| § 1.1. Systemy liczbowe

Lekcje 2 - 5
§ 1.1. Systemy liczbowe

Słowa kluczowe:

Notacja
numer
alfabet
system liczb pozycyjnych
baza
rozszerzona forma liczby
złożona forma liczby
system binarny
ósemkowy system liczbowy
szesnastkowy system liczbowy

1.1.1. Ogólne informacje o systemach liczbowych

System liczbowy jest systemem znaków, w którym przyjęte są pewne zasady zapisywania liczb.. Nazywa się znaki, za pomocą których zapisywane są liczby (ryc. 1.1). figurki, a ich całość wynosi alfabet systemu liczbowego.

Ryż. 1.1. Znaki używane do zapisywania liczb w różnych systemach liczbowych

W dowolnym systemie liczbowym do oznaczenia liczb używane są cyfry, zwane węzłowymi; pozostałe liczby (algorytmiczne) uzyskujemy w wyniku dowolnych operacji na numerach węzłów.

Przykład 1. Wśród Babilończyków liczbami węzłowymi były 1, 10, 60; w systemie liczb rzymskich liczby węzłowe to 1, 5, 10, 50, 100, 500 i 1000, oznaczone odpowiednio przez I, V, X, L, C, D, M.

Systemy liczbowe różnią się wyborem liczb węzłowych i sposobami tworzenia liczb algorytmicznych. Można wyróżnić następujące typy systemów liczbowych:

1) system jednoargumentowy;
2) systemy niepozycyjne;
3) systemy pozycyjne.

Najprostszym i najstarszym systemem jest tzw. system liczb jednoargumentowych.. Do zapisywania dowolnych liczb używa tylko jednego symbolu - patyka, supełka, wycięcia, kamyka. Długość rekordu liczbowego w tym kodowaniu jest bezpośrednio powiązana z jego wartością, co czyni tę metodę powiązaną z geometryczną reprezentacją liczb w postaci segmentów. To właśnie system jednoargumentowy leży u podstaw arytmetyki i to właśnie on wciąż wprowadza pierwszoklasistów w świat liczenia. System jednoargumentowy nazywany jest także systemem znaczników.

System liczbowy nazywa się niepozycyjnym, jeśli ilościowy odpowiednik (wartość ilościowa) cyfry w liczbie nie zależy od jej pozycji w zapisie liczby.

W większości niepozycyjnych systemów liczbowych liczby tworzy się przez dodanie numerów węzłów.

Przykład 2. W starożytny Egipcjanin systemie liczbowym, liczby 1, 2, 3, 4, 10, 13, 40 oznaczono odpowiednio w następujący sposób:

Te same numery w rzymski System liczbowy oznacza się następująco: I, II, III, IV, X, XIII, XL. Tutaj liczby algorytmiczne uzyskuje się poprzez dodawanie i odejmowanie numerów węzłów, uwzględniając następującą zasadę: każdy mniejszy znak umieszczony na prawo od większego jest dodawany do jego wartości, a każdy mniejszy znak umieszczony na lewo od większego jest od niego odjęte.

System liczbowy nazywa się pozycyjnym, jeśli ilościowy odpowiednik cyfry zależy od jej pozycji (pozycji) w zapisie liczby. Podstawa systemu liczb pozycyjnych jest równa liczbie cyfr tworzących jego alfabet.

Dziesiętny system liczbowy z którym jesteśmy przyzwyczajeni korzystać w życiu codziennym, z którym znamy się od dzieciństwa, w którym przeprowadzamy wszystkie nasze obliczenia - przykład pozycyjnego systemu liczbowego. Alfabet systemu dziesiętnego tworzą liczby O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Liczby algorytmiczne tworzy się w nim w następujący sposób: wartości liczb są mnożone przez „wagi” odpowiednich cyfr i wszystkie otrzymane wartości są dodawane. Widać to wyraźnie w cyfrach języka rosyjskiego, na przykład: „ trzysta pięć dziesięć siedem».

Podstawą systemu liczb pozycyjnych może być dowolna liczba naturalna q > 1. Alfabetem dowolnego systemu liczb pozycyjnych o podstawie q są liczby O, 1, ..., q-1, z których każdą można zapisać jednym unikalnym znakiem; najniższa cyfra to zawsze O.

Głównymi zaletami każdego systemu liczb pozycyjnych jest łatwość wykonywania operacji arytmetycznych i ograniczona liczba znaków wymaganych do zapisania dowolnych liczb.

Tutaj:

A jest liczbą;




q i - „waga” i-tej cyfry.

Zapisywanie liczby według wzoru (1) nazywa się rozszerzoną formą zapisu. Złożona forma zapisu liczby jest jej reprezentacją w formie 1


Przykład 3. Rozważmy liczbę dziesiętną 14351.1. Jej złożona forma zapisu jest tak znajoma, że ​​nie zauważamy, jak w myślach przechodzimy na zapis rozszerzony, mnożąc cyfry liczby przez „wagi” cyfr i dodając otrzymane iloczyny:

1.1.2. Binarny system liczbowy

Binarny system liczbowy to pozycyjny system liczbowy o podstawie 2. Do zapisywania liczb w systemie binarnym używane są tylko dwie cyfry: 0 i 1.

Na podstawie wzoru (1) na liczby całkowite binarne możemy napisać:

Na przykład:

Ta forma zapisu „sugeruje” zasadę konwersji naturalnych liczb binarnych na dziesiętny system liczbowy: konieczne jest obliczenie sumy potęg dwóch odpowiadających jednostkom w złożonej formie liczby binarnej.

Uzyskajmy regułę konwersji liczb dziesiętnych całkowitych na system binarny ze wzoru (1").

Podziel przez 2. Iloraz wyniesie , a reszta będzie wynosić 0 .

Wynikowy iloraz jest ponownie dzielony przez 2, reszta dzielenia będzie równa 1.

Jeśli będziemy kontynuować ten proces dzielenia, to w n-tym kroku otrzymamy zbiór liczb:

które są zawarte w binarnej reprezentacji pierwotnej liczby i pokrywają się z resztą, gdy jest ona sukcesywnie dzielona przez 2.

Zatem, aby zamienić dziesiętną liczbę całkowitą na system binarny, należy kolejno dzielić tę liczbę i powstałe ilorazy całkowite przez 2, aż otrzymamy iloraz równy zero. Oryginalną liczbę w systemie liczb binarnych kompiluje się poprzez sekwencyjne zapisywanie powstałych reszt, zaczynając od ostatniej.

Przykład 4. Zamieńmy liczbę dziesiętną 11 na system binarny. Sekwencję rozważanych powyżej działań (algorytm tłumaczenia) można przedstawić w następujący sposób:

Wypisując resztę dzielenia w kierunku wskazanym strzałką, otrzymujemy: 11 10 = 1011 2 .

Przykład 5. Jeśli liczba dziesiętna jest wystarczająco duża, wygodniejszy jest następujący sposób zapisania powyższego algorytmu:

363 10 = 101101011 2

1.1.3. System liczb ósemkowych

System liczb ósemkowych to pozycyjny system liczbowy o podstawie 8. Do zapisywania liczb w systemie ósemkowym stosuje się liczby: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Na podstawie wzoru (1) dla liczby całkowitej ósemkowej możemy napisać:

Na przykład: 1063 8 = 1 8 3 + 0 8 2 + 6 8 1 + 3 8 0 = 563 10 .

Aby więc przekonwertować liczbę całkowitą ósemkową na system dziesiętny, należy przejść do jej rozwiniętej notacji i obliczyć wartość powstałego wyrażenia.

Aby przetłumaczyć dziesiętną liczbę całkowitą na system liczb ósemkowych, należy kolejno dzielić tę liczbę i powstałe ilorazy całkowite przez 8, aż otrzymamy iloraz równy zero. Liczbę pierwotną w nowym systemie liczbowym zestawia się poprzez sekwencyjne zapisywanie powstałych reszt, zaczynając od ostatniej.

Przykład 6. Zamieńmy liczbę dziesiętną 103 na system liczb ósemkowych.

103 10 = 147 8

1.1.4. Szesnastkowy system liczbowy

Podstawa: q = 16.

Alfabet: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Tutaj tylko dziesięć cyfr z szesnastu ma ogólnie przyjęte oznaczenie 0, ..., 9. Aby zapisać liczby z dziesiętnymi odpowiednikami ilościowymi 10, 11, 12, 13, 14, 15, zwykle używa się pierwszych pięciu liter alfabetu łacińskiego używany.

Stąd wpis 3AF16 oznacza:

Przykład 7. Przekonwertujmy liczbę dziesiętną 154 na system liczb szesnastkowych.

154 10 = 9A 16

1.1.5. Reguła konwersji liczb dziesiętnych całkowitych na system liczbowy o podstawie q

Aby przekonwertować liczbę dziesiętną całkowitą na system liczbowy o podstawie g, należy:

1) dzielimy kolejno podaną liczbę i powstałe ilorazy całkowite przez podstawę nowego systemu liczbowego, aż otrzymamy iloraz równy zero;
2) powstałe reszty będące cyframi liczby w nowym systemie liczbowym dostosowują je do alfabetu nowego systemu liczbowego;
3) dokonać numeru w nowym systemie numeracyjnym, zapisując go, zaczynając od ostatniego otrzymanego salda.

Wyobraźmy sobie tabelę korespondencji liczb dziesiętnych, binarnych, ósemkowych i szesnastkowych od 0 do 20 10 .

Ujednolicony zbiór cyfrowych zasobów edukacyjnych (http://sc.edu.ru/) zawiera interaktywną animację „Przekształcanie liczby dziesiętnej na inny system liczbowy” (135050). Za jego pomocą można zaobserwować tłumaczenie dowolnej liczby całkowitej od 0 do 512 na system liczb pozycyjnych, którego podstawa nie przekracza 16.

W znajdującym się tam wirtualnym laboratorium „Wagi Cyfrowe” (135009) można poznać inny sposób przekładania liczb całkowitych na inne systemy liczbowe – metodę różnic.

1.1.6. Arytmetyka binarna

Arytmetyka binarna opiera się na zastosowaniu następujących tabliczek dodawania i mnożenia:

Przykład 8. Tabela dodawania binarnego jest niezwykle prosta. Ponieważ 1 + 1 = 10, 0 pozostaje w najmniej znaczącym bicie, a 1 jest przenoszone na najbardziej znaczący bit.

Przykład 9. Operację mnożenia liczb binarnych wykonuje się według zwykłego schematu stosowanego w systemie liczb dziesiętnych, z sukcesywnym mnożeniem mnożnika przez kolejną cyfrę mnożnika.

Zatem w systemie binarnym mnożenie sprowadza się do przesunięć mnożnej i dodawania.

1.1.7. „Komputerowe” systemy liczbowe

W technologii komputerowej stosuje się binarny system liczbowy, który zapewnia szereg zalet w porównaniu z innymi systemami liczbowymi:

Liczby binarne są reprezentowane w komputerze za pomocą dość prostych elementów technicznych z dwoma stabilnymi stanami;
reprezentacja informacji za pomocą tylko dwóch stanów jest niezawodna i odporna na zakłócenia;
arytmetyka binarna jest najprostsza;
istnieje aparat matematyczny zapewniający logiczne przekształcenia danych binarnych.

Wymiana informacji pomiędzy urządzeniami komputerowymi odbywa się poprzez przesyłanie kodów binarnych. Używanie takich kodów jest niewygodne ze względu na ich dużą długość i jednolitość wizualną. Dlatego specjaliści (programiści, inżynierowie) na niektórych etapach rozwoju, tworzenia, konfiguracji systemów obliczeniowych zastępują kody binarne równoważnymi wartościami w systemach liczb ósemkowych lub szesnastkowych. W rezultacie długość oryginalnego słowa zmniejsza się odpowiednio trzy, cztery razy. Ułatwia to przeglądanie i analizę informacji.

Korzystając z zasobu „Interaktywna książka problemów, sekcja „Systemy liczbowe”” (128659), znajdującego się w Unified Collection of Digital Educational Resources, możesz sprawdzić, jak dobrze opanowałeś materiał studiowany w tym akapicie.

NAJWAŻNIEJSZE

System liczbowy jest systemem znaków, w którym przyjęte są pewne zasady zapisywania liczb. Znaki, za pomocą których zapisywane są liczby, nazywane są cyframi, a ich całość nazywana jest alfabetem systemu liczbowego.

System liczbowy nazywa się pozycyjnym, jeśli ilościowy odpowiednik cyfry zależy od jej pozycji (pozycji) w zapisie liczby. Podstawa systemu liczb pozycyjnych jest równa liczbie cyfr tworzących jego alfabet.

Podstawą systemu liczb pozycyjnych może być dowolna liczba naturalna q > 1.

W systemie liczb pozycyjnych o podstawie q dowolną liczbę można przedstawić jako:

Tutaj:

A jest liczbą;
q jest podstawą systemu liczbowego;
a i - cyfry należące do alfabetu danego systemu liczbowego;
n jest liczbą cyfr całkowitych liczby;
m - liczba cyfr ułamkowych liczby;
q i - „waga” i-tej cyfry.

Pytania i zadania

1. Zapoznać się z materiałami prezentacyjnymi do akapitu zawartego w elektronicznym suplemencie do podręcznika. Co możesz powiedzieć o formach prezentacji informacji w prezentacji i w podręczniku? Jakie slajdy chcesz dodać do swojej prezentacji?

2. Znajdź więcej informacji na temat jednoargumentowych, pozycyjnych i niepozycyjnych systemów liczbowych. Czym się różnią? Daj przykłady.

3. Liczby, których systemy liczbowe pokazano na ryc. 1.1?

4. Wyjaśnij, dlaczego pozycyjne systemy liczbowe o podstawach 5, 10, 12 i 20 nazywane są systemami liczbowymi pochodzenia anatomicznego.

5. Jak przejść od postaci złożonej liczby dziesiętnej do postaci rozwiniętej?

6. Zapisz liczby w rozwiniętej formie:

a) 143.511 10 ;
b) 143511 8 ;
c) 143511 16;
d) 1435,11 8

7. Oblicz dziesiętne odpowiedniki następujących liczb:

a) 172 8 ;
b) 2EA 16;
c) 101010 2 ;
d) 10.12;
e) 243 6 .

8. Wskaż, która z liczb 110011 2 , 111 4 , 35 8 i 1B 16 to:

a) największy;
b) najmniejszy.

9. Jaka jest minimalna podstawa systemu liczbowego, jeśli zapisane są w nim liczby 123, 222, 111, 241? Określ dziesiętny odpowiednik tych liczb w znalezionym systemie liczbowym.

10. Czy poniższe równości są prawdziwe?

a) 33 4 \u003d 21 7;
b) 33 8 = 21 4 .

11. Znajdź podstawę x systemu liczbowego, jeśli:

a) 14 x \u003d 9 10;
b) 2002x. = 130 10 .

12. Zamień liczby całkowite z dziesiętnego na binarny:

a) 89;
b) 600;
c) 2010.

13. Zamień liczby całkowite z dziesiętnego na ósemkowe:

a) 513;
b) 600;
c) 2010.

14. Konwertuj liczby całkowite z systemu dziesiętnego na szesnastkowy:

a) 513;
b) 600;
c) 2010.

15. Wypełnij tabelę, w której w każdym wierszu należy zapisać tę samą liczbę w systemach liczbowych o podstawach 2, 8, 10 i 16.

– Igor (Administrator)

W tym artykule opowiem Ci jakie są systemy liczbowe, a także to, czym są.

Na co dzień posługujemy się różnymi systemami liczbowymi, na przykład dziesiętnym. A jeśli wiesz więcej o technologiach informatycznych, nie sposób nie wspomnieć o systemie binarnym, ósemkowym i szesnastkowym. Jednak nie wszyscy wiedzą, co to jest i czy są jakieś niuanse. Dlatego dalej postaram się umieścić wszystko na półkach.

Notacja to metoda określająca zapis liczb, a także możliwe działania matematyczne na tych liczbach.

Aby ułatwić zrozumienie, rozważmy prosty przykład. Załóżmy, że nie ma systemu dziesiętnego i trzeba policzyć talerze na stole. Po pierwsze, aby rozwiązać ten problem, potrzebujesz kilku wskazówek. Na przykład 1 zapałka to jeden talerz, a pudełko to 10 talerzy. Drugim zadaniem jest umiejętność operowania tymi liczbami w jakiś sposób. Abyś mógł dodawać lub usuwać talerze ze stołu i móc je policzyć. Tutaj wszystko jest znajome, dodano tabliczkę - dodano zapałkę, zabrano płytkę - zapałkę usunięto, było 10 zapałek, zastąpiono je pudełkami.

To jest przykład prostego systemu liczbowego, składającego się z zapisywania liczb (zapałki, prostokąt) i operacji matematycznych (dodawanie, usuwanie).

Ludzkość od dawna stoi przed pytaniem, jak śledzić liczby, dlatego istnieją ich gradacje. A oto co najmniej 3 typy:

1. Niepozycyjny system liczbowy- najstarszy typ systemu. Oznacza to, że każda cyfra w liczbie nie zależy od jej lokalizacji (pozycji, cyfry). Na przykład system wymyślony tuż powyżej nie jest pozycyjny. Ponieważ możesz układać zapałki i pudełka w dowolnej kolejności (nawet w okręgu, nawet ukośnie), a to nie zmieni ich całkowitej ilości.

2. Pozycyjny system liczbowy (jednorodny)- system ten zakłada, że ​​każdy znak w połączeniu z jego pozycją ma sens. Na przykład znany nam system dziesiętny. W nim kolejność liczby jest ważna i wpływa na samą liczbę. Zatem 120 nie równa się 201, chociaż same liczby są takie same. Jednocześnie należy zauważyć, że w pozycyjnych układach jednorodnych każda pozycja może przyjmować dowolny z podstawowych elementów rachunku. Oznacza to, że jeśli mówimy o systemie binarnym, wówczas wartość dowolnej cyfry może wynosić 0 lub 1. Dla ósemkowego - od 0 do 7. I tak dalej.

3. Mieszany system liczbowy- jak sama nazwa wskazuje, są to różne odmiany systemów. Najczęściej są to zmodyfikowane systemy rachunku pozycyjnego. Na przykład data i godzina, w której istnieją ograniczenia dotyczące kolejności liczb i ich możliwych wartości.

Choć gradacja wydaje się bardzo prosta, warto pamiętać, że obecnie istnieje ogromna liczba systemów liczbowych stosowanych w różnych dziedzinach. To jest kryptografia, komputery i wiele więcej. Ponadto, jeśli rozważymy ten sam przykład dotyczący zapałek, wówczas w życiu codziennym wynaleziono wiele takich systemów. Przykładowo, każdy może w swoisty sposób prowadzić ewidencję rzeczy zrobionych i niezrealizowanych (jest wspólny stos spraw, jest stos spraw zakończonych, kartka z jednej do drugiej jest w dowolnej kolejności przesuwana, gdy jest już gotowa) ).

Teraz wiesz, jakie są systemy liczbowe, dlaczego są potrzebne i czym są.

Notacja to sposób zapisywania liczb. Zwykle liczby zapisuje się za pomocą znaków specjalnych - cyfr (choć nie zawsze). Jeśli nigdy nie studiowałeś tego zagadnienia, powinieneś przynajmniej znać dwa systemy liczbowe - arabski i rzymski. Pierwszy wykorzystuje liczby 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 i jest systemem liczb pozycyjnych. A w drugim - I, V, X, L, C, D, M i jest to niepozycyjny system liczbowy.

W systemach liczb pozycyjnych wielkość oznaczona cyfrą w liczbie zależy od jej położenia, natomiast w systemach niepozycyjnych już tak nie jest. Na przykład:

11 - tutaj pierwsza jednostka oznacza dziesięć, a druga - 1.
II - tutaj obie jednostki oznaczają jednostkę.

345, 259, 521 – tutaj liczba 5 w pierwszym przypadku oznacza 5, w drugim – 50, a w trzecim – 500.

XXV, XVI, VII - tutaj, gdziekolwiek stoi cyfra V, oznacza ona wszędzie pięć jednostek. Innymi słowy, wartość oznaczona jako V jest niezależna od jej położenia.

Dodawanie, mnożenie i inne operacje matematyczne w pozycyjnych systemach liczbowych są łatwiejsze do wykonania niż w niepozycyjnych, ponieważ operacje matematyczne przeprowadzane są według prostych algorytmów (na przykład mnożenie w kolumnie, porównanie dwóch liczb).

Systemy liczb pozycyjnych są najbardziej rozpowszechnione na świecie. Oprócz liczby dziesiętnej, znanej każdemu z dzieciństwa (gdzie używa się dziesięciu cyfr od 0 do 9), w technice szeroko stosowane są takie systemy liczbowe, jak binarny (stosuje się cyfry 0 i 1), ósemkowy i szesnastkowy.

Należy zwrócić uwagę na ważną rolę zera. „Odkrycie” tej postaci w historii ludzkości odegrało dużą rolę w powstaniu systemów liczb pozycyjnych.

Podstawą systemu liczbowego jest liczba cyfr używana do zapisywania cyfr.

Cyfra to pozycja cyfry w liczbie. Pojemność numeru - liczba cyfr tworzących numer (na przykład 264 to liczba trzycyfrowa, 00010101 to liczba ośmiocyfrowa). Cyfry są numerowane od prawej do lewej (na przykład w liczbie 598 ósemka zajmuje pierwszą cyfrę, a pięć zajmuje trzecią).

Zatem w systemie liczb pozycyjnych liczby zapisuje się w taki sposób, że każdy kolejny (przechodząc od prawej do lewej) bit jest większy od drugiego o stopień podstawy systemu liczbowego. (przygotować plan)

Jedna i ta sama liczba (wartość) może być reprezentowana w różnych systemach liczbowych. Reprezentacja liczby jest inna, ale wartość pozostaje ta sama.

Binarny system liczbowy

System liczb binarnych wykorzystuje tylko dwie cyfry 0 i 1. Innymi słowy, dwójka jest podstawą systemu liczb binarnych. (Podobnie system dziesiętny ma podstawę 10.)

Aby dowiedzieć się, jak rozumieć liczby w systemie binarnym, najpierw zastanów się, jak powstają liczby w znanym nam systemie dziesiętnym.

W systemie dziesiętnym mamy dziesięć cyfr (od 0 do 9). Gdy licznik osiągnie 9, wprowadzana jest nowa cyfra (dziesiątki), jednostki są resetowane do zera i liczenie rozpoczyna się od nowa. Po 19 cyfrę dziesiątek zwiększa się o 1, a jedności ponownie ustawia się na zero. I tak dalej. Kiedy dziesiątki osiągną 9, pojawia się trzecia cyfra - setki.

System liczb binarnych jest podobny do dziesiętnego, z tą różnicą, że w tworzeniu liczby biorą udział tylko dwie cyfry: 0 i 1. Gdy tylko bit osiągnie swój limit (tj. jeden), pojawia się nowy bit, a stary został zresetowany.

Spróbujmy policzyć w systemie binarnym:
0 jest zerem
1 to jeden (i to jest granica rozładowania)
10 to dwa
11 to trzy (i to znowu jest granica)
100 to cztery
101 - pięć
110 - sześć
111 - siedem itd.
Konwersja liczb z postaci binarnej na dziesiętną

Nietrudno zauważyć, że w systemie liczb binarnych długości liczb szybko rosną wraz ze wzrostem wartości. Jak ustalić, co to oznacza: 10001001? Nieprzyzwyczajony do tej formy zapisywania liczb, ludzki mózg zwykle nie jest w stanie zrozumieć, ile to jest. Byłoby miło móc zamienić liczby binarne na dziesiętne.

W systemie dziesiętnym dowolną liczbę można przedstawić jako sumę jednostek, dziesiątek, setek itp. Na przykład:

1476 = 1000 + 400 + 70 + 6

1476 = 1 * 103 + 4 * 102 + 7 * 101 + 6 * 100

Przyjrzyj się uważnie temu wpisowi. Tutaj liczby 1, 4, 7 i 6 to zbiór liczb tworzących liczbę 1476. Wszystkie te liczby są naprzemiennie mnożone przez dziesięć podniesione w tym czy innym stopniu. Dziesięć to podstawa dziesiętnego systemu liczbowego. Potęga, do której podnosi się dziesiątkę, to cyfra cyfry minus jeden.

W ten sam sposób można rozłożyć dowolną liczbę binarną. Tylko podstawą tutaj będzie 2:

10001001 = 1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0

1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 137

Te. liczba 10001001 o podstawie 2 jest równa liczbie 137 o podstawie 10. Można to zapisać w ten sposób:

10001001 2 = 13710
Dlaczego system liczb binarnych jest tak powszechny?

Faktem jest, że system liczb binarnych jest językiem technologii komputerowej. Każda figura musi być w jakiś sposób przedstawiona na nośniku fizycznym. Jeśli jest to system dziesiętny, będziesz musiał stworzyć takie urządzenie, które może znajdować się w dziesięciu stanach. To skomplikowane. Łatwiej jest zrobić element fizyczny, który może znajdować się tylko w dwóch stanach (na przykład jest prąd lub nie ma prądu). Jest to jeden z głównych powodów, dla których systemowi binarnemu poświęca się tak dużo uwagi.
Konwersja dziesiętna na binarną

Może być konieczna konwersja liczby dziesiętnej na binarną. Jednym ze sposobów jest podzielenie przez dwa i utworzenie z reszt liczby binarnej. Na przykład musisz uzyskać jego zapis binarny z liczby 77:

77/2 = 38 (1 pozostała część)
38/2 = 19 (0 pozostałych)
19/2 = 9 (1 reszta)
9/2 = 4 (1 reszta)
4/2 = 2 (reszta 0)
2/2 = 1 (reszta 0)
1/2 = 0 (1 reszta)

Resztę zbieramy razem zaczynając od końca: 1001101. To jest liczba 77 w reprezentacji binarnej. Sprawdźmy:

1001101 = 1*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 77

System liczb ósemkowych

Tak więc współczesne „żelazo rozumie” tylko system liczb binarnych. Jednak z jednej strony człowiekowi trudno jest dostrzec długie zapisy zer i jedynek, a z drugiej strony konwertuje liczby z systemu binarnego na dziesiętny i odwrotnie, co jest dość długie i pracochłonne. W rezultacie programiści często używają innych systemów liczbowych: ósemkowego i szesnastkowego. Zarówno 8, jak i 16 są potęgami liczby 2 i konwersja na nie liczby binarnej (a także wykonanie operacji odwrotnej) jest bardzo łatwe.

System liczb ósemkowych wykorzystuje osiem cyfr (od 0 do 7). Każda cyfra odpowiada zestawowi trzech cyfr w systemie binarnym:

000 - 0
001 - 1
010 - 2
011 - 3
100 - 4
101 - 5
110 - 6
111 - 7

Aby zamienić liczbę binarną na ósemkową, wystarczy podzielić ją na trójki i zastąpić je odpowiadającymi im cyframi z systemu liczb ósemkowych. Musisz zacząć dzielić na trójki od końca i zastąpić brakujące liczby na początku zerami. Na przykład:

1011101 = 1 011 101 = 001 011 101 = 1 3 5 = 135

Oznacza to, że liczba 1011101 w systemie binarnym jest równa liczbie 135 w systemie ósemkowym. Lub 1011101 2 = 1358.

Tłumaczenie zwrotne. Załóżmy, że chcesz przekonwertować liczbę 1008 (nie popełnij błędu, 100 w formacie ósemkowym to nie 100 w systemie dziesiętnym) na system liczb binarnych.

100 8 = 1 0 0 = 001 000 000 = 001000000 = 10000002

Konwersję liczby ósemkowej na dziesiętną można wykonać według znanego już schematu:

6728 = 6 * 8 2 + 7 * 8 1 + 2 * 8 0 = 6 * 64 + 56 + 2 = 384 + 56 + 2 = 44210
1008 = 1 * 8 2 + 0 * 8 1 + 0 * 8 0 = 6410

Szesnastkowy system liczbowy

System liczb szesnastkowych, podobnie jak ósemkowy, jest szeroko stosowany w informatyce ze względu na łatwość konwersji na niego liczb binarnych. W przypadku zapisu szesnastkowego liczby są bardziej zwarte.

System liczb szesnastkowych wykorzystuje cyfry od 0 do 9 i pierwsze sześć liter łacińskich - A (10), B (11), C (12), D (13), E (14), F (15).

Konwertując liczbę binarną na szesnastkową, pierwsza jest dzielona na grupy po cztery cyfry, zaczynając od końca. Jeśli liczba cyfr nie jest całkowicie podzielona, ​​wówczas pierwsze cztery są dodawane z zerami na początku. Każda czwórka odpowiada liczbie szesnastkowej:

Na przykład:
10001100101 = 0100 1100 0101 = 4C5 = 4C5

W razie potrzeby liczbę 4C5 można przeliczyć na system dziesiętny w następujący sposób (C należy zastąpić liczbą odpowiadającą temu znakowi w systemie dziesiętnym – jest to 12):

4C5 = 4 * 162 + 12 * 161 + 5 * 160 = 4 * 256 + 192 + 5 = 1221

Maksymalna liczba dwucyfrowa, jaką można uzyskać w zapisie szesnastkowym, to FF.

FF = 15 * 161 + 15 * 160 = 240 + 15 = 255

255 to maksymalna wartość jednego bajtu, równa 8 bitom: 1111 1111 = FF. Dlatego stosując szesnastkowy system liczbowy bardzo wygodnie jest krótko (używając dwóch cyfr-znaków) zapisać wartości bajtów. Uwaga! 8-bitowy bajt może mieć 256 stanów, ale maksymalna wartość to 255. Nie zapomnij o 0 - to dopiero 256. stan

Podstawowe pojęcia systemów liczbowych

System liczbowy to zbiór zasad i technik zapisywania liczb przy użyciu zestawu znaków cyfrowych. Liczba cyfr wymagana do zapisania liczby w systemie nazywana jest podstawą systemu liczbowego. Podstawę systemu zapisuje się po prawej stronie liczby w indeksie dolnym: ; ; itp.

Istnieją dwa typy systemów liczbowych:

pozycyjny, gdy wartość każdej cyfry liczby jest określona przez jej pozycję w zapisie liczby;

niepozycyjny, gdy wartość cyfry w liczbie nie zależy od jej miejsca w zapisie liczby.

Przykładem niepozycyjnego systemu liczbowego jest system rzymski: liczby IX, IV, XV itd. Przykładem pozycyjnego systemu liczbowego jest system dziesiętny używany na co dzień.

Dowolną liczbę całkowitą w systemie pozycyjnym można zapisać jako wielomian:

gdzie S jest podstawą systemu liczbowego;

Cyfry liczby zapisane w danym systemie liczbowym;

n to liczba cyfr liczby.

Przykład. Numer zapisuje się w postaci wielomianu w następujący sposób:

Rodzaje systemów liczbowych

System liczb rzymskich jest systemem niepozycyjnym. Do zapisywania liczb używa liter alfabetu łacińskiego. W tym przypadku litera I oznacza zawsze jeden, litera V oznacza pięć, X oznacza dziesięć, L oznacza pięćdziesiąt, C oznacza sto, D oznacza pięćset, M oznacza tysiąc itd. Na przykład liczba 264 jest zapisywana jako CCLXIV. Podczas zapisywania liczb w systemie liczb rzymskich wartością liczby jest algebraiczna suma zawartych w niej cyfr. W tym przypadku cyfry we wpisie liczby następują z reguły w kolejności malejącej ich wartości i nie wolno wpisywać obok siebie więcej niż trzech identycznych cyfr. W przypadku, gdy po cyfrze o większej wartości następuje cyfra o mniejszej wartości, jej udział w wartości liczby jako całości jest ujemny. Typowe przykłady ilustrujące ogólne zasady zapisywania liczb w systemie rzymskim przedstawiono w tabeli.

Tabela 2. Zapisywanie liczb w systemie liczb rzymskich

III

VII

VIII

XIII

XVIII

XIX

XXII

XXXIV

XXXIX

XXIX

200

438

649

999

1207

CDXXXVIII

DCXLIX

CMXCIX

MCCVII

2045

3555

3678

3900

3999

MMXLV

MMMDLV

MMMDCLXXVIII

MMMCM

MMMCMXCIX

Wadą systemu rzymskiego jest brak formalnych zasad zapisywania liczb i, co za tym idzie, operacji arytmetycznych na liczbach wielocyfrowych. Ze względu na niedogodności i dużą złożoność, system cyfr rzymskich jest obecnie używany tam, gdzie jest to naprawdę wygodne: w literaturze (numeracja rozdziałów), w dokumentach (seria paszportów, papierów wartościowych itp.), Do celów dekoracyjnych na tarczy zegarka oraz w szereg innych spraw.

System liczb dziesiętnych jest obecnie najbardziej znanym i używanym. Wynalezienie systemu dziesiętnego jest jednym z głównych osiągnięć myśli ludzkiej. Bez niej nowoczesna technologia nie mogłaby istnieć, a co dopiero powstać. Powód, dla którego system liczb dziesiętnych stał się powszechnie akceptowany, wcale nie jest matematyczny. Ludzie są przyzwyczajeni do liczenia w zapisie dziesiętnym, ponieważ mają 10 palców na dłoniach.

Starożytny obraz cyfr dziesiętnych (ryc. 1) nie jest przypadkowy: każda cyfra oznacza liczbę na podstawie liczby znajdujących się w niej kątów. Na przykład 0 - brak narożników, 1 - jeden róg, 2 - dwa narożniki itp. Pisownia cyfr dziesiętnych uległa znaczącym zmianom. Forma, której używamy, powstała w XVI wieku.

System dziesiętny pojawił się po raz pierwszy w Indiach około VI wieku naszej ery. Numeracja indyjska wykorzystywała dziewięć znaków numerycznych i zero do wskazania pustej pozycji. We wczesnych rękopisach indyjskich, które do nas dotarły, liczby pisano w odwrotnej kolejności - najważniejsza cyfra została umieszczona po prawej stronie. Ale wkrótce regułą stało się umieszczanie takiej figury po lewej stronie. Szczególną wagę przywiązywano do symbolu zerowego, który został wprowadzony do notacji pozycyjnej. Numeracja indyjska, w tym zero, sprowadziła się do naszych czasów. W Europie hinduskie metody arytmetyki dziesiętnej rozpowszechniły się na początku XIII wieku. dzięki pracy włoskiego matematyka Leonarda z Pizy (Fibonacciego). Europejczycy pożyczyli indyjski system liczbowy od Arabów, nazywając go arabskim. Ta historycznie niepoprawna nazwa zachowała się do dziś.

System dziesiętny wykorzystuje dziesięć cyfr - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9, a także symbole „+” i „-” do wskazania znaku liczby oraz przecinek lub kropka służąca do oddzielenia liczb całkowitych i ułamkowych.

Komputery używają binarnego systemu liczbowego, którego podstawą jest liczba 2. Do zapisywania liczb w tym systemie używane są tylko dwie cyfry - 0 i 1. Wbrew powszechnemu błędnemu mniemaniu, binarny system liczbowy został wymyślony nie przez inżynierów zajmujących się projektowaniem komputerów, ale przez matematyków i filozofów na długo przed pojawieniem się komputerów, w XVII i XIX wieku. Pierwszą opublikowaną dyskusję na temat binarnego systemu liczbowego przedstawił hiszpański ksiądz Juan Caramuel Lobkowitz (1670). Ogólną uwagę na ten system zwrócił artykuł niemieckiego matematyka Gottfrieda Wilhelma Leibniza opublikowany w 1703 roku. Wyjaśniał on binarne operacje dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia. Leibniz nie zalecał stosowania tego systemu do obliczeń praktycznych, ale podkreślał jego znaczenie dla badań teoretycznych. Z biegiem czasu system liczb binarnych staje się dobrze znany i rozwija się.

Wybór układu binarnego do zastosowania w technologii komputerowej tłumaczy się faktem, że elementy elektroniczne - wyzwalacze tworzące mikroukłady komputerowe, mogą znajdować się tylko w dwóch stanach roboczych.

Za pomocą binarnego systemu kodowania można zapisać dowolne dane i wiedzę. Łatwo to zrozumieć, jeśli pamiętasz zasadę kodowania i przesyłania informacji za pomocą alfabetu Morse'a. Operator telegraficzny, posługując się jedynie dwoma znakami tego alfabetu – kropkami i myślnikami, może przesłać niemal każdy tekst.

System binarny jest wygodny dla komputera, ale niewygodny dla osoby: liczby są długie i trudne do zapisania i zapamiętania. Można oczywiście przeliczyć liczbę na system dziesiętny i zapisać ją w tej formie, a potem, gdy zajdzie potrzeba przetłumaczenia jej z powrotem, jednak wszystkie te tłumaczenia są czasochłonne. Dlatego stosuje się systemy liczbowe powiązane z binarnym - ósemkowym i szesnastkowym. Do zapisu liczb w tych systemach wymagane jest odpowiednio 8 i 16 cyfr. W systemie szesnastkowym pierwsze 10 cyfr jest wspólnych, a następnie stosuje się wielkie litery łacińskie. Cyfra szesnastkowa A odpowiada liczbie dziesiętnej 10, cyfra szesnastkowa B odpowiada liczbie dziesiętnej 11 itd. Powodem stosowania tych systemów jest to, że przejście do zapisu liczby w którymkolwiek z tych systemów z jej zapisu binarnego jest bardzo prosty. Poniżej znajduje się tabela korespondencji między liczbami zapisanymi w różnych systemach.

Tabela 3. Zgodność liczb zapisanych w różnych systemach liczbowych

Dziesiętny

Dwójkowy

ósemkowy

Szesnastkowy

001

010

011

100

101

110

111

1000

1001

1010

1011

1100

1101

D http://viagrasstore.net/generic-viagra-soft/

1110

1111

10000

Zasady konwersji liczb z jednego systemu liczbowego na inny

Konwersja liczb z jednego systemu liczbowego na inny jest ważną częścią arytmetyki maszynowej. Rozważ podstawowe zasady tłumaczenia.

1. Aby zamienić liczbę binarną na dziesiętną, należy zapisać ją w postaci wielomianu składającego się z iloczynów cyfr liczby i odpowiedniej potęgi liczby 2 i obliczyć zgodnie z zasadami arytmetyki dziesiętnej:

Podczas tłumaczenia wygodnie jest skorzystać z tabeli potęg dwójki:

Tabela 4. Potęgi liczby 2

n (stopień)

1024

Przykład. Zamień liczbę na system dziesiętny.

2. Aby przeliczyć liczbę ósemkową na dziesiętną, należy zapisać ją w postaci wielomianu składającego się z iloczynu cyfr liczby i odpowiedniej potęgi liczby 8 i obliczyć zgodnie z zasadami arytmetyki dziesiętnej:

Podczas tłumaczenia wygodnie jest skorzystać z tabeli potęg ośmiu:

Tabela 5. Potęgi liczby 8

n (stopień)

Język angielski: Wikipedia zwiększa bezpieczeństwo witryny. Używasz starej przeglądarki internetowej, która w przyszłości nie będzie mogła połączyć się z Wikipedią. Zaktualizuj swoje urządzenie lub skontaktuj się z administratorem IT.

中文: Zobacz więcej设备或联络您的IT管理员。以下提供更长,更具技术性的更新(仅英语）。

hiszpański: Wikipedia jest miejscem zamieszkania más seguro. Służy do korzystania z nawigacji internetowej viejo que no será capaz de conectarse z Wikipedią w przyszłości. Actualice su dispositivo lub skontaktuj się z administratorem informático. Más abajo hay una aktualizacja más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Francuska: Wikipedia może poszerzyć bezpieczną witrynę. Skorzystaj z aktualnej nawigacji internetowej, która jest dostępna za pomocą połączenia z Wikipedią lub z sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Dodatkowe informacje i techniki oraz dostępne w języku angielskim narzędzia ci-dessous.

日本語: .ンが古く。るか、IT管理者にご相談ください。技術面の詳しい更新情報は以下に英語で提供しています。

Niemiecki: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detalliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

włoski: Wikipedia udostępnia najbardziej aktualne witryny. Używaj przeglądarki internetowej, która nie jest używana w grado di connettersi w Wikipedii w przyszłości. Na korzyść, aggiorna il tuo dispositivo lub contatta il tuo amministratore informatico. Bezpłatne Più in basso jest dostępne w języku angielskim.

Madziar: Biztonságosabb lesz w Wikipedii. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problemát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a reszletesebb magyarázatot (angolul).

Szwecja: Wikipedia gör sidan mer säker. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia w framtiden. Uppdatetera din enhet eller kontakta din IT-administratör. Det finns en längre och mer teknisk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Usuwamy obsługę niezabezpieczonych wersji protokołu TLS, w szczególności TLSv1.0 i TLSv1.1, których oprogramowanie Twojej przeglądarki używa do łączenia się z naszymi witrynami. Jest to zwykle spowodowane nieaktualnymi przeglądarkami lub starszymi smartfonami z Androidem. Może to być również ingerencja firmowego lub osobistego oprogramowania „Web Security”, które w rzeczywistości obniża bezpieczeństwo połączenia.

Aby uzyskać dostęp do naszych witryn, musisz zaktualizować swoją przeglądarkę internetową lub w inny sposób rozwiązać ten problem. Komunikat ten będzie widoczny do 1 stycznia 2020 r. Po tym terminie Twoja przeglądarka nie będzie mogła nawiązać połączenia z naszymi serwerami.