Jak więcej ludzi rozumie, tym silniejsza jest chęć zrozumienia

Tomasz z Akwinu

Metoda przedziałowa pozwala rozwiązać dowolne równania zawierające moduł. Istotą tej metody jest podzielenie osi liczbowej na kilka odcinków (przedziałów) i konieczne jest podzielenie osi z zerami wyrażeń w modułach. Następnie w każdej z powstałych sekcji dowolne wyrażenie podmodułu jest dodatnie lub ujemne. Dlatego każdy z modułów można rozszerzyć albo o znak minus, albo o znak plus. Po tych działaniach pozostaje tylko rozwiązać każdy z uzyskanych proste równania na rozważanym przedziale i połączyć otrzymane odpowiedzi.

Rozważać Ta metoda na konkretnym przykładzie.

|x + 1| + |2x – 4| – |x + 3| = 2x - 6.

1) Znajdź zera wyrażeń w modułach. Aby to zrobić, przyrównujemy je do zera i rozwiązujemy powstałe równania.

x + 1 = 0 2x – 4 = 0 x + 3 = 0

x = -1 2x = 4 x = -3

2) Ułóż powstałe punkty w żądanej kolejności na linii współrzędnych. Podzielą całą oś na cztery sekcje.

3) Określmy na każdej z powstałych sekcji znaki wyrażeń w modułach. W tym celu podstawiamy w nich dowolne liczby z interesujących nas przedziałów. Jeśli wynikiem obliczeń jest liczba dodatnia, to do tabeli wstawiamy „+”, a jeśli liczba jest ujemna, to „-”. Można to zobrazować w ten sposób:

4) Teraz rozwiążemy równanie na każdym z czterech przedziałów, otwierając moduły ze znakami znajdującymi się w tabeli. Rozważmy zatem pierwszy przedział:

I przedział (-∞; -3). Na nim wszystkie moduły są otwierane znakiem „-”. Otrzymujemy następujące równanie:

-(x + 1) - (2x - 4) - (-(x + 3)) \u003d 2x - 6. Przedstawiamy podobne terminy, uprzednio otwierając nawiasy w wynikowym równaniu:

X - 1 - 2x + 4 + x + 3 = 2x - 6

Otrzymana odpowiedź nie jest wliczana do rozpatrywanego przedziału, zatem nie ma potrzeby wpisywania jej w ostatecznej odpowiedzi.

II przedział [-3; -1). W tym odstępie w tabeli znajdują się znaki „-”, „-”, „+”. W ten sposób ujawniamy moduły pierwotnego równania:

-(x + 1) - (2x - 4) - (x + 3) = 2x - 6. Uprość, rozszerzając nawiasy:

X - 1 - 2x + 4 - x - 3 \u003d 2x - 6. W wynikowym równaniu przedstawiamy co następuje:

x = 6/5. Otrzymana liczba nie należy do rozpatrywanego przedziału, więc nie jest pierwiastkiem pierwotnego równania.

III przedział [-1; 2). Otwieramy moduły pierwotnego równania znakami znajdującymi się na rysunku w trzeciej kolumnie. Otrzymujemy:

(x + 1) - (2x - 4) - (x + 3) = 2x - 6. Pozbądź się nawiasów, przesuń wyrazy zawierające zmienną x na lewą stronę równania, a niezawierające x na prawą stronę . Będzie miał:

x + 1 - 2x + 4 - x - 3 = 2x - 6

Liczba 2 nie jest wliczana do rozpatrywanego przedziału.

IV Interwał) – automatycznie uznają to za niepoprawną odpowiedź. Ponadto podczas testowania, jeśli określono nieścisłą nierówność z modułami, wówczas wśród rozwiązań szukaj obszarów z nawiasami kwadratowymi.

Na przedziale (-3; 0) rozwijając moduł zmieniamy znak funkcji na przeciwny

Uwzględniając zakres ujawnienia nierówności, rozwiązanie będzie miało postać

Razem z poprzednim obszarem da to dwa półprzedziały

Przykład 5. Znajdź rozwiązanie nierówności
9x^2-|x-3|>=9x-2

Rozwiązanie:
Podana jest nieścisła nierówność, której funkcja podmodułu jest równa zeru w punkcie x=3. Przy mniejszych wartościach jest ujemna, przy większych wartościach jest dodatnia. Rozwijamy moduł na przedziale x<3.

Znalezienie dyskryminatora równania

i korzenie

Podstawiając punkt zerowy, dowiadujemy się, że na przedziale [-1/9; 1] funkcja kwadratowa jest ujemna, zatem przedział jest rozwiązaniem. Następnie otwórz moduł dla x>3