Швидкість у фізична величина, що характеризує швидкість переміщення та напрямок руху матеріальної точки щодо обраної системи відліку; за визначенням, дорівнює похідній радіус-вектора точки часу.

Швидкість у широкому значенні - швидкість зміни будь-якої величини (не обов'язково радіус-вектора) залежно від іншої (частіше маються на увазі зміни в часі, але також у просторі чи будь-якій іншій). Так, наприклад, говорять про кутову швидкість, швидкість зміни температури, швидкість хімічної реакції, групову швидкість, швидкість з'єднання і т. д. Математично «швидкість зміни» характеризується похідною аналізованої величини.

Прискорення позначається - швидкість зміни швидкості, тобто перша похідна від швидкості за часом, векторна величина, що показує, наскільки змінюється вектор швидкості тіла за його одиницю часу:

прискорення є вектором, тобто враховує як зміна величини швидкості (модуля векторної величини), а й зміна її напрями. Зокрема, прискорення тіла, що рухається по колу з постійною модулем швидкістю, не дорівнює нулю; тіло відчуває постійне за модулем (і змінне за напрямом) прискорення, спрямоване до центру кола (відцентрове прискорення).

Одиницею прискорення у Міжнародній системі одиниць (СІ) служить метр за секунду за секунду (m/s2, м/с2),

Похідна прискорення за часом, тобто величина, що характеризує швидкість зміни прискорення, називається ривок:

Де – вектор ривка.

Прискорення – це величина, що характеризує швидкість зміни швидкості.

Середнє прискорення

Середнє прискорення - це відношення зміни швидкості до проміжку часу, за який ця зміна відбулася. Визначити середнє прискорення можна за формулою:

де – Вектор прискорення.

Напрямок вектора прискорення збігається із напрямом зміни швидкості Δ = - 0 (тут 0 – це початкова швидкість, тобто швидкість, з якою тіло почало прискорюватися).

На момент часу t1 (див. рис 1.8) тіло має швидкість 0. На момент часу t2 тіло має швидкість . Відповідно до правила віднімання векторів знайдемо вектор зміни швидкості Δ = - 0. Тоді визначити прискорення можна так:

У СІ одиниця прискорення – це 1 метр на секунду за секунду (або метр на секунду у квадраті), тобто

Метр на секунду в квадраті дорівнює прискоренню прямолінійної точки, при якому за одну секунду швидкість цієї точки збільшується на 1 м/с. Іншими словами, прискорення визначає, наскільки змінюється швидкість тіла за секунду. Наприклад, якщо прискорення дорівнює 5 м/с2, це означає, що швидкість тіла кожну секунду збільшується на 5 м/с.

Миттєве прискорення

Миттєве прискорення тіла (матеріальної точки) у час – це фізична величина, рівна межі, якого прагне середнє прискорення при прагненні проміжку часу до нуля. Іншими словами – це прискорення, яке розвиває тіло за дуже короткий час:

Напрямок прискорення також збігається з напрямом зміни швидкості при дуже малих значеннях проміжку часу, за який відбувається зміна швидкості. Вектор прискорення може бути заданий проекціями на відповідні осі координат у системі відліку (проекціями аХ, aY, aZ).

При прискореному прямолінійному русі швидкість тіла зростає за модулем, тобто

а напрямок вектора прискорення збігається з вектором швидкості 2.

Якщо швидкість тіла за модулем зменшується, тобто

то напрям вектора прискорення протилежний напрямку вектора швидкості 2. Інакше кажучи, в даному випадку відбувається уповільнення руху, при цьому прискорення буде негативним (а< 0). На рис. 1.9 показано направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.

Нормальне прискорення – це складова вектора прискорення, спрямована уздовж нормалі траєкторії руху в даній точці на траєкторії руху тіла. Тобто вектор нормального прискорення перпендикулярний до лінійної швидкості руху (див. рис. 1.10). Нормальне прискорення характеризує зміна швидкості за напрямом і позначається літерою n. Вектор нормального прискорення спрямований радіусом кривизни траєкторії.

Питання до іспиту з фізики(Ч. I, 2011 р).

Кінематика поступального руху. Системи відліку. Траєкторія, довжина колії, переміщення. Швидкість та прискорення. Середня, середня колійна, миттєва швидкість. Нормальне, тангенціальне та повне прискорення.

Кінематичні характеристики обертального руху довкола нерухомої осі: кутова швидкість, кутове прискорення.

Динаміка поступального руху. Закони Ньютона. (Савельєв І.В. Т.1 § 7, 9, 11). Основні фізичні величини та його розмірності. (Савельєв І.В. Т.1 § 10). Види сил у механіці. (Савельєв І.В. Т.1 § 13-16).

Кінетична та потенційна енергія. Механічна робота та потужність. Консервативні та неконсервативні сили. Робота у полі цих сил. Закон збереження енергії.

Імпульс механічної системи. Закон збереження імпульсу.

Момент сили щодо точки та щодо осі обертання.

Момент імпульсу матеріальної точки щодо точки та щодо осі обертання. Момент імпульсу тіла щодо осі. Закон збереження моменту імпульсу.

Основний закон динаміки обертального руху. Моменти інерції однорідних тіл правильної геометричної форми. Теорема Штейнера про паралельні осі.

Кінетична енергія, робота та потужність при обертальному русі. Зіставлення основних формул і законів поступального та обертального руху.

Кінематика гармонійних коливань. Величини, що характеризують гармонійні коливання: період, частота, амплітуда, фаза. Зв'язок між періодом коливань та циклічною частотою. Залежність усунення, швидкості та прискорення від часу. Відповідні графіки.

Рівняння гармонійних коливань у диференційній формі. Залежність усунення від часу. Зв'язок між циклічною частотою і масою точки, що коливається. Енергія гармонічних коливань (кінетична, потенційна та повна). Відповідні графіки.

Математичний та фізичний маятники. Формули для періоду малих коливань. (Савельєв І.В. Т.1 § 54).

Складання гармонійних коливань однакового напряму та однакової частоти. Векторні діаграми. (Савельєв Т.1 § 55).

Загасні коливання. Рівняння загасаючих коливань у диференційній формі. Залежність зміщення та амплітуди загасаючих коливань від часу. Коефіцієнт згасання. Логарифмічний декремент коливань. (Савельєв І.В. Т.1 § 58).

Вимушені коливання. Рівняння вимушених коливань у диференційній формі. Зміщення, амплітуда та частота вимушених коливань. Явище резонансу. Графік залежності амплітуди від частоти.

Хвилі. Поширення хвиль у пружному середовищі. Поперечні та поздовжні хвилі. Фронт хвилі та хвильових поверхонь. Довжина хвилі. Рівняння хвилі, що біжить. (Савельєв Т.2 § 93-95).

Освіта стоячих хвиль. Рівняння стоячої хвилі. Амплітуда стоячої хвилі. (Савельєв І.В. Т.2 § 99)

Два підходи до вивчення макросистем: молекулярно-кінетичний та термодинамічний. Основні характеристики макросистем. Рівняння стану ідеального газу (рівняння Клапейрона-Менделєєва). (Савельєв І.В. Т.1 § 79-81, 86).

Рівняння стану реального газу (рівняння Ван-дер-Ваальса). Теоретична ізотерма Ван-дер-Ваальса та експериментальна ізотерма реального газу. Критичний стан речовини. (Савельєв І.В. Т.1 § 91, § 123-124).

Внутрішня енергія системи. Внутрішня енергія ідеального газу. Два способи зміни внутрішньої енергії. Кількість теплоти. Теплоємність. Зв'язок питомої та молярної теплоємностей.

Робота під час зміни обсягу. Перший початок термодинаміки. Формула Майєра. Застосування першого початку термодинаміки до ізопроцесів ідеального газу.

Класична теорія теплоємності ідеального газу. Теорема Больцмана про рівномірний розподіл енергії за ступенями свободи молекули. Обчислення внутрішньої енергії ідеального газу та його теплоємностей через число ступенів волі. (Савельєв І.В. Т.1 § 97).

Застосування першого початку термодинаміки до адіабатичного процесу. Рівняння Пуассона. (Савельєв І.В. Т.1 § 88).

1. Кінематика поступального руху. Системи відліку. Траєкторія, довжина колії, переміщення. Швидкість та прискорення. Середня, середня колійна, миттєва швидкість. Нормальне, тангенціальне та повне прискорення.

Кінематика поступального руху

При поступальному русі тіла всі точки тіла рухаються однаково, і, замість розглядати рух кожної точки тіла, можна розглядати рух лише однієї його точки.

Основні характеристики руху матеріальної точки: траєкторія руху, переміщення точки, пройдений нею шлях, координати, швидкість та прискорення.

Лінію, якою рухається матеріальна точка у просторі, називають траєкторією.

Переміщеннямматеріальної точки за деякий проміжок часу називається вектор переміщення ∆r=r-r 0 , Спрямований від положення точки в початковий момент часу до її положення в кінцевий момент.

Швидкістьматеріальної точки є вектор, що характеризує напрямок і швидкість переміщення матеріальної точки щодо тіла відліку. Вектор прискоренняхарактеризує швидкість та напрямок зміни швидкості матеріальної точки щодо тіла відліку.

Середня швидкість- Векторна фізична величина дорівнює відношенню вектора переміщення до проміжку часу, за який відбувається це переміщення:

Миттєвашвидкість - Векторна фізична величина, що дорівнює першій похіднийвід радіус-вектора за часом:

Миттєва швидкістьvє векторна величина, що дорівнює першій похідній радіусу - вектора точки, що рухається за часом. Оскільки січуча межі збігається з дотичною, то вектор швидкостіvнаправлений по дотичнійдо траєкторії у бік руху (рисунок 1.2).

У міру зменшення ∆t шлях ∆S дедалі більше наближатися до |∆r|, тому модуль миттєвої швидкості:

Нормальне прискорення– це складова вектора прискорення, спрямована вздовж нормалі траєкторії руху в даній точці на траєкторії руху тіла. Тобто вектор нормального прискорення перпендикулярний до лінійної швидкості руху (див. рис. 1.10). Нормальне прискорення характеризує зміна швидкості за напрямом і позначається літерою а n. Вектор нормального прискорення спрямований радіусом кривизни траєкторії.

Тангенційне (дотичне) прискорення– це складова вектора прискорення, спрямована вздовж траєкторії в даній точці траєкторії руху. Тангенціальне прискорення характеризує зміну швидкості за модулем при криволінійному русі.

Повне прискоренняпри криволінійному русі складається з тангенціального та нормального прискорень по правилу складання векторів і визначається формулою:

(згідно з теоремою Піфагора для прямокутного прямокутника).

Напрямок повного прискорення також визначається правилом складання векторів :

а = а τ + а n

Прискорення- Це величина, яка характеризує швидкість зміни швидкості.

Наприклад, автомобіль, рушаючи з місця, збільшує швидкість руху, тобто рухається прискорено. Спочатку його швидкість дорівнює нулю. Зрушивши з місця, автомобіль поступово розганяється до якоїсь певної швидкості. Якщо на його шляху спалахне червоний сигнал світлофора, то автомобіль зупиниться. Але зупиниться він не одразу, а за якийсь час. Тобто швидкість його зменшуватиметься аж до нуля – автомобіль рухатиметься повільно, поки зовсім не зупиниться. Однак у фізиці немає терміна "уповільнення". Якщо тіло рухається, сповільнюючи швидкість, це теж буде прискорення тіла, тільки зі знаком мінус (як ви пам'ятаєте, швидкість - Це векторна величина).

Середнє прискорення> – це відношення зміни швидкості до проміжку часу, за який ця зміна відбулася. Визначити середнє прискорення можна за формулою:

де a – вектор прискорення.

Напрямок вектора прискорення збігається із напрямом зміни швидкості ΔV = V - V 0 (тут 0 – це початкова швидкість, тобто швидкість, з якою тіло почало прискорюватися).

На момент часу t1 (див. рис 1.8) тіло має швидкість V 0 . У момент часу t2 тіло має швидкість V. Згідно з правилом віднімання векторів знайдемо вектор зміни швидкості ΔV = V - V 0 Тоді визначити прискорення можна так:

Мал. 1.8. Середнє прискорення.

У СІ одиниця прискорення– це 1 метр на секунду за секунду (або метр на секунду у квадраті), тобто

Метр на секунду в квадраті дорівнює прискоренню прямолінійної точки, при якому за одну секунду швидкість цієї точки збільшується на 1 м/с. Іншими словами, прискорення визначає, наскільки змінюється швидкість тіла за секунду. Наприклад, якщо прискорення дорівнює 5 м/с 2 то це означає, що швидкість тіла кожну секунду збільшується на 5 м/с.

Також можна ввести середню швидкість переміщення, яка буде вектором, рівним відношенню переміщеннядо часу, за який він скоєний:

Середня швидкість, визначена таким чином, може дорівнювати нулю навіть у тому випадку, якщо точка реально рухалася (але в кінці проміжку часу повернулася у вихідне положення).

Якщо переміщення відбувалося по прямій (причому в одному напрямку), то середня колійна швидкість дорівнює модулю середньої швидкості переміщення.

Рух тіл відбувається у просторі та у часі. Тому для опису руху матеріальної точки треба знати, в яких місцях простору ця точка знаходилася і в які часи вона проходила те чи інше положення.

Тіло відліку - довільно обране тіло, щодо якого визначається становище інших тіл.

Система відліку - сукупність системи координат та годин, пов'язаних з тілом відліку.

Найбільш уживана система координат - декартова - ортонормований базис якої утворений трьома одиничними за модулем та взаємно ортогональними векторами i j k r r r проведеними з початку координат.

Положення довільної точки M характеризується радіусом-вектором R r , що з'єднує початок координат O з точкою M . r x i y j z k r r r r = + + , r = r = x 2 + y 2+ z 2 r

Рух матеріальної точки повністю визначено, якщо декартові координати матеріальної точки задані залежно від часу: x = x(t) y = y(t) z =z(t)

Ці рівняння називаються кінематичними рівняннями руху точки . Вони еквівалентні одному векторному рівняння руху точки.

Лінія, що описується рухомою матеріальною точкою (або тілом) щодо обраної системи відліку називається траєкторією . Рівняння траєкторії можна отримати, виключивши параметр t із кінематичних рівнянь. Залежно від форми траєкторії рух може бути прямолінійним або криволінійним .

Довжиною шляху точки називається сума довжин всіх ділянок траєкторії, пройдених цією точкою за розглянутий проміжок часу s = s(t). Довжина колії - скалярна функція часу.

Вектор переміщення r r r 0 r r r = - вектор, проведений з початкового положення точки, що рухається, в положення її в даний момент часу (приріст радіуса-вектора точки за аналізований проміжок часу).

Лінію, якою рухається матеріальна точка у просторі, називають траєкторією її руху. Іншими словами, траєкторією рухуназивають сукупність всіх послідовних положень, які займає матеріальна точка при її русі в просторі.

Одним із основних понять механіки є поняття матеріальної точки, Що означає тіло, що має масу, розмірами якого можна знехтувати при розгляді його руху. Рух матеріальної точки - найпростіше завдання механіки, яка дозволить розглянути складніші типи рухів.

Переміщення матеріальної точки відбувається у просторі та змінюється з часом. Реальний простір тривимірний, і становище матеріальної точки у будь-який момент часу повністю визначається трьома числами - її координатами у вибраній системі відліку. Число незалежних величин, завдання яких необхідне для однозначного визначення положення тіла, називається числом його ступенів свободи. Як систему координат виберемо прямокутну, чи декартову, систему координат. Для опису руху точки, крім системи координат, необхідно мати пристрій, за допомогою якого можна вимірювати різні відрізки часу. Такий пристрій назвемо годинником. Вибрана система координат і пов'язані з нею годинники утворюють систему відліку.

Д
екартові координати X,Y,Zвизначають у просторі радіус-вектор z, Вістря якого описує при його зміні з часом траєкторію матеріальної точки. Довжина траєкторії точки є величиною пройденого шляху S(t). Шлях S(t) - скалярна величина. Поруч із величиною пройденого шляху, переміщення точки характеризується напрямом, у якому рухається. Різниця двох радіус-векторів, взятих у різні моменти часу, утворює вектор переміщення точки (рис.).

Щоб характеризувати, як швидко змінюється положення точки у просторі, користуються поняттям швидкості. Під середньою швидкістю руху траєкторією за кінцевий час  tрозуміють відношення пройденого за цей час кінцевого шляху  Sдо часу:

. (1.1)

Швидкість руху точки траєкторією - скалярна величина. Поряд із нею можна говорити про середню швидкість переміщення точки. Ця швидкість - величина, спрямована вздовж вектора переміщення,

. (1.2)

Якщо моменти часу t 1 , і t 2 нескінченно близькі, той час  tнескінченно мало і в цьому випадку позначається через dt. За час dtточка проходить нескінченно мала відстань dS. Їхнє ставлення утворює миттєву швидкість точки

. (1.3)

Похідна радіус-вектора rу часі визначає миттєву швидкість переміщення точки.

. (1.4)

Оскільки переміщення збігається з нескінченно малим елементом траєкторії dr= dSто вектор швидкості спрямований по дотичній до траєкторії, а його величина:

. (1.5)

Н
а рис. показано залежність пройденого шляху Sвід часу t. Вектор швидкості v(t) направлений по дотичній до кривої S(t) у момент часу t. З рис. видно, що кут нахилу дотичної до осі tдорівнює

.

Інтегруючи вираз (1.5) в інтервалі часу від t 0 до t, Отримаємо формулу, що дозволяє обчислити шлях, пройдений тілом за час t-t 0 якщо відома залежність від часу його швидкості v(t)

. (1.6)

Г
еометричний зміст цієї формули ясний з рис. За визначенням інтеграла пройдений шлях являє собою площу, обмежену кривою v=v(t) в інтервалі від t 0 до t.У разі рівномірного руху, коли швидкість зберігає своє постійне значення у весь час руху, v=const; звідси випливає вираз

, (1.7)

де S 0 ‑ шлях, пройдений до початкового часу t 0 .

Похідну швидкість за часом, яка є другою похідною за часом від радіус-вектора, називають прискоренням точки:

. (1.8)

Вектор прискорення спрямований вздовж вектора приросту швидкості dv. Нехай а = const. Цей важливий випадок, що часто зустрічається, носить назву рівноприскореного або рівноуповільненого (залежно від знака величини а) руху. Проінтегруємо вираз (1.8) у межах від t= 0 до t:

(1.9)

(1.10)

і використовуємо такі початкові умови:
.

Таким чином, при рівноприскореному русі

. (1.11)

Зокрема, при одномірному русі, наприклад, уздовж осі X,
. Випадок прямолінійного руху зображено на рис. За більших часів залежність координати від часу є параболою.

У У загальному випадку рух точки може бути криволінійним. Розглянемо цей тип руху. Якщо траєкторія точки довільна крива, то швидкість і прискорення точки при її русі цією кривою змінюються за величиною і напрямом.

Виберемо довільну точку на траєкторії. Як будь-який вектор, вектор прискорення можна як суми його складових по двох взаємно перпендикулярним осям. Як одну з осей візьмемо напрям дотичної в точці траєкторії, що розглядається, тоді іншою віссю виявиться напрямок нормалі до кривої в цій же точці. Складова прискорення, спрямована по дотичній до траєкторії, має назву тангенціального прискорення a t, А спрямована їй перпендикулярно - нормального прискорення a n .

Отримаємо формули, що виражають величини a t, і a n через властивості руху. Для простоти розглянемо замість довільної криволінійної траєкторії плоску криву. Остаточні формули залишаються справедливими й у випадку непоганої траєкторії.

Б
Завдяки прискоренню швидкість точки набуває за час dtмала зміна dv. При цьому тангенціальне прискорення, спрямоване щодо до траєкторії, залежить тільки від величини швидкості, але не від її напрямку. Ця зміна величини швидкості дорівнює dv. Тому тангенціальне прискорення може бути записане як похідна за часом від величини швидкості:

. (1.12)

З іншого боку, зміна dv n, спрямоване перпендикулярно до v, характеризує лише зміну напрямку вектора швидкості, але з його величини. На рис. показано зміну вектора швидкості, спричинене дією нормального прискорення. Як видно із рис.
, і, таким чином, з точністю до величини другого порядку малості величина швидкості залишається незмінною v=v".

Знайдемо величину a n. Найпростіше це зробити, взявши найпростіший випадок криволінійного руху - рівномірний рух по колу. При цьому a t=0. Розглянемо переміщення точки за час dtпо дузі dSкола радіусу R.

З
корості vі v", Як зазначалося, залишаються рівними за величиною. Зображені на рис. трикутники виявляються таким чином подібними (як рівнобедрені з рівними кутами при вершинах). З подоби трикутників випливає
звідки знаходимо вираз для нормального прискорення:

. (1.13)

Формула для повного прискорення при криволінійному русі має вигляд:

. (1.14)

Наголосимо, що співвідношення (1.12), (1.13) і (1.14) справедливі для будь-якого криволінійного руху, а не тільки для руху по колу. Це пов'язано з тим, що будь-яка ділянка криволінійної траєкторії в досить малій околиці точки можна приблизно замінити дугою кола. Радіус цього кола, званий радіусом кривизни траєкторії, змінюватиметься від точки до точки і потребує спеціального обчислення. Таким чином, формула (1.14) залишається справедливою та у загальному випадку просторовою кривою.

2. Кінематичні характеристики обертального руху довкола нерухомої осі: кутова швидкість, кутове прискорення.

Рух твердого тіла, у якому дві його точки Проі Прозалишаються нерухомими, називається обертальним рухомдовкола нерухомої осі, а нерухому пряму ГО" називають віссю обертання. Нехай абсолютно тверде тіло обертається навколо нерухомої осі ГО(рис. 2.12).

Мал. 2.12

Простежимо за деякою точкою Мцього твердого тіла. За час dtкрапка Мздійснює елементарне переміщення dr . При тому самому куті повороту dφ, інша точка, віддалена від осі на більшу чи меншу відстань, здійснює інше переміщення. Отже, ні саме переміщення деякої точки твердого тіла, ні перша похідна ні друга похідна не можуть служити характеристикою руху всього твердого тіла. За цей же час dtрадіус-вектор R, проведений з точки 0 " в точку М, повернеться на кут dφ. На такий же кут повернеться радіус-вектор будь-якої іншої точки (бо тіло абсолютно тверде, в іншому випадку відстань між точками має змінитися). Кут повороту dφ характеризує переміщення всього тіла за час dt. Зручно ввести – вектор елементарного повороту тіла, чисельно рівний dφ і спрямований вздовж осі обертання ГОтак, щоб, дивлячись вздовж вектора, ми бачили обертання за годинниковою стрілкою (напрямок вектора і напрямок обертання пов'язані «правилом буравчика»).

Кутова швидкість обертання тіла

Кутовою швидкістютіла в даний момент t називається величина, до якої прагне середня кутова швидкість, якщо прагне нуля.

Кутова швидкість твердого тіла є першою похідною від кута повороту за часом.

Розмірність: [радіан/час]; ; .

Кутову швидкість можна зображувати вектором. Вектор кутової швидкості направляють по осі обертання в той бік, звідки обертання видно проти годинникової стрілки.

Якщо кутова швидкість перестав бути постійної величиною, то вводять ще одну характеристику обертання - кутове прискорення.

Кутове прискорення характеризує зміну кутової швидкості тіла з часом.

Якщо за проміжок часу кутова швидкість отримує приріст, то середнє кутове прискорення дорівнює

обертання, -один із найпростіших видів руху твердого тіла. Ст д. навколо нерухомої осі - рух, при якому всі точки тіла, рухаючись в паралельних площинах, описують кола з центрами, що лежать на одній нерухомій прямій, перпендикулярній до площин цих кіл і зв. віссю обертання. Швидкість довільної точки тіла v = , де w - кутова швидкістьтіла, г - радіус-вектор, проведений в точку з центру кола, що описується нею. Кутове прискореннятіла e = М/I, де М - момент зовніш. сил щодо осі обертання, I - момент інерції тіла щодо тієї ж осі.

Ст д. навколо нерухомої точки - рух, при якому всі точки тіла рухаються по поверхнях концентрич. сфер із центрами в нерухомій точці. У кожний момент часу цей рух можна розглядати як обертання довкола миттєвої осі обертання, що проходить через нерухому точку. Швидкість довільної точки тіла v = тут г - радіус-вектор, проведений в точку з нерухомої точки тіла. Основний закон динаміки: dL/dt =М, де L - момент імпульсутіла щодо нерухомої точки, М - момент щодо тієї ж точки всіх зовніш. сил, прикладених до тіла, зв. основним моментом зовнішніх сил. Цей закон справедливий також для обертання твердого тіла навколо його центру інерції незалежно від того, чи спочиває останній, чи рухається довільно. Теорія Ст д. має багаточисельний. додатки в небесній механіці, зовніш. балістиці, теорії гіроскопа, теорії машин та механізмів.

Пройдений шляхS , переміщення dr,швидкість v ,тангенціальне та нормальне прискорення a t, і a n, є лінійні величини. Для опису криволінійного руху поряд з ними можна користуватися кутовими величинами.

Розглянемо більш докладно важливий і найпоширеніший випадок руху по колу. У цьому випадку поряд із довжиною дуги кола рух можна характеризувати утлом повороту φ навколо осі обертання. Величину

(1.15)

називають кутовою швидкістю.Кутова швидкість є вектором, напрям якого пов'язують з напрямом осі обертання тіла (рис.).

Звернемо увагу на те, що, в той час як сам кут повороту φ є скаляром, нескінченно малий поворот dφ -векторна величина, напрямок якої визначається за правилом правої руки, або свердла, і пов'язане з віссю обертання. Якщо обертання є рівномірним, то ω =constі точка на колі повертається на рівні кути навколо осі обертання за рівний час. Час, протягом якого вона здійснює повний оборот, тобто. повертається на кут 2π,називається періодом руху Т.Вираз (1.15) можна проінтегрувати в межах від нуля до Ті отримати кутову частоту

. (1.16)

Число оборотів в одиницю часу є величина, обернена до періоду, - циклічна частота обертання

ν =1/ T. (1.17)

Неважко отримати зв'язок між кутовою та лінійною швидкістю точки. При русі колом елемент дуги пов'язаний з нескінченно малим поворотом співвідношенням dS = R dφ.Підставивши його в (1.15), знаходимо

v = ω r. (1.18)

Формула (1.18) пов'язує величини кутової та лінійної швидкостей. Співвідношення, що зв'язує вектори ω і v, випливає з рис. А саме, вектор лінійної швидкості є векторним твіром вектора кутової швидкості і радіуса-вектора точки. r:

. (1.19)

Таким чином, вектор кутової швидкості спрямований по осі обертання точки і визначається за правилом правої руки або свердловини.

Кутове прискорення- похідна за часом від вектора кутової швидкості ω (відповідно друга похідна за часом від кута повороту)

Виразимо тангенціальне та нормальне прискорення через кутові швидкості та прискорення. Використовуючи зв'язок (1.18), (1.12) та (1.13), отримуємо

a t = β · R, a = ω 2 · R. (1.20)

Таким чином, для повного прискорення маємо

. (1.21)

Величина β відіграє роль тангенціального прискорення: якщо β = 0.повне прискорення при обертанні точки не дорівнює нулю, a = R · ω 2 ≠ 0.

3. Динаміка поступального руху. Закони Ньютона. (Савельєв І.В. Т.1 § 7, 9, 11). Основні фізичні величини та його розмірності. (Савельєв І.В. Т.1 § 10). Види сил у механіці. (Савельєв І.В. Т.1 § 13-16).

Прискорення характеризує швидкість зміни швидкості тіла, що рухається. Якщо швидкість тіла залишається постійною, воно не прискорюється. Прискорення має місце лише тому випадку, коли швидкість тіла змінюється. Якщо швидкість тіла збільшується або зменшується на деяку постійну величину, таке тіло рухається з постійним прискоренням. Прискорення вимірюється в метрах за секунду за секунду (м/с 2) і обчислюється за значеннями двох швидкостей і часу або значення сили, прикладеної до тіла.

Кроки

Обчислення середнього прискорення за двома швидкостями

Формула обчислення середнього прискорення.Середнє прискорення тіла обчислюється за його початковою та кінцевою швидкостями (швидкість – це швидкість пересування у певному напрямку) та часу, який необхідний тілу для досягнення кінцевої швидкості. Формула для обчислення прискорення: a = Δv / Δt, де а – прискорення, Δv – зміна швидкості, Δt – час, необхідне досягнення кінцевої швидкості.

Визначення змінних.Ви можете обчислити Δvі Δtнаступним чином: Δv = v до - v ні Δt = t до - t н, де v до- Кінцева швидкість, v н- Початкова швидкість, t до- Кінцевий час, t н- Початковий час.

• Так як прискорення має напрямок, завжди віднімайте початкову швидкість з кінцевої швидкості; інакше напрямок розрахованого прискорення буде неправильним.
• Якщо задачі початковий час не дано, то мається на увазі, що t н = 0.

1. Знайдіть прискорення за допомогою формули.Для початку напишіть формулу та дані вам змінні. Формула: . Відніміть початкову швидкість з кінцевої швидкості, а потім розділіть результат на проміжок часу (зміна часу). Ви отримаєте середнє прискорення за цей час.

   • Якщо кінцева швидкість менша за початкову, то прискорення має негативне значення, тобто тіло сповільнюється.
   • Приклад 1: автомобіль розганяється з 18,5 до 46,1 м/с за 2,47 с. Знайдіть середнє прискорення.
     • Напишіть формулу: a = Δv / Δt = (v до - v н)/(t до - t н)
     • Напишіть змінні: v до= 46,1 м/с, v н= 18,5 м/с, t до= 2,47 с, t н= 0 с.
     • Обчислення: a= (46,1 - 18,5) / 2,47 = 11,17 м / с2.
   • Приклад 2: мотоцикл починає гальмування при швидкості 224 м/с і зупиняється через 255 с. Знайдіть середнє прискорення.
     • Напишіть формулу: a = Δv / Δt = (v до - v н)/(t до - t н)
     • Напишіть змінні: v до= 0 м/с, v н= 22,4 м/с, t до= 2,55 с, t н= 0 с.
     • Обчислення: а= (0 - 22,4) / 2,55 = -8,78 м / с2.

   Обчислення прискорення за силою

   1. Другий закон Ньютона.Згідно з другим законом Ньютона тіло пришвидшуватиметься, якщо сили, що діють на нього, не врівноважують одна одну. Таке прискорення залежить від результуючої сили, що діє тіло. Використовуючи другий закон Ньютона, ви можете знайти прискорення тіла, якщо вам відома його маса та сила, що діє на це тіло.

      • Другий закон Ньютона описується формулою: F рез = m x a, де F рез- результуюча сила, що діє на тіло, m- маса тіла, a- Прискорення тіла.
      • Працюючи з цією формулою, використовуйте одиниці виміру метричної системи, в якій маса вимірюється в кілограмах (кг), сила в ньютонах (Н), а прискорення в метрах за секунду за секунду (м/с 2).

   2. Знайдіть масу тіла.Для цього покладіть тіло на ваги та знайдіть його масу в грамах. Якщо ви розглядаєте дуже велике тіло, пошукайте його масу у довідниках чи інтернеті. Маса великих тіл вимірюється у кілограмах.

      • Для обчислення прискорення за наведеною формулою необхідно перетворити грами на кілограми. Розділіть масу в грамах на 1000, щоб одержати масу в кілограмах.

   3. Знайдіть результуючу силу, що діє на тіло.Результуюча сила не врівноважується іншими силами. Якщо на тіло діють дві різноспрямовані сили, причому одна з них більша за іншу, то напрямок результуючої сили збігається з напрямком більшої сили.

Прискорення- Це величина, яка характеризує швидкість зміни швидкості.

Наприклад, автомобіль, рушаючи з місця, збільшує швидкість руху, тобто рухається прискорено. Спочатку його швидкість дорівнює нулю. Зрушивши з місця, автомобіль поступово розганяється до якоїсь певної швидкості. Якщо на його шляху спалахне червоний сигнал світлофора, то автомобіль зупиниться. Але зупиниться він не одразу, а за якийсь час. Тобто швидкість його зменшуватиметься аж до нуля – автомобіль рухатиметься повільно, поки зовсім не зупиниться. Однак у фізиці немає терміна "уповільнення". Якщо тіло рухається, сповільнюючи швидкість, це теж буде прискорення тіла, лише зі знаком мінус (як пам'ятаєте, – це векторна величина).

> – це відношення зміни швидкості до проміжку часу, за який ця зміна відбулася. Визначити середнє прискорення можна за формулою:

де – вектор прискорення.

Напрямок вектора прискорення збігається із напрямом зміни швидкості Δ = - 0 (тут 0 – це початкова швидкість, тобто швидкість, з якою тіло почало прискорюватися).

На момент часу t1 (див. рис 1.8) тіло має швидкість 0 . У момент часу t2 тіло має швидкість. Відповідно до правила віднімання векторів знайдемо вектор зміни швидкості Δ = - 0 . Тоді визначити прискорення можна так:

Мал. 1.8. Середнє прискорення.

У СІ одиниця прискорення– це 1 метр на секунду за секунду (або метр на секунду у квадраті), тобто

Метр на секунду в квадраті дорівнює прискоренню прямолінійної точки, при якому за одну секунду швидкість цієї точки збільшується на 1 м/с. Іншими словами, прискорення визначає, наскільки змінюється швидкість тіла за секунду. Наприклад, якщо прискорення дорівнює 5 м/с 2 то це означає, що швидкість тіла кожну секунду збільшується на 5 м/с.

Миттєве прискорення тіла (матеріальної точки)у час – це фізична величина, рівна межі, якого прагне середнє прискорення при прагненні проміжку часу до нуля. Іншими словами – це прискорення, яке розвиває тіло за дуже короткий час:

Напрямок прискорення також збігається з напрямом зміни швидкості при дуже малих значеннях проміжку часу, за який відбувається зміна швидкості. Вектор прискорення може бути заданий проекціями на відповідні осі координат у даній системі відліку (проекціями а Х, Y, Z).

При прискореному прямолінійному русі швидкість тіла зростає за модулем, тобто

Якщо швидкість тіла за модулем зменшується, тобто

V 2 напрям вектора прискорення протилежно напрямку вектора швидкості 2 . Інакше висловлюючись, у разі відбувається уповільнення рухупри цьому прискорення буде негативним (а

Мал. 1.9. Миттєве прискорення.

Під час руху криволінійної траєкторії змінюється як модуль швидкості, а й її напрям. У цьому випадку вектор прискорення являють собою дві складові (див. наступний розділ).

Тангенційне (дотичне) прискорення– це складова вектора прискорення, спрямована вздовж траєкторії в даній точці траєкторії руху. Тангенціальне прискорення характеризує зміну швидкості за модулем при криволінійному русі.

Мал. 1.10. Тангенційне прискорення.

Напрямок вектора тангенціального прискорення (див. рис. 1.10) збігається з напрямом лінійної швидкості або протилежно йому. Тобто вектор тангенціального прискорення лежить на одній осі з дотичного кола, яке є траєкторією руху тіла.

Нормальне прискорення

Нормальне прискорення– це складова вектора прискорення, спрямована вздовж нормалі траєкторії руху в даній точці на траєкторії руху тіла. Тобто вектор нормального прискорення перпендикулярний до лінійної швидкості руху (див. рис. 1.10). Нормальне прискорення характеризує зміна швидкості за напрямом і позначається літерою n. Вектор нормального прискорення спрямований радіусом кривизни траєкторії.

Повне прискорення

Повне прискоренняпри криволінійному русі складається з тангенціального та нормального прискорень за правилом складання векторів і визначається формулою:

(згідно з теоремою Піфагора для прямокутного прямокутника).

= τ + n

Поступальний та обертальний рух

Поступальнимназивається такий рух твердого тіла, при якому будь-яка пряма, проведена в цьому тілі, переміщається, залишаючись паралельною своєму початковому напрямку.

Поступальний рух не слід змішувати з прямолінійним. При поступальному русі тіла траєкторії його точок може бути будь-якими кривими лініями.

Обертальним рухом твердого тіла навколо нерухомої осі називається такий його рух, при якому якісь дві точки, що належать тілу (або незмінно з ним пов'язані), залишаються весь час рухи нерухомими

Швидкість- це ставлення пройденого шляху до часу, протягом якого цей шлях пройдено.
Швидкість так само- це сума початкової швидкості та прискорення помноженого на якийсь час.
Швидкість- добуток кутової швидкості на радіус кола.

v=S/t
v=v 0 +a*t
v=ωR

Прискорення тіла при рівноприскореному русі- величина, що дорівнює відношенню зміни швидкості до проміжку часу, за який ця зміна відбулася.

Тангенційне (дотичне) прискорення– це складова вектора прискорення, спрямована вздовж траєкторії в даній точці траєкторії руху. Тангенціальне прискорення характеризує зміну швидкості за модулем при криволінійному русі.

Мал. 1.10. Тангенційне прискорення.

Напрямок вектора тангенціального прискорення (див. рис. 1.10) збігається з напрямом лінійної швидкості або протилежно йому. Тобто вектор тангенціального прискорення лежить на одній осі з дотичного кола, яке є траєкторією руху тіла.

Нормальне прискорення– це складова вектора прискорення, спрямована вздовж нормалі траєкторії руху в даній точці на траєкторії руху тіла. Тобто вектор нормального прискорення перпендикулярний до лінійної швидкості руху (див. рис. 1.10). Нормальне прискорення характеризує зміна швидкості за напрямом і позначається літерою n. Вектор нормального прискорення спрямований радіусом кривизни траєкторії.

Повне прискоренняпри криволінійному русі складається з тангенціального та нормального прискорень по правилу складання векторіві визначається формулою:

(згідно з теоремою Піфагора для прямокутного прямокутника).

Напрямок повного прискорення також визначається правилом складання векторів:

Кутовою швидкістюназивається векторна величина, що дорівнює першій похідній кута повороту тіла за часом:

v=ωR

Кутовим прискореннямназивається векторна величина, що дорівнює першій похідній кутової швидкості за часом:

Рис.3

При обертанні тіла навколо нерухомої осі вектор кутового прискорення ε спрямований уздовж осі обертання у бік вектора елементарного збільшення кутової швидкості. При прискореному русі вектор ε сонаправлений вектору ω (Мал. 3), при уповільненому - протиспрямований йому (Мал. 4).

Рис.4

Тангенціальна складова прискорення a = dv/dt , v = R і

Нормальна складова прискорення

Отже, зв'язок між лінійними (довжина шляху s, пройденого точкою по дузі кола радіуса R, лінійна швидкість v, тангенціальне прискорення а τ, нормальне прискорення а n) і кутовими величинами (кут повороту φ, кутова швидкість ω, кутове прискорення ε) виражається наступним формулами:

s = R?, v = R?, а? = R?, a n =? 2 R.
У разі рівнозмінного руху точки по колу (ω=const)

ω = ω 0 ± ?t, φ = ω 0 t ± ?t 2 /2,
де 0 - початкова кутова швидкість.