Jeśli tylko moment zginający działa w przekroju poprzecznym belki podczas zginania prostego lub ukośnego, wówczas występuje odpowiednio czyste proste lub czyste ukośne zgięcie. Jeśli siła poprzeczna działa również w przekroju, wówczas występuje poprzeczne proste lub poprzeczne ukośne zgięcie. Jeśli moment zginający jest jedynym czynnikiem siły wewnętrznej, wówczas takie zgięcie nazywa się czysty(rys. 6.2). W obecności siły poprzecznej nazywa się zgięcie poprzeczny. Ściśle mówiąc, tylko czyste zginanie należy do prostych rodzajów oporu; zginanie poprzeczne jest warunkowo określane jako proste rodzaje wytrzymałości, ponieważ w większości przypadków (dla wystarczająco długich belek) działanie siły poprzecznej można pominąć w obliczeniach wytrzymałościowych. Zobacz stan wytrzymałości na zginanie płaskie. Podczas obliczania belki do zginania jednym z najważniejszych jest zadanie określenia jej wytrzymałości. Zginanie płaszczyzny nazywamy poprzecznym, jeżeli w przekrojach belki występują dwa czynniki sił wewnętrznych: M – moment zginający i Q – siła poprzeczna, a czystym, gdy występuje tylko M. W zginaniu poprzecznym płaszczyzna siły przechodzi przez oś symetrii belki belki, która jest jedną z głównych osi bezwładności przekroju.

Kiedy belka jest zginana, niektóre jej warstwy są rozciągane, a inne ściskane. Pomiędzy nimi znajduje się neutralna warstwa, która tylko zakrzywia się, nie zmieniając swojej długości. Linia przecięcia warstwy neutralnej z płaszczyzną przekroju pokrywa się z drugą główną osią bezwładności i nazywana jest linią neutralną (osią neutralną).

Z działania momentu zginającego w przekrojach belki powstają naprężenia normalne określone wzorem

gdzie M jest momentem zginającym w rozpatrywanym przekroju;

I jest momentem bezwładności przekroju poprzecznego belki względem osi neutralnej;

y jest odległością od osi neutralnej do punktu, w którym określane są naprężenia.

Jak widać ze wzoru (8.1), naprężenia normalne w przekroju belki wzdłuż jej wysokości są liniowe, osiągając maksymalną wartość w punktach najbardziej oddalonych od warstwy obojętnej.

gdzie W jest momentem oporu przekroju poprzecznego belki względem osi neutralnej.

27. Naprężenia styczne w przekroju poprzecznym belki. Formuła Żurawskiego.

Formuła Zhuravsky'ego pozwala określić naprężenia ścinające podczas zginania, które występują w punktach przekroju poprzecznego belki, znajdujących się w pewnej odległości od neutralnej osi x.

WYPROWADZENIE FORMUŁY ŻURAWSKIEGO

Wycinamy z belki o prostokątnym przekroju (ryc. 7.10, a) element o długości i dodatkowym przekroju podłużnym pociętym na dwie części (ryc. 7.10, b).

Rozważ równowagę górnej części: z powodu różnicy momentów zginających powstają różne naprężenia ściskające. Aby ta część belki była w równowadze (), w jej przekroju podłużnym musi powstać siła styczna. Równanie równowagi dla części belki:

gdzie całkowanie odbywa się tylko na odciętej części pola przekroju poprzecznego belki (na ryc. 7.10, zacienione), jest statycznym momentem bezwładności odciętej (zacieniowanej) części pola przekroju poprzecznego względem osi neutralnej x.

Załóżmy: naprężenia ścinające () powstające w przekroju podłużnym belki są równomiernie rozłożone na jej szerokości () w miejscu przekroju:

Otrzymujemy wyrażenie na naprężenia ścinające:

, i , następnie wzór na naprężenia styczne (), powstające w punktach przekroju poprzecznego belki, znajdujących się w odległości y od osi neutralnej x:

Formuła Żurawskiego

Formuła Żurawskiego została uzyskana w 1855 roku przez D.I. Zhuravsky, dlatego nosi jego imię.

Podczas rozciągania (ściskania) drewna w jego przekroje powstać tylko normalne naprężenia. Wypadkowa odpowiednich sił elementarnych o, dA - siła wzdłużna N- można znaleźć za pomocą metody sekcji. Aby móc wyznaczyć naprężenia normalne dla znanej wartości siły wzdłużnej, konieczne jest ustalenie prawa rozkładu na przekroju poprzecznym belki.

Ten problem jest rozwiązany na podstawie protezy o przekroju płaskim(hipotezy J. Bernoulliego), który brzmi:

odcinki belki, które przed odkształceniem są płaskie i prostopadłe do osi, pozostają płaskie i prostopadłe do osi nawet podczas odkształcania.

Kiedy belka jest rozciągana (wykonana np. Dla większa widoczność styku gumy), na powierzchni kogo zastosowano system rys podłużnych i poprzecznych (rys. 2.7, a), można upewnić się, że ryzyka pozostają proste i wzajemnie prostopadłe, zmienić tylko

gdzie A jest polem przekroju belki. Pomijając indeks z, ostatecznie otrzymujemy

Dla naprężeń normalnych przyjmuje się taką samą regułę znaku jak dla sił wzdłużnych, tj. po rozciągnięciu naprężenia są uważane za dodatnie.

W rzeczywistości rozkład naprężeń w przekrojach belki przylegających do miejsca przyłożenia sił zewnętrznych zależy od sposobu przyłożenia obciążenia i może być nierównomierny. Badania eksperymentalne i teoretyczne pokazują, że jest to naruszenie równomierności rozkładu naprężeń lokalny charakter. W przekrojach belki oddalonych od miejsca obciążenia w odległości w przybliżeniu równej największemu z poprzecznych wymiarów belki rozkład naprężeń można uznać za prawie równomierny (rys. 2.9).

Rozważana sytuacja jest przypadkiem szczególnym zasada świętego Venanta, co można sformułować w następujący sposób:

rozkład naprężeń zależy zasadniczo od sposobu przyłożenia sił zewnętrznych tylko w pobliżu miejsca obciążenia.

W częściach dostatecznie oddalonych od miejsca przyłożenia sił rozkład naprężeń zależy praktycznie tylko od statycznego równoważnika tych sił, a nie od sposobu ich przyłożenia.

Zatem zastosowanie Zasada Saint Venanta i odchodząc od kwestii napięć lokalnych, mamy możliwość (zarówno w tym, jak iw kolejnych rozdziałach kursu) nie interesować się konkretnymi sposobami przyłożenia sił zewnętrznych.

W miejscach gwałtownej zmiany kształtu i wymiarów przekroju poprzecznego belki powstają również lokalne naprężenia. Zjawisko to nazywa się koncentracja stresu, których nie będziemy rozważać w tym rozdziale.

W przypadkach, gdy naprężenia normalne w różnych przekrojach belki nie są takie same, wskazane jest przedstawienie prawa ich zmiany wzdłuż długości belki w postaci wykresu - wykresy naprężeń normalnych.

PRZYKŁAD 2.3. W przypadku belki o przekroju zmiennym krokowo (ryc. 2.10, a) wykreśl siły wzdłużne I normalne naprężenia.

Rozwiązanie. Dzielimy wiązkę na sekcje, zaczynając od bezpłatnego komunikatora. Granice przekrojów to miejsca przyłożenia sił zewnętrznych i zmiany wymiarów przekroju, tzn. belka ma pięć przekrojów. Podczas kreślenia tylko diagramów N konieczne byłoby podzielenie belki tylko na trzy sekcje.

Za pomocą metody przekrojów określamy siły wzdłużne w przekrojach belki i budujemy odpowiedni schemat (ryc. 2.10.6). Konstrukcja diagramu And zasadniczo nie różni się od konstrukcji rozważanej w Przykładzie 2.1, dlatego pomijamy szczegóły tej konstrukcji.

Naprężenia normalne obliczamy za pomocą wzoru (2.1), podstawiając wartości sił w niutonach, a powierzchnie - w metrach kwadratowych.

W każdej sekcji naprężenia są stałe, tj. mi. wykres w tym obszarze jest linią prostą, równoległą do osi odciętych (ryc. 2.10, c). Do obliczeń wytrzymałościowych interesujące są przede wszystkim te przekroje, w których występują największe naprężenia. Znamienne jest, że w rozpatrywanym przypadku nie pokrywają się one z tymi przekrojami, w których siły wzdłużne są maksymalne.

W przypadkach, gdy przekrój poprzeczny belki na całej długości jest stały, schemat A podobny do diagramu N i różni się od niego tylko skalą, dlatego oczywiście sensowne jest zbudowanie tylko jednego ze wskazanych schematów.

Rozciąganie (kompresja)- jest to rodzaj obciążenia belki, w którym w jej przekrojach występuje tylko jeden czynnik siły wewnętrznej - siła wzdłużna N.

Podczas rozciągania i ściskania siły zewnętrzne są przykładane wzdłuż osi podłużnej z (ryc. 109).

Rysunek 109

Metodą przekrojów można wyznaczyć wartość VSF - siły wzdłużnej N pod obciążeniem prostym.

Siły wewnętrzne (naprężenia) powstające w dowolnym przekroju podczas rozciągania (ściskania) są określane za pomocą przypuszczenia płaskich przekrojów Bernoulliego:

Przekrój poprzeczny belki, płaski i prostopadły do ​​osi przed obciążeniem, pozostaje taki sam pod obciążeniem.

Wynika z tego, że włókna belki (ryc. 110) są wydłużone o tę samą wartość. Oznacza to, że siły wewnętrzne (tj. naprężenia) działające na każde włókno będą takie same i rozłożone równomiernie na przekroju poprzecznym.

Rysunek 110

Ponieważ N jest wypadkową sił wewnętrznych, to N \u003d σ · A, oznacza, że ​​naprężenia normalne σ przy rozciąganiu i ściskaniu są określone wzorem:

[N/mm2 = MPa], (72)

gdzie A jest polem przekroju poprzecznego.

Przykład 24. Dwa pręty: okrągły o średnicy d = 4 mm i kwadratowy o boku 5 mm są rozciągane z tą samą siłą F = 1000 N. Który z prętów jest bardziej obciążony?

Dany: d = 4 mm; a = 5 mm; F = 1000 N.

Definiować: σ 1 i σ 2 - w prętach 1 i 2.

Rozwiązanie:

Podczas rozciągania siła wzdłużna w prętach wynosi N = F = 1000 N.

Pola przekroju poprzecznego prętów:

; .

Naprężenia normalne w przekrojach prętów:

, .

Ponieważ σ 1 > σ 2, pierwszy okrągły pręt jest obciążony bardziej.

Przykład 25. Kabel skręcony z 80 drutów o średnicy 2 mm rozciąga się z siłą 5 kN. Wyznacz naprężenie w przekroju.

Dany: k = 80; d = 2 mm; F = 5 kN.

Definiować: σ.

Rozwiązanie:

N = F = 5 kN, ,

Następnie .

Tutaj A 1 to pole przekroju poprzecznego jednego drutu.

Notatka: przekrój kabla nie jest kołem!

2.2.2 Wykresy sił wzdłużnych N i naprężeń normalnych σ na długości pręta

Aby obliczyć wytrzymałość i sztywność złożonej belki przy rozciąganiu i ściskaniu, konieczna jest znajomość wartości N i σ w różnych przekrojach.

W tym celu budowane są diagramy: działka N i działka σ.

Diagram- jest to wykres zmian siły wzdłużnej N i naprężeń normalnych σ wzdłuż długości pręta.

Siła wzdłużna N w dowolnym przekroju poprzecznym belki jest równa sumie algebraicznej wszystkich sił zewnętrznych przyłożonych do pozostałej części, tj. jedna strona cięcia

Siły zewnętrzne F rozciągające belkę i skierowane od przekroju są uważane za dodatnie.

Kolejność kreślenia N i σ

1 Przekroje dzielą belkę na sekcje, których granice to:

a) przekroje na końcach belki;

b) gdzie przyłożone są siły F;

c) gdzie zmienia się pole przekroju poprzecznego A.

2 Numerujemy sekcje, zaczynając od

wolny koniec.

3 Dla każdego poletka, stosując metodę

przekroje, określamy siłę wzdłużną N

i wykreśl wykres N na skali.

4 Wyznacz naprężenie normalne σ

w każdej witrynie i wbudować

skala wykresu σ.

Przykład 26. Zbuduj diagramy N i σ wzdłuż pręta schodkowego (Rysunek 111).

Dany: F. 1 \u003d 10 kN; F2 = 35 kN; A 1 \u003d 1 cm 2; A 2 \u003d 2 cm 2.

Rozwiązanie:

1) Dzielimy belkę na sekcje, których granicami są: sekcje na końcach belki, gdzie działają siły zewnętrzne F, gdzie zmienia się pole przekroju poprzecznego A - w sumie są to 4 sekcje.

2) Numerujemy sekcje, zaczynając od wolnego końca:

od I do IV. Rysunek 111

3) Dla każdego przekroju metodą przekrojów wyznaczamy siłę wzdłużną N.

Siła wzdłużna N jest równa sumie algebraicznej wszystkich sił zewnętrznych przyłożonych do reszty belki. Ponadto siły zewnętrzne F rozciągające belkę są uważane za dodatnie.

Tabela 13

4) Na skali budujemy diagram N. Skala jest wskazywana tylko przez dodatnie wartości N, na diagramie znak plus lub minus (rozciągnięcie lub kompresja) jest zaznaczony w kółku w prostokącie diagramu. Dodatnie wartości N są kreślone powyżej osi zerowej wykresu, ujemne - poniżej osi.

5) Weryfikacja (ustna): Na odcinkach, na których działają siły zewnętrzne F, na wykresie N wystąpią pionowe skoki równe co do wielkości tym siłom.

6) Określamy naprężenia normalne w przekrojach każdej sekcji:

; ;

; .

Budujemy diagram σ na skali.

7) Badanie: Znaki N i σ są takie same.

Pomyśl i odpowiedz na pytania

1) jest to niemożliwe; 2) jest możliwe.

53 Czy naprężenia rozciągające (ściskające) prętów zależą od kształtu ich przekroju (kwadrat, prostokąt, koło itp.)?

1) zależeć; 2) nie zależą.

54 Czy wielkość naprężeń w przekroju zależy od materiału, z którego wykonana jest wędka?

1) zależy; 2) nie zależy.

55 Które punkty przekroju pręta okrągłego są bardziej obciążone rozciąganiem?

1) na osi belki; 2) na powierzchni koła;

3) we wszystkich punktach przekroju naprężenia są takie same.

56 Pręty stalowe i drewniane o równych polach przekroju poprzecznego są rozciągane przez te same siły. Czy naprężenia powstające w prętach będą równe?

1) w stali naprężenie jest większe;

2) w drewnie napięcie jest większe;

3) w prętach pojawią się równe naprężenia.

57 W przypadku pręta (ryc. 112) wykreśl wykresy N i σ, jeśli F 1 = 2 kN; F. 2 \u003d 5 kN; A 1 \u003d 1,2 cm 2; A 2 \u003d 1,4 cm 2.

Skośny zwany tym rodzajem zginania, w którym wszystkie obciążenia zewnętrzne powodujące zginanie działają w jednej płaszczyźnie siły, która nie pokrywa się z żadną z głównych płaszczyzn.

Rozważmy pręt zaciśnięty na jednym końcu i obciążony siłą na wolnym końcu F(Rys. 11.3).

Ryż. 11.3. Schemat projektu dla ukośnego zakrętu

Siła zewnętrzna F przyłożony pod kątem do osi y. Rozłóżmy siłę F na składowe leżące w głównych płaszczyznach belki, to:

Momenty zginające w dowolnym przekroju pobrane z pewnej odległości z od wolnego końca będzie równa:

Tak więc w każdej sekcji belki działają jednocześnie dwa momenty zginające, które powodują wygięcie w głównych płaszczyznach. Dlatego zagięcie ukośne można uznać za szczególny przypadek zagięcia przestrzennego.

Naprężenia normalne w przekroju poprzecznym belki z ukośnym zginaniem są określone wzorem

Aby znaleźć największe normalne naprężenia rozciągające i ściskające w zginaniu ukośnym, konieczne jest wybranie niebezpiecznego odcinka belki.

Jeżeli momenty zginające | M x| i | Mój| osiągną swoje maksymalne wartości w określonej sekcji, to jest to niebezpieczna sekcja. Zatem,

Przekroje niebezpieczne obejmują również przekroje, w których momenty zginające | M x| i | Mój| jednocześnie osiągnąć odpowiednio duże wartości. Dlatego przy ukośnym zgięciu może istnieć kilka niebezpiecznych sekcji.

Ogólnie kiedy - przekrój asymetryczny, tzn. oś neutralna nie jest prostopadła do płaszczyzny siły. W przypadku przekrojów symetrycznych gięcie ukośne nie jest możliwe.

11.3. Położenie osi neutralnej i punktów niebezpiecznych

w przekroju. Warunek wytrzymałości na zginanie ukośne.

Wyznaczanie wymiarów przekroju.

Ruchy w zgięciu skośnym

Położenie osi neutralnej w zginaniu ukośnym określa wzór

gdzie jest kątem nachylenia osi neutralnej do osi X;

Kąt nachylenia płaszczyzny siły do ​​osi Na(Rys. 11.3).

W niebezpiecznym odcinku belki (w osadzeniu, ryc. 11.3) naprężenia w punktach narożnych określa się ze wzorów:

W zginaniu ukośnym, podobnie jak w zginaniu przestrzennym, oś neutralna dzieli przekrój poprzeczny belki na dwie strefy - strefę rozciągania i strefę ściskania. Dla przekroju prostokątnego strefy te pokazano na ryc. 11.4.

Ryż. 11.4. Schemat przekroju ściśniętej belki na ukośnym zakręcie

Aby wyznaczyć ekstremalne naprężenia rozciągające i ściskające, należy poprowadzić styczne do przekroju w strefach rozciągania i ściskania, równolegle do osi neutralnej (rys. 11.4).

Punkty styku najbardziej oddalone od osi neutralnej A I Z są niebezpiecznymi punktami odpowiednio w strefach ściskania i rozciągania.

W przypadku materiałów plastycznych, gdy obliczeniowa nośność materiału belki przy rozciąganiu i ściskaniu są sobie równe, tj. [ σ str] = = [s c] = [σ ], w niebezpiecznym odcinku jest określony, a stan wytrzymałości można przedstawić jako

Dla przekrojów symetrycznych (prostokąt, przekrój dwuteowy) warunek wytrzymałościowy ma postać:

Z warunku wytrzymałościowego wynikają trzy rodzaje obliczeń:

Kontrola;

Projekt - określenie wymiarów geometrycznych przekroju;

Określenie nośności belki (obciążenia dopuszczalnego).

Jeśli związek między bokami przekroju jest znany, na przykład dla prostokąta H = 2B, to z warunku wytrzymałości belki ściśniętej można określić parametry B I H w następujący sposób:

Lub

definitywnie .

Parametry dowolnej sekcji są określane w podobny sposób. Pełne przemieszczenie przekroju belki podczas zginania ukośnego, uwzględniając zasadę niezależności działania sił, definiuje się jako sumę geometryczną przemieszczeń w płaszczyznach głównych.

Wyznacz przemieszczenie swobodnego końca belki. Użyjmy metody Vereshchagina. Przemieszczenie pionowe znajdujemy, mnożąc diagramy (ryc. 11.5) zgodnie ze wzorem

Podobnie definiujemy przemieszczenie poziome:

Następnie całkowite przemieszczenie jest określane za pomocą wzoru

Ryż. 11,5. Schemat wyznaczania pełnego przemieszczenia

na ukośnym zakręcie

Kierunek pełnego ruchu jest określony przez kąt β (Rys. 11.6):

Otrzymany wzór jest identyczny ze wzorem na określenie położenia osi neutralnej przekroju belki. Pozwala to stwierdzić, że , tj. kierunek odchylenia jest prostopadły do ​​osi neutralnej. W konsekwencji płaszczyzna ugięcia nie pokrywa się z płaszczyzną obciążenia.

Ryż. 11.6. Schemat wyznaczania płaszczyzny ugięcia

na ukośnym zakręcie

Kąt odchylenia płaszczyzny odchylenia od osi głównej y będzie większy, tym większe będzie przemieszczenie. Dlatego dla belki o przekroju sprężystym, dla którego stosunek J x/Jy duże, ukośne zginanie jest niebezpieczne, ponieważ powoduje duże ugięcia i naprężenia w płaszczyźnie o najmniejszej sztywności. Do baru z J x= Jy, całkowite ugięcie leży w płaszczyźnie siły i ukośne zginanie jest niemożliwe.

11.4. Ekscentryczne rozciąganie i ściskanie belki. Normalna

naprężenia w przekrojach belki

Ekscentryczne napięcie (kompresja) to rodzaj odkształcenia, w którym siła rozciągająca (ściskająca) jest równoległa do osi podłużnej belki, ale punkt jej przyłożenia nie pokrywa się ze środkiem ciężkości przekroju poprzecznego.

Ten rodzaj problemu jest często używany w budownictwie podczas obliczania słupów budynku. Rozważ mimośrodowe ściskanie belki. Oznaczamy współrzędne punktu przyłożenia siły F Poprzez x F I w F , a główne osie przekroju - przez x i y. Oś z bezpośrednio w taki sposób, że współrzędne x F I w F były pozytywne (ryc. 11.7, a)

Jeśli przeniesiesz moc F równolegle do siebie z punktu Z do środka ciężkości przekroju, wówczas mimośrodowe ściskanie można przedstawić jako sumę trzech prostych odkształceń: ściskania i zginania w dwóch płaszczyznach (ryc. 11.7, b). W ten sposób mamy:

Naprężenia w dowolnym punkcie przekroju poddanego mimośrodowemu ściskaniu, leżące w pierwszej ćwiartce, wraz ze współrzędnymi x i y można znaleźć w oparciu o zasadę niezależności działania sił:

zatem kwadrat promienia bezwładności przekroju

Gdzie X I y są współrzędnymi punktu przekroju, w którym określa się naprężenie.

Przy określaniu naprężeń należy wziąć pod uwagę znaki współrzędnych zarówno punktu przyłożenia siły zewnętrznej, jak i punktu, w którym określa się naprężenie.

Ryż. 11.7. Schemat belki ze ściskaniem mimośrodowym

W przypadku rozciągania mimośrodowego belki w otrzymanym wzorze znak „minus” należy zastąpić znakiem „plus”.

Ze wzoru na wyznaczanie naprężeń oraz wykresu rozkładu naprężeń ścinających podczas skręcania widać, że maksymalne naprężenia występują na powierzchni.

Określmy maksymalne napięcie, biorąc to pod uwagę ρ i X = d/ 2, gdzie D- średnica pręta o przekroju okrągłym.

Dla przekroju kołowego biegunowy moment bezwładności oblicza się ze wzoru (patrz wykład 25).

Maksymalne naprężenie występuje na powierzchni, więc mamy

Zazwyczaj JP /pmax wyznaczyć Wp i zadzwoń moment oporu podczas skręcania lub biegunowy moment oporu Sekcje

Zatem, aby obliczyć maksymalne naprężenie na powierzchni okrągłej belki, otrzymujemy wzór

Do przekroju okrągłego

Dla sekcji pierścieniowej

Warunek wytrzymałości na skręcanie

Zniszczenie belki podczas skręcania następuje z powierzchni, przy obliczaniu wytrzymałości stosuje się warunek wytrzymałości

Gdzie [ τ k ] - dopuszczalne naprężenie skręcające.

Rodzaje obliczeń wytrzymałościowych

Istnieją dwa rodzaje obliczeń wytrzymałościowych.

1. Obliczenia projektowe - określa się średnicę belki (wału) w niebezpiecznym odcinku:

2. Sprawdź obliczenie - sprawdzane jest spełnienie warunku wytrzymałościowego

3. Określenie nośności (maksymalny moment obrotowy)

Obliczanie sztywności

Podczas obliczania sztywności określa się odkształcenie i porównuje z dopuszczalnym. Rozważ odkształcenie okrągłej belki pod działaniem zewnętrznej pary sił z momentem T(ryc. 27.4).

W przypadku skręcania odkształcenie jest szacowane na podstawie kąta skręcenia (patrz wykład 26):

Tutaj φ - kąt skrętu; γ - kąt ścinania; l- długość pręta; R- promień; R=d/2. Gdzie

Prawo Hooke'a ma postać τ k = Gγ. Zastąp wyrażenie γ , dostajemy

Praca GJP nazywamy sztywnością przekroju.

Moduł sprężystości można zdefiniować jako G = 0,4MI. Dla stali G= 0,8 10 5 MPa.

Zwykle kąt skrętu jest obliczany na metr długości belki (wału) φ o.

Warunek sztywności skrętnej można zapisać jako

Gdzie φ o - względny kąt skrętu, φ o= φ/l; [φ o ]≈ 1deg/m = 0.02rad/m - dopuszczalny względny kąt skrętu.

Przykłady rozwiązywania problemów

Przykład 1 Na podstawie obliczeń wytrzymałościowych i sztywności określić wymaganą średnicę wału do przenoszenia mocy 63 kW przy prędkości 30 rad/s. Materiał wału - stal, dopuszczalne naprężenie skrętne 30 MPa; dopuszczalny względny kąt skrętu [φ o ]= 0,02 rad/m; moduł ścinania G= 0,8 * 10 5 MPa.

Rozwiązanie

1. Wyznaczanie wymiarów przekroju na podstawie wytrzymałości.

Warunek wytrzymałości na skręcanie:

Moment obrotowy wyznaczamy ze wzoru na moc podczas obrotu:

Z warunku wytrzymałościowego wyznaczamy moment oporu wału podczas skręcania

Podstawiamy wartości w niutonach i mm.

Określ średnicę wału:

2. Wyznaczanie wymiarów przekroju na podstawie sztywności.

Warunek sztywności skrętnej:

Z warunku sztywności wyznaczamy moment bezwładności przekroju podczas skręcania:

Określ średnicę wału:

3. Dobór wymaganej średnicy wału na podstawie obliczeń wytrzymałościowych i sztywnościowych.

Aby zapewnić wytrzymałość i sztywność, wybieramy jednocześnie większą z dwóch znalezionych wartości.

Otrzymaną wartość należy zaokrąglić, stosując zakres preferowanych liczb. Otrzymaną wartość praktycznie zaokrąglamy tak, aby liczba kończyła się na 5 lub 0. Przyjmujemy wartość d wału = 75 mm.

Aby określić średnicę wału, pożądane jest użycie standardowego zakresu średnic podanego w dodatku 2.

Przykład 2 W przekroju belki D= maksymalne naprężenie ścinające 80 mm τ maks\u003d 40 N / mm 2. Określ naprężenie ścinające w punkcie oddalonym o 20 mm od środka przekroju.

Rozwiązanie

B. Oczywiście,

Przykład 3 W punktach wewnętrznego obrysu przekroju poprzecznego rury (d 0 = 60 mm; d = 80 mm) powstają naprężenia ścinające równe 40 N/mm 2 . Określ maksymalne naprężenia ścinające występujące w rurze.

Rozwiązanie

Schemat naprężeń stycznych w przekroju pokazano na ryc. 2.37 V. Oczywiście,

Przykład 4 W pierścieniowym przekroju poprzecznym belki ( d0= 30mm; d= 70 mm) występuje moment obrotowy Mz= 3 kN-m. Oblicz naprężenie ścinające w punkcie oddalonym o 27 mm od środka przekroju.

Rozwiązanie

Naprężenie ścinające w dowolnym punkcie przekroju oblicza się według wzoru

w tym przykładzie Mz= 3 kN-m = 3-10 6 N mm,

Przykład 5 Rura stalowa (d 0 \u003d l00 mm; d \u003d 120 mm) długości l= moment obrotowy 1,8 m T stosowane w jej końcowych odcinkach. Określ wartość T, przy którym kąt skrętu φ = 0,25°. Ze znalezioną wartością T obliczyć maksymalne naprężenia ścinające.

Rozwiązanie

Kąt skręcenia (w stopniach/m) dla jednej sekcji oblicza się ze wzoru

W tym przypadku

Zastępując wartości liczbowe, otrzymujemy

Obliczamy maksymalne naprężenia ścinające:

Przykład 6 Dla danej belki (ryc. 2.38, A) budować wykresy momentów obrotowych, maksymalnych naprężeń ścinających, kątów obrotu przekrojów poprzecznych.

Rozwiązanie

Dana belka ma przekroje I, II, III, IV, V(ryc. 2. 38, A). Przypomnijmy, że granice przekrojów to przekroje, w których stosowane są zewnętrzne (skręcające) momenty i miejsca zmiany wymiarów przekroju.

Korzystając z relacji

budujemy schemat momentów obrotowych.

Konspiratorstwo Mz zaczynamy od wolnego końca belki:

dla działek III I IV

dla witryny V

Schemat momentów obrotowych pokazano na ryc. 2.38, B. Budujemy schemat maksymalnych naprężeń stycznych wzdłuż długości belki. Warunkowo przypisujemy τ sprawdź te same znaki, co odpowiadające im momenty obrotowe. Lokalizacja wł I

Lokalizacja wł II

Lokalizacja wł III

Lokalizacja wł IV

Lokalizacja wł V

Wykres maksymalnych naprężeń ścinających pokazano na ryc. 2.38 V.

Kąt obrotu przekroju poprzecznego belki przy stałej (w każdym przekroju) średnicy przekroju i momencie obrotowym określa wzór

Budujemy schemat kątów obrotu przekrojów poprzecznych. Kąt obrotu sekcji φ l \u003d 0, ponieważ wiązka jest zamocowana w tej sekcji.

Schemat kątów obrotu przekrojów pokazano na ryc. 2.38 G.

Przykład 7 na koło pasowe W wał schodkowy (ryc. 2.39, A) moc przekazywana z silnika N B = 36 kW, koła pasowe A I Z odpowiednio przeniesiony do maszyn energetycznych nie dotyczy= 15 kW i NC= 21 kW. Prędkość wału P= 300 obr./min. Sprawdź wytrzymałość i sztywność wału, jeśli [ τ K J \u003d 30 N / mm 2, [Θ] \u003d 0,3 stopnia / m, G \u003d 8,0-10 4 N / mm 2, d1= 45 mm, d2= 50 mm.

Rozwiązanie

Obliczmy momenty zewnętrzne (skręcające) przyłożone do wału:

Budujemy schemat momentów obrotowych. Jednocześnie, poruszając się od lewego końca wału, warunkowo rozważamy moment odpowiadający N A, pozytywne nc- negatywny. Schemat M z pokazano na ryc. 2.39 B. Maksymalne naprężenia w przekrojach przekroju AB

co jest mniejsze [tk ] o

Względny kąt skrętu przekroju AB

czyli znacznie więcej niż [Θ] ==0,3 st./m.

Maksymalne naprężenia w przekrojach przekroju słońce

co jest mniejsze [tk ] o

Względny kąt skrętu przekroju słońce

czyli znacznie więcej niż [Θ] = 0,3 st./m.

W konsekwencji zapewniona jest wytrzymałość wału, ale nie sztywność.

Przykład 8 Od silnika z paskiem do wału 1 przekazywana moc N= 20 kW, Z wału 1 wchodzi do szybu 2 moc N 1= 15 kW a do maszyn roboczych - moc N 2= 2 kW i N 3= 3 kW. Z wału 2 zasilanie jest dostarczane do pracujących maszyn N 4= 7 kW, N 5= 4 kW, numer 6= 4 kW (ryc. 2.40, A). Określ średnice wałów d 1 i d 2 z warunku wytrzymałości i sztywności, jeśli [ τ K J \u003d 25 N / mm 2, [Θ] \u003d 0,25 stopnia / m, G \u003d 8,0-10 4 N / mm 2. Sekcje wału 1 I 2 uznać za stałą na całej długości. Prędkość wału silnika n = 970 obr/min, średnica koła pasowego D 1 = 200 mm, D 2 = 400 mm, D 3 = 200 mm, D 4 = 600 mm. Zignorować poślizg w napędzie pasowym.

Rozwiązanie

Figa. 2.40 B pokazano wał I. Otrzymuje moc N i moc jest z niego usuwana N l, N 2 , N 3 .

Wyznacz prędkość kątową obrotu wału 1 i zewnętrzne momenty skręcające m, m 1, t 2, t 3:

Budujemy schemat momentu obrotowego dla wału 1 (ryc. 2.40, V). Jednocześnie, poruszając się od lewego końca wału, warunkowo rozważamy momenty odpowiadające N 3 I N 1, pozytywne i N- negatywny. Szacunkowy (maksymalny) moment obrotowy N x 1 maks. = 354,5 H * m.

Średnica wału 1 ze stanu wytrzymałościowego

Średnica wału 1 z warunku sztywności ([Θ], rad/mm)

Na koniec akceptujemy z zaokrągleniem w górę do wartości standardowej d 1 \u003d 58 mm.

Prędkość wału 2

na ryc. 2.40 G pokazano wał 2; moc jest przykładana do wału N 1, a zasilanie jest z niego odłączane N 4 , N 5 , N 6 .

Oblicz zewnętrzne momenty skręcające:

Wykres momentu obrotowego wału 2 pokazany na ryc. 2.40 D. Szacowany (maksymalny) moment obrotowy M i max "= 470 N-m.

Średnica wału 2 od stanu wytrzymałościowego

Średnica wału 2 od warunku sztywności

W końcu akceptujemy d2= 62 mm.

Przykład 9 Wyznacz z warunków wytrzymałości i sztywności moc N(ryc. 2.41, A), które mogą być przenoszone przez stalowy wałek o średnicy d=50 mm, jeśli [t do] \u003d 35 N / mm 2, [ΘJ \u003d 0,9 stopnia / m; G \u003d 8,0 * I0 4 N / mm 2, N= 600 obr./min.

Rozwiązanie

Obliczmy momenty zewnętrzne przyłożone do wału:

Schemat projektu wału pokazano na ryc. 2.41, B.

na ryc. 2.41, V przedstawiono wykres momentów obrotowych. Szacunkowy (maksymalny) moment obrotowy Mz = 9,54N. Stan siły

Stan sztywności

Warunkiem granicznym jest sztywność. Zatem dopuszczalna wartość przesyłanej mocy [N] = 82,3 kW.