Formuły mocy wykorzystywane w procesie redukcji i upraszczania złożonych wyrażeń, w rozwiązywaniu równań i nierówności.

Numer C Jest N-ta potęga liczby A Gdy:

Operacje ze stopniami.

1. Mnożąc stopnie o tej samej podstawie, ich wskaźniki sumują się:

jestemza n = za m + n .

2. W podziale stopni o tej samej podstawie ich wskaźniki są odejmowane:

3. Stopień iloczynu 2 lub więcej czynników jest równy iloczynowi stopni tych czynników:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Stopień ułamka jest równy stosunkowi stopni dywidendy i dzielnika:

(a/b) n = za n / b n .

5. Podnosząc potęgę do potęgi mnożymy wykładniki:

(am) n = za m n .

Każda powyższa formuła jest poprawna w kierunkach od lewej do prawej i odwrotnie.

Na przykład. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operacje z korzeniami.

1. Pierwiastek iloczynu kilku czynników jest równy iloczynowi pierwiastków tych czynników:

2. Pierwiastek ze stosunku jest równy stosunkowi dywidendy i dzielnikowi pierwiastków:

3. Podnosząc pierwiastek do potęgi wystarczy podnieść pierwiastek do tej potęgi:

4. Jeśli zwiększymy stopień pierwiastka w N raz i jednocześnie podnieść do N potęga jest liczbą pierwiastkową, to wartość pierwiastka nie ulegnie zmianie:

5. Jeśli zmniejszymy stopień pierwiastka w N jednocześnie rootować N stopnia od liczby pierwiastkowej, to wartość pierwiastka nie ulegnie zmianie:

Stopień z ujemnym wykładnikiem. Stopień liczby z wykładnikiem nie dodatnim (całkowitym) definiuje się jako jeden podzielony przez stopień tej samej liczby o wykładniku równym wartości bezwzględnej wykładnika nie dodatniego:

Formuła jestem:a n = a m - n może służyć nie tylko do M> N, ale także o godz M< N.

Na przykład. A4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Do formuły jestem:a n = a m - n stał się uczciwy o godz m=n, potrzebujesz obecności stopnia zero.

Stopień z wykładnikiem zerowym. Potęga dowolnej liczby niezerowej z wykładnikiem zerowym jest równa jeden.

Na przykład. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Stopień z wykładnikiem ułamkowym. Aby podnieść liczbę rzeczywistą A do pewnego stopnia m/n, musisz wyodrębnić root N stopnia M potęga tej liczby A.

Gdy liczba mnoży się sama do siebie, praca zwany stopień.

Więc 2,2 = 4, kwadrat lub druga potęga 2
2.2.2 = 8, sześcian lub trzecia potęga.
2.2.2.2 = 16, czwarty stopień.

Również 10,10 = 100, druga potęga to 10.
10.10.10 = 1000, trzeci stopień.
10.10.10.10 = 10000 czwartego stopnia.

A a.a = aa, druga potęga a
a.a.a = aaa, trzecia potęga a
aaaa = aaaa, czwarta potęga a

Oryginalny numer jest wywoływany źródło stopni tej liczby, ponieważ jest to liczba, z której stopnie zostały utworzone.

Jednak nie jest zbyt wygodne, zwłaszcza w przypadku dużych potęg, spisywanie wszystkich czynników składających się na potęgi. Dlatego stosowana jest metoda zapisu skróconego. Pierwiastek stopnia jest zapisywany tylko raz, a po prawej stronie i trochę wyżej obok, ale nieco mniejszą czcionką jest napisane, ile razy korzeń działa jako czynnik. Ten numer lub litera jest wywoływana wykładnik potęgowy Lub stopień liczby. Zatem a 2 jest równe a.a lub aa, ponieważ pierwiastek z a musi być dwukrotnie pomnożony przez siebie, aby otrzymać potęgę aa. Również 3 oznacza aaa, to znaczy tutaj a jest powtórzone trzy razy jako mnożnik.

Wykładnik pierwszej potęgi wynosi 1, ale zwykle nie jest zapisywany. Zatem 1 jest zapisywane jako a.

Nie należy mylić stopni z współczynniki. Współczynnik pokazuje, jak często przyjmuje się wartość Część cały. Wykładnik wskazuje, jak często przyjmuje się wartość czynnik w pracy.
Zatem 4a = a + a + a + a. Ale 4 = a.a.a.a

Notacja wykładnicza ma tę szczególną zaletę, że pozwala nam wyrażać nieznany stopień. W tym celu zamiast liczby zapisywany jest wykładnik list. W procesie rozwiązywania problemu możemy uzyskać wartość, która jak wiemy jest Niektóre stopień innej wielkości. Ale na razie nie wiemy, czy to kwadrat, sześcian, czy inny, wyższy stopień. Zatem w wyrażeniu a x wykładnik oznacza, że ​​to wyrażenie ma Niektóre stopień, chociaż nie jest określony jaki stopień. Zatem bm i dn są podnoszone do potęg m i n. Gdy wykładnik zostanie znaleziony, numer zastąpione literą. Więc jeśli m=3, to b m = b 3 ; ale jeśli m = 5 to b m = b 5 .

Ogromną zaletą podczas użytkowania jest również sposób zapisywania wartości z wykładnikami wyrażenia. Zatem (a + b + d) 3 to (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), czyli sześcian trójmianu (a + b + d) . Ale jeśli zapiszemy to wyrażenie po podziale na kostki, będzie to wyglądać
za 3 + 3a 2 b + 3a 2 re + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + re 3 .

Jeśli weźmiemy szereg potęg, których wykładniki rosną lub maleją o 1, okazuje się, że iloczyn rośnie o wspólny czynnik lub pomniejszony o wspólny dzielnik, a ten czynnik lub dzielnik jest pierwotną liczbą podniesioną do potęgi.

A więc w szeregu aaaaa, aaaa, aaa, aa, a;
lub 5, 4, 3, 2, 1;
wskaźniki, liczone od prawej do lewej, to 1, 2, 3, 4, 5; a różnica między ich wartościami wynosi 1. Jeśli zaczniemy po prawej zwielokrotniać na a, z powodzeniem uzyskamy wiele wartości.

Więc a.a = a 2 , drugi wyraz. A 3 .a = a 4
a 2 .a = a 3 , trzeci wyraz. za 4 . za = za 5 .

Jeśli zaczniemy lewy dzielić na,
otrzymujemy 5:a = a 4 i a 3:a = a 2 .
za 4: za = za 3 za 2: za = za 1

Ale taki proces podziału można kontynuować dalej i otrzymujemy nowy zestaw wartości.

Zatem a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.

Pełny rząd będzie wyglądał następująco: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.

Albo a 5 , a 4 , a 3 , a 2 , a, 1, 1/a, 1/a 2 , 1/a 3 .

Tutaj wartości po prawej z jednostki jest odwracać wartości na lewo od jednego. Dlatego te stopnie można nazwać potęgi odwrotne A. Można też powiedzieć, że potęgi po lewej stronie są odwrotnością potęg po prawej stronie.

Zatem 1:(1/a) = 1.(a/1) = a. I 1:(1/a 3) = a 3 .

Można zastosować ten sam plan nagrywania wielomiany. Zatem dla a + b otrzymujemy zbiór,
(a + b) 3 , (a + b) 2 , (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b) 2 , 1/(a + b) 3 .

Dla wygody stosuje się inną formę zapisu potęg odwrotnych.

Zgodnie z tą postacią 1/a lub 1/a 1 = a -1 . A 1/aaa lub 1/a 3 = a -3 .
1/aa lub 1/a 2 = za -2 . 1/aaaa lub 1/a 4 = a -4 .

Aby wykładniki były kompletne z 1 jako całkowitą różnicą, a/a lub 1, jest uważane za takie, które nie ma stopnia i jest zapisywane jako 0 .

Następnie, biorąc pod uwagę potęgę bezpośrednią i odwrotną
zamiast aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa
możesz napisać 4 , a 3 , a 2 , a 1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
Albo +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .

A seria tylko oddzielnie zdobytych stopni będzie miała postać:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

Rdzeń stopnia można wyrazić za pomocą więcej niż jednej litery.

Zatem aa.aa lub (aa) 2 jest drugą potęgą aa.
A aa.aa.aa lub (aa) 3 to trzecia potęga aa.

Wszystkie stopnie liczby 1 są takie same: 1.1 lub 1.1.1. będzie równy 1.

Potęgowanie polega na znalezieniu wartości dowolnej liczby przez pomnożenie tej liczby przez samą siebie. Reguła potęgowania:

Pomnóż wartość przez siebie tyle razy, ile wskazuje potęga liczby.

Ta zasada jest wspólna dla wszystkich przykładów, które mogą pojawić się w procesie potęgowania. Ale poprawne będzie wyjaśnienie, w jaki sposób odnosi się to do konkretnych przypadków.

Jeśli tylko jeden składnik jest podniesiony do potęgi, to jest on mnożony przez siebie tyle razy, ile wskazuje wykładnik.

Czwarta potęga a to 4 lub aaaa. (art. 195.)
Szósta potęga y to y 6 lub yyyyyy.
N-tą potęgą x jest x n lub xxx..... n razy powtórzone.

Jeśli konieczne jest podniesienie wyrażenia kilku wyrazów do potęgi, obowiązuje zasada, że stopień iloczynu kilku czynników jest równy iloczynowi tych czynników podniesionemu do potęgi.

Więc (ay) 2 = a 2 y 2 ; (ay) 2 = ay.ay.
Ale ay.ay = ay = aayy = a 2 y 2 .
Zatem (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3 .

Dlatego też, znajdując stopień iloczynu, możemy albo operować na całym produkcie na raz, albo możemy operować na każdym czynniku z osobna, a następnie mnożyć ich wartości przez stopnie.

Przykład 1. Czwarta potęga dhy to (dhy) 4 lub d 4 h 4 y 4 .

Przykład 2. Trzecia potęga liczby 4b to (4b) 3 lub 4 3 b 3 lub 64b 3 .

Przykład 3. n-tą potęgą liczby 6ad jest (6ad) n lub 6 n i d n .

Przykład 4. Trzecia potęga 3m.2y to (3m.2y) 3 , czyli 27m 3 .8y 3 .

Stopień dwumianu, składającego się z wyrazów połączonych znakami + i -, oblicza się mnożąc jego wyrazy. Tak,

(a + b) 1 = a + b, pierwsza potęga.
(a + b) 1 = za 2 + 2ab + b 2 , druga potęga (a + b).
(a + b) 3 \u003d za 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, trzeci stopień.
(a + b) 4 \u003d za 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4, czwarty stopień.

Kwadrat a - b, jest 2 - 2ab + b 2 .

Kwadrat a + b + h to a 2 + 2ab + 2ah + b 2 + 2bh + h 2

Ćwiczenie 1. Znajdź sześcian a + 2d + 3

Ćwiczenie 2. Znajdź czwartą potęgę b + 2.

Ćwiczenie 3. Znajdź piątą potęgę x + 1.

Ćwiczenie 4. Znajdź szósty stopień 1 - b.

Suma kwadratów kwoty I różnica Dwumiany są tak powszechne w algebrze, że konieczna jest ich bardzo dobra znajomość.

Jeśli pomnożymy a + h przez siebie lub a - h przez siebie,
otrzymujemy: (a + h)(a + h) = a 2 + 2ah + h 2 również, (a - h)(a - h) = a 2 - 2ah + h 2 .

To pokazuje, że w każdym przypadku pierwszy i ostatni wyraz to kwadraty a i h, a środkowy wyraz to dwukrotność iloczynu a i h. Stąd kwadrat sumy i różnicy dwumianów można znaleźć za pomocą następującej reguły.

Kwadrat dwumianu, z których oba są dodatnie, jest równy kwadratowi pierwszego wyrazu + dwukrotność iloczynu obu wyrazów + kwadrat ostatniego wyrazu.

Kwadrat różnica dwumian jest równy kwadratowi pierwszego wyrazu minus dwukrotność iloczynu obu wyrazów plus kwadrat drugiego wyrazu.

Przykład 1. Kwadrat 2a + b, jest 4a 2 + 4ab + b 2 .

Przykład 2. Kwadrat ab + cd to a 2 b 2 + 2abcd + c 2 d 2 .

Przykład 3. Kwadrat 3d - h to 9d 2 + 6dh + h 2 .

Przykład 4. Kwadrat a - 1 to a 2 - 2a + 1.

Aby zapoznać się z metodą znajdowania wyższych potęg dwumianów, zobacz poniższe sekcje.

W wielu przypadkach skuteczne jest pisanie stopień bez mnożenia.

Zatem kwadrat a + b to (a + b) 2 .
n-tą potęgą bc + 8 + x jest (bc + 8 + x) n

W takich przypadkach wsporniki zakrywają Wszystko członków pod stopniem.

Ale jeśli pierwiastek stopnia składa się z kilku mnożniki, nawiasy mogą obejmować całe wyrażenie lub mogą być stosowane oddzielnie do czynników, w zależności od wygody.

Zatem kwadrat (a + b)(c + d) to albo [(a + b).(c + d)] 2 albo (a + b) 2 .(c + d) 2 .

Dla pierwszego z tych wyrażeń wynikiem jest kwadrat iloczynu dwóch czynników, a dla drugiego iloczyn ich kwadratów. Ale są sobie równi.

Sześcian a.(b + d) to 3 , czyli a 3 .(b + d) 3 .

Należy również wziąć pod uwagę znak przed zaangażowanymi członkami. Bardzo ważne jest, aby pamiętać, że gdy pierwiastek potęgi jest dodatni, wszystkie jej dodatnie potęgi są również dodatnie. Ale kiedy pierwiastek jest ujemny, wartości od dziwne potęgi są ujemne, a wartości nawet stopnie są dodatnie.

Druga potęga (-a) to +a2
Trzeci stopień (-a) to -a 3
Czwarta potęga (-a) to +a 4
Piąta potęga (-a) to -a 5

Stąd jakikolwiek dziwne wykładnik ma ten sam znak co liczba. Ale nawet stopień jest dodatni, niezależnie od tego, czy liczba ma znak ujemny, czy dodatni.
Zatem +a.+a = +a 2
I -a.-a = +a 2

Wartość już podniesiona do potęgi jest ponownie podnoszona do potęgi przez pomnożenie wykładników.

Trzecia potęga liczby 2 to a 2,3 = a 6 .

Dla a 2 = aa; sześcian aa to aa.aa.aa = aaaaaa = a 6 ; która jest szóstą potęgą a, ale trzecią potęgą a 2 .

Czwarta potęga a 3 b 2 to a 3,4 b 2,4 = a 12 b 8

Trzecia potęga 4a 2 x to 64a 6 x 3 .

Piąta potęga (a + b) 2 to (a + b) 10 .

N-tą potęgą liczby 3 jest liczba 3n

N-tą potęgą (x - y) m jest (x - y) mn

(a 3 .b 3) 2 = za 6 .b 6

(a 3 b 2 godz 4) 3 = za 9 b 6 godz 12

Zasada dotyczy w równym stopniu negatywny stopni.

Przykład 1. Trzecia potęga a -2 to a -3,3 = a -6 .

Dla a -2 = 1/aa i trzecia potęga tego
(1/aa).(1/aa).(1/aa) = 1/aaaaa = 1/a 6 = a -6

Czwarta potęga a 2 b -3 to a 8 b -12 lub a 8 / b 12 .

Kwadrat b 3 x -1 to b 6 x -2 .

N-ta potęga ax -m to x -mn lub 1/x .

Należy jednak tutaj pamiętać, że jeśli znak poprzedni stopień to „-”, to należy go zmienić na „+”, gdy stopień jest liczbą parzystą.

Przykład 1. Kwadrat -a 3 to +a 6 . Kwadrat -a 3 to -a 3 .-a 3 , co zgodnie z regułami znaków mnożenia wynosi +a 6 .

2. Ale sześcian -a 3 to -a 9 . Dla -a 3 .-a 3 .-a 3 = -a 9 .

3. N-tą potęgą -a 3 jest 3n .

Tutaj wynik może być dodatni lub ujemny w zależności od tego, czy n jest parzyste, czy nieparzyste.

Jeśli frakcja podniesione do potęgi licznik i mianownik są podniesione do potęgi.

Kwadrat a/b to a 2 /b 2 . Zgodnie z zasadą mnożenia ułamków
(a/b)(a/b) = aa/bb = a 2 b 2

Druga, trzecia i n-ta potęga 1/a to 1/a 2 , 1/a 3 i 1/a n .

Przykłady dwumiany gdzie jeden z wyrazów jest ułamkiem.

1. Znajdź kwadrat x + 1/2 i x - 1/2.
(x + 1/2) 2 = x 2 + 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 + x + 1/4
(x - 1/2) 2 = x 2 - 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 - x + 1/4

2. Kwadrat a + 2/3 to a 2 + 4a/3 + 4/9.

3. Kwadrat x + b/2 = x 2 + bx + b 2/4.

4 Kwadrat x - b/m to x 2 - 2bx/m + b 2 /m 2 .

Wcześniej było to pokazane współczynnik ułamkowy można przenieść z licznika do mianownika lub z mianownika do licznika. Korzystając ze schematu zapisywania potęg odwrotnych, można to zauważyć dowolny mnożnik można również przesuwać jeśli znak stopnia zostanie zmieniony.

Tak więc w ułamku ax -2 /y możemy przesunąć x z licznika do mianownika.
Wtedy ax -2 /y = (a/y).x -2 = (a/y).(1/x 2 = a/yx 2 .

W ułamku a/o 3 możemy przenieść y z mianownika do licznika.
Wtedy a/o 2 = (a/b).(1/y 3) = (a/b).y -3 = ay -3 /b.

W ten sam sposób możemy przenieść czynnik o wykładniku dodatnim do licznika lub czynnik o wykładniku ujemnym do mianownika.

Więc topór 3 / b = a / bx -3 . Dla x 3 odwrotnością jest x -3 , czyli x 3 = 1/x -3 .

Dlatego mianownik dowolnego ułamka można całkowicie usunąć lub licznik można zredukować do jednego bez zmiany znaczenia wyrażenia.

Zatem a/b = 1/ba -1 , czyli ab -1 .

Jeśli nie zwrócimy uwagi na ósmy stopień, co tu widzimy? Przyjrzyjmy się programowi 7. klasy. Więc pamiętaj? To jest skrócona formuła mnożenia, a mianowicie różnica kwadratów! Otrzymujemy:

Uważnie patrzymy na mianownik. Wygląda bardzo podobnie do jednego z czynników licznika, ale co jest nie tak? Zła kolejność warunków. Gdyby zostały zamienione, reguła mogłaby obowiązywać.

Ale jak to zrobić? Okazuje się, że jest to bardzo proste: pomaga nam tutaj parzysty stopień mianownika.

Warunki magicznie zamieniły się miejscami. To „zjawisko” dotyczy każdego wyrażenia w stopniu parzystym: możemy dowolnie zmieniać znaki w nawiasach.

Ale ważne jest, aby pamiętać: wszystkie znaki zmieniają się w tym samym czasie!

Wróćmy do przykładu:

I znowu formuła:

cały nazywamy liczby naturalne, ich przeciwieństwa (to znaczy wzięte ze znakiem „”) i liczbę.

Dodatnia liczba całkowita, i nie różni się niczym od naturalnego, to wszystko wygląda dokładnie tak, jak w poprzedniej sekcji.

Teraz spójrzmy na nowe przypadki. Zacznijmy od wskaźnika równego.

Każda liczba do potęgi zerowej jest równa jeden:

Jak zawsze zadajemy sobie pytanie: dlaczego tak jest?

Rozważmy pewną moc z podstawą. Weźmy na przykład i pomnóżmy przez:

Więc pomnożyliśmy liczbę przez i otrzymaliśmy to samo, co było -. Przez jaką liczbę należy pomnożyć, aby nic się nie zmieniło? Właśnie, wł. Oznacza.

To samo możemy zrobić z dowolną liczbą:

Powtórzmy regułę:

Każda liczba do potęgi zerowej jest równa jeden.

Ale są wyjątki od wielu reguł. I tutaj też jest - to jest liczba (jako podstawa).

Z jednej strony musi być równy dowolnemu stopniowi - bez względu na to, jak bardzo pomnożysz zero przez siebie, nadal otrzymasz zero, to jasne. Ale z drugiej strony, jak każda liczba do stopnia zerowego, musi być równa. Więc jaka jest w tym prawda? Matematycy postanowili się nie angażować i odmówili podniesienia zera do potęgi zerowej. Oznacza to, że teraz możemy nie tylko dzielić przez zero, ale także podnosić go do potęgi zerowej.

Idźmy dalej. Oprócz liczb naturalnych i liczb, liczby całkowite obejmują liczby ujemne. Aby zrozumieć, czym jest stopień ujemny, zróbmy to samo, co poprzednio: mnożymy pewną liczbę normalną przez to samo w stopniu ujemnym:

Stąd już łatwo jest wyrazić pożądane:

Teraz rozszerzymy wynikową regułę w dowolnym stopniu:

Sformułujmy więc regułę:

Liczba do potęgi ujemnej jest odwrotnością tej samej liczby do potęgi dodatniej. Ale w tym samym czasie podstawa nie może być pusta:(bo nie da się podzielić).

Podsumujmy:

I. Wyrażenie nie jest zdefiniowane w przypadku. Jeśli następnie.

II. Każda liczba do potęgi zerowej jest równa jeden: .

III. Liczba, która nie jest równa zero do potęgi ujemnej, jest odwrotnością tej samej liczby do potęgi dodatniej: .

Zadania do samodzielnego rozwiązania:

Cóż, jak zwykle, przykłady niezależnego rozwiązania:

Analiza zadań do samodzielnego rozwiązania:

Wiem, wiem, liczby przerażają, ale na egzaminie trzeba być przygotowanym na wszystko! Rozwiąż te przykłady lub przeanalizuj ich rozwiązanie, jeśli nie mogłeś ich rozwiązać, a nauczysz się, jak łatwo sobie z nimi poradzić na egzaminie!

Kontynuujmy rozszerzanie zakresu liczb „odpowiednich” jako wykładnik.

Teraz rozważ liczby wymierne. Jakie liczby nazywamy wymiernymi?

Odpowiedź: wszystko, co można przedstawić jako ułamek, gdzie i są zresztą liczbami całkowitymi.

Aby zrozumieć, co jest „stopień ułamkowy” Rozważmy ułamek:

Podnieśmy obie strony równania do potęgi:

Teraz zapamiętaj zasadę „stopień do stopnia”:

Jaką liczbę należy podnieść do potęgi, aby otrzymać?

To sformułowanie jest definicją pierwiastka stopnia.

Przypomnę: pierwiastek z potęgi liczby () to liczba, która podniesiona do potęgi jest równa.

Oznacza to, że pierwiastek stopnia jest odwrotną operacją potęgowania: .

Okazało się, że. Oczywiście ten szczególny przypadek można rozszerzyć: .

Teraz dodaj licznik: co to jest? Odpowiedź jest łatwa do uzyskania dzięki zasadzie mocy do władzy:

Ale czy podstawą może być dowolna liczba? W końcu nie można wyodrębnić korzenia ze wszystkich liczb.

Nic!

Pamiętaj o zasadzie: każda liczba podniesiona do potęgi parzystej jest liczbą dodatnią. Oznacza to, że niemożliwe jest wyodrębnienie pierwiastków parzystego stopnia z liczb ujemnych!

A to oznacza, że ​​\u200b\u200btakich liczb nie można podnieść do potęgi ułamkowej z parzystym mianownikiem, to znaczy wyrażenie nie ma sensu.

A co z ekspresją?

Ale tutaj pojawia się problem.

Liczbę można przedstawić jako inne, zredukowane ułamki, na przykład lub.

I okazuje się, że istnieje, ale nie istnieje, a to tylko dwa różne zapisy o tej samej liczbie.

Albo inny przykład: raz, potem możesz to zapisać. Ale gdy tylko zapiszemy wskaźnik w inny sposób, znowu mamy kłopoty: (to znaczy otrzymaliśmy zupełnie inny wynik!).

Aby uniknąć takich paradoksów, rozważ tylko dodatni wykładnik podstawowy z wykładnikiem ułamkowym.

Więc jeśli:

• - Liczba naturalna;
• jest liczbą całkowitą;

Przykłady:

Potęgi z wykładnikiem wymiernym są bardzo przydatne do przekształcania wyrażeń z pierwiastkami, na przykład:

5 praktycznych przykładów

Analiza 5 przykładów do treningu

1. Nie zapomnij o zwykłych właściwościach stopni:

2. . Tutaj przypominamy sobie, że zapomnieliśmy nauczyć się tabeli stopni:

przecież - to albo. Rozwiązanie znajduje się automatycznie: .

Cóż, teraz - najtrudniejsze. Teraz będziemy analizować stopień z niewymiernym wykładnikiem.

Wszystkie zasady i właściwości stopni tutaj są dokładnie takie same jak dla stopni z wykładnikiem wymiernym, z wyjątkiem

Rzeczywiście, z definicji liczby niewymierne to liczby, których nie można przedstawić jako ułamek, gdzie i są liczbami całkowitymi (to znaczy wszystkie liczby niewymierne są liczbami rzeczywistymi z wyjątkiem liczb wymiernych).

Studiując stopnie ze wskaźnikiem naturalnym, całkowitym i wymiernym, za każdym razem tworzyliśmy pewien „obraz”, „analogię” lub opis w bardziej znanych terminach.

Na przykład wykładnik naturalny to liczba pomnożona przez siebie kilka razy;

...zerowa moc- jest to niejako liczba pomnożona przez siebie raz, to znaczy jeszcze się nie zaczęła mnożyć, co oznacza, że ​​\u200b\u200bsama liczba jeszcze się nie pojawiła - dlatego wynikiem jest tylko pewna „liczba pusta” , a mianowicie liczba;

...ujemny wykładnik całkowity- to tak, jakby miał miejsce pewien „proces odwrotny”, to znaczy liczba nie została pomnożona przez siebie, ale podzielona.

Nawiasem mówiąc, nauka często używa stopnia ze złożonym wykładnikiem, to znaczy wykładnik nie jest nawet liczbą rzeczywistą.

Ale w szkole nie myślimy o takich trudnościach, będziesz miał okazję zrozumieć te nowe koncepcje w instytucie.

GDZIE JESTEŚMY PEWNI, ŻE POJEDZIESZ! (jeśli nauczysz się rozwiązywać takie przykłady :))

Na przykład:

Zdecyduj sam:

Analiza rozwiązań:

1. Zacznijmy od już zwykłej zasady podnoszenia stopnia do stopnia:

Teraz spójrz na wynik. Czy on ci coś przypomina? Przypominamy wzór na skrócone mnożenie różnicy kwadratów:

W tym przypadku,

Okazało się, że:

Odpowiedź: .

2. Doprowadzamy ułamki w wykładnikach do tej samej postaci: albo dziesiętnej, albo zwykłej. Otrzymujemy np.:

Odpowiedź: 16

3. Nic specjalnego, stosujemy zwykłe właściwości stopni:

POZIOM ZAAWANSOWANY

Definicja stopnia

Stopień jest wyrażeniem postaci: , gdzie:

• — podstawa stopnia;
• - wykładnik.

Stopień z naturalnym wykładnikiem (n = 1, 2, 3,...)

Podniesienie liczby do potęgi naturalnej n oznacza pomnożenie liczby przez samą siebie razy:

Potęga z wykładnikiem całkowitym (0, ±1, ±2,...)

Jeśli wykładnik jest Dodatnia liczba całkowita numer:

erekcja do zerowej mocy:

Wyrażenie jest nieokreślone, ponieważ z jednej strony w jakimkolwiek stopniu to jest to, a z drugiej strony dowolna liczba do tego stopnia jest tym.

Jeśli wykładnik jest liczba całkowita ujemna numer:

(bo nie da się podzielić).

Jeszcze raz o wartościach zerowych: wyrażenie nie jest zdefiniowane w przypadku. Jeśli następnie.

Przykłady:

Stopień z wykładnikiem wymiernym

• - Liczba naturalna;
• jest liczbą całkowitą;

Przykłady:

Właściwości stopnia

Aby ułatwić rozwiązywanie problemów, spróbujmy zrozumieć: skąd wzięły się te właściwości? Udowodnijmy je.

Zobaczmy: co jest i?

A-priorytet:

Tak więc po prawej stronie tego wyrażenia otrzymuje się następujący produkt:

Ale z definicji jest to potęga liczby z wykładnikiem, czyli:

co było do okazania

Przykład : Uprość wyrażenie.

Rozwiązanie : .

Przykład : Uprość wyrażenie.

Rozwiązanie : Należy zauważyć, że w naszej regule Koniecznie musi mieć tę samą podstawę. Dlatego łączymy stopnie z podstawą, ale pozostajemy osobnym czynnikiem:

Kolejna ważna uwaga: ta zasada - tylko dla iloczynów potęg!

W żadnym wypadku nie powinienem tak pisać.

Podobnie jak w przypadku poprzedniej własności, przejdźmy do definicji stopnia:

Przeorganizujmy to tak:

Okazuje się, że wyrażenie jest mnożone przez siebie raz, czyli zgodnie z definicją jest to -ta potęga liczby:

W rzeczywistości można to nazwać „ujęciem wskaźnika w nawias”. Ale nigdy nie możesz tego zrobić w całości:!

Przypomnijmy sobie wzory na skrócone mnożenie: ile razy chcieliśmy napisać? Ale to nieprawda, naprawdę.

Potęga o ujemnej podstawie.

Do tego momentu dyskutowaliśmy tylko o tym, co powinno być indeks stopień. Ale co powinno być podstawą? W stopniach od naturalny wskaźnik podstawa może być Jakikolwiek numer .

Rzeczywiście, możemy pomnożyć przez siebie dowolną liczbę, niezależnie od tego, czy są one dodatnie, ujemne, czy nawet. Zastanówmy się, jakie znaki („” lub „”) będą miały stopnie liczb dodatnich i ujemnych?

Na przykład, czy liczba będzie dodatnia czy ujemna? A? ?

Z pierwszym wszystko jest jasne: bez względu na to, ile liczb dodatnich pomnożymy ze sobą, wynik będzie dodatni.

Ale te negatywne są trochę bardziej interesujące. Przecież pamiętamy prostą zasadę z 6 klasy: „minus razy minus daje plus”. To znaczy lub. Ale jeśli pomnożymy przez (), otrzymamy -.

I tak w nieskończoność: z każdym kolejnym mnożeniem znak będzie się zmieniał. Możesz sformułować te proste zasady:

1. nawet stopień, - liczba pozytywny.
2. Liczba ujemna podniesiona do dziwne stopień, - liczba negatywny.
3. Liczba dodatnia podniesiona do dowolnej potęgi jest liczbą dodatnią.
4. Zero do dowolnej potęgi jest równe zeru.

Ustal sam, jaki znak będą miały następujące wyrażenia:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Czy udało Ci się? Oto odpowiedzi:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Mam nadzieję, że w pierwszych czterech przykładach wszystko jest jasne? Po prostu patrzymy na podstawę i wykładnik i stosujemy odpowiednią regułę.

W przykładzie 5) wszystko też nie jest tak przerażające, jak się wydaje: nie ma znaczenia, jaka jest podstawa - stopień jest równy, co oznacza, że ​​\u200b\u200bwynik zawsze będzie dodatni. No chyba, że ​​podstawa wynosi zero. Baza nie jest taka sama, prawda? Oczywiście, że nie, ponieważ (ponieważ).

Przykład 6) nie jest już taki prosty. Tutaj musisz dowiedzieć się, co jest mniejsze: czy? Jeśli to pamiętasz, staje się jasne, że oznacza to, że podstawa jest mniejsza od zera. Oznacza to, że stosujemy zasadę 2: wynik będzie ujemny.

I znowu używamy definicji stopnia:

Wszystko jest jak zwykle - zapisujemy definicję stopni i dzielimy je między sobą, dzielimy na pary i otrzymujemy:

Zanim przeanalizujemy ostatnią regułę, rozwiążmy kilka przykładów.

Oblicz wartości wyrażeń:

Rozwiązania :

Jeśli nie zwrócimy uwagi na ósmy stopień, co tu widzimy? Przyjrzyjmy się programowi 7. klasy. Więc pamiętaj? To jest skrócona formuła mnożenia, a mianowicie różnica kwadratów!

Otrzymujemy:

Uważnie patrzymy na mianownik. Wygląda bardzo podobnie do jednego z czynników licznika, ale co jest nie tak? Zła kolejność warunków. Gdyby zostały odwrócone, można by zastosować regułę 3. Ale jak to zrobić? Okazuje się, że jest to bardzo proste: pomaga nam tutaj parzysty stopień mianownika.

Jeśli pomnożysz to przez, nic się nie zmieni, prawda? Ale teraz wygląda to tak:

Warunki magicznie zamieniły się miejscami. To „zjawisko” dotyczy każdego wyrażenia w stopniu parzystym: możemy dowolnie zmieniać znaki w nawiasach. Ale ważne jest, aby pamiętać: wszystkie znaki zmieniają się w tym samym czasie! Nie można tego zastąpić, zmieniając tylko jeden budzący zastrzeżenia minus dla nas!

Wróćmy do przykładu:

I znowu formuła:

A teraz ostatnia zasada:

Jak to udowodnimy? Oczywiście, jak zwykle: rozwińmy pojęcie stopnia i uprośćmy:

Cóż, teraz otwórzmy nawiasy. Ile będzie liter? razy przez mnożniki - jak to wygląda? To nic innego jak definicja operacji mnożenie: suma okazała się mnożnikami. Oznacza to, że z definicji jest to potęga liczby z wykładnikiem:

Przykład:

Stopień z niewymiernym wykładnikiem

Oprócz informacji o stopniach dla średniego poziomu przeanalizujemy stopień z irracjonalnym wskaźnikiem. Wszystkie zasady i właściwości stopni są tutaj dokładnie takie same jak dla stopnia z wykładnikiem wymiernym, z wyjątkiem - w końcu z definicji liczby niewymierne to liczby, których nie można przedstawić jako ułamek, gdzie i są liczbami całkowitymi (czyli , wszystkie liczby niewymierne są liczbami rzeczywistymi z wyjątkiem liczb wymiernych).

Studiując stopnie ze wskaźnikiem naturalnym, całkowitym i wymiernym, za każdym razem tworzyliśmy pewien „obraz”, „analogię” lub opis w bardziej znanych terminach. Na przykład wykładnik naturalny to liczba pomnożona przez siebie kilka razy; liczba do stopnia zerowego jest niejako liczbą pomnożoną przez samą siebie raz, to znaczy jeszcze się nie zaczęła mnożyć, co oznacza, że ​​sama liczba jeszcze się nawet nie pojawiła – zatem wynik jest tylko pewne „przygotowanie liczby”, a mianowicie liczby; stopień z całkowitym ujemnym wskaźnikiem - to tak, jakby nastąpił pewien „proces odwrotny”, to znaczy liczba nie została pomnożona przez siebie, ale podzielona.

Niezwykle trudno jest wyobrazić sobie stopień z niewymiernym wykładnikiem (tak jak trudno wyobrazić sobie przestrzeń 4-wymiarową). Jest to raczej obiekt czysto matematyczny stworzony przez matematyków w celu rozszerzenia pojęcia stopnia na całą przestrzeń liczb.

Nawiasem mówiąc, nauka często używa stopnia ze złożonym wykładnikiem, to znaczy wykładnik nie jest nawet liczbą rzeczywistą. Ale w szkole nie myślimy o takich trudnościach, będziesz miał okazję zrozumieć te nowe koncepcje w instytucie.

Co więc robimy, gdy widzimy niewymierny wykładnik? Robimy wszystko, żeby się go pozbyć! :)

Na przykład:

Zdecyduj sam:

1)

2)

3)

Odpowiedzi:

1. Zapamiętaj wzór na różnicę kwadratów. Odpowiedź: .
2. Doprowadzamy ułamki do tej samej postaci: albo oba ułamki dziesiętne, albo oba zwykłe. Otrzymujemy np.: .
3. Nic specjalnego, stosujemy zwykłe właściwości stopni:

PODSUMOWANIE ROZDZIAŁU I PODSTAWOWA FORMUŁA

Stopień nazywa się wyrażeniem postaci: , gdzie:

Stopień z wykładnikiem całkowitym

stopień, którego wykładnikiem jest liczba naturalna (tj. całkowita i dodatnia).

Stopień z wykładnikiem wymiernym

stopień, którego wskaźnikiem są liczby ujemne i ułamkowe.

Stopień z niewymiernym wykładnikiem

wykładnik, którego wykładnikiem jest nieskończony ułamek dziesiętny lub pierwiastek.

Właściwości stopnia

Cechy stopni.

• Liczba ujemna podniesiona do nawet stopień, - liczba pozytywny.
• Liczba ujemna podniesiona do dziwne stopień, - liczba negatywny.
• Liczba dodatnia podniesiona do dowolnej potęgi jest liczbą dodatnią.
• Zero jest równe dowolnej potędze.
• Każda liczba do potęgi zerowej jest równa.

TERAZ MASZ SŁOWO...

Jak ci się podoba artykuł? Daj mi znać w komentarzach poniżej, czy ci się podobało, czy nie.

Opowiedz nam o swoich doświadczeniach z właściwościami mocy.

Być może masz pytania. Lub sugestie.

Napisz w komentarzach.

I powodzenia na egzaminach!

można znaleźć za pomocą mnożenia. Na przykład: 5+5+5+5+5+5=5x6. Mówią o takim wyrażeniu, że suma równych wyrazów została złożona w iloczyn. I odwrotnie, jeśli odczytamy tę równość od prawej do lewej, otrzymamy, że rozszerzyliśmy sumę równych wyrazów. Podobnie możesz złożyć iloczyn kilku równych czynników 5x5x5x5x5x5=5 6 .

Oznacza to, że zamiast mnożyć sześć identycznych czynników 5x5x5x5x5x5, piszą 5 6 i mówią „pięć do potęgi szóstej”.

Wyrażenie 5 6 jest potęgą liczby, gdzie:

5 - podstawa stopnia;

6 - wykładnik potęgowy.

Operacje, za pomocą których iloczyn równych czynników składa się do potęgi, nazywamy potęgowanie.

Ogólnie rzecz biorąc, potęga o podstawie „a” i wykładniku „n” jest zapisywana jako

Podniesienie liczby a do potęgi n oznacza znalezienie iloczynu n czynników, z których każdy jest równy a

Jeśli podstawa stopnia „a” wynosi 1, wówczas wartość stopnia dla dowolnego naturalnego n będzie równa 1. Na przykład 1 5 \u003d 1, 1 256 \u003d 1

Jeśli podbijesz numer „a”, podbij do pierwszy stopień, to otrzymujemy samą liczbę a: za 1 = za

Jeśli podniesiesz dowolną liczbę do zero stopni, to w wyniku obliczeń otrzymujemy jeden. 0 = 1

Druga i trzecia potęga liczby są uważane za specjalne. Wymyślili dla nich nazwy: drugi stopień to tzw kwadrat liczby, trzeci - sześcian ten numer.

Każdą liczbę można podnieść do potęgi - dodatniej, ujemnej lub zerowej. Nie stosuje się jednak następujących zasad:

Po znalezieniu stopnia liczby dodatniej uzyskuje się liczbę dodatnią.

Obliczając zero w naturze, otrzymujemy zero.

x m х n = x m + n

na przykład: 7 1,7 7 - 0,9 = 7 1,7+(- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

Do podzielić potęgi o tej samej podstawie nie zmieniamy podstawy, ale odejmujemy wykładniki:

x m / x przym \u003d x m - n , Gdzie, m > rz

np.: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6

podczas obliczania potęgowanie Nie zmieniamy podstawy, ale wykładniki mnożymy przez siebie.

(o godz )N = y m N

na przykład: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · y) rz = x rz · M ,

na przykład: (2 3) 3 = 2 n 3 m ,

Podczas wykonywania obliczeń dla potęgowanie ułamka podnosimy licznik i mianownik ułamka do podanej potęgi

(x/y)n = x rz / y n

na przykład: (2/5) 3 = (2/5) (2/5) (2/5) = 2 3/5 3 .

Kolejność wykonywania obliczeń podczas pracy z wyrażeniami zawierającymi stopień.

Przy wykonywaniu obliczeń wyrażeń bez nawiasów, ale zawierających potęgi, w pierwszej kolejności wykonywane jest potęgowanie, następnie mnożenie i dzielenie, a dopiero potem dodawanie i odejmowanie.

Jeśli konieczne jest obliczenie wyrażenia zawierającego nawiasy, to najpierw w kolejności wskazanej powyżej wykonujemy obliczenia w nawiasach, a następnie pozostałe czynności w tej samej kolejności od lewej do prawej.

Bardzo szeroko w praktycznych obliczeniach, aby uprościć obliczenia, stosuje się gotowe tabele stopni.

Ustaliliśmy, jaki jest ogólnie stopień liczby. Teraz musimy zrozumieć, jak poprawnie to obliczyć, tj. podnieś liczby do potęgi. W tym materiale przeanalizujemy podstawowe zasady obliczania stopnia w przypadku wykładnika liczby całkowitej, naturalnej, ułamkowej, wymiernej i niewymiernej. Wszystkie definicje zostaną zilustrowane przykładami.

Pojęcie potęgowania

Zacznijmy od sformułowania podstawowych definicji.

Definicja 1

Potęgowanie jest obliczeniem wartości potęgi pewnej liczby.

Oznacza to, że słowa „obliczanie wartości stopnia” i „potęgowanie” oznaczają to samo. Zatem jeśli zadaniem jest „Podnieś liczbę 0 , 5 do piątej potęgi”, należy przez to rozumieć „obliczyć wartość potęgi (0 , 5) 5 .

Teraz podajemy podstawowe zasady, których należy przestrzegać w takich obliczeniach.

Przypomnij sobie, czym jest potęga liczby z wykładnikiem naturalnym. Dla potęgi o podstawie a i wykładniku n będzie to iloczyn n-tej liczby czynników, z których każdy jest równy a. Można to zapisać tak:

Aby obliczyć wartość stopnia, należy wykonać operację mnożenia, czyli pomnożyć podstawy stopnia określoną liczbę razy. Sama koncepcja stopnia z naturalnym wskaźnikiem opiera się na zdolności do szybkiego mnożenia. Podajmy przykłady.

Przykład 1

Warunek: Podnieś - 2 do potęgi 4 .

Rozwiązanie

Korzystając z powyższej definicji, piszemy: (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) . Następnie wystarczy wykonać następujące kroki i uzyskać 16 .

Weźmy bardziej skomplikowany przykład.

Przykład 2

Oblicz wartość 3 2 7 2

Rozwiązanie

Ten wpis można przepisać jako 3 2 7 · 3 2 7 . Wcześniej przyjrzeliśmy się, jak poprawnie pomnożyć liczby mieszane wymienione w warunku.

Wykonaj te kroki i uzyskaj odpowiedź: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Jeśli zadanie wskazuje na konieczność podniesienia liczb niewymiernych do potęgi naturalnej, będziemy musieli najpierw zaokrąglić ich podstawy do cyfry, która pozwoli nam uzyskać odpowiedź o pożądanej dokładności. Weźmy przykład.

Przykład 3

Wykonaj podniesienie do kwadratu liczby π .

Rozwiązanie

Najpierw zaokrąglijmy to do części setnych. Wtedy π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Jeśli π ≈ 3 . 14159, to otrzymamy dokładniejszy wynik: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Należy zauważyć, że potrzeba obliczania potęg liczb niewymiernych w praktyce pojawia się stosunkowo rzadko. Możemy wtedy zapisać odpowiedź jako samą potęgę (ln 6) 3 lub przeliczyć, jeśli to możliwe: 5 7 = 125 5 .

Osobno należy wskazać, jaka jest pierwsza potęga liczby. Tutaj możesz po prostu pamiętać, że każda liczba podniesiona do pierwszej potęgi pozostanie sobą:

To wynika jasno z protokołu. .

To nie zależy od podstawy stopnia.

Przykład 4

Zatem (− 9) 1 = − 9 , a 7 3 podniesione do pierwszej potęgi pozostaje równe 7 3 .

Dla wygody przeanalizujemy osobno trzy przypadki: jeśli wykładnik jest dodatnią liczbą całkowitą, jeśli jest równy zero i jeśli jest ujemną liczbą całkowitą.

W pierwszym przypadku jest to to samo, co podniesienie do potęgi naturalnej: w końcu liczby całkowite dodatnie należą do zbioru liczb naturalnych. Powyżej opisaliśmy, jak pracować z takimi stopniami.

Zobaczmy teraz, jak prawidłowo podnieść do potęgi zerowej. W przypadku podstawy, która jest różna od zera, to obliczenie zawsze daje wynik 1 . Wyjaśniliśmy wcześniej, że zerowa potęga a może być zdefiniowana dla dowolnej liczby rzeczywistej różnej od 0 , a 0 = 1 .

Przykład 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - nie określono.

Pozostaje nam tylko przypadek stopnia z ujemnym wykładnikiem całkowitym. Omówiliśmy już, że takie stopnie można zapisać jako ułamek 1 a z, gdzie a jest dowolną liczbą, a z jest ujemną liczbą całkowitą. Widzimy, że mianownik tego ułamka to nic innego jak zwykły stopień z dodatnią liczbą całkowitą i nauczyliśmy się już go obliczać. Podajmy przykłady zadań.

Przykład 6

Podnieś 2 do potęgi -3.

Rozwiązanie

Korzystając z powyższej definicji, piszemy: 2 - 3 = 1 2 3

Obliczamy mianownik tej frakcji i otrzymujemy 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.

Wtedy odpowiedź brzmi: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Przykład 7

Podnieś 1, 43 do potęgi -2.

Rozwiązanie

Przeformułuj: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

Obliczamy kwadrat w mianowniku: 1,43 1,43. Ułamki dziesiętne można mnożyć w następujący sposób:

W rezultacie otrzymaliśmy (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2 , 0449 . Pozostaje nam zapisać ten wynik w postaci zwykłego ułamka, dla którego konieczne jest pomnożenie go przez 10 tysięcy (patrz materiał dotyczący konwersji ułamków).

Odpowiedź: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Osobnym przypadkiem jest podniesienie liczby do minus pierwszej potęgi. Wartość takiego stopnia jest równa liczbie przeciwnej do pierwotnej wartości podstawy: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.

Przykład 8

Przykład: 3 - 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Jak podnieść liczbę do potęgi ułamkowej

Aby wykonać taką operację, musimy przypomnieć podstawową definicję stopnia z wykładnikiem ułamkowym: a m n \u003d a m n dla dowolnego dodatniego a, liczby całkowitej m i naturalnej n.

Definicja 2

Zatem obliczenie stopnia ułamkowego należy wykonać w dwóch krokach: podniesienie do potęgi całkowitej i znalezienie pierwiastka n-tego stopnia.

Mamy równość a m n = a m n , która, biorąc pod uwagę właściwości pierwiastków, jest zwykle używana do rozwiązywania problemów w postaci a m n = a n m . Oznacza to, że jeśli podniesiemy liczbę a do potęgi ułamkowej m/n, to najpierw wyodrębnimy pierwiastek n-tego stopnia z a, a następnie wynik podniesiemy do potęgi o wykładniku całkowitym m.

Zilustrujmy to przykładem.

Przykład 9

Oblicz 8 - 2 3 .

Rozwiązanie

Metoda 1. Zgodnie z podstawową definicją możemy to przedstawić jako: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

Teraz obliczmy stopień pod pierwiastkiem i wyodrębnijmy trzeci pierwiastek z wyniku: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Metoda 2. Przekształćmy podstawową równość: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

Następnie wyodrębniamy pierwiastek 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 i podnosimy wynik do kwadratu: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Widzimy, że rozwiązania są identyczne. Możesz użyć dowolnego sposobu.

Zdarzają się przypadki, gdy stopień ma wskaźnik wyrażony jako liczba mieszana lub ułamek dziesiętny. Dla ułatwienia obliczeń lepiej zastąpić go zwykłym ułamkiem i policzyć, jak wskazano powyżej.

Przykład 10

Podnieś 44,89 do potęgi 2,5.

Rozwiązanie

Zamieńmy wartość wskaźnika na ułamek zwykły: 44 , 89 2 , 5 = 44 , 89 5 2 .

A teraz wykonujemy wszystkie czynności wskazane powyżej w kolejności: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501, 25107

Odpowiedź: 13501, 25107.

Jeśli w liczniku i mianowniku wykładnika ułamkowego są duże liczby, to obliczenie takich wykładników za pomocą wykładników wymiernych jest dość trudnym zadaniem. Zwykle wymaga technologii komputerowej.

Oddzielnie zajmujemy się stopniem z podstawą zerową i wykładnikiem ułamkowym. Wyrażeniu postaci 0 m n można nadać następujące znaczenie: jeżeli m n > 0, to 0 m n = 0 m n = 0 ; jeśli m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Jak podnieść liczbę do niewymiernej potęgi

Konieczność obliczenia wartości stopnia, we wskaźniku którego występuje liczba niewymierna, nie pojawia się tak często. W praktyce zadanie zwykle ogranicza się do obliczenia przybliżonej wartości (z dokładnością do określonej liczby miejsc po przecinku). Jest to zwykle obliczane na komputerze ze względu na złożoność takich obliczeń, więc nie będziemy się nad tym szczegółowo rozwodzić, wskażemy tylko główne przepisy.

Jeśli musimy obliczyć wartość stopnia a z niewymiernym wykładnikiem a , to bierzemy przybliżenie dziesiętne wykładnika i liczymy od niego. Wynik będzie przybliżoną odpowiedzią. Im dokładniejsze przybliżenie dziesiętne, tym dokładniejsza odpowiedź. Pokażmy na przykładzie:

Przykład 11

Oblicz przybliżoną wartość 2 do potęgi 1,174367....

Rozwiązanie

Ograniczamy się do przybliżenia dziesiętnego a n = 1 , 17 . Wykonajmy obliczenia używając tej liczby: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Jeśli weźmiemy na przykład przybliżenie a n = 1 , 1743 , to odpowiedź będzie trochę dokładniejsza: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1 . 1743 ≈ 2 . 256833 .

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter