з негативним ступенем у знаменник.

Так, ax 3 /b = a/bx -3. Для x 3 оберненим є x -3 , що є x 3 = 1/x -3.

Отже, знаменник будь-якого дробу може бути повністю вилучений, чи чисельник може бути скорочений до одиниці, що не змінить значення виразу.

Так, a/b = 1/ba-1, or ab-1.

Якщо не зважати на восьмий ступінь, що ми тут бачимо? Згадуємо програму 7 класу. Отже, згадали? Це формула скороченого множення, а саме – різниця квадратів! Отримуємо:

Уважно дивимось на знаменник. Він дуже схожий на один із множників чисельника, але що не так? Не той порядок доданків. Якби їх поміняти місцями можна було б застосувати правило.

Але як це зробити? Виявляється дуже легко: тут нам допомагає парний ступінь знаменника.

Магічним чином доданки змінилися місцями. Це «явище» застосовується для будь-якого виразу парною мірою: ми можемо безперешкодно змінювати знаки в дужках.

Але важливо запам'ятати: змінюються усі знаки одночасно!

Повернемося, наприклад:

І знову формула:

Цілимими називаємо натуральні числа, протилежні їм (тобто узяті зі знаком «») та число.

ціле позитивне число, а воно нічим не відрізняється від натурального, все виглядає в точності як у попередньому розділі.

А тепер розглянемо нові випадки. Почнемо з показника, що дорівнює.

Будь-яке число в нульовому ступені дорівнює одиниці:

Як завжди, запитаємо себе: чому це так?

Розглянемо якийсь ступінь із основою. Візьмемо, наприклад, і домножимо на:

Отже, ми помножили число на, і отримали те, що було - . А на яку кількість треба помножити, щоб нічого не змінилося? Правильно, на. Значить.

Можемо зробити те саме вже з довільним числом:

Повторимо правило:

Будь-яке число в нульовому ступені дорівнює одиниці.

Але з багатьох правил є винятки. І тут воно теж є - це число (як основа).

З одного боку, будь-якою мірою повинен дорівнювати - скільки нуль сам на себе не помножуй, все-одно отримаєш нуль, це ясно. Але з іншого боку, як і будь-яке число в нульовому ступені, має дорівнювати. То що з цього правда? Математики вирішили не зв'язуватися і відмовилися зводити нуль у нульовий ступінь. Тобто тепер нам не можна не тільки ділити на нуль, а й зводити його на нульовий ступінь.

Поїхали далі. Крім натуральних чисел та числа до цілих відносяться негативні числа. Щоб зрозуміти, що таке негативний ступінь, дійдемо як минулого разу: домножимо якесь нормальне число на таке ж негативне:

Звідси вже нескладно висловити:

Тепер поширимо отримане правило на довільний ступінь:

Отже, сформулюємо правило:

Число негативною мірою назад такому ж числу позитивно. Але при цьому основа не може бути нульовою:(Бо на ділити не можна).

Підведемо підсумки:

I. Вираз не визначено у разі. Якщо то.

ІІ. Будь-яке число в нульовому ступені дорівнює одиниці: .

ІІІ. Число, що не дорівнює нулю, негативною мірою назад такому ж числу в позитивному ступені: .

Завдання для самостійного вирішення:

Ну і, як завжди, приклади для самостійного вирішення:

Розбір завдань для самостійного розв'язання:

Знаю-знаю, числа страшні, але на ЄДІ треба бути готовим до всього! Виріш ці приклади або розбери їх рішення, якщо не зміг вирішити і ти навчишся легко справлятися з ними на іспиті!

Продовжимо розширювати коло чисел, «придатних» як показник ступеня.

Тепер розглянемо раціональні числа.Які числа називаються раціональними?

Відповідь: всі, які можна подати у вигляді дробу, де і - цілі числа, причому.

Щоб зрозуміти, що таке «дрібний ступінь», розглянемо дріб:

Зведемо обидві частини рівняння до ступеня:

Тепер згадаємо правило про «ступінь ступеня»:

Яке число треба звести до ступеня, щоб отримати?

Це формулювання - визначення кореня ступеня.

Нагадаю: коренем -ого ступеня числа () називається число, яке при зведенні до ступеня дорівнює.

Тобто, корінь ступеня - це операція, зворотна зведенню в ступінь: .

Виходить що. Зрозуміло, цей окремий випадок можна розширити: .

Тепер додаємо чисельник: що таке? Відповідь легко отримати за допомогою правила «ступінь ступеня»:

Але чи може бути підстава будь-яким числом? Адже корінь можна отримувати не з усіх чисел.

Жодне!

Згадуємо правило: будь-яке число, зведене парний ступінь - число позитивне. Тобто витягувати коріння парного ступеня з негативних чисел не можна!

А це означає, що не можна такі числа зводити в дрібний ступінь з парним знаменником, тобто вираз не має сенсу.

А що щодо висловлювання?

Але тут постає проблема.

Число можна представити у вигляді інших, скоротливих дробів, наприклад, або.

І виходить, що існує, але не існує, адже це просто два різні записи одного і того ж числа.

Або інший приклад: раз, то можна записати. Але варто нам по-іншому записати показник, і знову отримаємо неприємність: (тобто отримали зовсім інший результат!).

Щоб уникнути подібних парадоксів, розглядаємо тільки позитивна основа ступеня з дробовим показником.

Отже, якщо:

• - натуральне число;
• - ціле число;

Приклади:

Ступені з раціональним показником дуже корисні для перетворення виразів з корінням, наприклад:

5 прикладів для тренування

Розбір 5 прикладів для тренування

1. Не забуваємо про звичайні властивості ступенів:

2. . Тут згадуємо, що забули вивчити таблицю ступенів:

адже - це чи. Рішення перебуває автоматично: .

Ну а тепер – найскладніше. Зараз ми розберемо ступінь з ірраціональним показником.

Всі правила і властивості ступенів тут такі самі, як і для ступеня з раціональним показником, за винятком

Адже за визначенням ірраціональні числа - це числа, які неможливо уявити у вигляді дробу, де і - цілі числа (тобто ірраціональні числа - це все дійсні числа, крім раціональних).

При вивченні ступенів з натуральним, цілим і раціональним показником, ми щоразу складали якийсь «образ», «аналогію», або опис більш звичних термінах.

Наприклад, ступінь із натуральним показником - це число, кілька разів помножене саме на себе;

...число в нульовому ступені- це ніби число, помножене саме на себе раз, тобто його ще не почали множити, значить, саме число ще навіть не з'явилося - тому результатом є лише якась «заготівля числа», а саме число;

...ступінь із цілим негативним показником- це ніби стався якийсь «зворотний процес», тобто число не множили саме на себе, а ділили.

Між іншим, у науці часто використовується ступінь із комплексним показником, тобто показник – це навіть не дійсне число.

Але в школі ми про такі складнощі не думаємо, осягнути ці нові поняття тобі буде можливість в інституті.

КУДИ МИ ВПЕВНЕНІ ТИ ПОСТУПИШ! (якщо навчишся вирішувати такі приклади:))

Наприклад:

Виріши самостійно:

Розбір рішень:

1. Почнемо з звичайного нам правила зведення ступеня в ступінь:

Тепер подивися на показник. Нічого він не нагадує тобі? Згадуємо формулу скороченого множення різниця квадратів:

В даному випадку,

Виходить що:

Відповідь: .

2. Наводимо дроби у показниках ступенів до однакового виду: або обидві десяткові, або обидві звичайні. Отримаємо, наприклад:

Відповідь: 16

3. Нічого особливого, застосовуємо звичайні властивості ступенів:

ПРОСУНУТИЙ РІВЕНЬ

Визначення ступеня

Ступенем називається вираз виду: , де:

• — основа ступеня;
• - показник ступеня.

Ступінь із натуральним показником (n = 1, 2, 3,...)

Звести число в натуральний ступінь n - значить помножити число саме на себе:

Ступінь із цілим показником (0, ±1, ±2,...)

Якщо показником ступеня є ціле позитивнечисло:

Зведення у нульовий ступінь:

Вислів невизначений, т.к., з одного боку, будь-якою мірою - це, з другого - будь-яке число -ою мірою - це.

Якщо показником ступеня є ціле негативнечисло:

(Бо на ділити не можна).

Ще раз про нулі: вираз не визначений у випадку. Якщо то.

Приклади:

Ступінь із раціональним показником

• - натуральне число;
• - ціле число;

Приклади:

Властивості ступенів

Щоб простіше було вирішувати завдання, спробуємо зрозуміти: звідки ці властивості взялися? Доведемо їх.

Подивимося: що таке та?

За визначенням:

Отже, у правій частині цього виразу виходить такий твір:

Але за визначенням це ступінь числа з показником, тобто:

Що й потрібно було довести.

приклад : Спростіть вираз

Рішення : .

приклад : Спростіть вираз

Рішення : Важливо помітити, що у нашому правилі обов'язковомають бути однакові підстави. Тому ступеня з основою ми поєднуємо, а залишається окремим множником:

Ще одне важливе зауваження: це правило - тільки для добутку ступенів!

У жодному разі не можна написати, що.

Так само, як і з попередньою властивістю, звернемося до визначення ступеня:

Перегрупуємо цей твір так:

Виходить, що вираз множиться сам на себе раз, тобто, згідно з визначенням, це і є ступінь числа:

По суті, це можна назвати «винесенням показника за дужки». Але ніколи не можна цього робити у сумі: !

Згадаймо формули скороченого множення: скільки разів нам хотілося написати? Але це не так, адже.

Ступінь із негативною основою.

До цього моменту ми обговорювали лише те, яким має бути показникступеня. Але якою має бути підстава? У ступенях з натуральним показником основа може бути будь-яким числом .

І справді, адже ми можемо множити один на одного будь-які числа, будь вони позитивні, негативні, або навіть. Давайте подумаємо, які знаки (« » або « ») матимуть ступеня позитивних та негативних чисел?

Наприклад, позитивним чи негативним буде число? А? ?

З першим усе зрозуміло: хоч би скільки позитивних чисел ми один на одного не множили, результат буде позитивним.

Але з негативними трохи цікавіше. Адже ми пам'ятаємо просте правило з 6 класу: «мінус на мінус дає плюс». Тобто, або. Але якщо ми помножимо (), вийде - .

І так нескінченно: при кожному наступному множенні знак змінюватиметься. Можна сформулювати такі прості правила:

1. парнуступінь - число позитивне.
2. Негативне число, зведене в непарнуступінь - число негативне.
3. Позитивне число будь-якої міри - число позитивне.
4. Нуль будь-якою мірою дорівнює нулю.

Визнач самостійно, який знак будуть мати такі вирази:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Впорався? Ось відповіді:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

У перших чотирьох прикладах, сподіваюся, все зрозуміло? Просто дивимося на основу та показник ступеня, і застосовуємо відповідне правило.

У прикладі 5) все теж не так страшно, як здається: адже неважливо, чому рівна підстава - ступінь парний, а значить, результат завжди буде позитивним. Ну, за винятком випадку, коли основа дорівнює нулю. Адже підстава не рівна? Очевидно ні, тому що (бо).

Приклад 6) вже не такий простий. Тут треба дізнатися, що менше: чи? Якщо згадати, що, стає ясно, що, отже, підстава менша за нуль. Тобто застосовуємо правило 2: результат буде негативним.

І знову використовуємо визначення ступеня:

Все як завжди - записуємо визначення ступенів і, ділимо їх один на одного, розбиваємо на пари і отримуємо:

Перш ніж розібрати останнє правило, розв'яжемо кілька прикладів.

Обчисли значення виразів:

Рішення :

Якщо не зважати на восьмий ступінь, що ми тут бачимо? Згадуємо програму 7 класу. Отже, згадали? Це формула скороченого множення, а саме – різниця квадратів!

Отримуємо:

Уважно дивимось на знаменник. Він дуже схожий на один із множників чисельника, але що не так? Не той порядок доданків. Якби їх поміняти місцями можна було б застосувати правило 3. Але як це зробити? Виявляється дуже легко: тут нам допомагає парний ступінь знаменника.

Якщо примножити його на, нічого не зміниться, чи не так? Але тепер виходить таке:

Магічним чином доданки змінилися місцями. Це «явище» застосовується для будь-якого виразу парною мірою: ми можемо безперешкодно змінювати знаки в дужках. Але важливо запам'ятати: змінюються усі знаки одночасно!Не можна замінити, змінивши тільки один неугодний нам мінус!

Повернемося, наприклад:

І знову формула:

Отже, тепер останнє правило:

Як доводитимемо? Звичайно, як завжди: розкриємо поняття ступеня і спростимо:

Ну а тепер розкриємо дужки. Скільки всього вийде букв? раз по множниках - що це нагадує? Це не що інше, як визначення операції множення: всього там виявилося множників Тобто це, за визначенням, ступінь числа з показником:

Приклад:

Ступінь з ірраціональним показником

На додаток до інформації про ступені для середнього рівня, розберемо ступінь з ірраціональним показником. Всі правила та властивості ступенів тут точно такі ж, як і для ступеня з раціональним показником, за винятком - адже за визначенням ірраціональні числа - це числа, які неможливо уявити у вигляді дробу, де і - цілі числа (тобто ірраціональні числа - це усі дійсні числа, крім раціональних).

При вивченні ступенів з натуральним, цілим і раціональним показником, ми щоразу складали якийсь «образ», «аналогію», або опис більш звичних термінах. Наприклад, ступінь із натуральним показником - це число, кілька разів помножене саме на себе; число в нульовому ступені - це ніби число, помножене саме на себе раз, тобто його ще не почали множити, значить, саме число ще навіть не з'явилося - тому результатом є лише якась «заготівля числа», а саме число; ступінь із цілим негативним показником - це ніби стався якийсь «зворотний процес», тобто число не множили саме на себе, а ділили.

Уявити ступінь з ірраціональним показником дуже складно (так само, як складно уявити 4-мірний простір). Це швидше чисто математичний об'єкт, який математики створили, щоб розширити поняття ступеня на весь простір чисел.

Між іншим, у науці часто використовується ступінь із комплексним показником, тобто показник – це навіть не дійсне число. Але в школі ми про такі складнощі не думаємо, осягнути ці нові поняття тобі буде можливість в інституті.

Отже, що ми робимо, якщо бачимо ірраціональний показник ступеня? Усіми силами намагаємося його позбутися!:)

Наприклад:

Виріши самостійно:

1)

2)

3)

Відповіді:

1. Згадуємо формулу різниця квадратів. Відповідь: .
2. Наводимо дроби до однакового виду: або обидві десяткові або обидві звичайні. Отримаємо, наприклад: .
3. Нічого особливого, застосовуємо звичайні властивості ступенів:

КОРОТКИЙ ВИКЛАД РОЗДІЛУ ТА ОСНОВНІ ФОРМУЛИ

ступенемназивається вираз виду: , де:

Ступінь із цілим показником

ступінь, показник якого - натуральне число (тобто ціле і позитивне).

Ступінь із раціональним показником

ступінь, показник якого - негативні та дробові числа.

Ступінь з ірраціональним показником

ступінь, показник якої - нескінченний десятковий дріб або корінь.

Властивості ступенів

Особливості ступенів.

• Негативне число, зведене в парнуступінь - число позитивне.
• Негативне число, зведене в непарнуступінь - число негативне.
• Позитивне число будь-якої міри - число позитивне.
• Нуль будь-якою мірою дорівнює.
• Будь-яке число в нульовому ступені дорівнює.

ТЕПЕР ТЕБЕ СЛОВО...

Як тобі стаття? Напиши внизу у коментарях сподобалася чи ні.

Розкажи про свій досвід використання властивостей ступенів.

Можливо, у тебе є питання. Або пропозиції.

Напиши коментарі.

І удачі на іспитах!

можна знайти за допомогою множення. Наприклад: 5+5+5+5+5+5=5х6. Про такий вислів говорять, що суму рівних доданків згорнули у твір. І навпаки, якщо читати цю рівність справа наліво, отримуємо, що ми розгорнули суму рівних доданків. Аналогічно можна згортати добуток кількох рівних множників 5х5х5х5х5х5=5 6 .

Тобто замість множення шести однакових множників 5х5х5х5х5х5 пишуть 56 і кажуть «п'ять шостою мірою».

Вираз 56 - це ступенем числа, де:

5 - основа ступеня;

6 - показник ступеня.

Дії, за допомогою яких добуток рівних множників згортають у ступінь, називають зведенням у ступінь.

У загальному вигляді ступінь з основою "a" та показником "n" записується так

Звести число a до ступеня n - означає знайти добуток n множників, кожен із яких дорівнює а

Якщо основа ступеня «а» дорівнює 1, то значення ступеня за будь-якого натурального n дорівнює 1. Наприклад, 1 5 =1, 1 256 =1

Якщо звести число «а» звести до перший ступінь, то отримаємо саме число a: a 1 = a

Якщо звести будь-яке число в нульовий ступінь, то результаті обчислень отримаємо один. a 0 = 1

Особливими вважають другий та третій ступінь числа. Для них вигадали назви: другий ступінь називають квадратом числа, третю - кубомцього числа.

У ступінь можна зводити будь-яке число – позитивне, негативне чи нуль. При цьому не користуються такими правилами:

При знаходженні ступеня позитивного числа виходить позитивне число.

При обчисленнях нуля в натуральному ступені одержуємо нуль.

х m · Х n = х m + n

наприклад: 7 1.7 · 7 - 0.9 = 7 1.7 + (- 0.9) = 7 1.7 - 0.9 = 7 0.8

Щоб розділити ступеня з однаковими підставамиоснову не міняємо, а показники ступенів віднімаємо :

х m /х n = х m - n , де, m > n,

наприклад: 13 3.8/13 -0.2 = 13 (3.8 -0.2) = 13 3.6

При розрахунках зведення ступеня в ступіньоснову не міняємо, а показники ступенів множимо один на одного.

(У m ) n = у m · n

наприклад: (2 3) 2 = 2 3 · 2 = 2 6

(х · у) n = х n · у m ,

наприклад:(2·3) 3 = 2 n · 3 m ,

При виконанні розрахунків з зведенню у ступінь дробуми на цей ступінь зводимо чисельник і знаменник дробу

(х/у) n = х n / у n

наприклад: (2/5) 3 = (2/5) · (2/5) · (2/5) = 2 3/5 3 .

Послідовність виконання розрахунків при роботі з виразами, що містять ступінь.

При виконанні розрахунків виразів без дужок, але що містять ступеня, в першу чергу виробляють зведення в ступінь, потім дії множення та поділ, і лише потім операції додавання та віднімання.

Якщо необхідно обчислити вираз дужки, що містять, то спочатку в зазначеному вище порядку робимо обчислення в дужках, а потім дії, що залишилися, в тому ж порядку зліва направо.

Дуже широко у практичних обчисленнях для спрощення розрахунків використовують готові таблиці ступенів.

Ми розібралися, що взагалі являє собою ступінь числа. Тепер треба зрозуміти, як правильно виконувати її обчислення, тобто. зводити числа до ступеня. У цьому матеріалі ми розберемо основні правила обчислення ступеня у разі цілого, натурального, дробового, раціонального та ірраціонального показника. Усі визначення будуть проілюстровані прикладами.

Поняття зведення у ступінь

Почнемо із формулювання базових визначень.

Визначення 1

Зведення в ступінь- Це обчислення значення ступеня деякого числа.

Тобто слова "обчислення значення ступеня" і "зведення в ступінь" означають те саме. Так, якщо в задачі стоїть "Зведіть число 0, 5 у п'яту ступінь", це слід розуміти як "обчисліть значення ступеня (0, 5) 5 .

Тепер наведемо основні правила, яким потрібно дотримуватись при таких обчисленнях.

Згадаймо, що таке ступінь числа із натуральним показником. Для ступеня з основою a та показником n це буде добуток n-ного числа множників, кожен з яких дорівнює a. Це можна записати так:

Щоб обчислити значення ступеня, потрібно виконати дію множення, тобто перемножити основи ступеня вказане число разів. На вмінні швидко множити та засноване саме поняття ступеня з натуральним показником. Наведемо приклади.

Приклад 1

Умова: зведіть - 2 на ступінь 4 .

Рішення

Використовуючи визначення вище, запишемо: (−2) 4 = (−2) · (−2) · (−2) · (−2) . Далі нам потрібно просто виконати вказані дії та отримати 16 .

Візьмемо приклад складніше.

Приклад 2

Обчисліть значення 3 2 7 2

Рішення

Цей запис можна переписати у вигляді 3 2 7 · 3 2 7 . Раніше ми розглядали, як правильно множити змішані числа, згадані за умови.

Виконаємо ці дії та отримаємо відповідь: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Якщо в задачі вказана необхідність зводити ірраціональні числа в натуральний ступінь, нам потрібно буде заздалегідь округлити їх підстави до розряду, який дозволить нам отримати відповідь потрібної точності. Розберемо приклад.

Приклад 3

Виконайте зведення в квадрат числа π.

Рішення

Для початку округлимо його до сотих. Тоді π 2 ≈ (3 , 14) 2 = 9,8596. Якщо ж π ≈ 3 . 14159 , ми отримаємо більш точний результат: π 2 ≈ (3 , 14159) 2 = 9 , 8695877281 .

Зазначимо, необхідність вираховувати ступеня ірраціональних чисел практично виникає порівняно рідко. Ми можемо тоді записати відповідь у вигляді ступеня (ln 6) 3 або перетворити, якщо це можливо: 5 7 = 125 5 .

Окремо слід зазначити, що таке перший рівень числа. Тут можна просто запам'ятати, що будь-яке число, зведене в першу міру, залишиться самим собою:

Це зрозуміло із запису .

Від основи ступеня це не залежить.

Приклад 4

Так, (− 9) 1 = − 9 , а 7 3 , зведене до першого ступеня, залишиться 7 3 .

Для зручності розберемо окремо три випадки: якщо показник ступеня - ціле позитивне число, якщо це нуль і якщо це негативне число.

У першому випадку це те саме, що й зведення в натуральний ступінь: адже цілі позитивні числа належать до безлічі натуральних. Про те, як працювати з такими ступенями ми вже розповіли вище.

Тепер подивимося, як правильно зводити на нульовий ступінь. При підставі, яка відрізняється від нуля це обчислення завжди дає на виході 1 . Раніше ми вже пояснювали, що 0 -а ступінь a може бути визначена для будь-якого дійсного числа, не рівного 0 і a 0 = 1 .

Приклад 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 – не визначено.

У нас залишився лише випадок ступеня із цілим негативним показником. Ми вже розбирали, що такі ступені можна записати у вигляді дробу 1 a z , де а будь-яке число, а z - цілий негативний показник. Ми бачимо, що знаменник цього дробу є не що інше, як звичайний ступінь із цілим позитивним показником, а його обчислювати ми вже навчилися. Наведемо приклади завдань.

Приклад 6

Зведіть 2 на ступінь - 3 .

Рішення

Використовуючи визначення вище, запишемо: 2 - 3 = 1 2 3

Підрахуємо знаменник цього дробу та отримаємо 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8 .

Тоді відповідь така: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Приклад 7

Зведіть 1 , 43 у ступінь - 2 .

Рішення

Переформулюємо: 1, 43 - 2 = 1 (1, 43) 2

Обчислюємо квадрат у знаменнику: 1,43 · 1,43. Десяткові дроби можна помножити в такий спосіб:

У результаті ми вийшло (1 , 43) - 2 = 1 (1 , 43) 2 = 1 2 , 0449 . Цей результат нам залишилося записати у вигляді звичайного дробу, для чого необхідно помножити його на 10 тисяч (див. матеріал про перетворення дробів).

Відповідь: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Окремий випадок – зведення числа в мінус перший ступінь. Значення такого ступеня дорівнює числу, зворотному вихідному значенню основи: a - 1 = 1 a 1 = 1 a.

Приклад 8

Приклад: 3 − 1 = 1/3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Як звести число в дробовий ступінь

Для виконання такої операції нам потрібно згадати базове визначення ступеня з дробовим показником: a m n = a m n за будь-якого позитивного a , загалом m і натурального n .

Визначення 2

Таким чином, обчислення дробового ступеня потрібно виконувати у дві дії: зведення в цілий ступінь і знаходження кореня n-ного ступеня.

Ми маємо рівність a m n = a m n , яка, враховуючи властивості коренів, зазвичай застосовується для розв'язання задач у вигляді a m n = a n m . Це означає, що й ми зводимо число a в дробову ступінь m / n , спочатку ми отримуємо корінь n -ної ступеня з а, потім зводимо результат у ступінь із цілим показником m .

Проілюструємо з прикладу.

Приклад 9

Обчисліть 8-2 3 ​​.

Рішення

Спосіб 1. Згідно з основним визначенням, ми можемо уявити це у вигляді: 8 - 2 3 = 8 - 2 3

Тепер підрахуємо ступінь під коренем і отримаємо корінь третього ступеня з результату: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Спосіб 2. Перетворимо основну рівність: 8 - 2 3 = 8 - 2 3 = 8 3 - 2

Після цього витягнемо корінь 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 і результат зведемо в квадрат: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Бачимо, що рішення ідентичні. Можна користуватися будь-яким способом, що сподобався.

Трапляються випадки, коли ступінь має показник, виражений змішаним числом або десятковим дробом. Для простоти обчислень його краще замінити звичайним дробом і рахувати, як зазначено вище.

Приклад 10

Побудуйте 44 , 89 у ступінь 2 , 5 .

Рішення

Перетворимо значення показника на звичайний дріб: 44, 89 2, 5 = 44, 89 5 2 .

А тепер виконуємо по порядку всі дії, вказані вище: 44, 89 5 2 = 44, 89 5 = 44, 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = 0 = 13 501 , 25107

Відповідь: 13 501 , 25107 .

Якщо в чисельнику та знаменнику дробового показника ступеня стоять великі числа, то обчислення таких ступенів з раціональними показниками – досить складна робота. Для неї зазвичай потрібна обчислювальна техніка.

Окремо зупинимося на ступені з нульовою основою та дробовим показником. Виразу виду 0 m n можна надати такий зміст: якщо m n > 0, то 0 m n = 0 m n = 0; якщо m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Як звести число до ірраціонального ступеня

Необхідність обчислити значення ступеня, у показнику якої стоїть ірраціональне число, виникає не так часто. Насправді завдання обмежується обчисленням приблизного значення (до деякої кількості знаків після коми). Зазвичай це вважають на комп'ютері через складність таких підрахунків, тому докладно зупинятись на цьому не будемо, зазначимо лише основні положення.

Якщо потрібно обчислити значення ступеня a з ірраціональним показником a , ми беремо десяткове наближення показника і вважаємо у ньому. Результат і буде наближеною відповіддю. Чим точніше взяте десяткове наближення, то точніше відповідь. Покажемо на прикладі:

Приклад 11

Обчисліть наближене значення 2 ступенем 1,174367.

Рішення

Обмежимося десятковим наближенням a n = 1,17. Проведемо обчислення з використанням цього числа: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Якщо взяти, наприклад, наближення a n = 1 , 1743 , то відповідь буде трохи точніше: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1 , 1743 ≈ 2 , 256833 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter