Jednym z najczęstszych rodzajów ruchu obiektów w przestrzeni, z którym człowiek spotyka się na co dzień, jest ruch prostoliniowy jednostajnie przyspieszony. W IX klasie szkół średnich ten rodzaj ruchu jest szczegółowo omawiany na lekcjach fizyki. Przyjrzyjmy się temu w artykule.
Kinematyczne cechy ruchu
Zanim podamy wzory opisujące ruch prostoliniowy jednostajnie przyspieszony w fizyce, rozważmy wielkości, które go charakteryzują.
Przede wszystkim jest to przebyta droga. Oznaczymy to literą S. Zgodnie z definicją droga to odległość, jaką ciało przebyło po trajektorii ruchu. W przypadku ruchu prostoliniowego trajektoria jest linią prostą. Odpowiednio ścieżka S jest długością prostego odcinka tej linii. Jest mierzona w metrach (m) w układzie jednostek fizycznych SI.
Prędkość, lub jak to się często nazywa prędkość liniowa, to prędkość zmiany położenia ciała w przestrzeni wzdłuż jego trajektorii ruchu. Oznaczmy prędkość literą v. Mierzy się go w metrach na sekundę (m/s).
Przyspieszenie jest trzecią ważną wielkością opisującą ruch prostoliniowy, równomiernie przyspieszony. Pokazuje, jak szybko zmienia się prędkość ciała w czasie. Przyspieszenie oznacza się symbolem a i wyraża w metrach na sekundę kwadratową (m/s 2).
Tor S i prędkość v są zmiennymi charakterystykami ruchu prostoliniowego, jednostajnie przyspieszonego. Przyspieszenie jest wielkością stałą.
Zależność prędkości od przyspieszenia
Wyobraźmy sobie, że samochód porusza się po prostej drodze, nie zmieniając prędkości v 0 . Ten ruch nazywa się jednolitym. W pewnym momencie kierowca zaczął wciskać pedał gazu, a samochód zaczął zwiększać prędkość, nabierając przyspieszenia a. Jeśli zaczniemy liczyć czas od momentu, w którym samochód uzyskał niezerowe przyspieszenie, to równanie zależności prędkości od czasu przyjmie postać:
Tutaj drugi człon opisuje wzrost prędkości w każdym okresie czasu. Ponieważ v 0 i a są wielkościami stałymi, zaś v i t są parametrami zmiennymi, wykres funkcji v będzie linią prostą przecinającą oś rzędnych w punkcie (0; v 0) i posiadającą pewien kąt nachylenia do oś odciętych (styczna tego kąta to wartość przyspieszenia a).
Na rysunku przedstawiono dwa wykresy. Jedyna różnica między nimi polega na tym, że górny wykres odpowiada prędkości w obecności pewnej wartości początkowej v 0, a dolny opisuje prędkość ruchu prostoliniowego jednostajnie przyspieszonego, gdy ciało zaczęło przyspieszać ze stanu spoczynku (np. przykład samochód rozruchowy).
Należy pamiętać, że jeśli w powyższym przykładzie kierowca wcisnąłby pedał hamulca zamiast pedału gazu, to ruch hamowania opisałby następujący wzór:
Ten rodzaj ruchu nazywany jest ruchem prostoliniowym, równomiernie zwolnionym.
Wzory na przebytą drogę
W praktyce często istotna jest znajomość nie tylko przyspieszenia, ale także wartości drogi, jaką przebywa ciało w danym okresie czasu. W przypadku ruchu prostoliniowego jednostajnie przyspieszonego wzór ten ma ogólną postać:
S = v 0 * t + za * t 2 / 2.
Pierwszy człon odpowiada ruchowi jednostajnemu bez przyspieszenia. Drugi składnik to udział w drodze przebytej przez ruch przyspieszony netto.
W przypadku hamowania poruszającego się obiektu wyrażenie na drogę będzie miało postać:
S = v 0 * t - a * t 2 / 2.
W przeciwieństwie do poprzedniego przypadku, tutaj przyspieszenie jest skierowane przeciwko prędkości ruchu, co prowadzi do tego, że ta ostatnia po pewnym czasie od rozpoczęcia hamowania spada do zera.
Nietrudno się domyślić, że wykresy funkcji S(t) będą gałęziami paraboli. Poniższy rysunek przedstawia te wykresy w formie schematycznej.
Parabole 1 i 3 odpowiadają przyspieszonemu ruchowi ciała, parabola 2 opisuje proces hamowania. Można zauważyć, że droga przebyta dla 1 i 3 stale rośnie, natomiast dla 2 osiąga pewną stałą wartość. To drugie oznacza, że ciało przestało się poruszać.
Problem z synchronizacją ruchu
Samochód ma zawieźć pasażera z punktu A do punktu B. Odległość między nimi wynosi 30 km. Wiadomo, że samochód porusza się z przyspieszeniem 1 m/s 2 przez 20 sekund. Wtedy jego prędkość się nie zmienia. W jakim czasie samochód dowiezie pasażera do punktu B?
Droga, jaką przebędzie samochód w ciągu 20 sekund, będzie równa:
W tym przypadku prędkość, jaką uzyska w ciągu 20 sekund, jest równa:
Następnie wymagany czas ruchu t można obliczyć korzystając ze wzoru:
t = (S - S 1) / v + t 1 = (S - a * t 1 2 / 2) / (a * t 1) + t 1.
Tutaj S jest odległością pomiędzy A i B.
Przekształćmy wszystkie znane dane na układ SI i podstawmy je na wyrażenie pisane. Otrzymujemy odpowiedź: t = 1510 sekund, czyli około 25 minut.
Problem z obliczeniem drogi hamowania
Rozwiążmy teraz problem równomiernie zwolnionego tempa. Załóżmy, że ciężarówka poruszała się z prędkością 70 km/h. Kierowca zauważył przed sobą czerwone światło i zaczął się zatrzymywać. Jaka jest droga hamowania samochodu, jeśli zatrzyma się w ciągu 15 sekund?
S = v 0 * t - a * t 2 / 2.
Znamy czas hamowania t i prędkość początkową v 0. Przyspieszenie a można wyznaczyć z wyrażenia na prędkość, zakładając, że jego wartość końcowa wynosi zero. Mamy:
Podstawiając otrzymane wyrażenie do równania, dochodzimy do ostatecznego wzoru na ścieżkę S:
S = v 0 * t - v 0 * t / 2 = v 0 * t / 2.
Podstawiamy wartości z warunku i zapisujemy odpowiedź: S = 145,8 metra.
Problem wyznaczania prędkości swobodnego spadania
Być może najpowszechniejszym ruchem prostoliniowym, równomiernie przyspieszonym w przyrodzie jest swobodny spadek ciał w polu grawitacyjnym planet. Rozwiążmy następujący problem: ciało zostaje spuszczone z wysokości 30 metrów. Jaką prędkość będzie miał, gdy uderzy w powierzchnię ziemi?
Gdzie g = 9,81 m/s 2.
Czas opadania ciała wyznaczamy z odpowiedniego wyrażenia dla ścieżki S:
S = g * t 2 / 2;
t = √(2 * S / g).
Podstawiając czas t do wzoru na v, otrzymujemy:
v = g * √(2 * S / g) = √(2 * S * g).
Z warunku znana jest wartość drogi S, którą przebyło ciało, podstawiamy ją do równości i otrzymujemy: v = 24,26 m/s, czyli około 87 km/h.
Graficzne przedstawienie jednolitego ruchu liniowego
Ruch mechaniczny jest przedstawiony graficznie. Zależność wielkości fizycznych wyraża się za pomocą funkcji. Wyznaczyć:
V (t) - zmiana prędkości w czasie
a(t) - zmiana przyspieszenia w czasie
Za przyspieszenie w funkcji czasu. Ponieważ w ruchu jednostajnym przyspieszenie wynosi zero, zależność a(t) jest linią prostą leżącą na osi czasu.
Zależność prędkości od czasu. Ponieważ ciało porusza się prostoliniowo i równomiernie (v = const), tj. prędkość nie zmienia się w czasie, wówczas wykres zależności prędkości od czasu v(t) jest linią prostą równoległą do osi czasu.
Rzut ruchu ciała jest liczbowo równy polu prostokąta AOBC pod wykresem, ponieważ wielkość wektora ruchu jest równa iloczynowi wektora prędkości i czasu, w którym ruch został wykonany.
Zasada wyznaczania ścieżki za pomocą wykresu v(t): w przypadku prostoliniowego ruchu jednostajnego wielkość wektora przemieszczenia jest równa polu prostokąta pod wykresem prędkości.
Zależność przemieszczenia od czasu. Wykres s(t) - linia nachylona :
Z wykresu wynika, że rzut prędkości jest równy:
Po rozważeniu tego wzoru można powiedzieć, że im większy kąt, tym szybciej ciało się porusza i pokonuje większą odległość w krótszym czasie.
Zasada wyznaczania prędkości za pomocą wykresu s(t): Tangens kąta nachylenia wykresu do osi czasu jest równy prędkości ruchu.
Nierówny, prosty ruch.
Ruch jednostajny to ruch ze stałą prędkością. Jeśli prędkość ciała się zmienia, mówimy, że porusza się ono nierównomiernie.
Nazywa się ruch, podczas którego ciało wykonuje nierówne ruchy w równych odstępach czasu nierówny Lub zmienny ruch.
Aby scharakteryzować ruch nierówny, wprowadzono pojęcie prędkości średniej.
Średnia prędkość jazdy równy stosunkowi całej drogi przebytej przez punkt materialny do okresu czasu, w którym tę drogę przebył.
W fizyce największym zainteresowaniem nie jest średnia, ale chwilowa prędkość , który definiuje się jako granicę, do której dąży średnia prędkość w nieskończenie małym okresie czasu Δ T:
Natychmiastowa prędkośćruch zmienny to prędkość ciała w danym momencie lub w danym punkcie trajektorii.
Chwilowa prędkość ciała w dowolnym punkcie krzywoliniowej trajektorii jest skierowana stycznie do trajektorii w tym punkcie.
Na rysunku pokazano różnicę między prędkością średnią i chwilową.
Nazywa się ruch ciała, w którym jego prędkość zmienia się jednakowo w równych odstępach czasu równomiernie przyspieszony Lub ruch jednostajnie zmienny.
Przyspieszenie -jest to wektorowa wielkość fizyczna charakteryzująca szybkość zmiany prędkości, liczbowo równa stosunkowi zmiany prędkości do okresu czasu, w którym ta zmiana nastąpiła.
Jeżeli prędkość zmienia się równomiernie w całym ruchu, to przyspieszenie można obliczyć ze wzoru:
Oznaczenia:
V x - Prędkość ciała w ruchu jednostajnie przyspieszonym po linii prostej
V x o - Prędkość początkowa ciała
a x - Przyspieszenie ciała
t - Czas ruchu ciała
Przyspieszenie pokazuje, jak szybko zmienia się prędkość ciała. Jeśli przyspieszenie jest dodatnie, wówczas prędkość ciała wzrasta, ruch jest przyspieszany. Jeśli przyspieszenie jest ujemne, oznacza to, że prędkość maleje, a ruch jest powolny.
Jednostką przyspieszenia w układzie SI jest [m/s2].
Mierzone jest przyspieszenie akcelerometr
Równanie prędkości dla ruchu jednostajnie przyspieszonego: v x = v xo + a x t
Równanie ruchu prostoliniowego jednostajnie przyspieszonego(ruch podczas ruchu jednostajnie przyspieszonego):
Oznaczenia:
S x - Przemieszczenie ciała podczas ruchu jednostajnie przyspieszonego po linii prostej
V x o - Prędkość początkowa ciała
V x - Prędkość ciała w ruchu jednostajnie przyspieszonym po linii prostej
a x - Przyspieszenie ciała
t - Czas ruchu ciała
Więcej wzorów na znalezienie przemieszczenia podczas ruchu liniowego równomiernie przyspieszonego, które można wykorzystać przy rozwiązywaniu problemów:
Jeśli znana jest prędkość początkowa i końcowa oraz przyspieszenie.
Jeżeli znana jest prędkość początkowa i końcowa ruchu oraz czas całego ruchu
Graficzne przedstawienie nierównego ruchu liniowego
Ruch mechaniczny jest przedstawiony graficznie. Zależność wielkości fizycznych wyraża się za pomocą funkcji. Wyznaczyć:
V(t) – zmiana prędkości w czasie
S(t) - zmiana przemieszczenia (ścieżki) w czasie
1) Metoda analityczna.Uważamy, że autostrada jest prosta. Zapiszmy równanie ruchu rowerzysty. Ponieważ rowerzysta poruszał się ruchem jednostajnym, jego równanie ruchu wygląda następująco:
(początek współrzędnych umieszczamy w punkcie startu, zatem współrzędna początkowa rowerzysty wynosi zero).
Motocyklista jechał ze stałym przyspieszeniem. Zaczął także poruszać się od punktu startu, zatem jego współrzędna początkowa wynosi zero, prędkość początkowa motocyklisty również wynosi zero (motocyklista zaczął ruszać ze stanu spoczynku).
Biorąc pod uwagę, że motocyklista zaczął poruszać się później, równanie ruchu motocyklisty wygląda następująco:
W tym przypadku prędkość motocyklisty zmieniła się zgodnie z prawem:
W chwili, gdy motocyklista dogonił rowerzystę, ich współrzędne są równe, tj. Lub:
Rozwiązując to równanie dla , znajdujemy czas spotkania:
To jest równanie kwadratowe. Definiujemy dyskryminator:
Określanie korzeni:
Podstawiamy wartości liczbowe do wzorów i obliczamy:
Odrzucamy drugi pierwiastek jako nie odpowiadający fizycznym warunkom problemu: motocyklista nie był w stanie dogonić rowerzysty 0,37 s po tym, jak rowerzysta ruszył, ponieważ on sam opuścił punkt startu zaledwie 2 s po ruszeniu przez rowerzystę.
Zatem czas dogonienia motocyklisty z rowerzystą:
Podstawmy tę wartość czasu do wzoru na prawo zmiany prędkości motocyklisty i znajdźmy wartość jego prędkości w tym momencie:
2) Metoda graficzna.
Na tej samej płaszczyźnie współrzędnych budujemy wykresy zmian w czasie współrzędnych rowerzysty i motocyklisty (wykres dla rowerzysty jest na czerwono, dla motocyklisty – na zielono). Można zauważyć, że zależność współrzędnej od czasu dla rowerzysty jest funkcją liniową, a wykres tej funkcji jest linią prostą (przypadek ruchu jednostajnego prostoliniowego). Motocyklista poruszał się ze jednostajnym przyspieszeniem, więc zależność współrzędnych motocyklisty od czasu jest funkcją kwadratową, której wykresem jest parabola.
Równie naprzemienny ruch. Równania prędkości i przemieszczenia dla ruchu jednostajnie naprzemiennego. Graficzne przedstawienie ruchu równomiernie naprzemiennego.
Krótka odpowiedź
równomiernie przyspieszony Lub ruch jednostajnie zmienny.
Oznaczenia:
Początkowa prędkość ciała
Przyspieszenie ciała
Czas ruchu ciała
S(t) - zmiana przemieszczenia (ścieżki) w czasie
a(t) - zmiana przyspieszenia w czasie
Zależność przyspieszenia od czasu. Przyspieszenie nie zmienia się w czasie, ma stałą wartość, wykres a(t) jest linią prostą równoległą do osi czasu.
Zależność prędkości od czasu. Przy ruchu jednostajnym prędkość zmienia się zgodnie z zależnością liniową. Wykres jest linią nachyloną.
Zasada wyznaczania ścieżki za pomocą wykresu v(t):Ścieżka ciała to obszar trójkąta (lub trapezu) pod wykresem prędkości.
Zasada wyznaczania przyspieszenia za pomocą wykresu v(t): Przyspieszenie ciała to tangens kąta nachylenia wykresu do osi czasu. Jeśli ciało zwalnia, przyspieszenie jest ujemne, kąt wykresu jest rozwarty, więc znajdujemy tangens sąsiedniego kąta.
Zależność ścieżki od czasu. Przy ruchu równomiernie przyspieszonym ścieżka zmienia się zgodnie z zależnością kwadratową. We współrzędnych zależność ma postać 
. Wykres jest gałęzią paraboli.
Nazywa się ruch, podczas którego ciało wykonuje nierówne ruchy w równych odstępach czasu nierówny Lub zmienny ruch.
Aby scharakteryzować ruch nierówny, wprowadza się pojęcie prędkości średniej:
Średnia prędkość ruchu jest równa stosunkowi całej drogi przebytej przez punkt materialny do okresu czasu, w którym przebyła tę drogę.
W fizyce największym zainteresowaniem nie jest średnia, ale chwilowa prędkość , który definiuje się jako granicę, do której dąży średnia prędkość w nieskończenie małym okresie czasu Δ T:
Natychmiastowa prędkośćruch zmienny to prędkość ciała w danym momencie lub w danym punkcie trajektorii.
Chwilowa prędkość ciała w dowolnym punkcie krzywoliniowej trajektorii jest skierowana stycznie do trajektorii w tym punkcie.
Nazywa się ruch ciała, w którym jego prędkość zmienia się jednakowo w równych odstępach czasurównomiernie przyspieszony Lub ruch jednostajnie zmienny.
Prędkość dla ruchu równomiernie przyspieszonego po linii prostej - jest to prędkość początkowa ciała plus przyspieszenie tego ciała pomnożone przez czas podróży
Poruszanie się ruchem jednostajnie przyspieszonym po linii prostej- jest to droga przebyta przez ciało w linii prostej (odległość pomiędzy punktem początkowym i końcowym ruchu)
Oznaczenia:
Przemieszczenie ciała podczas ruchu jednostajnie przyspieszonego po linii prostej
Początkowa prędkość ciała
Prędkość ciała podczas ruchu jednostajnie przyspieszonego po linii prostej
Przyspieszenie ciała
Czas ruchu ciała
Więcej wzorów na znalezienie przemieszczenia podczas ruchu liniowego równomiernie przyspieszonego, które można wykorzystać przy rozwiązywaniu problemów:
- jeżeli znana jest prędkość początkowa i końcowa oraz przyspieszenie.
- jeśli znane są prędkości początkowe, końcowe ruchu i czas całego ruchu
Graficzne przedstawienie nierównego ruchu liniowego
Ruch mechaniczny jest przedstawiony graficznie. Zależność wielkości fizycznych wyraża się za pomocą funkcji. Wyznaczyć:
(t) - zmiana prędkości w czasie
Jest to ruch, podczas którego prędkość ciała zmienia się jednakowo w równych odstępach czasu, tj. przyspieszenie jest stałe.
Przykładami takiego ruchu są swobodny spadek ciał w pobliżu powierzchni Ziemi oraz ruch pod wpływem stałej siły.
Przy ruchu liniowym równomiernie przyspieszonym współrzędna ciała zmienia się w czasie zgodnie z prawem ruchu:
Gdzie X 0 – początkowa współrzędna punktu materialnego, 0 X– rzut prędkości początkowej i A X– rzut przyspieszenia punktowego na oś 0 X.
Rzut prędkości punktu materialnego na oś 0 X w tym przypadku zmienia się zgodnie z następującym prawem:
W tym przypadku rzuty prędkości i przyspieszenia mogą przyjmować różne wartości, w tym także ujemne.
Wykresy zależności X (T) I X(T) reprezentują odpowiednio linię prostą i parabolę i podobnie jak w algebrze współczynniki w równaniach linii prostej i paraboli można wykorzystać do oceny położenia wykresu funkcji względem osi współrzędnych.
|
|
Rysunek 6 przedstawia wykresy dla X(T),X (T),S(T) Kiedy X 0 > 0, 0 X > 0,A X < 0. Соответственно прямая(T) ma nachylenie ujemne (tg =A X < 0).
3. Ruch obrotowy i jego parametry kinematyczne. Zależność prędkości kątowych i liniowych.
Jednolity ruch po okręgu zachodzi przy stałej prędkości bezwzględnej, tj. = const (rys. 7). Jednakże kierunek prędkości podczas takiego ruchu stale się zmienia, zatem ruch jednostajny ciała po okręgu jest ruchem z przyspieszeniem.
Do opisu ruchu jednostajnego ciała po okręgu wprowadza się następujące wielkości fizyczne: okres,częstotliwość obiegu,prędkość liniowa,prędkość kątowa I przyspieszenie dośrodkowe.
Okres obieguT– czas potrzebny na wykonanie jednego pełnego obrotu.
Częstotliwość to liczba obrotów wykonanych przez ciało w ciągu 1 s. Jednostką częstotliwości cyrkulacji w układzie SI jest c –1.
Częstotliwość i okres obrotu są ze sobą powiązane zależnością.
Kiedy punkt porusza się po okręgu, wektor prędkości stale zmienia swój kierunek (rys. 8).
Przy ruchu jednostajnym ciała po okręgu odcinek toru S, podróżował w pewnym okresie T, jest długością łuku koła. Zależność ta jest stała w czasie i nazywa się ją moduł prędkości liniowej. Przez czas równy okresowi obiegu T, punkt pokonuje drogę równą obwodowi koła 2 R, Dlatego
Prędkość obrotu ciał stałych charakteryzuje się zwykle wielkością fizyczną zwaną prędkością kątową , której moduł jest równy stosunkowi kąta obrotu ciała do czasu, w którym ten obrót się kończy ( Ryc. 8):
Jednostką prędkości kątowej w układzie SI jest c –1.
Ponieważ orientacja ciała sztywnego jest taka sama we wszystkich układach odniesienia poruszających się względem siebie translacyjnie, prędkość kątowa obrotu ciała sztywnego będzie taka sama we wszystkich układach odniesienia poruszających się względem siebie translacyjnie.
Przy równomiernym obrocie sztywnego ciała wokół określonej osi, dowolny punkt tego ciała porusza się wokół tej samej osi po okręgu o promieniu R z prędkością liniową, która jest równa
Jeżeli początkowe współrzędne punktu są równe ( R; 0), wówczas jego współrzędne zmieniają się zgodnie z prawem X(T) =R cos T I y(T) =R grzech T.