Надіслати свою гарну роботу до бази знань просто. Використовуйте форму нижче

Студенти, аспіранти, молоді вчені, які використовують базу знань у своєму навчанні та роботі, будуть вам дуже вдячні.

Розміщено на http://www.allbest.ru/

ЗАНЯТТЯ 1

Моделювання випадкових подій із заданим законом розподілу

Розігрування дискретної випадкової величини

Нехай потрібно розіграти дискретну випадкову величину, тобто. отримати послідовність її можливих значень x i (i = 1,2,3,...n), знаючи закон розподілу X:

Позначимо через R безперервну випадкову величину. Розмір R розподілена рівномірно в інтервалі (0,1). Через r j (j = 1,2,...) позначимо можливі значення випадкової величини R. Розіб'ємо інтервал 0< R < 1 на оси 0r точками с координатами на n частичных интервалов.

Тоді отримаємо:

Видно, що довжина часткового інтервалу з індексом i дорівнює ймовірності Р з тим самим індексом. Довжина

Таким чином, при попаданні випадкового числа r i в інтервал випадкова величина приймає значення x i з ймовірністю P i .

Існує така теорема:

Якщо кожному випадковому числу, яке потрапило в інтервал, поставити у відповідність можливе значення x i , то величина, що розігрується, буде мати заданий закон розподілу

Алгоритм розігрування дискретної випадкової величини заданої законом розподілу

1. Потрібно розбити інтервал (0,1) осі 0r на n часткових інтервалів:

2. Вибрати (наприклад, з таблиці випадкових чисел, або комп'ютера) випадкове число r j .

Якщо r j потрапило в інтервал, то дискретна випадкова величина, що розігрується, прийняла можливе значення x i .

Розігрування безперервної випадкової величини

Нехай потрібно розіграти безперервну випадкову величину Х, тобто. отримати послідовність її можливих значень xi (i = 1,2,...). У цьому функція розподілу F(X) відома.

Існує наступна теорема.

Якщо r i - випадкове число, то можливе значення x i безперервної випадкової величини Х, що розігрується, з відомою функцією розподілу F(X) відповідне r i , є коренем рівняння

Алгоритм розігрування безперервної випадкової величини:

1. Необхідно вибрати випадкове число r i.

2. Прирівняти обране випадкове число відомої функції розподілу F(X) та отримати рівняння.

3. Вирішити дане рівняння щодо x i . Отримане значення x i відповідатиме одночасно і випадковому числу r i . та заданим законом розподілу F(X).

приклад. Розіграти 3 можливі значення безперервної випадкової величини Х, рівномірно розподіленої в інтервалі (2; 10).

Функція розподілу величини Х має такий вигляд:

За умовою, a = 2, b = 10, отже,

Відповідно до алгоритму розігрування безперервної випадкової величини прирівняємо F(X) обраному випадковому числу r i .. Отримаємо звідси:

Підставимо ці числа до рівняння (5.3). Отримаємо відповідні можливі значення х:

Завдання на моделювання випадкових подій із заданим законом розподілу

1. Потрібно розіграти десять значень дискретної випадкової величини, тобто. отримати послідовність її можливих значень x i (i=1,2,3,…n), знаючи закон розподілу Х

Виберемо із таблиці випадкових чисел випадкове число r j: 0,10; 0,12; 0,37; 0,09; 0,65; 0,66; 0,99; 0,19; 0,88; 0,59; 0,78

2. Періодичність надходження заявок обслуговування підпорядкована показовому закону розподілу () , x, параметр л відомий (надалі л =1/t - інтенсивність надходження заявок)

л = 0,5 заявок / год. Визначити послідовність значень тривалості інтервалів між надходженнями заявок. Число реалізацій дорівнює 5. Число r j: 0,10; 0,12; 0,37; 0,09; 0,65; 0,99;

ЗАНЯТТЯ 2

Система масового обслуговування

Системи, у яких, з одного боку, виникають масові запити виконання будь-яких видів послуг, з другого боку, відбувається задоволення цих запитів, називаються системами масового обслуговування. Будь-яка СМО є виконання потоку заявок.

СМО включають: джерело вимог, вхідний потік, черга, обслуговуючий пристрій, що виходить потік заявок.

СМО поділяються:

СМО із втратами (відмовами)

СМО з очікуванням (необмежена довжина черги)

СМО з обмеженою довжиною черги

СМО з обмеженим часом очікування.

За кількістю каналів чи приладів обслуговування СМО бувають одноканальними та багатоканальними.

За місцем знаходження джерела вимог: розімкнені та замкнуті.

За кількістю обслуговуючих елементів на одну вимогу: однофазні та багатофазні.

Однією із форм класифікації - класифікація Д. Кендалла- А/В/X/Y/Z

А – визначає розподіл часу між прибуттями;

B – визначає розподіл часу обслуговування;

X – визначає кількість службових каналів;

Y - визначає пропускну спроможність системи (довжину черги);

Z – визначає черговість обслуговування.

Коли пропускна спроможність системи нескінченна і черговість обслуговування підпорядковується принципу "перший прийшов - перший обслужився", частини Y/Z опускають. У першому розряді (А) використовуються такі символи:

М-розподіл має показовий закон,

G-відсутність будь-яких припущень про процес обслуговування, або він ототожнюється із символом GI, що означає рекурентний процес обслуговування,

D-детермінований (час обслуговування фіксований),

Е n - ерлангівське n-ого порядку,

НМ n - гіперерлангівське n-ого порядку.

У другому розряді (В) використовуються самі символи.

У четвертому розряді (Y) з'являється ємність буфера, тобто. максимальна кількість місць у черзі.

У п'ятому розряді (Z) вказується спосіб вибору з черги в системі з очікуванням: SP-рівноймовірний, FF-перший прийшов-перший пішов, LF-останній прийшов-перший пішов, PR-пріоритетний.

Для завдань:

л- середня кількість заявок, що надходять в одиницю часу

µ- середня кількість заявок, обслужених в одиницю часу

Коефіцієнт завантаження 1 каналу, або час, коли канал зайнятий.

Основні характеристики:

1) Р отк - ймовірність відмови - ймовірність того, що система відмовить в обслуговуванні та вимога втрачається. Це буває, коли канал чи всі канали зайняті (ТФОП).

Для багатоканальної СМО Р отк = Рn, де n-число каналів обслуговування.

Для СМО з обмеженою довжиною черги Р отк = Р n + l де l- допустима довжина черги.

2) Відносна q та абсолютна А пропускна здатність системи

q= 1-Р отк А=qл

3) Загальна кількість вимог, що перебувають у системі

L сис = n - для СМО з відмовами n- число каналів, зайнятих обслуговуванням.

Для СМО з очікуванням та обмеженою довжиною черги

L сис = n+L ож

де L ож - середня кількість вимог, що очікують на початок обслуговування і т.д.

Інші характеристики розглянемо в процесі вирішення завдань.

Одноканальна та багатоканальна системи масового обслуговування. Системи із відмовами.

Найпростішою одноканальною моделлю з імовірнісним вхідним потоком та процедурою обслуговування є модель, що характеризується показовим розподілом як тривалостей інтервалів між надходженнями вимог, так і тривалостей обслуговування. У цьому щільність розподілу тривалостей інтервалів між надходженнями вимог має вигляд

Щільність розподілу тривалостей обслуговування:

Потоки заявок та обслуговувань найпростіші. Нехай система працює із відмовами. Цей тип СМО може бути використаний для моделювання каналів передачі в локальних мережах. Необхідно визначити абсолютну та відносну пропускну здатність системи. Представимо дану систему масового обслуговування у вигляді графа (рисунок 2), у якого є два стани:

S 0 - канал вільний (очікування);

S 1 - канал зайнятий (йде обслуговування заявки).

Малюнок 2. Граф станів одноканальної СМО із відмовами

Позначимо ймовірність станів: P 0 (t) – ймовірність стану «канал вільний»; P 1 (t) – ймовірність стану «канал зайнятий». За розміченим графом станів складемо систему диференціальних рівнянь Колмогорова для ймовірностей станів:

Система лінійних диференціальних рівнянь має рішення з урахуванням нормувальної умови P 0 (t) + P 1 (t) = 1 . Рішення даної системи називається невстановленим, оскільки воно безпосередньо залежить від t і виглядає так:

P 1 (t) = 1 - P 0 (t) (3.4.3)

Неважко переконатися, що для одноканальної СМО з відмовами ймовірність P 0 (t) є не що інше, як відносна пропускна здатність системи q. Дійсно, P 0 - ймовірність того, що в момент t канал вільний і заявка, що прийшла до моменту t, буде обслужена, а, отже, для даного моменту часу t середнє відношення числа обслужених заявок до числа надійшли також P 0 (t), тобто q = P0(t).

Після закінчення великого інтервалу часу (при) досягається стаціонарний (встановлений) режим:

Знаючи відносну пропускну здатність легко знайти абсолютну. Абсолютна пропускна спроможність (А) – середня кількість заявок, яку може обслужити система масового обслуговування в одиницю часу:

Імовірність відмови в обслуговуванні заявки дорівнюватиме ймовірності стану «канал зайнятий»:

Ця величина P отк може бути інтерпретована як середня частка не обслужених заявок серед поданих.

У переважній більшості випадків практично системи масового обслуговування є багатоканальними, і, отже, моделі з n обслуговуючими каналами (де n>1) представляють безсумнівний інтерес. Процес масового обслуговування, описуваний даною моделлю, характеризується інтенсивністю вхідного потоку л, у своїй паралельно може обслуговуватися трохи більше n клієнтів (заявок). Середня тривалість обслуговування однієї заявки дорівнює 1/м. Вхідний та вихідний потоки є пуассонівськими. Режим функціонування обслуговуючого каналу не впливає на режим функціонування інших обслуговуючих каналів системи, причому тривалість процедури обслуговування кожним з каналів є випадковою величиною, підпорядкованою експоненційному закону розподілу. Кінцева мета використання n паралельно включених обслуговуючих каналів полягає у підвищенні (порівняно з одноканальною системою) швидкості обслуговування вимог за рахунок обслуговування одночасно n клієнтів. Граф станів багатоканальної системи масового обслуговування з відмовами має вигляд, показаний малюнку 4.

Малюнок 4. Граф станів багатоканальної СМО із відмовами

S 0 – всі канали вільні;

S 1 - зайнятий один канал, інші вільні;

S k - зайняті до k каналів, інші вільні;

S n - зайняті все n каналів, інші вільні.

Рівняння Колмогорова для ймовірностей станів системи P 0 , ... ,P k , ... P n будуть мати такий вигляд:

Початкові умови вирішення системи такі:

P 0 (0) = 1, P 1 (0) = P 2 (0) = ... = P k (0) = ... = P 1 (0) = 0 .

Стаціонарне рішення системи має вигляд:

Формули обчислення ймовірностей P k (3.5.1) називаються формулами Ерланга.

Визначимо ймовірнісні характеристики функціонування багатоканальної СМО з відмовами у стаціонарному режимі:

1) ймовірність відмови:

так як заявка отримує відмову, якщо приходить у момент, коли всі n канали зайняті. Величина P отк характеризує повноту обслуговування вхідного потоку;

2) ймовірність того, що заявка буде прийнята до обслуговування (вона ж - відносна пропускна здатність системи q) доповнює P відк до одиниці:

3) абсолютна пропускна спроможність

4) середня кількість каналів, зайнятих обслуговуванням () наступне:

Розмір характеризує ступінь завантаження СМО.

Завданнядо заняття 2

1.Гілка зв'язку, має один канал, приймає найпростіший потік повідомлень з інтенсивністю л=0,08 повідомлень в секунду. Час передачі розподілено за exp законом. Обслуговування одного повідомлення відбувається з інтенсивністю µ=0,1. Повідомлення, що надходять у моменти часу, коли обслуговуючий канал зайнятий передачею повідомлення, що надійшло раніше, отримують відмову передачі.

Коеф. Відносне завантаження каналу (імовірність зайнятості каналу)

Можливість відмови прийому повідомлення

Q відносна пропускна здатність міжвузлової гілки

А абсолютна пропускна спроможність гілки зв'язку.

2. Гілка зв'язку має один канал і приймає повідомлення кожні 10 секунд. Час обслуговування одного повідомлення 5 секунд. Час передачі розподілено за експоненційним законом. Повідомлення, що надходять у моменти часу, коли канал зайнятий, отримують відмову в обслуговуванні.

Визначити

Р зан - ймовірність зайнятості каналу зв'язку (коеф. відносного завантаження)

Q-відносна пропускна здатність

А-абсолютна пропускна здатність гілки зв'язку

4. Міжвузлова гілка вторинної мережі зв'язку має n = 4 канали. Потік повідомлень, що надходять передачі по каналах гілки зв'язку, має інтенсивність = 8 повідомлень в секунду. Середній час передачі одного повідомлення дорівнює t = 0,1 секунда Повідомлення, що прибуло в момент, коли всі n каналів зайняті, отримує відмову передачі по гілки зв'язку. Знайти характеристики СМО:

ЗАНЯТТЯ 3

Одноканальна система з очікуванням

Розглянемо тепер одноканальну СМО з очікуванням. Система масового обслуговування має один канал. Вхідний потік заявок обслуговування - найпростіший потік з інтенсивністю. Інтенсивність потоку обслуговування дорівнює (тобто загалом безперервно зайнятий канал видаватиме обслужених заявок). Тривалість обслуговування - випадкова величина, підпорядкована показовому закону розподілу. Потік обслуговування є найпростішим пуасонівським потоком подій. Заявка, що надійшла в момент, коли канал зайнятий, стає в чергу і чекає на обслуговування. Ця СМО є найбільш поширеною при моделюванні. З тією чи іншою часткою наближення з її допомогою можна моделювати будь-який вузол локальної обчислювальної мережі (ЛВС).

Припустимо, що незалежно від того, скільки вимог надходить на вхід обслуговуючої системи, дана система (черга + клієнти, що обслуговуються) не можевмістити більше N-вимог (заявок), тобто клієнти, які не потрапили в очікування, змушені обслуговуватися в іншому місці. Система М/М/1/N. Нарешті, джерело, що породжує заявки обслуговування, має необмежену (нескінченно велику) ємність. Граф станів СМО у разі має вигляд, показаний малюнку 3

Малюнок 3. Граф станів одноканальної СМО з очікуванням (схема загибелі та розмноження)

Стани СМО мають таку інтерпретацію:

S 0 - "канал вільний";

S 1 - "канал зайнятий" (черги немає);

S 2 – «канал зайнятий» (одна заявка стоїть у черзі);

S n - "канал зайнятий" (n -1 заявок стоїть у черзі);

S N – «канал зайнятий» (N – 1 заявок стоїть у черзі).

Стаціонарний процес у цій системі описуватиметься наступною системою алгебраїчних рівнянь:

де p=коефіцієнт завантаження

n – номер стану.

Рішення наведеної вище системи рівнянь для нашої моделі СМО має вигляд:

Початкове значення ймовірності для СМО з обмеженою довжиною черги

Для СМО з нескінченною чергою Н =? :

Р 0 = 1-с (3.4.7)

Слід зазначити, що виконання умови стаціонарності для даної СМО не обов'язково, оскільки кількість заявок, що допускаються в обслуговувальну систему, контролюється шляхом введення обмеження на довжину черги, яка не може перевищувати (N - 1), а не співвідношенням між інтенсивностями вхідного потоку, тобто. не відношенням з = л/м.

На відміну від одноканальної системи, яку розглядали вище і за необмеженої черги, в цьому випадку стаціонарний розподіл числа запитів існує при будь-яких кінцевих значеннях коефіцієнта завантаження.

Визначимо характеристики одноканальної СМО з очікуванням та обмеженою довжиною черги, що дорівнює (N - 1) (М/М/1/N), а також для одноканальної СМО з буфером необмеженої ємності (М/М/1/?). Для СМО з нескінченною чергою має виконуватися умова<1, т.е., для того, чтобы в системе не накапливалась бесконечная очередь необходимо, чтобы в среднем запросы в системе обслуживались быстрее, чем они туда поступают.

1) ймовірність відмови в обслуговуванні заявки:

Однією з найважливіших характеристик систем, в яких можлива втрата запитів, є ймовірність того, що довільний запит буде втрачений. У цьому ймовірність втрати довільного запиту збігається з ймовірністю те, що у довільний час всі місця очікування зайняті, тобто. справедлива формула Р від к = Р Н

2) відносна пропускна спроможність системи:

Для СМО з необмеженой чергою q =1,т.к. всі заявки будуть обслужені

3) абсолютна пропускна спроможність:

4) середня кількість заявок, що знаходяться в системі:

L S з необмеженою чергою

5) середній час перебування заявки у системі:

Для необмеженої черги

6) середня тривалість перебування клієнта (заявки) у черзі:

За необмеженої черги

7) середня кількість заявок (клієнтів) у черзі (довжина черги):

за необмеженої черги

Порівнюючи вирази для середнього часу очікування у черзі Т оч і формулу для середньої довжини черги L оч, а також середнього часу перебування запитів у системі Т S та середньої кількості запитів у системі L S бачимо, що

L оч =л*Т оч L s =л* Т s

Зазначимо, що ці формули справедливі і для багатьох більш загальних, ніж система М/М/1, що розглядається, систем масового обслуговування і називаються формулами Літтла. Практична значимість цих формул полягає в тому, що вони позбавляють необхідності безпосереднього обчислення величин Т оч і Т s при відомому значенні величин L оч і L s і навпаки.

Завдання по одноканальній СМОз очікуванням, зочікуванням іобмеженою довжиною черги

1. Дано однолінійну СМО з необмеженим накопичувачем черги. Заявки надходять через кожні t = 14 секунд. Середній час передачі повідомлення t=10 секунд. Повідомлення, що надходять у моменти часу, коли обслуговуючий канал зайнятий, приймаються у чергу, не залишаючи її на початок обслуговування.

Визначити такі показники ефективності:

2. Межузлова гілка зв'язку, що має один канал і накопичувач черги для m=3 повідомлень, що очікують (N-1=m), приймає найпростіший потік повідомлень з інтенсивністю л=5 сооб. у сек.. Час передачі повідомлень розподілено за експоненційним законом. Середній час передачі одного повідомлення дорівнює 0,1 секунд. Повідомлення, що надходять у моменти часу, коли обслуговуючий канал зайнятий передачею повідомлення, що раніше надійшло, і в накопичувачі відсутня вільне місце, отримують відмову.

Р відк - ймовірність відмови прийому повідомлення

L сист - середня сумарна кількість повідомлень у черзі і передаються по гілки зв'язку

Т оч - середній час перебування повідомлення у черзі на початок передачі

Т сист - середній сумарний час перебування повідомлення в системі, що складається із середнього часу очікування в черзі та середнього часу передачі

Q-відносну пропускну здатність

А-абсолютну пропускну здатність

3. Міжвузлова гілка вторинної мережі зв'язку, що має один канал і накопичувач черги для m = 4 (N-1=4) повідомлень, що очікують, приймає найпростіший потік повідомлень з інтенсивністю = 8 повідомлень в секунду. Час передачі повідомлень розподілено за експонентним законом. Середній час передачі повідомлення становить t = 0,1 секунду. Повідомлення, що надходять у моменти часу, коли обслуговуючий канал зайнятий передачею повідомлення, що раніше надійшло, і в накопичувачі відсутня вільне місце, отримують черги відмову.

Р отк - ймовірність відмови прийому повідомлення передачі по каналу зв'язку міжвузлової гілки;

L оч - середня кількість повідомлень у черзі до гілки зв'язку вторинної мережі черги;

L сист - середня сумарна кількість повідомлень у черзі та передаються по гілці зв'язку вторинної мережі;

Т оч - середній час перебування повідомлення у черзі на початок передачі;

Р зан - ймовірність зайнятості каналу зв'язку (коеф. відносного завантаження каналу);

Q – відносну пропускну здатність міжвузлової гілки;

А - абсолютну пропускну спроможність міжвузлової гілки;

4. Межузлова гілка зв'язку, що має один канал і накопичувач черги для m=2 повідомлень, що очікують, приймає найпростіший потік повідомлень з інтенсивністю л=4 сооб. у сек.. Час передачі повідомлень розподілено за експоненційним законом. Середній час передачі одного повідомлення дорівнює 0,1 секунд. Повідомлення, що надходять у моменти часу, коли обслуговуючий канал зайнятий передачею повідомлення, що раніше надійшло, і в накопичувачі відсутня вільне місце, отримують відмову.

Визначити такі показники ефективності гілки зв'язку:

Р відк - ймовірність відмови прийому повідомлення

L оч - середня кількість повідомлень у черзі до гілки зв'язку

L сист - середня сумарна кількість повідомлень у черзі і передаються по гілки зв'язку

Т оч - середній час перебування повідомлення у черзі на початок передачі

Т сист - середній сумарний час перебування повідомлення в системі, що складається із середнього часу очікування в черзі та середнього часу передачі

Р зан - ймовірність зайнятості каналу зв'язку (коеф. відносного завантаження каналу з)

Q-відносну пропускну здатність

А-абсолютну пропускну здатність

5. Міжвузлова гілка вторинної мережі зв'язку, що має один канал і необмежений за обсягом накопичувач черги повідомлень, що очікують, приймає найпростіший потік повідомлень з інтенсивністю л= 0,06 повідомлень в секунду. Середній час передачі одного повідомлення t = 10 секунд. Повідомлення, що надходять у моменти часу, коли канал зв'язку зайнятий, приймаються у чергу і покидають її до початку обслуговування.

Визначити такі показники ефективності гілки зв'язку вторинної мережі:

L оч - середня кількість повідомлень у черзі до гілки зв'язку;

L сист - середня сумарна кількість повідомлень у черзі та передаються по гілці зв'язку;

Т оч – середній час перебування повідомлення у черзі;

Т сист - середнє сумарний час перебування повідомлення у системі, що складається із середнього часу очікування у черзі та середнього часу передачі;

Р зан - ймовірність зайнятості каналу зв'язку (коефіцієнт відносного завантаження каналу);

Q-відносну пропускну здатність міжвузлової гілки;

А-абсолютну пропускну здатність міжвузлової гілки

6. Дано однолінійну СМО з необмеженим накопичувачем черги. Заявки надходять через кожні t = 13 секунд. Середній час передачі одного повідомлення

t=10 секунд. Повідомлення, що надходять у моменти часу, коли обслуговуючий канал зайнятий, приймаються у чергу, не залишаючи її на початок обслуговування.

Визначити такі показники ефективності:

L оч - середня кількість повідомлень у черзі

L сист - середня сумарна кількість повідомлень у черзі і передаються по гілки зв'язку

Т оч - середній час перебування повідомлення у черзі на початок передачі

Т сист - середній сумарний час перебування повідомлення в системі, що складається із середнього часу очікування в черзі та середнього часу передачі

Р зан -імовірність зайнятості (коефіцієнт відносного завантаження каналу з)

Q-відносну пропускну здатність

А-абсолютну пропускну здатність

7. Спеціалізований пост діагностики є одноканальною СМО. Число стоянок для автомобілів, що очікують проведення діагностики, обмежене і дорівнює 3 [(N - 1) = 3]. Якщо всі стоянки зайняті, тобто в черзі вже три автомобілі, то черговий автомобіль, що прибув на діагностику, в чергу на обслуговування не стає. Потік автомобілів, що прибувають на діагностику, розподілений згідно із законом Пуассона і має інтенсивність = 0,85 (автомобіля на годину). Час діагностики автомобіля розподілено за показовим законом і в середньому дорівнює 1,05 год.

Потрібно визначити ймовірнісні характеристики поста діагностики, що працює в стаціонарному режимі: P 0 , P 1 , P 2 , P 3 , P 4 , P отк, q, A, L оч, L сис, T оч, T сис

ЗАНЯТТЯ 4

Багатоканальні СМО з очікуванням, з очікуванням та обмеженою довжиною черги

Розглянемо багатоканальну систему масового обслуговування з очікуванням. Цей тип СМО часто використовується при моделюванні груп абонентських терміналів ЛОМ, що працюють у діалоговому режимі. Процес масового обслуговування при цьому характеризується наступним: вхідний та вихідний потоки є пуассонівськими з інтенсивностями та відповідно; паралельно обслуговуватись можуть не більше n клієнтів. Система має n канали обслуговування. Середня тривалість обслуговування одного клієнта дорівнює 1/м кожного каналу. Ця система також відноситься до процесу загибелі та розмноження.

с=л/nм - відношення інтенсивності вхідного потоку до сумарної інтенсивності обслуговування є коефіцієнтом завантаження системи

(з<1). Существует стационарное распределение числа запросов в рассматриваемой системе. При этом вероятности состояний Р к определяются:

де Р 0 - можливість вільного стану всіх каналів при необмеженій черзі, k-кількість заявок.

якщо прийняти с=л/м, то Р0 можна визначити для необмеженої черги:

Для обмеженої черги:

де m-довжина черги

За необмеженої черги:

Відносна пропускна здатність q=1,

Абсолютна пропускна здатність А=л,

Середня кількість зайнятих каналів Z=А/м

При обмеженій черзі

1 Міжвузлова гілка вторинної мережі зв'язку має n = 4 канали. Потік повідомлень, що надходять передачі по каналах гілки зв'язку, має інтенсивність = 8 повідомлень в секунду. Середній час t = 0,1 передачі одного повідомлення кожним каналом зв'язку дорівнює t/n = 0,025 секунд. Час очікування повідомлень у черзі необмежений. Знайти характеристики СМО:

Р отк - можливість відмови передачі повідомлень;

Q - відносну пропускну здатність гілки зв'язку;

А - абсолютну пропускну спроможність гілки зв'язку;

Z – середня кількість зайнятих каналів;

L оч - середня кількість повідомлень у черзі;

Тож - середній час очікування;

Т сист - середній сумарний час перебування повідомлень у черзі та передачі по гілці зв'язку.

2. Механічна майстерня заводу із трьома постами (каналами) виконує ремонт малої механізації. Потік несправних механізмів, що прибувають до майстерні, - пуасонівський і має інтенсивність = 2,5 механізму на добу, середній час ремонту одного механізму розподілено за показовим законом і дорівнює = 0,5 діб. Припустимо, що іншої майстерні на заводі немає, і, отже, черга механізмів перед майстернею може рости практично необмежено. Потрібно обчислити такі граничні значення імовірнісних характеристик системи:

ймовірності станів системи;

Середня кількість заявок у черзі на обслуговування;

Середня кількість заявок, що знаходяться в системі;

Середню тривалість перебування заявки у черзі;

Середню тривалість перебування заявки у системі.

3. Міжвузлова гілка вторинної мережі зв'язку має n=3 канали. Потік повідомлень, що надходять передачі по каналах гілки зв'язку, має інтенсивність л=5 повідомлень в секунду. Середній час передачі одного повідомлення t=0,1 , t/n=0,033 сек.. У накопичувачі черги повідомлень, що очікують передачі, може знаходитися до m= 2 повідомлень. Повідомлення, що прибуло в момент, коли всі місця в черзі зайняті, отримує відмову передачі по гілки зв'язку. Знайти характеристики СМО: Р отк -імовірність відмови передачі повідомлень, Q-відносну пропускну здатність, А - абсолютну пропускну здатність, Z - середня кількість зайнятих каналів, L оч - середня кількість повідомлень у черзі, Т ож - середній час очікування, Т сист - середній сумарний час перебування повідомлення у черзі та його передачі по галузі зв'язку.

ЗАНЯТТЯ 5

Замкнена СМО

Розглянемо модель обслуговування машинного парку, яка є модель замкнутої системи масового обслуговування. До цього часу ми розглядали лише такі системи масового обслуговування, котрим інтенсивність вхідного потоку заявок залежить від стану системи. У цьому випадку джерело заявок є зовнішнім по відношенню до СМО та генерує необмежений потік вимог. Розглянемо системи масового обслуговування, котрим залежить стану системи, причому джерело вимог є внутрішнім і генерує обмежений потік заявок. Наприклад, обслуговується машинний парк, що складається з N машин, бригадою R механіків (N > R), причому кожна машина може обслуговуватися лише одним механіком. Тут машини є джерелами вимог (заявок обслуговування), а механіки - обслуговуючими каналами. Несправна машина після обслуговування використовується за прямим призначенням і стає потенційним джерелом виникнення вимог на обслуговування. Очевидно, що інтенсивність залежить від того, скільки машин в даний момент знаходиться в експлуатації (N - k) і скільки машин обслуговується або стоїть у черзі, очікуючи на обслуговування (k). У моделі ємність джерела вимог слід вважати обмеженою. Вхідний потік вимог виходить з обмеженого числа машин (N - k), які у випадкові моменти часу виходять з ладу і вимагають обслуговування. У цьому кожна машина з (N - k) перебуває у експлуатації. Генерує потік пуасонівський вимог з інтенсивністю X незалежно від інших об'єктів, загальний (сумарний) вхідний потік має інтенсивність. Вимога, що надійшла систему в момент, коли вільний хоча б один канал, негайно йде обслуговування. Якщо вимога застає всі канали зайнятими обслуговуванням інших вимог, воно не залишає систему, а стає в чергу і чекає, поки один з каналів не стане вільним. Таким чином, у замкнутій системі масового обслуговування вхідний потік вимог формується з вихідного. Стан S k системи характеризується загальним числом вимог, що знаходяться на обслуговуванні та в черзі, рівним k. Для аналізованої замкнутої системи, очевидно, k = 0, 1, 2, ... , N. У цьому якщо система перебуває у стані S k , то кількість об'єктів, що у експлуатації, дорівнює (N - k). Якщо - інтенсивність потоку вимог для однієї машину, то:

Система рівнянь алгебри, що описують роботу замкнутої СМО в стаціонарному режимі, виглядає наступним чином:

Вирішуючи цю систему, знаходимо ймовірність k-го стану:

Розмір P 0 визначається з умови нормування отриманих результатів за формулами для P k , k = 0, 1, 2, ... , N. Визначимо такі ймовірнісні характеристики системи:

Середня кількість вимог у черзі на обслуговування:

Середня кількість вимог, що перебувають у системі (на обслуговуванні та в черзі)

середня кількість механіків (каналів), які «простують» через відсутність роботи

Коефіцієнт простою об'єкта (машини), що обслуговується, в черзі

Коефіцієнт використання об'єктів (машин)

Коефіцієнт простою обслуговуючих каналів (механіків)

Середній час очікування обслуговування (час очікування обслуговування у черзі)

Завдання по замкнутій СМО

1. Нехай для обслуговування десяти персональних комп'ютерів (ПК) виділено два інженери однакової продуктивності. Потік відмов (несправностей) одного комп'ютера – пуасонівський з інтенсивністю = 0,2. Час обслуговування ПК підпорядковується показовому закону. Середній час обслуговування одного ПК одним інженером становить: = 1,25 год. Можливі такі варіанти організації обслуговування:

Обидва інженери обслуговують усі десять комп'ютерів, так що при відмові ПК його обслуговує один із вільних інженерів, у цьому випадку R = 2, N = 10;

Кожен із двох інженерів обслуговує по п'ять закріплених за ним ПК. І тут R = 1, N = 5.

Необхідно вибрати найкращий варіант організації обслуговування ПК.

Треба опр-ть всі можливості станів Р до: Р 1 - Р 10 , враховуючи, як і використовуючи результати розрахунку Р до, обчислимо Р 0

ЗАНЯТТЯ 6

Обчислення трафіку.

Теорія телетрафіку – розділ теорії масового обслуговування. Основи теорії телетрафіку заклав датський учений А.К. Ерланг. Його роботи були опубліковані у 1909-1928 роках. Дамо важливі визначення, що використовуються в теорії телетрафіку (ТТ). Термін «трафік» (англ. traffic) відповідає терміну «телефонне навантаження». Мається на увазі навантаження, створюване потоком викликів, вимог, повідомлень, що надходять входи СМО. Обсягом трафіку називають пропущену тим чи іншим ресурсом величину сумарного, інтегрального інтервалу часу, протягом якого даний ресурс був зайнятий за період часу, що аналізується. Одиницею роботи можна вважати секундозайняття ресурсу. Іноді можна прочитати про годинник, а часом і просто - секунди або години. Однак рекомендації ITU дають розмірність обсягу трафіку в ерлангогодинах. Щоб зрозуміти зміст такої одиниці виміру, треба розглянути ще один параметр трафіку – інтенсивність трафіку. При цьому частіше говорять про середню інтенсивність трафіку (навантаження) на певному пулі (наборі) ресурсів. Якщо кожен момент часу t із заданого інтервалу (t 1 ,t 2) кількість зайнятих обслуговуванням трафіку ресурсів з цього набору дорівнює А(t), то середня інтенсивність трафіку буде

Розмір інтенсивності трафіку характеризується як середня кількість ресурсів, зайнятих обслуговуванням трафіку на заданому інтервалі часу. Одиницею виміру інтенсивності навантаження є один Ерланг (1 Ерл, 1 Е)., тобто. 1 ерланг- це така інтенсивність трафіку, яка вимагає повної зайнятості одного ресурсу, або, інакше кажучи, при якій ресурсом виконується робота величиною в одну секунду заняття за час в одну секунду. В американській літературі іноді можна зустріти іншу одиницю виміру, звану CCS-Centrum (or hundred) Calls Second (гектосекундозаняття). Число CCS відображає час заняття серверів у 100 секундних інтервалів за 1 годину. Інтенсивність, виміряну CCS, можна перерахувати в Ерланги за формулою 36CCS=1 Ерл.

Трафік, створюваний одним джерелом і виражений у часо-заняттях, дорівнює добутку числа спроб викликів за певний інтервал часу Т на середню тривалість однієї спроби t: у = t (ч-з). Трафік можна обчислити трьома різними способами:

1) нехай кількість викликів протягом години дорівнює 1800, а середня тривалість заняття t = 3 хв, тоді Y = 1800 дзв. /год. 0,05 год = 90 Ерл;

2) нехай протягом часу Т фіксуються тривалості t i всіх n занять виходів деякого пучка, тоді трафік визначають так:

3) нехай протягом часу Т виконується спостереження через рівні проміжки часу за кількістю одночасно зайнятих виходів деякого пучка, за результатами спостережень будують (рисунок 8) ступінчасту функцію часу x(t).

Рисунок 8. Відліки одночасно зайнятих виходів пучка

Трафік протягом часу Т може бути оцінений як середнє значення х(t) за цей час:

де n – число відліків одночасно зайнятих виходів. Величина Y є середня кількість одночасно зайнятих виходів пучка протягом часу Т.

Коливання трафіку. Трафік вторинних телефонних мереж значно коливається у часі. Протягом робочого дня крива трафіку має два або навіть три піки (рисунок 9).

Малюнок 9. Коливання трафіку протягом доби

Годину доби, протягом якої трафік, який спостерігається тривалий час, має найбільше значення, називають годиною найбільшого навантаження (ЧПН). Знання трафіку в ЧПН є принципово важливим, оскільки їм визначається кількість каналів (ліній), обсяг обладнання станцій та вузлів. Трафік того самого дня тижня має сезонні коливання. Якщо день тижня є передсвятковим, то ПНН цього дня вища, ніж день після свята. Якщо кількість служб, які підтримує мережа, зростає, то і трафік зростає. Тому проблематично пророкувати з достатньою впевненістю виникнення піків трафіку. Трафік уважно відстежується адміністрацією мереж та проектними організаціями. Правила вимірювання трафіку розроблені МСЕ-Т та використовуються адміністраціями національних мереж для того, щоб задовольнити вимогам якості послуг, що надаються як для абонентів своєї мережі, так і для абонентів інших мереж, пов'язаних з нею. Теорію телетрафіку можна використовуватиме практичних розрахунків втрат чи обсягу устаткування станції (вузла) лише тому випадку, якщо трафік стаціонарний (статистично установленый). Цій умові приблизно задовольняє трафік у ЧПН. Величина навантаження, що надходить за добу на АТС, впливає на профілактику та ремонт обладнання. Нерівномірність надходження навантаження на станцію протягом доби визначається коефіцієнтом концентрації

Більш строго визначення ЧПН проводиться так. Рекомендація ITU Е.500 наказує проаналізувати дані про інтенсивність за 12 місяців, вибрати з них 30 найбільш завантажених днів, знайти в ці дні найбільш завантажений годинник і усереднити результати вимірювання інтенсивності на цих інтервалах. Такий розрахунок інтенсивності трафіку (навантаження) називають нормальною оцінкою інтенсивності трафіку в ЧПН або рівнем А. більш жорсткої оцінки можна проводити усереднення за 5 найзавантаженіших днів обраного 30-денного періоду. Така оцінка зветься підвищеною або оцінкою за рівнем В.

Процес створення трафіку. Як відомо кожному користувачеві телефонної мережі, не всі спроби встановлення з'єднання з абонентом, що викликається, закінчуються успішно. Іноді доводиться робити кілька невдалих спроб, як буде встановлено бажане з'єднання.

Рисунок 10. Діаграма подій під час встановлення з'єднання між абонентами

Розглянемо можливі події під час моделювання встановлення з'єднання між абонентами А та Б (рисунок 10). Статистичні дані про виклики в телефонних мережах такі: частка розмов, що відбулися, становить 70-50%, частка тих, що не відбулися - 30-50%. Будь-яка спроба абонента займає вхід СМО. При вдалих спробах (коли розмова відбулася) час заняття комутаційних приладів, які встановлюють з'єднання входів із виходами, більше, ніж за невдалих спроб. Абонент може у будь-який час перервати спроби встановлення з'єднання. Повторні спроби можуть бути викликані такими причинами:

Номер набраний неправильно;

Припущення про помилку у роботі мережі;

Ступінь терміновості розмови;

Невдалі попередні спроби;

Знання навичок абонента Б;

Сумнів у правильності набору номера.

Повторна спроба може бути здійснена в залежності від таких обставин:

Ступені терміновості;

Оцінки причини неуспіху;

Оцінки доцільності повторення спроб,

Оцінка прийнятного інтервалу між спробами.

Відмова від повторної спроби може бути пов'язана з низьким ступенем терміновості. Розрізняють кілька видів трафіку, створюваного викликами: вступник (пропонований) Y п і пропущений Y пр. Трафік Y п включає всі успішні та неуспішні спроби, трафік У пр, що є частиною Y п, включає успішні та частина неуспішних спроб

Y пр = Y р + Y нп,

де Y р – розмовний (корисний) трафік, а Y нп – трафік, створений невдалими спробами. Рівність Y п = Y р можлива лише в тому ідеальному випадку, якщо немає втрат, помилок абонентів, що викликають, і не відповідей абонентів, що викликаються.

Різниця між надходженням і пропущеним навантаженням за певний проміжок часу буде втраченим навантаженням.

Прогнозування трафіку. Обмеженість ресурсів призводить до необхідності поетапного розширення станції та мережі. Адміністрація мережі робить прогноз збільшення трафіку протягом етапу розвитку, враховуючи, що:

Дохід визначається частиною пропущеного трафіку Y р - витрати визначаються якістю обслуговування при найбільшому трафіку;

Велика частка втрат (низька якість) буває в окремих випадках і характерна для кінця періоду розвитку;

Найбільший обсяг пропущеного трафіку припадає на періоди, коли втрати практично відсутні - якщо втрати менше 10%, то абоненти на них не реагують. При плануванні розвитку станцій та мережі проектувальник повинен відповісти на питання, які вимоги щодо якості надання послуг (до втрат). Для цього необхідно проводити вимірювання трафіку втрат за прийнятими в країні правилами.

Приклад виміру трафіку.

Спочатку розглянемо, як можна відображати роботу СМО, що має кілька ресурсів, які одночасно обслуговують певний трафік. Далі говоритимемо про такі ресурси, як про сервери, які обслуговують потік заявок чи вимог. Однією з найбільш наочних і найчастіше вживаних методів зображення процесу обслуговування заявок пулом серверів є діаграма Ганта (Gantt). Ця діаграма є прямокутною системою координат, вісь абсцис якої зображує час, але в осі ординат позначаються дискретні точки, відповідні серверам пула. На малюнку 11 зображено діаграму Ганта для системи із трьома серверами.

У перші три інтервали часу (вважаємо їх секундою) зайняті перший і третій сервери, наступні дві секунди - лише третій, потім одну секунду працює другий, потім дві секунди другий і перший, і останні дві секунди - тільки перший.

Побудована діаграма дозволяє зробити розрахунки обсягу трафіку та його інтенсивності. Діаграма відображає лише обслугований або пропущений трафік, оскільки нічого не говорить про те, чи надходили до системи заявки, які не могли бути обслугововані серверами.

Обсяг пропущеного трафіку обчислюється як сумарна довжина відрізків діаграми Ганта. Обсяг протягом 10 секунд:

Зв'яжемо з кожним часовим інтервалом відкладеним по осі абсцис, ціле число, що дорівнює кількості серверів, зайнятих на цьому одиничному інтервалі. Ця величина А(t) – миттєва інтенсивність. Для нашого прикладу

А(t)= (2, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1)

Знайдемо тепер середню за період 10 секунд інтенсивність трафіку

Таким чином, середня інтенсивність трафіку, пропущеного системою, що розглядається, з трьох серверів, дорівнює 1,5 Ерл.

Основні параметри навантаження

Телефонним зв'язком користуються різні категорії абонентів, які характеризуються:

числом джерел навантаження-N,

середнім числом викликів від одного джерела за певний час (ЧПН зазвичай) - c,

середньою тривалістю одного заняття комутаційної системи при обслуговуванні одного виклику-t.

Величина інтенсивності навантаження буде

Визначимо різні джерела дзвінків. Наприклад,

Середня кількість викликів у ЧПН від одного установчого апарату;

Середня кількість викликів від одного індивідуального квартирного апарату; випадкова подія масове обслуговування телетрафік

з кол - те від апарату колективного користування;

з ма - те від одного монетного апарату;

з сл - те саме від однієї сполучної лінії.

Тоді середня кількість викликів від одного джерела:

Існують приблизні дані для середньої кількості викликів від одного джерела відповідної категорії:

3,5 - 5, = 0,5 - 1, з кіл = 1,5 - 2, з ма = 15 - 30, з сл = 10 - 30.

Розрізняють такі види з'єднань, які в залежності від результату з'єднання створюють на станції різне за величиною телефонне навантаження:

k р - Коефіцієнт, що показує частку з'єднань, що закінчилися розмовою;

k з - з'єднання, які не закінчилися розмовою через зайнятість абонента, що викликається;

k але - коефіцієнт, що виражає частку з'єднань, які не закінчилися розмовою через невідповідь абонента, що викликається;

k ош - з'єднання, які не закінчилися розмовою через помилки абонента, що викликає;

k тих - виклики, які не закінчилися розмовою з технічних причин.

При нормальній роботі мережі значення цих коефіцієнтів дорівнюють:

k р =0,60-0,75; k з = 0,12-0,15; k але = 0,08-0,12; k ош =0,02-0,05; k тих = 0,005-0,01.

Середня тривалість заняття залежить від видів сполук. Наприклад, якщо з'єднання закінчилося розмовою, середня тривалість заняття приладів t сост дорівнюватиме

де - Тривалість встановлення з'єднання;

t сост. - розмова, що відбулася;

t в - тривалість здійснення виклику в телефонний апарат абонента, що викликається;

t р - тривалість розмови

де t з - сигнал відповіді станції;

1,5n- час набору номера абонента (n-кількість знаків у номері);

t с - час, необхідне встановлення з'єднання комутаційними механізмами і роз'єднання з'єднання після закінчення розмови. Зразкові значення розглянутих величин:

t з =3сек., tc = 1-2,5сек., tв = 8-10сек., tр =90-130сек.

Виклики, які не закінчилися розмовою, теж створюють телефонне навантаження.

Середній час заняття приладів при зайнятості абонента дорівнює

де t уст.соед. визначається за (4.2.3)

t зз – час слухання зумеру зайнятості, t зз = 6сек.

Середня тривалість заняття приладів при не відповіді абонента дорівнює

де t пв – час слухання сигналу контролю надсилання виклику, t пв = 20сек.

Якщо розмови був через помилок абонента, то середньому t ош =30 сек.

Тривалість занять, які закінчилися розмовою з технічних причин, не визначено, оскільки відсоток таких занять малий.

З усього вище сказаного випливає, що повне навантаження, створюване групою джерел за ЧПН, дорівнює сумі навантажень окремих видів занять.

де - коефіцієнт, що враховує доданки як частки

На телефонній мережі із семизначною нумерацією запроектовано АТС, структурний склад абонентів якої наступний:

N учр = 4000, Nінд = 1000, N кіль = 2000, N ма = 400, N сл = 400.

Середня кількість викликів, що надходить від одного джерела до ЧПН, дорівнює

За формулами (4.2.3) та (4.2.6) знаходимо навантаження

1.10.62826767 сек.зан. = 785,2чз.

Середня тривалість заняття t із формули Y=Nct

t=Y/Nc=2826767/7800*3.8=95.4 сек.

Завдання на навантаження

1.На телефонній мережі із семизначною нумерацією запроектовано АТС, структурний склад абонентів якої наступний:

N учр = 5000, Nінд = 1500, N кіль = 3000, N ма = 500, N сл = 500.

Визначити навантаження, що надходить на станцію - Y, середню тривалість заняття t, якщо відомо, що

з учр = 4, з інд = 1, з кіл = 2, з ма = 10, з сл = 12, t р = 120 сек., t в = 10 сек., k р = 0,6, t с = 1 сек. =1,1.

Розміщено на Allbest.ru

Подібні документи

    Поняття рівномірно розподіленої випадкової величини. Мультиплікативний конгруентний метод. Моделювання безперервних випадкових величин та дискретних розподілів. Алгоритм імітаційного моделювання економічних відносин між кредитором та позичальником.

    курсова робота , доданий 03.01.2011

    Загальні поняття теорії масового обслуговування. Особливості моделювання систем масового обслуговування. Графи станів СМО, рівняння, що їх описують. Загальна характеристика різновидів моделей. Аналіз системи масового обслуговування супермаркету.

    курсова робота , доданий 17.11.2009

    Елементи теорії масового обслуговування. Математичне моделювання систем масового обслуговування, їхня класифікація. Імітаційне моделювання систем масового обслуговування. Практичне застосування теорії, розв'язання задач математичними методами.

    курсова робота , доданий 04.05.2011

    Концепція випадкового процесу. Завдання теорії масового обслуговування. Класифікація систем масового обслуговування (СМО). Імовірнісна математична модель. Вплив випадкових чинників поведінка об'єкта. Одноканальна та багатоканальна СМО з очікуванням.

    курсова робота , доданий 25.09.2014

    Вивчення теоретичних аспектів ефективної побудови та функціонування системи масового обслуговування, її основні елементи, класифікація, характеристика та ефективність функціонування. Моделювання системи масового обслуговування мовою GPSS.

    курсова робота , доданий 24.09.2010

    Розробка теорії динамічного програмування, мережевого планування та управління виготовленням продукту. Складові частини теорії ігор завдання моделювання економічних процесів. Елементи практичного застосування теорії масового обслуговування.

    практична робота , доданий 08.01.2011

    Елементарні поняття про випадкові події, величини та функції. Числові характеристики випадкових величин. Види асиметрії розподілів. Статистична оцінка розподілу випадкових величин. Розв'язання задач структурно-параметричної ідентифікації.

    курсова робота , доданий 06.03.2012

    Моделювання процесу масового обслуговування. Різнотипні канали масового обслуговування. Рішення одноканальної моделі масового обслуговування із відмовими. Щільність розподілу тривалості обслуговування. Визначення абсолютної пропускної спроможності.

    контрольна робота , доданий 15.03.2016

    Функціональні характеристики системи масового обслуговування у сфері автомобільного транспорту, її структура та основні елементи. Кількісні показники якості функціонування системи масового обслуговування, порядок та основні етапи їх визначення.

    лабораторна робота , доданий 11.03.2011

    Постановка мети моделювання. Ідентифікація реальних об'єктів. Вибір типу моделей, математичної схеми. Побудова безперервно-стахостичної моделі. Основні поняття теорії масового обслуговування. Визначення потоку подій. Постановка алгоритмів.

ВСТУП

Системою прийнято називати сукупність елементів, між якими є зв'язки будь-якої природи, і вона має функцію (призначення), якої немає у складових її елементів. Інформаційні системи, як правило, є складними територіально розподіленими системами з великою кількістю складових елементів, що мають розгалужену мережеву структуру.

Розробка математичних моделей, що дозволяють оцінити показники функціонування інформаційних систем, є складним та трудомістким завданням. Для визначення характеристик таких систем можна застосувати метод імітаційного моделювання з подальшим опрацюванням результатів експерименту.

Імітаційне моделювання є одним із центральних тем щодо дисциплін " Моделювання систем " і " Математичне моделювання " . Предметом імітаційного моделювання є вивчення складних процесів та систем, схильних, як правило, до впливу випадкових факторів, шляхом проведення експериментів з їх імітаційними моделями.

Суть методу проста – імітується “життя” системи при багаторазовому повторенні випробувань. При цьому моделюються і реєструються зовнішні впливи на систему, що випадково змінюються. Для кожної ситуації за рівняннями моделі прораховуються системні показники. Існуючі сучасні методи математичної статистики дозволяють відповісти на питання - а чи можна і з якою довірою використовувати дані моделювання. Якщо ці показники довіри для нас є достатніми, ми можемо використовувати модель для вивчення даної системи.

Можна говорити про універсальність імітаційного моделювання, оскільки воно застосовується на вирішення теоретичних і практичних завдань аналізу великих систем, включаючи завдання оцінки варіантів структури системи, оцінки ефективності різних алгоритмів управління системою, оцінки впливу зміни різних параметрів системи її поведінка. Імітаційне моделювання може бути покладено також в основу синтезу великих систем, коли потрібно створити систему із заданими характеристиками при певних обмеженнях, і яка при цьому була б оптимальною згідно з вибраними критеріями.

Імітаційне моделювання є одним із найбільш ефективних засобів дослідження та проектування складних систем, а часто єдиним практично реалізованим методом дослідження процесу їх функціонування.

Метою курсової є вивчення студентами методів імітаційного моделювання та методів обробки статистичних даних на ЕОМ з використанням прикладних програмних засобів. Наведемо можливі теми курсових робіт, що дозволяють досліджувати складні системи на основі імітаційних моделей.

· Імітаційне моделювання у завданнях одномірного або плоского розкрою. Порівняння плану розкрою з оптимальним планом, отриманим методами лінійного цілісного програмування.

· Транспортні моделі та їх варіанти. Порівняння плану перевезень, одержаного методом імітаційного моделювання, з оптимальним планом, одержаним методом потенціалів.

· Застосування методу імітаційного моделювання для вирішення оптимізаційних завдань на графах.

· Визначення обсягів виробництва як завдання багатокритеріальної оптимізації. Використання методу імітаційного моделювання для знаходження безлічі досяжності та безлічі Парето.

· Метод імітаційного моделювання у завданнях календарного планування. Отримання рекомендацій щодо складання раціонального розкладу.

· Дослідження характеристик інформаційних систем та каналів зв'язку як систем масового обслуговування методом імітаційного моделювання.

· Побудова імітаційних моделей при організації запитів у базах даних.

· Застосування методу імітаційного моделювання для вирішення завдання управління запасами з постійним, змінним та випадковим попитом.

· Дослідження роботи цеху рубальних машин шляхом імітаційного моделювання.

ЗАВДАННЯ НА КУРСОВУ РОБОТУ

Технічна система S складається із трьох елементів, схема з'єднання яких наведена на рис.1. Часи безвідмовної роботи X1, X2, X3 елементів системи є безперервними випадковими величинами з відомими законами розподілу ймовірностей. Зовнішнє середовище E впливає працювати систему як випадкової величини V з відомим дискретним розподілом ймовірностей.

Потрібно оцінити надійність системи S методом імітаційного моделювання на ЕОМ із подальшою обробкою результатів експерименту. Нижче наводиться послідовність виконання роботи.

1. Розробка алгоритмів розігрування випадкових величин X 1 , X 2 , X 3 і V з використанням генераторів випадкових чисел, що містяться в математичних пакетах, наприклад, Microsoft Excel або StatGraphics.

2. Визначення часу безвідмовної роботи системи Y залежно від часів безвідмовної роботи X1, X2, X3 елементів на основі структурної схеми розрахунку надійності.

3. Визначення часу безвідмовної роботи системи з урахуванням впливу довкілля відповідно до формули Z=Y/(1+0,1V).

4. Побудова моделюючого алгоритму, що імітує роботу системи S і враховує можливість відмови елементів та випадкові впливи зовнішнього середовища E. Реалізація отриманого алгоритму на ЕОМ та створення файлу зі значеннями випадкових величин X 1 , X 2 , X 3 , V, Y та Z. Досліди для машинного експерименту прийняти рівним 100.

5. Статистична обробка одержаних результатів. З цією метою необхідно

Дані для випадкової величини Z розбити на 10 груп і сформувати статистичний ряд, що містить межі та середини часткових інтервалів, відповідні частоти, відносні частоти, накопичені частоти та накопичені відносні частоти;

Для величини Z побудувати полігон та кумуляту частот, побудувати гістограму за щільністю відносних частот;

Для величин X 1 X 2 X 3 V встановити їх відповідність заданим законам розподілу, використовуючи критерій c 2 ;

Для випадкової величини Z розглянути три безперервні розподіли (рівномірний, нормальний, гамма), зобразити на гістограмі для Z щільності цих розподілів;

За допомогою критерію c 2 виконати перевірку справедливості гіпотези про відповідність статистичних даних вибраним розподілам, рівень значущості при доборі відповідного розподілу прийняти 0.05.

6. Записати функцію щільності розподілу часу безвідмовної роботи Z системи, визначити математичне очікування, дисперсію та середнє квадратичне відхилення випадкової величини Z. Визначити основні характеристики надійності системи: середнє напрацювання до відмови T 1 і ймовірність безвідмовної роботи P(t) протягом часу t. Знайти ймовірність, що система не відмовить за час T1.

Варіанти завдань видаються із табл.1 індивідуально кожному студенту. Позначення випадкових величин містяться у п.2 і 3. Структурні схеми розрахунку надійності відповідно до їх номерами наведено на рис.1.

Таблиця 1

Варіанти завдань

варіант X 1 X 2 X 3 V Номер схеми
LN(1,5;2) LN(1,5;2) E(2;0,1) B(5;0,7)
U(18;30) U(18;30) N(30;5) G(0,6)
W(1,5;20) W(1,5;20) U(10;20) П(2)
Exp(0,1) Exp(0,1) W(2;13) B(4;0,6)
N(18;2) N(18;2) Exp(0,05) G(0,7)
E(3;0,2) E(3;0,2) LN(2;0,5) П(0,8)
W(2,1;24) W(2,1;24) E(3;0,25) B(3;0,5)
Exp(0,03) Exp(0,03) N(30; 0,4) G(0,8)
U(12;14) U(12;14) W(1,8;22) П(3,1)
N(13;3) N(13;3) W(2;18) B(4;0,4)
LN(2;1) LN(2;1) Exp(0,04) G(0,9)
E(2;0,1) E(2;0,1) LN(1;2) П (4,8)
W(1,4;20) W(1,4;20) U(30;50) B(3;0,2)
Exp(0,08) Exp(0,08) LN(2;1,5) G(0,3)
U(25; 30) U(25; 30) N(30; 1,7) П(2,8)
N(17;4) N(17;4) E(2;0,04) B(2;0,3)
LN(3;0,4) LN(3;0,4) Exp(0,02) G(0,4)
E(2;0,15) E(2;0,15) W(2,3;24) П(1,6)
W(2,3;25) W(2,3;25) U(34; 40) B(4;0,9)
Exp(0,02) Exp(0,02) LN(3,2;1) G(0,7)
U(15;22) U(15;22) N(19; 2,2) П(0,5)
N(15;1) N(15;1) E(3;0,08) B(4;0,6)
LN(2;0,3) LN(2;0,3) Exp(0,02) G(0,5)
E(3;0,5) E(3;0,5) W(3;2) П(3,6)
W(1,7;19) W(1,7;19) U(15;20) B(5;0,7)
Exp(0,06) Exp(0,06) LN(2;1,6) G(0,2)
U(15;17) U(15;17) N(12;4) П(4,5)
N(29;2) N(29;2) E(2;0,07) B(2;0,7)
LN(1,5;1) LN(1,5;1) Exp(0,08) G(0,7)
E(2;0,09) E(2;0,09) W(2,4;25) П(2,9)

На рис.1 є три види з'єднання елементів: послідовне, паралельне (постійно включений резерв) та резервування заміщенням.

Час до відмови системи, що складається з послідовно з'єднаних елементів, дорівнює найменшому з часів до відмови елементів. Час до відмови системи з постійно включеним резервом дорівнює найбільшому з часів до відмови елементів. Час до відмови системи з резервом заміщенням, дорівнює сумі часів до відмови елементів.



Схема 1. Схема 2.


Схема 3. Схема 4.


Схема 5. Схема 6.

Схема 7. Схема 8.

Сутність методу Монте-Карло полягає в наступному: потрібно знайти значення адеякої досліджуваної величини. З цією метою вибирають таку випадкову величину Х, математичне очікування якої дорівнює а: М (Х) = а.

Практично ж роблять так: обчислюють (розігрують) nможливих значень x i випадкової величини Х, знаходять їх середнє арифметичне

І приймають як оцінку (наближеного значення) а* шуканого числа а. Таким чином, для застосування методу Монте-Карло необхідно вміти розігрувати випадкову величину.

Нехай потрібно розіграти дискретну випадкову величину Х, тобто. обчислити послідовність її можливих значень х i (i=1,2, …), знаючи закон розподілу Х. Введемо позначення: R безперервна випадкова величина, розподілена рівномірно в інтервалі (0,1); r i (j=1,2,…) – випадкові числа (можливі значення R).

Правило: Щоб розіграти дискретну випадкову величину Х, задану законом розподілу

Х х 1 х 2 … х n

P p 1 p 2 … p n

1. Розбити інтервал (0,1) осі or на n часткових інтервалів:

?

2. Вибрати випадкове число r j. Якщо r j потрапило в частковий інтервал Δ i , то величина, що розігрується, прийняла можливе значення х i . .

Розігрування повної групи подій

Потрібно розіграти випробування, у кожному з яких настає одна з подій повної групи, ймовірність яких відома. Розігрування повної групи подій зводиться до розігрування дискретної випадкової величини.

Правило: Для того щоб розіграти випробування, у кожному з яких настає одна з подій А 1, А 2, …, А n повної групи, ймовірності яких р 1, р 2 …, р n відомі, достатньо розіграти дискретну величину Х з наступним законом розподілу :

P p 1 p 2 … p n

Якщо у випробуванні величина Х набула можливого значення x i =i, то настала подія А i .

Розігрування безперервної випадкової величини

Відома функція розподілу F безперервної випадкової величини Х. Потрібно розіграти Х, тобто. обчислити послідовність можливих значень x i (i=1,2, …).

А. Метод зворотних функцій. Правило 1. х i безперервної випадкової величини Х, знаючи її функцію розподілу F, треба вибрати випадкове число r i , прирівняти його функції розподілу та вирішити щодо х i отримане рівняння F(х i) = r i .



Якщо відома щільність ймовірності f(x), використовують правило 2.

Правило 2 Для того, щоб розіграти можливе значеннях i безперервної випадкової величини Х, знаючи її густину ймовірності f, треба вибрати випадкове число r i і вирішити щодо х i рівняння

або рівняння

де а – найменше кінцеве можливе значення Х.

Б. Метод суперпозиції. Правило 3 Щоб розіграти можливе значення випадкової величини Х, функція розподілу якої

F(x) = C 1 F 1 (x)+C 2 F 2 (x)+…+C n F n (x),

де F k (x) – функції розподілу (k=1, 2, …, n), З k >0, З i +З 2 +…+З n =1, треба вибрати два незалежні випадкові числа r 1 і r 2 і за випадковим числом r 1 розігрувати можливе значення допоміжної дискретної випадкової величини Z (за правилом 1):

p C 1 C 2 … C n

Якщо виявиться, що Z=k, то вирішують щодо рівняння F k (x) = r 2 .

Зауваження 1. Якщо задана щільність ймовірності безперервної випадкової величини Х як

f(x)=C 1 f 1 (x)+C 2 f 2 (x)+…+C n f n (x),

де f k – щільності ймовірностей, коефіцієнти k позитивні, їх сума дорівнює одиниці і якщо виявиться, що Z = k, то вирішують (за правилом 2) щодо х i відносно або рівняння



Наближене розігрування нормальної випадкової величини

Правило. Для того, щоб наближено розіграти можливе значеннях i нормальної випадкової величини Х з параметрами а=0 і σ=1, треба скласти 12 незалежних випадкових чисел і отриманої суми відняти 6:

Зауваження. Якщо потрібно приблизно розіграти нормальну випадкову величину Z з математичним очікуванням аі середнім квадратичним відхиленням σ, то, розігравши можливе значення х i за наведеним вище правилом, знаходять можливе значення за формулою: z i =σx i +a.

Нагадаємо попередньо, якщо випадкова величина Rрозподілена рівномірно в інтервалі (0,1), то її математичне очікування та дисперсія відповідно дорівнюють (див. гл. XII, § 1, зауваження 3):

M(R)= 1/2, (*)

D(R)= 1/2. (**)

Складемо суму пнезалежних, розподілених рівномірно в інтервалі (0,1) випадкових величин R j(j= 1, 2, ..., n):

Для нормування цієї суми знайдемо попередньо її математичне очікування та дисперсію.

Відомо, що математичне очікування суми випадкових величин дорівнює сумі математичних очікувань доданків. Сума (***) містить пдоданків, математичне очікування кожного з яких (*) дорівнює 1/2; отже, математичне очікування суми ( *** )

Відомо, що дисперсія суми незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій доданків. Сума (***) містить nнезалежних доданків, дисперсія кожного з яких у силу (**) дорівнює 1/12; отже, дисперсія суми (***)

Звідси середнє відхилення суми (***)

Пронормуємо розглянуту суму, для чого віднімемо математичне очікування та розділимо результат на середнє квадратичне відхилення:

В силу центральної граничної теореми при п→∞розподіл цієї нормованої випадкової величини прагне нормального з параметрами а= 0 та σ=1. При кінцевому прозподіл приблизно нормальний. Зокрема, при п= 12 отримаємо досить хороше та зручне для розрахунку наближення

Правило.Для того, щоб розіграти можливе значення x iнормальної випадкової величини Хз параметрами а=0 і σ=1, треба скласти 12 незалежних випадкових чисел і отриманої суми відняти 6:

Наприклад,а) Розіграти 100 можливих значень нормальної величини Хз параметрами а=0 та σ=1; б) оцінити параметри розіграної величини.

Рішення. а) Виберемо 12 випадкових чисел з першого рядка таблиці *) , складимих ​​та з отриманої суми віднімемо 6; у результаті маємо

x i=(0,10+0,09+...+0,67) - 6= - 0,99.

Аналогічно, вибираючи з кожного наступного рядка таблиці перші 12 чисел, знайдемо решту можливих значень X.

б) Виконавши розрахунки, отримаємо шукані оцінки:

Оцінки задовільні: а*близько до нуля, σ* мало відрізняється від одиниці.

Зауваження. Якщо потрібно розіграти можливе значення z iнормальної випадкової величини Zз математичним очікуванням ата середнім квадратичним відхиленням σ , то, розігравши за правилом цього параграфа можливе значення x i ,знаходять можливе значення за формулою

z i = x i + a.

Ця формула отримана із співвідношення ( z i -a)/σ=x i.

Завдання

1. Розіграти 6 значень дискретної випадкової величини X,закон розподілу якої заданий у вигляді таблиці

X 3,2
p 0,18 0,24 0,58

Вказівка. Для визначення прийняти, що обрані випадкові числа: 0,73; 0,75; 0,54; 0,08; 0,28; 0,53. Відп. 10; 10; 10; 2; 3; 22; 10.

2. Розіграти 4 випробування, у кожному з яких ймовірність появи події Адорівнює 0,52.

Вказівка. Для визначеності прийняти, що вибрано випадкові числа: 0; 28; 0,53; 0,91; 0,89.

Відп. А, , .

3. Встановлено ймовірність трьох подій, що утворюють повну групу: Р(А 1)=0,20, Р(А 2)=0,32, Р(А 3)= 0,48. Розіграти 6 випробувань, у кожному з яких з'являється одна із заданих подій.

Вказівка. Для визначення прийняти, що обрані випадкові числа: 0,77; 0,19; 0,21; 0,51; 0,99; 0,33.

Відп. А 3,А 1 ,А 2 ,А 2 ,А 3,А 2 .

4. Події А і Внезалежні та спільні. Розіграти 5 випробувань, у кожному з яких ймовірність появи події Адорівнює 0,5, а події В- 0,8.

А 1 =АВ, Для визначеності прийняти випадкові числа: 0,34; 0,41; 0,48; 0,21; 0,57.

Відп. А 1 ,А 2 ,А 2 ,А 1 ,А 3.

5. Події А, В, Снезалежні та спільні. Розіграти 4 випробування у кожному з яких ймовірності появи подій задані: Р(А)= 0,4, Р(У)= 0,6, Р(З)= 0,5.

Вказівка. Скласти повну групу подій: для визначеності прийняти обрані випадкові числа: 0,075; 0,907; 0,401; 0,344.

Відп. 1 ,А 8,А 4,А 4 .

6. Події Аі Узалежні та спільні. Розіграти 4 випробування, у кожному з яких задані ймовірності: Р(А)=0,7, Р(У)=0,6, Р(АВ)=0,4.

Вказівка. Скласти повну групу подій: А 1 =АВ, Для визначеності прийняти випадкові числа: 0,28; 0,53; 0,91; 0,89.

Відп. А 1 , А 2 , А4 , А3 .

7. Розіграти 3 можливі значення безперервної випадкової величини X,яка розподілена за показовим законом і задана функцією розподілу F(х)= 1 - е -10 x.

Вказівка. Для визначення прийняти, що обрані випадкові числа: 0,67; 0,79; 0,91.

Відп. 0,04; 0,02; 0,009.

8. Розіграти 4 можливі значення безперервної випадкової величини X,розподіленої рівномірно в інтервалі (6,14).

Вказівка. Для визначеності прийняти, що вибрано випадкові числа: 0,11: 0,04; 0,61; 0,93.

Відп. 6,88; 6,32; 10,88; 13,44.

9. Знайти методом суперпозиції явні формули для розігрування безперервної випадкової величини X,заданою функцією розподілу

F(x)=1- (1/3)(2е- 2 x +е -3 x:), 0<х<∞.

Відп. х= - (1/2)1п r 2 , якщо r 1 < 2/3; х= - (1/3)1п r 2 , якщо r 1 ≥2/3.

10. Знайти явну формулу для розігрування безперервної випадкової величини X,заданою щільністю ймовірності f(х)=b/(1 +ax) 2 в інтервалі 0≤ x≤1/(b-a); поза цим інтервалом f(x)=0.

Відп. х i= - r i/(b - ar i).

11. Розіграти 2 можливі значення нормальної випадкової величини з параметрами: а) а=0, σ =1; б) а =2, σ =3.

Вказівка. Для визначеності прийняти випадкові числа (далі вказано число сотих часток; наприклад, числу 74 відповідає випадкове число r 1 =0,74): 74. 10, 88, 82. 22, 88, 57, 07, 40, 15, 25, 70; 62, 88, 08, 78, 73, 95, 16, 05, 92, 21, 22, 30.

Відп.а) x 1 = - 0,22, x 2 = - 0.10; 6) z 1 =1,34, z 2 =2,70.

Розділ двадцять другий

Метод зворотних функцій

Нехай потрібно розіграти безперервну випадкову величину X, тобто отримати послідовність її можливих значень x i (i= 1,2, ...), знаючи функцію розподілу F(х).

Теорема. Якщо r i ,-випадкове число, то можливе значенняx i безперервної випадкової величини Х, що розігрується, із заданою функцією розподілуF(х), відповіднеr i , є коренем рівняння

F(х i)= r i . (»)

Доведення. Нехай обрано випадкове число r i (0≤r i <1). Так как в интервале всех возможных зна­чений Хфункція розподілу F(х) монотонно зростає від 0 до 1, то в цьому інтервалі існує, причому тільки одне, таке значення аргументу х i , при якому функція розподілу набуде значення r i. Іншими словами, рівняння (*) має єдине рішення

х i = F - 1 (r i),

де F - 1 - функція, зворотна функції у=F(х).

Доведемо тепер, що корінь х iрівняння (*) є можливе значення такої безперервної випадкової величини (тимчасово позначимо її через ξ , а потім переконаємося, що ξ=Х). З цією метою доведемо, що ймовірність влучення ξ в інтервал, наприклад ( с,d), що належить інтервалу всіх можливих значень X, що дорівнює збільшенню функції розподілу F(х) на цьому інтервалі:

Р(з< ξ < d)= F(d)- F(з).

Справді, оскільки F(х)- монотонно зростаюча функція в інтервалі всіх можливих значень X,то цьому інтервалі великим значенням аргументу відповідають великі значення функції, і назад. Тому, якщо з <х i < d, то F(c)< r i < F(d), і назад [враховано, що в силу (*) F(х i)=r i ].

З цих нерівностей випливає, що якщо випадкова величина ξ укладена в інтервалі

з< ξ < d, ξ (**)

то випадкова величина Rукладена в інтервалі

F(з)< R< F(d), (***)

і назад. Отже, нерівності(**) і (***) рівносильні, отже, і рівноймовірні:

Р(з< ξ< d)=Р[F(з)< R< F(d)]. (****)

Оскільки величина Rрозподілена рівномірно в інтервалі (0,1), то ймовірність влучення Rу деякий інтервал, що належить інтервалу (0,1), дорівнює його довжині (див. гл. XI, § 6, зауваження). Зокрема,

Р[F(з)< R< F(d) ] = F(d) - F(з).

Отже, співвідношення (****) можна записати як

Р(з< ξ< d)= F(d) - F(з).

Отже, ймовірність влучення ξ в інтервал ( с,d) дорівнює збільшенню функції розподілу F(х) на цьому інтервалі, а це означає, що ξ=Х.Іншими словами, числа х i, що визначаються формулою (*), є можливі значення величини Х ззаданою функцією розподілу F(х), що й потрібно було довести.

Правило 1.х i , безперервної випадкової величини X,знаючи її функцію розподілу F(х), треба вибрати випадкове число r iприрівняти його функції розподілу та вирішити щодо х i , отримане рівняння

F(х i)= r i .

Примітка 1. Якщо вирішити це рівняння у явному вигляді не вдається, то вдаються до графічних чи чисельних методів.

Приклад І.Розіграти 3 можливі значення безперервної випадкової величини X,розподіленої рівномірно в інтервалі (2, 10).

Рішення. Напишемо функцію розподілу величини X,розподіленої рівномірно в інтервалі ( а,b) (див. гл. XI, § 3, приклад):

F(х)= (х-а)/ (b-а).

За умовою, а = 2, b=10, отже,

F(х)= (х- 2)/ 8.

Використовуючи правило цього параграфа, напишемо рівняння для відшукання можливих значень х i , навіщо прирівняємо функцію розподілу випадковому числу:

(х i -2 )/8= r i .

Звідси х i =8 r i + 2.

Виберемо 3 випадкові числа, наприклад, r i =0,11, r i =0,17, r i=0,66. Підставимо ці числа до рівняння, дозволеного щодо х i , у результаті отримаємо відповідні можливі значення X: х 1 = 8 · 0,11 +2 = = 2,88; х 2 =1.36; х 3 = 7,28.

приклад 2.Безперервна випадкова величина Хрозподіленапоказовим законом, заданим функцією розподілу (параметр λ > 0 відомий)

F(х)= 1 - е - λ х (х>0).

Потрібно знайти явну формулу для розігрування можливих значень X.

Рішення. Використовуючи правило цього параграфа, напишемо рівняння

1 - е - λ х i

Вирішимо це рівняння щодо х i :

е - λ х i = 1 - r i, або - λ х i = ln(1 - r i).

х i =1п(1– r i)/λ .

Випадкове число r iукладено в інтервалі (0,1); отже, число 1 - r iтакож випадкове і належить інтервалу (0,1). Іншими словами, величини Rта 1 - Rрозподілені однаково. Тому для відшукання х iможна скористатися більш простою формулою:

x i =- ln r i /λ.

2. Відомо, що (див. гл. XI, §3)

Зокрема,

Звідси випливає, що якщо відома щільність імовірності f(x), то для розігрування Хможна замість рівнянь F(x i)=r iвирішити щодо x iрівняння

Правило 2Для того, щоб знайти можливе значення х i (безперервної випадкової величини X,знаючи її щільність імовірності f(x) треба вибрати випадкове число r iі вирішити щодо х i , рівняння

або рівняння

де а-найменше кінцеве можливе значення X.

приклад 3.Задано щільність ймовірності безперервної випадкової величини Хf(х)=λ (1-λх/2) в інтервалі (0; 2/λ); поза цим інтервалом f(х)= 0. Потрібно знайти явну формулу для розігрування можливих значень X.

Рішення. Напишемо відповідно до правила 2 рівняння

Виконавши інтегрування та вирішивши отримане квадратне рівняння щодо х i, остаточно отримаємо