PRZEGLĄD MATERIAŁU

Regularny wielokąt Nazywa się wielokąt wypukły o równych bokach i równych kątach.

a jest bokiem ośmiokąta,

R - promień okręgu opisanego,

r jest promieniem okręgu wpisanego.

Suma kątów wewnętrznych regularnego n-kąta

180(n-2).

Stopniowa miara kąta wewnętrznego n-kąta

180(n-2): n.

Strona prawego n-ka

Promień okręgu wpisanego w wielokąt foremny

Obszar prawidłowego n

ĆWICZENIA

1. a) Suma kątów wewnętrznych sześciokąta jest równa:
1) 360°; 2) 180°; 3) 720°; 4) 540°.
b) Suma kątów wewnętrznych ośmiokąta jest równa:
1) 360°; 2) 180°; 3) 720°; 4) 1080°.
Rozwiązanie:
a) Zgodnie ze wzorem suma kątów sześciokąta wynosi: 180(6-2)=180*4=720 ° .
Odpowiedź: 720 ° .


2. a) Bok wielokąta foremnego ma długość 5 cm, kąt wewnętrzny wynosi 144°
a) Bok wielokąta foremnego ma długość 7 cm, a kąt wewnętrzny wynosi 150° . Znajdź obwód wielokąta.
Rozwiązanie:
a) 1) Znajdź liczbę boków wielokąta:
144=180(n - 2):n;
144n=180n-360;
36n=360;
n=10.
2) Znajdź obwód dziesięciokąta: P=5*10=50 cm.
Odpowiedź: 50 cm.


3. a) Obwód pięciokąta foremnego wynosi 30 cm. Oblicz średnicę okręgu opisanego na tym pięciokącie.
b) Średnica okręgu wynosi 10 cm. Oblicz obwód pięciokąta w niego wpisanego.
Rozwiązanie:
a) 1) Znajdź bok pięciokąta: 30:5 = 6 cm.
2) Znajdź promień opisanego okręgu:
a=2R*grzech(180 ° :N);
6=2R*grzech (180 ° :5);
R=3:grzech 36 ° =3:0,588=5,1cm
Odpowiedź: 5,1 cm.


4. a) Suma kątów wewnętrznych wielokąta foremnego wynosi 2520°
b) Suma kątów wewnętrznych wielokąta foremnego wynosi 1800° . Znajdź liczbę boków wielokąta.
Rozwiązanie:
a) Znajdź liczbę boków wielokąta:
2520 ° = 180 ° (n-2);
2520 ° +360 ° =180 ° N;
2880 ° =180 ° N;
n=16.
Odpowiedź: 16 boków.


5. a) Promień okręgu opisanego na dwunastokącie foremnym wynosi 5 cm. Znajdź pole wielokąta.
b) Promień okręgu opisanego na ośmiokącie foremnym wynosi 6 cm. Znajdź pole wielokąta.
Rozwiązanie:
a) Znajdź obszar dwunastoboku:
S=0,5* R 2 *n*sin(360° :n)=0,5*25*12*sin30° =75cm 2 .
Odpowiedź: 75 cm 2 .


6. Znajdź obszar sześciokąta, jeśli znane jest pole zacienionej części:

Rozwiązanie:
a) 1) Znajdź długość boku AB sześciokąta. Rozważmy trójkąt ABC - równoramienny (AB=BC).
∠ABC=180 ° (6-2):6=120 ° .

Pole trójkąta ABC wynosi 0,5*AB*BC*sin120° i jest równa pod warunkiem 48.

2) W sześciokącie foremnym bok jest równy promieniowi opisanego okręgu, zatem R=AB.
3) Znajdź obszar sześciokąta:
Odpowiedź: 288 cm 2 .

7. a) Znajdź liczbę boków wielokąta foremnego, jeśli jego kąt zewnętrzny w wierzchołku wynosi 18° .
b) Znajdź liczbę boków wielokąta foremnego, jeśli jego kąt zewnętrzny przy wierzchołku wynosi 45° .
Rozwiązanie:
a) Suma kątów zewnętrznych wielokąta foremnego wynosi 360 ° .
Znajdźmy liczbę boków: 360 ° :18 ° =20.
Odpowiedź: 20 stron.


8. Oblicz pole pierścienia, jeśli cięciwa AB jest równa:
a) 8 cm; b) 10 cm.

Rozwiązanie:
A)

1) OV - promień okręgu zewnętrznego, OH - promień okręgu wewnętrznego. Pole pierścienia można obliczyć korzystając ze wzoru: S pierścień = S okrąg zewnętrzny - S okrąg wewnętrzny.

S= π *OB 2 - π *OH 2 = π(OB 2 -OH 2 ).

2) Rozważmy trójkąt ABO - równoramienny (OA = OB jako promień). OH jest wysokością i środkową w trójkącie ABO, zatem AN=HB=8:2= 4 cm.

3) Rozważmy trójkąt ONB - prostokątny: HB 2 =OB 2 -ON 2 , stąd

OB 2 -ON 2 =16.

4) Znajdź obszar pierścienia:

S=π(OB 2 -OH 2 )=16 π cm 2 .

Odpowiedź:16 π cm 2 .

9.a) Znajdź obwód sześciokąta foremnego, jeśli AC = 9 cm.
B) Znajdź pole sześciokąta foremnego, jeśli FA=6 cm.

Rozwiązanie:
a) 1) Znajdź kąt ABC: 180 ° (6-4):6=120 ° .
2) Rozważmy trójkąt ABC - równoramienny (AB = BC jako boki sześciokąta foremnego).
∠ TY= ∠ BCA=(180° -120 ° ):2=30 ° .
Zgodnie z twierdzeniem o sinusie: AC: grzech ∠ ABC = AB: grzech∠ BCA;
AB=AC*sin30 ° :grzech120;

3) Znajdź obwód sześciokąta foremnego:

P=6*AB;

10. Udowodnić, że w ośmiokącie foremnym pole zacienionej części jest równe:
a) jedna czwarta powierzchni ośmiokąta; b) połowa powierzchni ośmiokąta:

Rozwiązanie:
A)

1) Narysujmy dwusieczne rogów ośmiokąta, przetną się one w punkcie O. Pole ośmiokąta jest równe sumie pól powstałych ośmiu równych trójkątów, tj. S (ABCDEFKM) =8* S (OEF).

2) Czworokąt ABEF jest równoległobokiem (AB//EF i AB=EF). Przekątne równoległoboku są równe: AE=BF (jako średnica koła opisanego na ośmiokącie), zatem ABEF jest prostokątem. Przekątne prostokąta dzielą go na cztery równe trójkąty.

3) Znajdź obszar czworoboku AFKM:

S (ABEF) = 4* S (OEF).

2*S (AFKM)=S (ABCDEFKM) - S (ABEF) =8* S (OEF)-4* S (OEF)=4* S (OEF).

S (AFKM)=2* S (OEF).

4) Znajdź stosunek pola ośmiokąta do pola zacienionej części:

S (ABCDEFKM): S (AFKM) = 8* S (OEF): (2* S (OEF)) = 4.

co było do okazania

11. Znajdź stosunek pola sektora BAC do pola zacieniowanej figury, jeśli BA=AC i pole sektora BAC jest równe jednej czwartej pola koła :

Rozwiązanie:
A)

1) AB=AC=2R. Kąt BAC jest prosty, ponieważ powierzchnia sektora BAC jest równa jednej czwartej pola koła .

2) Rozważmy czworoboczny AO 2 MO 1 . Jest to romb, ponieważ wszystkie boki są równe promieniowi i ponieważ Jeden z ich kątów wynosi 90°, a następnie AO 2 MO 1 - kwadrat.

Trójkąt S = 0,5 R 2 cm 2 .
Odcinek S = (0,25 π - 0,5)R 2 cm 2.
S zacienionej części = 2* Odcinek S = 2*(0,25 π - 0,5)R2 =(0,5 π -1)R 2 sm 2.
4) Znajdź obszar sektora BAC:
Ssektory =π *(2R) 2 *90:360= π R 2 Zm 2.
5) Znajdźmy stosunek pola sektora BAC do pola zacienionej części:
π R 2 :(0,5 π -1)R2= 2 π : (π-2).
Odpowiedź: 2 π : (π-2).

ZADANIA DO NIEZALEŻNEGO ROZWIĄZANIA

1. Jaka jest suma kątów zewnętrznych pięciokąta?

2. Jakie jest pole ośmiokąta, jeśli pole zacienionego obszaru wynosi 20.

3. Obwód czworokąta foremnego wynosi 20 cm. Oblicz długość okręgu w nim wpisanego.

4. Bok AB wielokąta foremnego ma długość 8 cm. O jest środkiem wielokąta, a kąt AOB wynosi 36° . Znajdź obwód wielokąta.

5. Obwód ośmiokąta foremnego wynosi 80 cm. Znajdź jego mniejszą przekątną.

6. W trójkąt foremny wpisano okrąg i wokół niego opisano okrąg. Znajdź pole pierścienia utworzonego przez koła, jeśli bok trójkąta wynosi 8 cm.

7. Znajdź kąt między dwiema mniejszymi przekątnymi wychodzącymi z jednego wierzchołka siedmiokąta foremnego.

8. Wokół koła opisano trójkąt foremny i wpisano w niego sześciokąt foremny. Znajdź stosunek pól trójkąta i sześciokąta.

9. Wielokąt wypukły ma 48 boków. Znajdź liczbę jego przekątnych.

10. ABCD jest kwadratem. Z wierzchołków B i C rysujemy okręgi o promieniu AB. Znajdź stosunek pola zacienionej figury do pola kwadratu:

Wyprowadzenie pola regularnego n-kąta jest związane z promieniem okręgu wpisanego w ten n-gon i promieniem okręgu opisanego wokół niego. Wyprowadzając ten wzór, używamy podziału n-kąta na n trójkątów. Jeśli jest obszarem danego wielokąta foremnego, a jest jego bokiem, jest obwodem, a a jest odpowiednio promieniem okręgu wpisanego i opisanego. Udowodnijmy to: łącząc środek tego wielokąta z jego wierzchołkami, jak pokazano na rysunku 2.7.1, podzielimy go na n równych trójkątów, z których każdy ma pole równe . Stąd,. Dalej,.

Rysunek 2.7.1

Rysunek 2.7.1

Przykład 2.7.1.

Kwadrat ten o boku a jest przecięty w rogach tak, że powstaje ośmiokąt foremny. Określ obszar tego ośmiokąta.

Rozwiązanie:

Niech (rysunek 2.7.2). Wtedy lub gdzie

Rysunek 2.7.2

Dlatego wymagany obszar

Odpowiedź:

Przykład 2.7.2.

Cały łuk okręgu o promieniu R dzieli się na cztery duże i cztery małe części, ułożone jedna po drugiej. Większa część jest 2 razy dłuższa od małej. Określ pole ośmiokąta, którego wierzchołki są punktami podziału łuku kołowego.

Rozwiązanie:

Niech mniejszy łuk zawiera stopnie. Zatem ośmiokąt zawiera cztery trójkąty z kątem środkowym (ich całkowite pole) i cztery trójkąty z kątem środkowym (ich całkowite pole). Wymagany obszar to

Odpowiedź:

Przykład 2.7.3.

Biorąc pod uwagę kwadrat z bokiem. Z każdej strony kwadratu, na zewnątrz, zbudowano trapez w taki sposób, że górne podstawy tych trapezów i ich boki tworzą regularny dwunastobok. Oblicz jego pole.

Rozwiązanie:

Wymagana powierzchnia, gdzie i są promieniami okręgu opisanego wokół kwadratu i dwunastoboku (rysunek 2.7.3). Zatem bok kwadratu jest równy . Mamy gdzie⏊ Ale od . Zatem,

, to jest

Rysunek 2.7.3

Odpowiedź:

3 Problemy planimetryczne z testów scentralizowanych

opcja 1

O 8. W trójkącie równoramiennym przez wierzchołki podstawy i punkt (który leży na wysokości poprowadzonej do podstawy i dzieli ją w stosunku, licząc od podstawy), poprowadzono linie proste (D AB; E AC). Znajdź pole trójkąta, jeśli pole trapezu wynosi 64.

Rozwiązanie:

Wprowadźmy następującą notację:

Z rysunku wynika, że

Stwórzmy system:

Rysunek 3.1

Z układu otrzymujemy:

Rozwiązując to równanie znajdujemy:

Podstawiając do drugiego równania układu otrzymujemy:

Znajdź obszar trójkąta

Odpowiedź:

opcja 1

A8. W trójkącie równoramiennym o bokach wysokość jest rysowana na bok. Jeżeli i są środkami okręgów opisanych na trójkątach i, to odległość między punktami jest równa...

Rozwiązanie:

Stwierdzenie problemu nie mówi konkretnie, jakie są równe boki i podstawa. Jeśli, a, to nierówność trójkąta nie będzie zachowana. Dlatego , A. Następnie należy pamiętać, że środek okręgu opisanego wokół trójkąta prostokątnego leży w środku przeciwprostokątnej. Dlatego środki okręgów opisanych wokół trójkątów, a punkty i są odpowiednio środkami boków i.

Rysunek 3.2

Zatem jest środkowa linia trójkąta i

Odpowiedź:

opcja 1

B4. W okrąg wpisano czworokąt. Jeżeli,,, to miara stopnia kąta między prostymi jest równa...

Rozwiązanie:

Ponieważ pod warunkiem otrzymujemy to ,,, następnie Wiemy, że czworokąt można wpisać w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy jego przeciwległych kątów są równe.

Rysunek 3.3

Z tego wynika, że ​​z trójkąta możemy znaleźć potrzebny kąt. Rozumiemy to

Odpowiedź:

opcja 1

A12. Większa podstawa trapezu wynosi 114. Znajdź mniejszą podstawę trapezu, jeśli odległość między środkami jego przekątnych wynosi 19.

Rozwiązanie:

Rysunek 3.4

Oznaczmy mniejszą podstawę trapezu

Trójkąty i tym podobne. Otrzymujemy stosunek:

Z podobieństwa trójkątów otrzymujemy:

Podziel drugie równanie przez pierwsze:

Stąd:

Okazuje się, że mniejsza podstawa trapezu jest równa

Odpowiedź:

opcja 1

A11. Poprowadzono linię prostą, równoległą do boku trójkąta, przecinającą ten bok w takim punkcie, że . Jeśli pole trójkąta wynosi 50, wówczas pole powstałego trapezu wynosi...

Rozwiązanie:

Rysunek 3.5

Daj nam być pod warunkiem, że

Stąd Następnie, Dlatego teraz znajdźmy obszar trapezu. Rozumiemy to

Odpowiedź:

opcja 1

A13. Wysokość trójkąta prostokątnego poprowadzonego do przeciwprostokątnej dzieli go na odcinek, którego długości są w stosunku 1:4. Jeśli wysokość wynosi 8, to przeciwprostokątna wynosi...

Rozwiązanie:

Długość wysokości trójkąta prostokątnego poprowadzonego do przeciwprostokątnej można obliczyć ze wzoru:

Rysunek 3.6

Pod warunkiem jest nam to dane. Oznacza,

Stąd to rozumiemy. Następnie

Odpowiedź:

opcja 1

A12. Wymiary dwóch kątów trójkąta są równe i, a wysokość narysowana od wierzchołka większego kąta wynosi 9. Znajdź krótszy bok trójkąta.

Rozwiązanie:

Rysunek 3.7

Niech , oznacza Ponieważ–

wysokość trójkąta, a następnie . Ponieważ trójkąt jest prostokątny, ramię trójkąta prostokątnego leżące naprzeciw kąta 30 jest równe połowie przeciwprostokątnej.

Z własności otrzymujemy: Zatem,

Odpowiedź:

opcja 1

A16. W romb o polu wpisano okrąg o polu. Bok rombu to...

Rozwiązanie:

;

Ponieważ powierzchnia rombu jest równa , a następnie Następnie,

Stąd to rozumiemy

Rysunek 3.8

Odpowiedź:

opcja 1

A11. Czworokąt, w który wpisano okrąg. Znajdź miarę kąta.

Rozwiązanie:

Czworokąt można wpisać w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy jego przeciwległych kątów są równe

Rysunek 3.9

Odpowiedź:

opcja 1

O 3. Podstawa ostrego trójkąta równoramiennego wynosi 10, a sinus przeciwległego kąta wynosi . Znajdź obszar trójkąta.

Rozwiązanie:

Rysunek 3.10

1. Znajdź cosinus kąta, korzystając ze wzoru

Ponieważ kąt jest ostry, wybieramy znak „”:

2. Aby obliczyć długość boku (rysunek 3.10), stosujemy twierdzenie cosinus:

albo albo

3. Znajdź obszar trójkąta, korzystając ze wzoru:

;

Odpowiedź: .

opcja 1

Zadanie B3. Trójkąt wpisano w okrąg o promieniu 6, a długości jego dwóch boków wynoszą 6 i 10. Oblicz długość wysokości trójkąta poprowadzonego do jego trzeciego boku.

Rozwiązanie:

Zróbmy rysunek pomocniczy, aby rozwiązać problem. Niech będzie danym trójkątem którego.

Znajdźmy wysokość trójkąta.

Rysunek 3.11

W takich problemach najtrudniejszym momentem jest zrozumienie, jak powiązać parametry trójkąta (kąty lub boki) z parametrami koła. Przecież rozwiązujemy zadanie dotyczące trójkąta, jednak skoro jest podany promień opisanego koła, to trzeba to jakoś wykorzystać, aby uzyskać brakujące informacje o samym trójkącie.

Jedno z najsłynniejszych połączeń między trójkątem a okręgiem opisanym zostało udowodnione w twierdzeniu o sinusach. Zapiszmy wnioski z tego twierdzenia dla kąta:

Oto promień okręgu opisanego na trójkącie. Stąd otrzymujemy:

Znajdź wysokość trójkąta prostokątnego:

Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

• Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

• Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą w sprawie wyjątkowych ofert, promocji i innych wydarzeń oraz nadchodzących wydarzeń.
• Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
• Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różnych badań w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawienia rekomendacji dotyczących naszych usług.
• Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.

Ujawnianie informacji osobom trzecim

Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.

Wyjątki:

• Jeżeli jest to konieczne – zgodnie z przepisami prawa, procedurą sądową, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie publicznych żądań lub wniosków organów rządowych na terytorium Federacji Rosyjskiej – do ujawnienia Twoich danych osobowych. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa.
• W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.

Twierdzenie 1. Okrąg można opisać wokół dowolnego wielokąta foremnego.

Niech ABCDEF (ryc. 419) będzie wielokątem foremnym; należy wykazać, że wokół niego można opisać okrąg.

Wiemy, że zawsze można narysować okrąg przez trzy punkty, które nie leżą na tej samej prostej; Oznacza to, że zawsze można narysować okrąg, który przejdzie przez dowolne trzy wierzchołki wielokąta foremnego, na przykład przez wierzchołki E, D i C. Niech punkt O będzie środkiem tego okręgu.

Udowodnijmy, że okrąg ten przejdzie także przez czwarty wierzchołek wielokąta, na przykład przez wierzchołek B.

Segmenty OE, OD i OS są sobie równe, a każdy z nich jest równy promieniowi okręgu. Przeprowadźmy kolejny segment OB; o tym odcinku nie można od razu powiedzieć, że jest on również równy promieniowi koła, należy to udowodnić; Rozważmy trójkąty OED i ODC, są one równoramienne i równe, zatem ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4.

Jeżeli kąt wewnętrzny danego wielokąta jest równy α, to ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4 = α / 2; ale jeśli ∠4= α / 2, to ∠5 = α / 2, tj. ∠4 = ∠5.

Stąd wnioskujemy, że (Delta)OSD = (Delta)OSV, a zatem OB = OS, tj. odcinek OB jest równy promieniowi narysowanego okręgu. Wynika z tego, że okrąg przejdzie także przez wierzchołek B wielokąta foremnego.

Stosując tę ​​samą technikę, udowodnimy, że skonstruowany okrąg przejdzie przez wszystkie pozostałe wierzchołki wielokąta. Oznacza to, że okrąg ten będzie opisany na tym wielokącie foremnym. Twierdzenie zostało udowodnione.

Twierdzenie 2. W dowolny wielokąt foremny można wpisać okrąg.

Niech ABCDEF będzie wielokątem foremnym (ryc. 420), musimy udowodnić, że można w niego wpisać okrąg.

Z poprzedniego twierdzenia wiadomo, że wokół wielokąta foremnego można opisać okrąg. Niech punkt O będzie środkiem tego okręgu.

Połączmy punkt Oc z wierzchołkami wielokąta. Powstałe trójkąty OED, ODC itp. są sobie równe, co oznacza, że ​​ich wysokości narysowane z punktu O są również równe, czyli OK = OL = OM = ON = OP = OQ.

Zatem okrąg opisany z punktu O jako ze środka o promieniu równym odcinku OK przejdzie przez punkty K, L, M, N, P i Q, a wysokościami trójkątów będą promienie okręgu. Boki wielokąta są w tych punktach prostopadłe do promieni, więc są styczne do tego okręgu. Oznacza to, że skonstruowany okrąg jest wpisany w ten wielokąt foremny.

Tę samą konstrukcję można wykonać dla dowolnego wielokąta foremnego; zatem w dowolny wielokąt foremny można wpisać okrąg.

Konsekwencja. Okręgi opisane na wielokącie foremnym i wpisane w niego mają wspólny środek.

Definicje.

1. Środek wielokąta foremnego jest wspólnym środkiem okręgów opisanych na tym wielokącie i w nim wpisanych.

2. Prostopadłość poprowadzona ze środka wielokąta foremnego na jego bok nazywa się apotemem wielokąta foremnego.

Wyrażanie boków wielokątów foremnych za pomocą promienia obwodu

Korzystając z funkcji trygonometrycznych, możesz wyrazić bok dowolnego wielokąta foremnego za pomocą promienia okręgu opisanego na nim.

Niech AB będzie prawą stroną N-gon wpisany w okrąg o promieniu OA = R (rys.).

Narysujmy apotem OD wielokąta foremnego i rozważmy trójkąt prostokątny AOD. W tym trójkącie

∠AOD = 1 / 2 ∠AOB = 1 / 2 360° / N= 180° / N

AD = AO grzech ∠AOD = R grzech 180° / N ;

ale AB = 2AD i dlatego AB = 2R sin 180° / N .

Prawidłowa długość boku N Zwykle oznacza się -gon wpisany w okrąg jakiś, więc wynikowy wzór można zapisać w następujący sposób:

jakiś= 2R grzech 180° / N .

Konsekwencje:

1. Długość boku sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu R , wyraża się wzorem A 6 = R, ponieważ

A 6 = 2R grzech 180° / 6 = 2R grzech 30° = 2R 1 / 2 = R.

2. Długość boku foremnego czworoboku (kwadratu) wpisanego w okrąg o promieniu R , wyraża się wzorem A 4 = R√2 , ponieważ

A 4 = 2R grzech 180° / 4 = 2R grzech 45° = 2R √ 2 / 2 = R√2

3. Długość boku trójkąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu R , wyraża się wzorem A 3 = R√3 , ponieważ.

A 3 = 2R grzech 180° / 3 = 2R grzech 60° = 2R √ 3 / 2 = R√3

Obszar foremnego wielokąta

Niech zostanie podany właściwy N-gon (rys.). Wymagane jest określenie jego obszaru. Oznaczmy bok wielokąta przez A i środek przez O. Łączymy środek z końcami dowolnego boku wielokąta segmentami, otrzymujemy trójkąt, w którym rysujemy apotem wielokąta.

Pole tego trójkąta wynosi aha / 2. Aby wyznaczyć pole całego wielokąta należy pomnożyć pole jednego trójkąta przez liczbę trójkątów, czyli przez N. Otrzymujemy: S = aha / 2 N = ach / 2 ale jakiś jest równy obwodowi wielokąta. Oznaczmy to przez R.

Ostatecznie otrzymujemy: S = P H / 2. gdzie S jest polem wielokąta foremnego, P jest jego obwodem, H- apotem.

Pole foremnego wielokąta jest równe połowie iloczynu jego obwodu i apothemu.

Inne materiały

Trójkąt, kwadrat, sześciokąt - te figury są znane prawie każdemu. Ale nie wszyscy wiedzą, czym jest wielokąt foremny. Ale to wszystko jest to samo. Wielokąt foremny to taki, który ma równe kąty i boki. Takich liczb jest wiele, ale wszystkie mają te same właściwości i odnoszą się do nich te same formuły.

Właściwości wielokątów foremnych

W okrąg można wpisać dowolny wielokąt foremny, czy to kwadrat, czy ośmiokąt. Ta podstawowa właściwość jest często używana podczas konstruowania figury. Ponadto w wielokąt można wpisać okrąg. W takim przypadku liczba punktów styku będzie równa liczbie jego boków. Ważne jest, aby okrąg wpisany w wielokąt foremny miał z nim wspólny środek. Te figury geometryczne podlegają tym samym twierdzeniom. Każdy bok regularnego n-kąta jest powiązany z promieniem otaczającego go okręgu R, dlatego można go obliczyć ze wzoru: a = 2R ∙ sin180°. Przez nie można znaleźć nie tylko boki, ale także obwód wielokąta.

Jak znaleźć liczbę boków wielokąta foremnego

Każdy składa się z pewnej liczby równych sobie odcinków, które po połączeniu tworzą zamkniętą linię. W takim przypadku wszystkie kąty powstałej figury mają tę samą wartość. Wielokąty dzielą się na proste i złożone. Do pierwszej grupy zalicza się trójkąt i kwadrat. Złożone wielokąty mają więcej boków. Należą do nich także postacie w kształcie gwiazd. W przypadku złożonych wielokątów foremnych boki wyznacza się wpisując je w okrąg. Podajmy dowód. Narysuj wielokąt foremny o dowolnej liczbie boków n. Narysuj wokół niego okrąg. Ustaw promień R. Teraz wyobraź sobie, że otrzymujesz n-gon. Jeżeli punkty jego kątów leżą na okręgu i są sobie równe, to boki można wyznaczyć ze wzoru: a = 2R ∙ sinα: 2.

Znajdowanie liczby boków wpisanego trójkąta foremnego

Trójkąt równoboczny jest wielokątem foremnym. Mają do niego zastosowanie te same wzory, co do kwadratu i n-kąta. Trójkąt będzie uważany za regularny, jeśli jego boki są równej długości. W tym przypadku kąty wynoszą 60⁰. Skonstruujmy trójkąt o danej długości boku a. Znając jego medianę i wysokość, możesz znaleźć wartość jego boków. W tym celu posłużymy się metodą znajdowania poprzez wzór a = x: cosα, gdzie x jest medianą lub wzrostem. Ponieważ wszystkie boki trójkąta są równe, otrzymujemy a = b = c. Wtedy prawdziwe będzie stwierdzenie: a = b = c = x: cosα. Podobnie możesz znaleźć wartość boków w trójkącie równoramiennym, ale x będzie podaną wysokością. W takim przypadku należy go rzutować ściśle na podstawę figury. Zatem znając wysokość x, znajdujemy bok a trójkąta równoramiennego, korzystając ze wzoru a = b = x: cosα. Po znalezieniu wartości a możesz obliczyć długość podstawy c. Zastosujmy twierdzenie Pitagorasa. Będziemy szukać wartości połowy podstawy c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α): cos^2α = x ∙ tanα. Wtedy c = 2xtanα. W ten prosty sposób możesz znaleźć liczbę boków dowolnego wielokąta wpisanego.

Obliczanie boków kwadratu wpisanego w okrąg

Jak każdy inny wielokąt foremny wpisany, kwadrat ma równe boki i kąty. Mają do niego zastosowanie te same wzory, co do trójkąta. Boki kwadratu można obliczyć, korzystając z wartości przekątnej. Rozważmy tę metodę bardziej szczegółowo. Wiadomo, że przekątna dzieli kąt na pół. Początkowo jego wartość wynosiła 90 stopni. Zatem po podzieleniu powstają dwa. Ich kąty u podstawy będą równe 45 stopni. Odpowiednio każdy bok kwadratu będzie równy, czyli: a = b = c = d = e ∙ cosα = e√2: 2, gdzie e jest przekątną kwadratu, czyli podstawą prawego trójkąta powstałego po dział. Nie jest to jedyny sposób na znalezienie boków kwadratu. Wpiszmy tę figurę w okrąg. Znając promień tego okręgu R, znajdujemy bok kwadratu. Obliczymy to następująco: a4 = R√2. Promienie wielokątów foremnych oblicza się ze wzoru R = a: 2tg (360 o: 2n), gdzie a jest długością boku.

Jak obliczyć obwód n-kąta

Obwód n-kąta jest sumą wszystkich jego boków. Łatwo to obliczyć. Aby to zrobić, musisz znać znaczenie wszystkich stron. Dla niektórych typów wielokątów istnieją specjalne formuły. Pozwalają znacznie szybciej znaleźć obwód. Wiadomo, że każdy wielokąt foremny ma równe boki. Dlatego, aby obliczyć jego obwód, wystarczy znać przynajmniej jeden z nich. Wzór będzie zależał od liczby boków figury. Ogólnie wygląda to tak: P = an, gdzie a to wartość boku, a n to liczba kątów. Na przykład, aby znaleźć obwód ośmiokąta foremnego o boku 3 cm, należy go pomnożyć przez 8, czyli P = 3 ∙ 8 = 24 cm Dla sześciokąta o boku 5 cm obliczamy następująco: P = 5 ∙ 6 = 30 cm I tak dla każdego wielokąta.

Znalezienie obwodu równoległoboku, kwadratu i rombu

W zależności od tego, ile boków ma wielokąt foremny, oblicza się jego obwód. To znacznie ułatwia zadanie. Rzeczywiście, w przeciwieństwie do innych postaci, w tym przypadku nie trzeba szukać wszystkich jej stron, wystarczy jedna. Stosując tę ​​samą zasadę, znajdujemy obwód czworokątów, czyli kwadratu i rombu. Pomimo tego, że są to różne figury, wzór na nie jest taki sam: P = 4a, gdzie a jest bokiem. Podajmy przykład. Jeśli bok rombu lub kwadratu wynosi 6 cm, wówczas obwód obliczamy w następujący sposób: P = 4 ∙ 6 = 24 cm W przypadku równoległoboku tylko przeciwległe boki są równe. Dlatego jego obwód wyznacza się inną metodą. Musimy więc znać długość a i szerokość b figury. Następnie stosujemy wzór P = (a + b) ∙ 2. Równoległobok, w którym wszystkie boki i kąty między nimi są równe, nazywa się rombem.

Wyznaczanie obwodu trójkąta równobocznego i prostokątnego

Obwód prawidłowego można obliczyć ze wzoru P = 3a, gdzie a jest długością boku. Jeśli nie jest znany, można go znaleźć poprzez medianę. W trójkącie prostokątnym tylko dwa boki mają tę samą wartość. Podstawę można znaleźć poprzez twierdzenie Pitagorasa. Gdy znane są wartości wszystkich trzech boków, obliczamy obwód. Można to znaleźć korzystając ze wzoru P = a + b + c, gdzie a i b to równe boki, a c to podstawa. Przypomnijmy, że w trójkącie równoramiennym a = b = a, co oznacza a + b = 2a, wówczas P = 2a + c. Na przykład bok trójkąta równoramiennego ma 4 cm, znajdźmy jego podstawę i obwód. Wartość przeciwprostokątnej obliczamy za pomocą twierdzenia Pitagorasa, gdzie = √a 2 + b 2 = √16+16 = √32 = 5,65 cm. Teraz obliczmy obwód P = 2 ∙ 4 + 5,65 = 13,65 cm.

Jak znaleźć kąty wielokąta foremnego

Wielokąt foremny pojawia się w naszym życiu na co dzień, na przykład regularny kwadrat, trójkąt, ośmiokąt. Wydawać by się mogło, że nie ma nic prostszego niż samodzielne zbudowanie takiej figury. Ale to jest proste tylko na pierwszy rzut oka. Aby skonstruować dowolny n-kąt, musisz znać wartość jego kątów. Ale jak je znaleźć? Nawet starożytni naukowcy próbowali konstruować regularne wielokąty. Wymyślili, jak dopasować je do okręgów. Następnie zaznaczono na nim niezbędne punkty i połączono liniami prostymi. Dla prostych figur problem konstrukcyjny został rozwiązany. Uzyskano wzory i twierdzenia. Na przykład Euklides w swoim słynnym dziele „Incepcja” zajmował się rozwiązywaniem problemów dla 3-, 4-, 5-, 6- i 15-kątnych. Znalazł sposoby na ich skonstruowanie i znalezienie kątów. Przyjrzyjmy się, jak to zrobić dla 15-kątu. Najpierw musisz obliczyć sumę jego kątów wewnętrznych. Należy skorzystać ze wzoru S = 180⁰(n-2). Mamy zatem dany 15-kąt, co oznacza, że ​​liczba n wynosi 15. Podstawiamy znane nam dane do wzoru i otrzymujemy S = 180⁰(15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰. Znaleziono sumę wszystkich kątów wewnętrznych 15-kąta. Teraz musisz uzyskać wartość każdego z nich. W sumie jest 15 kątów. Obliczamy 2340⁰: 15 = 156⁰. Oznacza to, że każdy kąt wewnętrzny jest równy 156⁰, teraz za pomocą linijki i kompasu możesz skonstruować zwykły 15-kąt. Ale co z bardziej złożonymi n-gonami? Przez wiele stuleci naukowcy usiłowali rozwiązać ten problem. Został znaleziony dopiero w XVIII wieku przez Carla Friedricha Gaussa. Udało mu się skonstruować 65537-gon. Od tego czasu problem został oficjalnie uznany za całkowicie rozwiązany.

Obliczanie kątów n-gonów w radianach

Oczywiście istnieje kilka sposobów znajdowania kątów wielokątów. Najczęściej oblicza się je w stopniach. Ale można je również wyrazić w radianach. Jak to zrobić? Musisz postępować w następujący sposób. Najpierw obliczamy liczbę boków wielokąta foremnego, a następnie odejmujemy od niej 2, czyli otrzymujemy wartość: n - 2. Otrzymaną różnicę pomnóż przez liczbę n („pi” = 3,14). Teraz pozostaje tylko podzielić wynikowy iloczyn przez liczbę kątów w n-kącie. Rozważmy te obliczenia na przykładzie tego samego dziesięciokąta. Zatem liczba n wynosi 15. Zastosujmy wzór S = n(n - 2) : n = 3,14(15 - 2) : 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72. Nie jest to oczywiście jedyny sposób obliczenia kąta w radianach. Możesz po prostu podzielić kąt w stopniach przez 57,3. W końcu tyle stopni odpowiada jednemu radianowi.

Obliczanie kątów w stopniach

Oprócz stopni i radianów możesz spróbować znaleźć kąty wielokąta foremnego w stopniach. Odbywa się to w następujący sposób. Odejmij 2 od całkowitej liczby kątów i podziel uzyskaną różnicę przez liczbę boków wielokąta foremnego. Otrzymany wynik mnożymy przez 200. Nawiasem mówiąc, taka jednostka miary kątów jak stopnie praktycznie nie jest używana.

Obliczanie kątów zewnętrznych n-kątów

Dla dowolnego wielokąta foremnego, oprócz wewnętrznego, można również obliczyć kąt zewnętrzny. Jego wartość określa się w taki sam sposób, jak w przypadku innych liczb. Aby więc znaleźć kąt zewnętrzny wielokąta foremnego, musisz znać wartość kąta wewnętrznego. Ponadto wiemy, że suma tych dwóch kątów jest zawsze równa 180 stopni. Dlatego obliczenia wykonujemy w następujący sposób: 180⁰ minus wartość kąta wewnętrznego. Znajdujemy różnicę. Będzie ona równa wartości sąsiadującego z nią kąta. Na przykład kąt wewnętrzny kwadratu wynosi 90 stopni, co oznacza, że ​​​​kąt zewnętrzny będzie wynosić 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Jak widzimy, znalezienie go nie jest trudne. Kąt zewnętrzny może przyjmować wartość odpowiednio od +180⁰ do -180⁰.