Сутність методу Монте-Карло полягає в наступному: потрібно знайти значення адеякої досліджуваної величини. З цією метою вибирають таку випадкову величину Х, математичне очікування якої дорівнює а: М (Х) = а.
Практично ж роблять так: обчислюють (розігрують) nможливих значень x i випадкової величини Х, знаходять їх середнє арифметичне
І приймають як оцінку (наближеного значення) а* шуканого числа а. Таким чином, для застосування методу Монте-Карло необхідно вміти розігрувати випадкову величину.
Нехай потрібно розіграти дискретну випадкову величину Х, тобто. обчислити послідовність її можливих значень х i (i=1,2, …), знаючи закон розподілу Х. Введемо позначення: R безперервна випадкова величина, розподілена рівномірно в інтервалі (0,1); r i (j=1,2,…) – випадкові числа (можливі значення R).
Правило: Щоб розіграти дискретну випадкову величину Х, задану законом розподілу
Х х 1 х 2 … х n
P p 1 p 2 … p n
1. Розбити інтервал (0,1) осі or на n часткових інтервалів:
?
2. Вибрати випадкове число r j. Якщо r j потрапило в частковий інтервал Δ i , то величина, що розігрується, прийняла можливе значення х i . .
Розігрування повної групи подій
Потрібно розіграти випробування, у кожному настає одне з подій повної групи, ймовірності яких відомі. Розігрування повної групи подій зводиться до розігрування дискретної випадкової величини.
Правило: Для того щоб розіграти випробування, у кожному з яких настає одна з подій А 1, А 2, …, А n повної групи, ймовірності яких р 1, р 2 …, р n відомі, достатньо розіграти дискретну величину Х з наступним законом розподілу :
P p 1 p 2 … p n
Якщо у випробуванні величина Х набула можливого значення x i =i, то настала подія А i .
Розігрування безперервної випадкової величини
Відома функція розподілу F безперервної випадкової величини Х. Потрібно розіграти Х, тобто. обчислити послідовність можливих значень x i (i=1,2, …).
А. Метод зворотних функцій. Правило 1. х i безперервної випадкової величини Х, знаючи її функцію розподілу F, треба вибрати випадкове число r i , прирівняти його функції розподілу та вирішити щодо х i отримане рівняння F(х i) = r i .
Якщо відома щільність ймовірності f(x), використовують правило 2.
Правило 2 Для того, щоб розіграти можливе значеннях i безперервної випадкової величини Х, знаючи її густину ймовірності f, треба вибрати випадкове число r i і вирішити щодо х i рівняння
або рівняння
де а – найменше кінцеве можливе значення Х.
Б. Метод суперпозиції. Правило 3 Щоб розіграти можливе значення випадкової величини Х, функція розподілу якої
F(x) = C 1 F 1 (x)+C 2 F 2 (x)+…+C n F n (x),
де F k (x) – функції розподілу (k=1, 2, …, n), З k >0, З i +З 2 +…+З n =1, треба вибрати два незалежні випадкові числа r 1 і r 2 і за випадковим числом r 1 розігрувати можливе значення допоміжної дискретної випадкової величини Z (за правилом 1):
p C 1 C 2 … C n
Якщо виявиться, що Z = k, то вирішують щодо рівняння F k (x) = r 2 .
Примітка 1. Якщо задана щільність ймовірності безперервної випадкової величини Х як
f(x)=C 1 f 1 (x)+C 2 f 2 (x)+…+C n f n (x),
де f k – щільності ймовірностей, коефіцієнти k позитивні, їх сума дорівнює одиниці і якщо виявиться, що Z = k, то вирішують (за правилом 2) щодо х i відносно або рівняння
Наближене розігрування нормальної випадкової величини
Правило. Для того, щоб наближено розіграти можливе значеннях i нормальної випадкової величини Х з параметрами а=0 і σ=1, треба скласти 12 незалежних випадкових чисел і отриманої суми відняти 6:
Зауваження. Якщо потрібно приблизно розіграти нормальну випадкову величину Z з математичним очікуванням аі середнім квадратичним відхиленням σ, то, розігравши можливе значення х i за наведеним вище правилом, знаходять можливе значення за формулою: z i =σx i +a.
5.2.2. Розігрування безперервної випадкової величини
Нехай потрібно розіграти безперервну випадкову величину Х, тобто. отримати послідовність її можливих значень x i (i= 1,2,...). При цьому функція розподілу F(X)відома.
Існує наступна теорема.
Якщо r i- випадкове число, то можливе значення x iбезперервної випадкової величини, що розігрується Хз відомою функцією розподілу F(X)відповідне r i, є коренем рівняння
Алгоритм розігрування безперервної випадкової величини :
1. Необхідно вибрати випадкове число r i .
2. Прирівняти обране випадкове число відомої функції розподілу F(X)і отримати рівняння.
3. Вирішити дане рівняння щодо x i. Отримане значення x iбуде відповідати одночасно і випадковому числу r i. та заданим законом розподілу F(X).
Приклад5.2.
Розіграти 3 можливі значення безперервної випадкової величини Х, розподіленої рівномірно в інтервалі (2; 10).
Рішення
Функція розподілу величини Хмає такий вигляд:
За умовою, a = 2, b= 10, отже,
Відповідно до алгоритму розігрування безперервної випадкової величини прирівняємо F(X)обраному випадковому числу r i.. Отримаємо звідси:
Підставимо ці числа до рівняння (5.3). Отримаємо відповідні можливі значення х :
Приклад 5.3
Безперервна випадкова величина Хрозподілено за показовим законом із відомою функцією
(x>0, параметр > 0 відомий)
Потрібно знайти формулу для розігрування можливих значень Х.
Рішення
Відповідно до алгоритму розігрування безперервної випадкової величини отримаємо рівняння
Вирішимо це рівняння щодо x i. Отримаємо:
Випадкове число r iзнаходиться в інтервалі (0, 1). Отже число (1- r i) також випадкове та належить інтервалу (0, 1). Тобто випадкові величини Rта 1 - Rрозподілено однаково, тобто. рівномірно в тому самому інтервалі (0, 1). Тому для відшукання значення x i можна скористатися більш простою формулою:
5.2.3. Розігрування випадкової величини X, нормально розподіленої
Відомо, що якщо випадкова величина Rрозподілена рівномірно в інтервалі (0, 1), то її математичне очікування М(R)= 1/2, а дисперсія D(R) = 1/12.
Складемо суму nнезалежних випадкових величин R j(j = 1,2,...n), які рівномірно розподілені в інтервалі (0, 1). Отримаємо.
Пронормуємо цю суму. Для цього знайдемо спочатку її математичне очікування та дисперсію. Відомо, що математичне очікування суми випадкових величин дорівнює сумі математичних очікувань доданків. Сума R iмістить nдоданків. Математичне очікування кожного доданка дорівнює 1/2. Отже, математичне очікування суми дорівнює:
;
Аналогічно для дисперсії суми R jотримаємо:
Звідси середнє квадратичне відхилення суми R j :
Тепер пронормуємо суму R j .
Для цього віднімемо із суми R jматематичне очікування цієї суми та розділимо на середнє квадратичне відхилення суми R j. Отримаємо
(тобто )
На підставі центральної граничної теоремитеорії ймовірностей при розподілі цієї нормованої випадкової величини прагне нормального закону з параметрами a= 0 та = 1.
При кінцевому nРозподіл можна розглядати як приблизно нормальний. Наприклад, при n= 12 отримаємо досить точне для практики наближення
Таким чином, отримуємо, що для того, щоб розіграти можливе значення x iнормальної випадкової величини Хз параметрами a= 0 і = 1, потрібно скласти 12 незалежних випадкових чисел і отриманої суми відняти 6.
Приклад 5.4.
1. Розіграти 100 можливих значень випадкової величини Хрозподіленої нормально з параметрами a= 0 та = 1.
2. Оцінити параметри розіграної випадкової величини Х.
Рішення
1. Виберемо 12 випадкових чисел розподілених рівномірно в інтервалі (0, 1) із таблиці випадкових чисел, або з комп'ютера. Складемо ці числа і від суми віднімемо 6, в результаті отримаємо:
Поступаючи аналогічним чином знайдемо інші можливі значення.
2. Виконавши необхідні розрахунки знайдемо вибіркову середню, яка є оцінкою та вибіркове середнє квадратичне відхилення, яке є оцінкою. Отримаємо:
Як бачимо, оцінки задовільні, тобто.
близько до нуля, а близько до одиниці. x i Якщо потрібно розіграти значення нормальної ненормованої випадкової величини з математичним очікуванням відмінним від нуля і відмінним від одиниці, то спочатку розігрують можливі значення
нормованої випадкової величини, а потім знаходять шукане значення за формулою
яка отримана із співвідношення:
Таблиця 5.1
Формули для моделювання випадкових величин
Позначимо рівномірно розподілену СВ інтервалі (0, 1) через R, та її можливі значення (випадкові числа) - r j .