Długość łuku cykloidy została po raz pierwszy obliczona przez angielskiego architekta i matematyka Wrena w 1658 roku. Wren wyszedł z rozważań mechanicznych, przypominających wczesne prace Torricellego i Robervala. Rozważał obrót toczącego się koła o bardzo mały kąt w pobliżu „dolnego” punktu tworzącego się koła. Aby nadać sugestywnym rozważaniom Wrena siłę dowodową, należałoby rozważyć szereg twierdzeń pomocniczych, a zatem należałoby poświęcić zbyt wiele pracy.
O wiele wygodniej jest skorzystać z dłuższej, ale łagodniejszej ścieżki. Aby to zrobić, musisz wziąć pod uwagę specjalną krzywą, którą ma każda płaska krzywa - jej rozciągnięcie.
Rozważ wypukły łuk AB zakrzywionej linii (ryc. 4.1). Wyobraźmy sobie, że giętka nierozciągliwa nić o takiej samej długości jak sam łuk AB jest przymocowana do łuku AB w punkcie A i ta nić jest „nawinięta” na krzywą i przylega do niej ciasno, tak że jej koniec pokrywa się z punktem B Będziemy „rozwijać” - wyprostować nić, trzymając ją napiętą, tak aby wolna część nici CM była zawsze skierowana stycznie do łuku AB. W tych warunkach koniec gwintu będzie opisywał pewną krzywiznę. To właśnie ta krzywa nazywa się przeciągnięciem lub po łacinie spiralny oryginalna krzywa.
Jeżeli łuk krzywej nie jest wszędzie wypukły w jednym kierunku, jeżeli podobnie jak krzywa AB na ryc. 4.2 ma punkt C, w którym styczna do krzywej przechodzi z jednej strony na drugą (taki punkt nazywamy punktem przegięcia), to w tym przypadku też możemy mówić o rozwoju krzywej, ale rozumowanie będzie miało być trochę bardziej skomplikowany.
Wyobraź sobie, że nić jest zamocowana dokładnie w punkcie przegięcia C (ryc. 4.2). Nić, uzwojona od łuku BC, opisze krzywą BMP - przeciągnięcie.
Teraz wyobraź sobie nić owiniętą wokół łuku AC pierwotnej krzywej, ale ta nić jest już wydłużona: w punkcie C przymocowany jest do niej kawałek nici CP. Nawijając wydłużoną nić ACP krzywą SA otrzymujemy łuk RNA, który wraz z łukiem BMP tworzy jedną ciągłą krzywą - ciągłą, ale nie wszędzie gładką: punkt odchylenia C pierwotnej krzywej będzie odpowiadał końcówce (punkt zwrotny) krzywej VMRNA: krzywa VMRNA będzie ewolwentą (przeciągnięciem) krzywej ICA.
Te przykłady pomogły nam przyzwyczaić się do nowych koncepcji ewolucji i ewolucji. Przyjrzyjmy się teraz rozwinięciu krzywych cykloidalnych.
Studiując tę lub inną krzywą, często budowaliśmy krzywą pomocniczą - „towarzysza” tej krzywej. Kosztujemy więc sinusoidę - towarzysza cykloidy. Teraz, zaczynając od podanej cykloidy, konstruujemy cykloidę pomocniczą nierozerwalnie z nią związaną. Okazuje się, że wspólne badanie takiej pary cykloid jest pod pewnymi względami łatwiejsze niż badanie pojedynczej cykloidy. Taką pomocniczą cykloidę będziemy nazywać cykloidą towarzyszącą.
Rozważmy połowę łuku cykloidy AMB (ryc. 4.3). Nie powinniśmy się wstydzić, że ta cykloida jest ułożona w nietypowy sposób („do góry nogami”). Narysujmy 4 linie równoległe do linii kierunkowej AK w odległościach A, 2A, 3A i 4 A. Zbudujmy generujący okrąg w pozycji odpowiadającej punktowi M (na ryc. 4.3 środek tego okręgu oznaczony jest literą O). Kąt obrotu MON będzie oznaczony przez c. Wówczas odcinek AN będzie równy bc (kąt u wyrażony jest w radianach).
Kontynuujemy średnicę HT okręgu generującego poza punkt T, aż przetnie się on (w punkcie E) z prostą PP. Na TE jako średnicy konstruujemy okrąg (o środku O 1). Skonstruujmy styczną w punkcie M do cykloidy AMB. Aby to zrobić, punkt M musi, jak wiemy, być połączony z punktem T. Kontynuujemy styczną MT poza punkt T do przecięcia z okręgiem pomocniczym, a punkt przecięcia nazwiemy M 1. Właśnie tym punktem M 1 chcemy się teraz zająć.
Kąt MON oznaczyliśmy przez c. Dlatego kąt MTH będzie równy (kąt wpisany oparty na tym samym łuku). Trójkąt DO 1 M 1, oczywiście, równoramienny. Dlatego nie tylko kąt O 1 TM 1, ale także kąt TM 1 O 1 będą równe. Zatem udział kąta DO 1 M 1 w trójkącie DO 1 M 1 pozostaje dokładnie p - q radiany (przypomnijmy, że kąt 180? jest równy pra radianom). Zauważmy również, że odcinek NK jest oczywiście równy b (p - c).
Rozważmy teraz okrąg ze środkiem O 2, pokazany na rysunku 4.3 linią przerywaną. Z rysunku widać, jaki to okrąg. Jeśli przetoczysz go bez przesuwania po linii prostej CB, to jego punkt B będzie opisywał cykloidę BB. Kiedy przerywane koło obraca się o kąt p - c, środek O 2 dojdzie do punktu O 1, a promień O 2 B zajmie pozycję O 1 M 1. Skonstruowany przez nas punkt M 1 okazuje się zatem punktem cykloidy BB.
Opisana konstrukcja przypisuje każdemu punktowi M cykloidy AMB punkt M 1 cykloidy VM 1 B. Na ryc. 4.4 ta korespondencja jest pokazana jaśniej. Cykloida otrzymana w ten sposób nazywana jest cykloidą towarzyszącą. na ryc. 4.3 i 4.4, cykloidy przedstawione pogrubionymi liniami przerywanymi towarzyszą cykloidom przedstawionym pogrubionymi liniami ciągłymi.
z ryc. 4.3 widać, że prosta MM 1 jest normalną w punkcie M 1 do towarzyszącej cykloidy. Rzeczywiście, ta linia przechodzi przez punkt M 1 cykloidy i przez punkt T styczności między okręgiem generującym a linią kierunkową („najniższy” punkt koła generującego, jak zwykliśmy mówić; teraz okazało się, że być „najwyższy”, ponieważ rysunek jest obrócony). Ale ta sama linia z założenia jest styczna do „podstawy” cykloidy AMB. Zatem oryginalna cykloida dotyka każdej normalnej towarzyszącej cykloidy. Jest to obwiednia dla normalnych towarzyszącej cykloidy, tj. jej ewolucja. A „towarzyszący” cykloid okazuje się po prostu ewolwentą pierwotnej cykloidy!
Pracując nad tą nieporęczną, ale zasadniczo prostą konstrukcją, udowodniliśmy niezwykłe twierdzenie odkryte przez holenderskiego naukowca Huygensa. Oto twierdzenie: ewolucja cykloidy jest dokładnie tą samą cykloidą, tylko przesuniętą.
Skonstruowawszy ewolucję nie do jednego łuku, ale do całej cykloidy (co oczywiście można zrobić tylko mentalnie), następnie ewolucję do tej ewoluty itd., otrzymujemy ryc. 4,5, przypominające płytki.
Zwróćmy uwagę na to, że dowodząc twierdzenia Huygensa nie stosowaliśmy oszacowań ani nieskończenie małych, ani niepodzielnych, ani przybliżonych. Nie używaliśmy nawet mechaniki, chociaż czasami używaliśmy wyrażeń zapożyczonych z mechaniki. Dowód ten jest całkowicie zgodny z rozumowaniem siedemnastowiecznych naukowców, którzy chcieli rygorystycznie uzasadnić wyniki uzyskane za pomocą różnych sugestywnych rozważań.
Z twierdzenia Huygensa natychmiast wynika ważny wniosek. Rozważ odcinek AB na ryc. 4.4. Długość tego odcinka jest oczywiście równa 4 A. Wyobraźmy sobie teraz, że nić jest nawinięta na łuk cykloidy AMB, zamocowana w punkcie A i wyposażona w ołówek w punkcie B. Jeśli „nawiniemy” nić, to ołówek będzie się poruszał wzdłuż rozwoju cykloidy AMB, tj. wzdłuż cykloidy BM 1 B. Długość nici, równa długości półłuku cykloidy, będzie oczywiście równa odcinku AB, tj., jak widzieliśmy, 4 A. Dlatego długość L całego łuku cykloidy będzie równa 8 A, i wzór L=8 A można teraz uznać za wystarczająco rygorystycznie udowodnione.
Obliczamy długość łuku za pomocą geometrii różniczkowej. Uzyskane w ten sposób rozwiązanie będzie znacznie krótsze i łatwiejsze:
Gdzie T?
| r(t)|===2 grzechy
*
WAŻNY!W przypadku kalkulatora zadaszenia z poliwęglanu poziom obciążenia dla Twojego regionu należy określić niezależnie, na podstawie map obciążeń śniegiem i wiatrem (wymienionych poniżej) oraz tabel odpowiadających temu regionowi obciążeń.
W poniższym przykładzie rozważ wybór ładunku dla Rostowa nad Donem i najbliższych miast. Przy obliczaniu czaszy należy koniecznie wziąć pod uwagę obciążenia, dla których konstrukcja czaszy zostanie zaprojektowana. Według mapy stref pokrywy śnieżnej w Rosji Rostów nad Donem należy do II kategorii obciążenia śniegiem, a według mapy stref obciążenia wiatrem nasze miasto należy do kategorii III.
III Kategoria obciążenia wiatrem odpowiada ciśnieniu 38 kg/m2 zgodnie z tabelą.
II Kategoria obciążenia śniegiem odpowiada naciskowi 120 kg/m2 zgodnie z tabelą. Przy doborze obciążenia do obliczeń należy kierować się maksymalną wartością obciążenia wziętą z obu tabel.
Dlatego dla Rostowa nad Donem i miast oddalonych od niego o nie więcej niż 100 km konieczne jest wybranie obliczonej wartości poziomu obciążenia czaszy co najmniej 120 kg/m 2.
| Mapa stref pokrywy śnieżnej w Rosji | Mapa stref obciążenia wiatrem w Rosji | |||||||||||||||||
 |
||||||||||||||||||
|
Konstrukcja i zalety dachów łukowych We współczesnym budownictwie mieszkaniowym stosuje się różnorodne rozwiązania techniczne, od tradycyjnych po bardzo niestandardowe. Możliwość stworzenia niemal dowolnego projektu i wykorzystania całej gamy nowoczesnych materiałów budowlanych na rynku doprowadziła do rozpowszechnienia się nietypowych i odważnych rozwiązań.
Wszystko to w pełni dotyczy łukowatych dachów - dość nietypowych i oryginalnych konstrukcji, które mimo całej pozornej złożoności są wyposażone bez żadnych problemów. Kalkulator promienia łukuJak zrobić łukowaty dach zostanie omówiony w tym artykule. Konstrukcja i zalety dachów łukowychŁukowaty dach to zakrzywiona konstrukcja, która ma kształt łuku. Dachy tego typu stosowane są w budynkach mieszkalnych, obiektach przemysłowych oraz budynkach administracyjnych w celu ochrony przed czynnikami zewnętrznymi. Do niedawna stosowanie dachów łukowych ograniczało się do budynków specjalistycznych – basenów, szklarni itp.
Teraz konstrukcje łukowe są z powodzeniem stosowane w różnych sytuacjach, co w dużej mierze wynika z wielu ich nieodłącznych zalet, w tym:
Ponadto warto zwrócić uwagę na uniwersalność konstrukcji łukowych – w razie potrzeby można je zastosować w dowolnym stylu architektonicznym, od dość archaicznego po całkiem nowoczesny. Rodzaje ram nośnychNajważniejszym elementem każdej konstrukcji dachu jest jego rama. Dachy łukowe nie są wyjątkiem - odpowiednio zmontowany system nośny podtrzymuje wszystkie pozostałe elementy konstrukcyjne i zapewnia jego niezawodność.
Istnieją następujące rodzaje ram nośnych stosowanych do układania dachów łukowych:
Aby dach łukowy był niezawodny, należy podejść do wyboru ramy i jej ułożenia z całą odpowiedzialnością. Podczas projektowania konstrukcji konieczne jest obliczenie mocy systemu wsporczego. Pokrycia dachowe do dachów łukowychIstnieje kilka szczegółowych wymagań dotyczących materiałów używanych do pokrycia dachów łukowych - w szczególności materiał musi dobrze się wyginać i zachowywać nadany mu kształt.
Najczęściej konstrukcje łukowe są wyposażone w następujące pokrycia dachowe:
Możliwość aranżacji i parametry dachu łukowego są ściśle związane z zadaszeniem. Poliwęglan najlepiej nadaje się do tworzenia konstrukcji z dużym wygięciem - ma najlepszą elastyczność i jest łatwy w montażu. Jak zainstalować łukowaty dach z poliwęglanuBiorąc pod uwagę, że poliwęglan komórkowy jest najpopularniejszym i najbardziej odpowiednim materiałem na dach łukowy, to właśnie na jego przykładzie należy rozważyć jego montaż. Algorytm montażu łukowego dachu jest następujący:
Konieczne jest montowanie arkuszy poliwęglanu w taki sposób, aby ich profil był równoległy do zagięć ramy - jest to konieczne, aby zabezpieczyć materiał przed gromadzeniem się wilgoci. Wniosek Dach łukowy to dość oryginalna i ciekawa konstrukcja, którą z powodzeniem można wykorzystać jako element użytkowy lub dekoracyjny budynku. Jeśli prace nad ułożeniem dachu zostały przeprowadzone prawidłowo, wówczas gotowa konstrukcja pod względem niezawodności nie będzie gorsza od bardziej tradycyjnych odpowiedników spadzistych. Obliczanie i rysowanie czaszy Baldachim z rury profilowej to bardzo popularna konstrukcja, którą można znaleźć na prawie każdym podwórku. Z rur profilowych można wykonać zarówno mały baldachim nad werandą, jak i duży dach do parkowania - w każdym razie projekt będzie wystarczająco mocny, piękny i łatwy do ułożenia. W tym artykule rozważymy obliczenie czaszy z rury profilowej i jej instalację.
Obliczanie i rysowanie czaszyWłaściwe obliczenia i stworzenie dobrego rysunku oznaczają zgodność z szeregiem norm i wymagań dotyczących konstrukcji wykonanych z rur kształtowych. Jednak zadaszenia małych szop nie muszą być tak dokładnie obliczane – daszek wykonany z rury profilowej nie różni się wagą, więc taka konstrukcja nie stwarza żadnego zagrożenia. Duże wiaty na parkingi lub baseny muszą być obliczone, aby uniknąć problemów. Rysunek czaszy z profesjonalnej rury zawsze zaczyna się od szkicu - prostego szkicu, który wskazuje rodzaj konstrukcji, jej główne cechy i przybliżone wymiary. Aby dokładnie określić wymiary przyszłego baldachimu, warto wykonać pomiary w miejscu, w którym będzie zlokalizowana konstrukcja. W przypadku, gdy baldachim będzie przymocowany do domu, konieczne jest również zmierzenie ściany, aby dokładnie poznać wymiary rury profilowej pod baldachim.
Możesz rozważyć metodę obliczeń na przykładzie konstrukcji znajdującej się na działce o wymiarach 9x7 m znajdującej się przed domem o wymiarach 9x6 m:
Rysunki kratownic z rury profilowej do czaszy powinny być wyświetlane osobno ze wszystkimi szczegółami. Warto również pamiętać, że minimalne nachylenie czaszy to 6 stopni, a optymalna wartość to 8 stopni. Zbyt małe nachylenie nie pozwoli na samoistne zsuwanie się śniegu. Po zakończeniu rysunków wybierany jest odpowiedni materiał i jego ilość. Kalkulacja musi być przeprowadzona dokładnie, a przed zakupem warto doliczyć około 5% tolerancji - podczas pracy bardzo często zdarzają się niewielkie ubytki, a małżeństwa nie należą do rzadkości. Tworzenie czaszy z rury profilowejProjekt czaszy nie jest szczególnie trudny. Jeśli rysunek baldachimu i materiały niezbędne do jego montażu już tam są, możesz przejść bezpośrednio do układania konstrukcji. Produkcja czaszy z rury profilowej odbywa się zgodnie z następującym algorytmem:
Przed montażem zadaszenia czaszę należy pomalować lub pokryć środkiem antykorozyjnym, aby zapobiec ewentualnemu zniszczeniu materiału – podczas montażu powłoka podkładowa ulega uszkodzeniu, w wyniku czego części metalowe tracą odporność na korozję . Ponadto musisz zrozumieć, że obróbka zewnętrzna nie chroni konstrukcji przed zniszczeniem od wewnątrz, dlatego krawędzie rur muszą być zamknięte zatyczkami. Rodzaje łączników do elementów zadaszenia i ich wymiaryAby zmontować elementy czaszy z rury profilowej, można zastosować różne metody:
Wybór rur profilowych do produkcji kratownicWybierając rury do układania baldachimu o dużych rozmiarach z rury profilowej, należy zapoznać się z następującymi normami:
Te normy i specyficzne wymagania projektowe pozwalają dokładnie obliczyć jego parametry, w szczególności kąt nachylenia dachu, rodzaj rur profilowych i kratownic. Zobacz także: „Jak prawidłowo wykonać baldachim z rury profilowej - instrukcje”.
Rozmieszczenie konstrukcji można rozważyć na przykładzie baldachimu ściennego o wymiarach 4,7x9 m, opartego z przodu na zewnętrznych stojakach i przymocowanego do budynku z tyłu. Przy wyborze kąta nachylenia najlepiej zatrzymać się na 8-stopniowym wskaźniku. Studiując normy, możesz dowiedzieć się, jaki jest poziom obciążenia śniegiem w regionie. W tym przykładzie dach jednospadowy wykonany z rury profilowanej zostanie poddany obciążeniu 84 kg / m2. Jeden 2,2-metrowy stojak z rury profilowej waży około 150 kg, a stopień obciążenia wynosi około 1,1 tony. Biorąc pod uwagę stopień obciążenia, będziesz musiał wybrać mocne rury - standardowa okrągła rura profilowa o ściankach 3 mm i średnicy 43 mm nie będzie tutaj działać. Minimalne wymiary rury okrągłej muszą wynosić 50 mm (średnica) i 4 mm (grubość ścianki). Jeśli jako materiał używana jest rura o średnicy 45 mm i grubości ścianki 4 mm.
Wybierając kratownice, warto zatrzymać się przy projekcie dwóch równoległych konturów z ukośną siatką. Do kratownicy o wysokości 40 cm można zastosować kwadratową rurę profilową o średnicy 35 mm i grubości ścianki 4 mm (przeczytaj także: „Jak wykonać kratownice z rury profilowej - rodzaje i metody montażu”). Do produkcji krat ukośnych dobrze sprawdzą się rury o średnicy 25 mm i grubości ścianki 3 mm. Wniosek Montaż baldachimu z profesjonalnej fajki własnymi rękami nie jest taki trudny. Do pomyślnej pracy konieczne jest prawidłowe zaprojektowanie przyszłej konstrukcji i odpowiedzialne podejście do każdego etapu realizacji projektu - a wtedy efektem będzie niezawodna konstrukcja, która wytrzyma wiele lat. Obliczanie łuków z podwójnymi zawiasami. Obliczanie łuków z dokręcaniemgłówny system, jeśli jest brany pod uwagę przy połączonym działaniu danego obciążenia i ekspansji trójprzegubowego łuku z tego obciążenia. W dalszej części użyjemy pierwszego podstawowego systemu. W przypadku łuku dwuprzegubowego zestawia się jedno kanoniczne równanie metody siły, z którego znajduje się siła nacisku lub docisku: X1 \u003d H \u003d - Δ1r / δ11. Ponieważ oś łuku jest zarysowana wzdłuż krzywej y \u003d f (x), nie jest już możliwe stosowanie reguły A do obliczania przemieszczeń głównego układu. N. Vereshchagin i konieczne jest zastosowanie formuły całkowej Maxwella-Mohra. W praktyce przyjmuje się, że momenty bezwładności przekrojów łuków są stałe lub zmienne. Najwygodniejsze do całkowania jest takie prawo zmiany momentów bezwładności przekrojów łuku: Ix \u003d Iс / cos휑, gdzie IC jest momentem bezwładności w środkowej części łuku; 휑 - kąt nachylenia stycznej do osi łuku w stosunku do osi współrzędnych x. W przypadku łuków z podwójnymi zawiasami, ze względów konstrukcyjnych i estetycznych, bardziej odpowiednie jest inne prawo: Ix \u003d Ic × cos 휑. Jednocześnie stopniowo wzrastają wysokości przekrojów od podpór do środka rozpiętości łuku. Przy obliczaniu łuków przyjmuje się następujące zasady dotyczące znaków sił wewnętrznych: moment zginający powodujący naprężenie włókien wewnętrznych uznaje się za dodatni; zakłada się, że normalna siła rozciągająca jest dodatnia; mówi się, że siła ścinająca jest dodatnia, jeśli obraca resztę zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Przy obliczaniu łuku z podwójnymi zawiasami rozszerzenie obciążenia na symetryczne i skośno-symetryczne nie upraszcza znacząco. Należy zauważyć, że przy obciążeniu skośno-symetrycznym ciąg X1 jest równy zeru. Jeśli łuk ma zaciągnięcie, główny system można uzyskać, przecinając zaciągnięcie (ryc. 8). |
5. Równanie parametryczne cykloidy i równanie we współrzędnych kartezjańskich
Załóżmy, że mamy cykloidę utworzoną przez okrąg o promieniu a, którego środek znajduje się w punkcie A.
Jeżeli jako parametr określający położenie punktu wybierzemy kąt t=∟NDM, o jaki udało się obrócić promień, który na początku toczenia miał położenie pionowe AO, to współrzędne x i y punktu M wyraża się w następujący sposób:
x \u003d OF \u003d ON - NF \u003d NM - MG \u003d at-a sin t,
y= FM = NG = ND - GD = a - a cos t
Zatem równania parametryczne cykloidy mają postać:
Zmieniając t z -∞ na +∞, otrzymujesz krzywą składającą się z niezliczonego zestawu takich gałęzi, co pokazano na tym rysunku.
Oprócz równania parametrycznego cykloidy istnieje również jej równanie we współrzędnych kartezjańskich:
Gdzie r jest promieniem okręgu tworzącego cykloidę.
6. Problemy ze znalezieniem części cykloidy i figur utworzonych przez cykloidę
Zadanie numer 1. Znajdź obszar figury ograniczony jednym łukiem cykloidy, której równanie jest podane parametrycznie
i oś O.
Rozwiązanie. Aby rozwiązać ten problem, wykorzystujemy fakty znane nam z teorii całek, a mianowicie:
Obszar sektora krzywoliniowego.
Rozważmy pewną funkcję r = r(ϕ) zdefiniowaną na [α, β].
ϕ 0 ∈ [α, β] odpowiada r 0 = r(ϕ 0), a zatem punktowi M 0 (ϕ 0 , r 0), gdzie ϕ 0 ,
r 0 - współrzędne biegunowe punktu. Jeżeli ϕ zmienia się „przechodząc” przez całość [α, β], to punkt zmienny M będzie opisywał pewną krzywą AB daną przez
równanie r = r(ϕ).
Definicja 7.4. Wycinek krzywoliniowy to figura ograniczona dwoma promieniami ϕ = α, ϕ = β i krzywą AB podaną biegunowo
współrzędne równaniem r = r(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β.
Następujące
Twierdzenie. Jeśli funkcja r(ϕ) > 0 i jest ciągła na [α, β], to pole
zakrzywiony sektor oblicza się ze wzoru:
Twierdzenie to zostało udowodnione wcześniej w temacie całki oznaczonej.
Opierając się na powyższym twierdzeniu, nasz problem znalezienia pola figury ograniczonej jednym łukiem cykloidy, której równanie dane jest parametrem x= a (t - sin t) , y= a ( 1 - cos t) , a oś Ox sprowadza się do następującego rozwiązania .
Rozwiązanie. Z równania krzywej dx = a(1−cos t) dt. Pierwszy łuk cykloidy odpowiada zmianie parametru t od 0 do 2π. Stąd,
Zadanie numer 2. Znajdź długość jednego łuku cykloidy
Następujące twierdzenie i jego wniosek były również badane w rachunku całkowym.
Twierdzenie. Jeśli krzywa AB jest dana równaniem y = f(x), gdzie f(x) i f ’ (x) są ciągłe na , to AB jest prostowalna i
Konsekwencja. Niech AB będzie dane parametrycznie
LA AB = 
(1)
Niech funkcje x(t), y(t) będą różniczkowalne w sposób ciągły na [α, β]. Następnie
wzór (1) można zapisać jako
Dokonajmy zamiany zmiennych w tej całce x = x(t), to y'(x)= ;
dx= x'(t)dt i stąd:
Wróćmy teraz do rozwiązania naszego problemu.
Rozwiązanie. Mamy i dlatego
Zadanie numer 3. Należy znaleźć pole powierzchni S utworzone z obrotu jednego łuku cykloidy
L=((x,y): x=a(t - sin t), y=a(1 - koszt), 0≤ t ≤ 2π)
W rachunku całkowym istnieje następujący wzór na znalezienie pola powierzchni bryły obrotowej wokół osi x krzywej danej parametrycznie na odcinku: x=φ(t), y=ψ(t) (t 0 ≤t ≤t 1)
Stosując ten wzór do naszego równania cykloidy, otrzymujemy:
Zadanie numer 4. Znajdź objętość ciała uzyskaną przez obrót łuku cykloidy
Wzdłuż osi Ox.
W rachunku całkowym przy badaniu tomów pojawia się następująca uwaga:
Jeżeli krzywa ograniczająca trapez krzywoliniowy jest dana równaniami parametrycznymi, a funkcje w tych równaniach spełniają warunki twierdzenia o zmianie zmiennej w pewnej całce, to objętość bryły obracającej się trapezu wokół osi Ox będzie obliczyć według wzoru
Użyjmy tego wzoru, aby znaleźć potrzebną nam objętość.
Problem rozwiązany.
Wniosek
Tak więc w trakcie tej pracy wyjaśniono główne właściwości cykloidy. Nauczyli się także, jak zbudować cykloidę, poznali geometryczne znaczenie cykloidy. Jak się okazało, cykloida ma ogromne praktyczne zastosowanie nie tylko w matematyce, ale także w obliczeniach technologicznych, w fizyce. Ale cykloida ma inne zalety. Był używany przez naukowców XVII wieku w opracowywaniu metod badania linii krzywych, metod, które ostatecznie doprowadziły do wynalezienia rachunku różniczkowego i całkowego. Był to również jeden z „kamieni probierczych”, na których Newton, Leibniz i ich pierwsi badacze testowali moc nowych, potężnych metod matematycznych. Wreszcie problem brachistochrony doprowadził do wynalezienia rachunku wariacyjnego, tak potrzebnego dzisiejszym fizykom. Tym samym cykloida była nierozerwalnie związana z jednym z najciekawszych okresów w historii matematyki.
Literatura
1. Berman GN Cykloida. - M., 1980
2. Verov S.G. Brachistochrona, czyli inny sekret cykloidy // Kvant. - 1975. - nr 5
3. Verov S.G. Tajemnice cykloidy// Kvant. - 1975. - nr 8.
4. Gavrilova R.M., Govorukhina A.A., Kartasheva L.V., Kostetskaya G.S., Radchenko T.N. Zastosowania całki oznaczonej. Wytyczne i zadania indywidualne dla studentów I roku Wydziału Fizyki. - Rostów n/a: UPL RGU, 1994.
5. Gindikin S.G. Wiek gwiazd cykloidy // Kvant. - 1985. - nr 6.
6. Fikhtengolts G.M. Kurs rachunku różniczkowego i całkowego. T.1. - M., 1969
Taka linia nazywana jest „kopertą”. Każda zakrzywiona linia jest obwiednią jej stycznych.
Materia i ruch oraz metoda, jaką stanowią, pozwalają każdemu zrealizować swój potencjał w poznaniu prawdy. Opracowanie metodologii rozwoju dialektyczno-materialistycznej formy myślenia i opanowanie podobnej metody poznania jest drugim krokiem w kierunku rozwiązania problemu rozwoju i uświadomienia sobie możliwości Człowieka. Fragment XX Możliwości...
Sytuacja może zachorować na neurastenię - nerwicę, której podstawą obrazu klinicznego jest stan asteniczny. Zarówno w przypadku neurastenii, jak i w przypadku dekompensacji psychopatii neurastenicznej istota ochrony duchowej (psychologicznej) przejawia się w odejściu od trudności w drażliwą słabość z dysfunkcjami wegetatywnymi: albo osoba nieświadomie „odpiera” bardziej atak ...
Różne rodzaje działalności; rozwój wyobraźni przestrzennej i reprezentacji przestrzennych, myślenia figuratywnego, przestrzennego, logicznego, abstrakcyjnego uczniów; kształtowanie umiejętności stosowania wiedzy geometrycznej i graficznej oraz umiejętności rozwiązywania różnych stosowanych problemów; zapoznanie się z treścią i kolejnością etapów działań projektowych z zakresu technicznego i...
łuki. Spirale to także ewolwenty zamkniętych krzywych, takie jak ewolwenta koła. Nazwy niektórych spiral wynikają z podobieństwa ich równań biegunowych do równań krzywych we współrzędnych kartezjańskich, np.: spirala paraboliczna (a - r)2 = bj, spirala hiperboliczna: r = a/j. Pręt: r2 = a/j si-ci-spirala, którego równania parametryczne wyglądają następująco: , )