Bij het bestuderen van schoolvakken is het mogelijk om de relaties te overwegen tussen concepten die worden geaccepteerd in verschillende kennisgebieden en processen die plaatsvinden in de natuurlijke omgeving; ontdek het verband tussen wiskundige wetten en de eigenschappen en ontwikkelingspatronen van de natuur.

Sinds de oudheid zijn mensen, door de omringende natuur te observeren en kunstwerken te maken, op zoek naar patronen waarmee ze schoonheid konden definiëren. Maar de mens creëerde niet alleen prachtige objecten, hij bewonderde ze niet alleen, hij stelde zichzelf steeds vaker de vraag: waarom is dit object mooi, hij vindt het leuk, maar een ander, zeer vergelijkbaar object, vindt hij niet leuk, het kan niet mooi genoemd worden? Vervolgens veranderde hij van een schepper van schoonheid in de onderzoeker ervan. Al in het oude Griekenland werd de studie van de essentie van schoonheid en schoonheid gevormd tot een aparte tak van de wetenschap: esthetiek. De studie van schoonheid is onderdeel geworden van de studie van de harmonie van de natuur, haar fundamentele organisatiewetten.

De schoonheid van een beeldhouwwerk, de schoonheid van een tempel, de schoonheid van een symfonie, een gedicht, een schilderij. Wat hebben zij gemeen met elkaar? Is het mogelijk om de schoonheid van de tempel te vergelijken met de schoonheid van de nocturne? Het blijkt dat dit mogelijk is als er gemeenschappelijke criteria voor schoonheid worden gevonden, als er algemene schoonheidsformules worden ontdekt die het concept van schoonheid van een grote verscheidenheid aan objecten verenigen - van een madeliefjebloem (is niet mooi?) tot de schoonheid van een naakt menselijk lichaam. Pogingen om vergelijkbare schoonheidscriteria te vinden in verschillende soorten kunst en natuur vormen het onderwerp van de esthetiek.

Er zijn al veel ‘schoonheidsformules’ bekend. Lange tijd hebben mensen in hun creaties de voorkeur gegeven aan regelmatige geometrische vormen - vierkant, cirkel, gelijkbenige driehoek, piramide, enz. Symmetrische vormen hebben meestal de voorkeur boven asymmetrische vormen. In de verhoudingen van verschillende structuren wordt de voorkeur gegeven aan geheeltallige verhoudingen. Mensen verkiezen over het algemeen orde boven wanorde, eenvoud boven complexiteit, zekerheid boven onzekerheid. Het is duidelijk dat dit de essentie van het leven zelf onthult, als een natuurlijk fenomeen: de ordening van wanorde.

Van de vele verhoudingen die mensen lange tijd hebben gebruikt om harmonische werken te creëren, is er één, de enige en onherhaalbare, die unieke eigenschappen heeft. Het komt overeen met een dergelijke verdeling van het geheel in twee delen, waarbij de verhouding van het grotere deel tot het kleinere gelijk is aan de verhouding van het geheel tot het grotere deel. “Deze verhouding werd anders genoemd: ‘gouden’, ‘goddelijk’, ‘gulden snede’, ‘gouden getal’. Ik gaf er de voorkeur aan om de voornaam te gebruiken, omdat deze de essentie van dit concept het beste weergeeft.

Het principe van de ‘gulden proportie’ wekte grote belangstelling bij mij en mijn collega’s. Deze kennis helpt ons te begrijpen dat er buiten het bewustzijn iets volkomen materieels, volkomen objectiefs bestaat, dat, zonder objectieve schoonheid te zijn, bij ons een gevoel van schoonheid oproept. De ‘gulden proportie’ geldt voor ieder mens, ongeacht wat hij of zij is. Ik heb met de hulp van mijn collega's wat onderzoek kunnen doen dat dit principe heeft helpen bewijzen.

"Gulden snede" in de geometrie

Nu is het onmogelijk om op betrouwbare wijze de persoon vast te stellen die de gulden snede voor het eerst ontdekte, noch het tijdstip waarop dit gebeurde. Het is duidelijk dat het vele malen op verschillende tijdstippen en in verschillende landen is ontdekt, vergeten en herontdekt. Veel onderzoekers beschouwen de Griekse wiskundige en filosoof Pythagoras als de ontdekker van de gulden snede.

Sinds school associëren we de naam Pythagoras met de stelling over de zijden van een driehoek - de 'vierkantsstelling'. Deze stelling is verbazingwekkend mooi: “Het kwadraat van de hypotenusa is gelijk aan de som van de kwadraten van de benen.” In de wetenschap zul je zelden zulke mooie en simpele formules tegenkomen.

Veel wiskundige patronen lagen, zoals ze zeggen, ‘aan de oppervlakte’; ze moesten gezien worden door iemand met een analytische geest, die logisch nadenkt. En dit kon de filosofen van de antieke wereld niet ontkend worden; al hun wetenschappelijke kennis was immers gebaseerd op de analyse van objecten en verschijnselen, waarbij ze verbanden legden. Tegenwoordig is het zelfs moeilijk voor te stellen dat de ontwikkeling van de wetenschap mogelijk is zonder het gebruik van experimenten, maar dit was de wetenschap van de antieke wereld.

Beschouw bijvoorbeeld de eenvoudigste rechthoekige driehoek met een beenverhouding van 1:2. In deze driehoek is de waarde van het kleine been 1 en het grotere been 2. Volgens de stelling van Pythagoras is de lengte van de hypotenusa daarin √5. Deze driehoek was goed bekend in de antieke wereld; in veel gebouwen uit die periode overheersen verhoudingen, gelijk aan de verhouding van de benen en de hypotenusa van een rechthoekige driehoek met zijden 1: 2: √5.

De verhouding van de zijden a, b, c van deze driehoek is heel eenvoudig en begrijpelijk voor iedereen die de basisprincipes van de meetkunde kent: a/b = 1:2, c/a = √5:1, c/b = √5 /2. Deze waarden impliceren echter ook een andere verhouding (a+b)/b = (1+√5)/2, gelijk aan 1,618033. Dit is de gouden verhouding, die meestal wordt aangegeven met de letter F. Zoals je kunt zien, lag deze prachtige verhouding letterlijk aan de oppervlakte - je moest het gewoon opmerken.

In de meetkunde zijn er verschillende manieren om de gouden verhouding te construeren, en het is typerend dat het voor de constructie voldoende is om de eenvoudigste geometrische figuren te nemen: een vierkant of een rechthoekige driehoek met een beenverhouding van 1:2. Als we vanuit het midden van het vierkant een cirkel tekenen met een straal gelijk aan de diagonaal van het halve vierkant, dan krijgen we op het snijpunt met de verlengde zijde van het vierkant een segment dat kleiner is dan de zijde van het vierkant in overeenstemming met de gouden verhouding. Het is nog eenvoudiger om de gulden snede in een rechthoekige driehoek 1:2:√5 te construeren. Het is voldoende om twee cirkelbogen te tekenen die elkaar op één punt op de hypotenusa kruisen, en het hoofdbeen wordt verdeeld volgens de gulden snede.

Een driehoek met zijden 3:4:5 is een van een aantal rechthoekige driehoeken, die in de oudheid “goddelijk” werden genoemd, waarvoor de volgende relatie geldt: a2+b2 = c2, waarbij a, b, c gehele getallen zijn . Hier zijn enkele van deze driehoeken:

52=42+32; 132=122+52; 252=242+72.

In wezen drukken de relatiepatronen tussen de zijden in deze driehoeken een stelling uit, die later bekend werd als de stelling van Pythagoras. Kende Pythagoras zulke driehoeken, of herontdekte hij ze, of breidde hij, door van deze ‘goddelijke’ driehoeken naar andere te gaan, de aangegeven formule uit naar alle rechthoekige driehoeken, terwijl hij irrationele getallen en de gouden verhouding ontdekte?

Niemand zal deze vragen meer beantwoorden. In de geschiedenis van de wetenschap zijn er vaak gevallen waarin bepaalde ontdekkingen door andere wetenschappers werden vergeten, verloren gingen en opnieuw tot leven werden gewekt, en het werkelijke auteurschap ervan kan alleen maar worden aangenomen. Zoals Matila Ghika opmerkt, waren de Chinezen al in de 11e eeuw voor Christus bekend met de stelling 52=32+42.

Plutarchus merkt op dat de oppervlakte van een driehoek met zijden 5:4:3 gelijk is aan 6, en de kubieke waarde van deze oppervlakte is gelijk aan de som van de kubussen van de zijden van de driehoek: 63=53+43+33 . Er werd voorgesteld om de verhouding 52=42+32 onder de invarianten te gebruiken om het eerste “logische contact te creëren bij de komst van het tijdperk van interplanetaire signalering.”

Het is niet moeilijk om te bewijzen dat er maar één rechthoekige driehoek is, waarvan de zijden (x, y, z) een geometrische progressie vormen: z/y=y/x. In deze driehoek is de verhouding van de hypotenusa tot het kleine been gelijk aan de gulden snede Ф, en de andere twee verhoudingen van de zijden (z/y en y/x) komen overeen met de vierkantswortel van de gulden snede. Dit is een verbazingwekkende ‘gouden’ driehoek, het is een duidelijke uitdrukking van de gouden verhouding.

Laten we een familie van gelijkbenige driehoeken bekijken, geconstrueerd volgens de regels van de gouden verhouding: scherphoekig - met hoeken van 36˚, 72˚ en 72˚ en stomphoekig - met hoeken van 108˚, 36˚ en 36˚. Uit de figuur is te zien dat de scherpe driehoek ABC is verdeeld in drie driehoeken van de gulden snede. De zijden daarin zijn gelijk: AD=1, DB=Ф, BC=AB=Ф+1=Ф2, AC=AE=Ф.

Een andere interessante driehoek is er een waarin de gouden verhouding voorkomt. In deze driehoek zijn de hoeken 90˚, 54˚ en 36˚, en hun verhouding is 5:3:. In deze rechthoekige driehoek is de verhouding van het langere been tot de hypotenusa gelijk aan de helft van de gulden snede F/2. Dit komt overeen met de gelijkheid Ф/2=cos 36˚. Dit leidt tot een formule die de gouden verhouding verbindt met het getal π:

Ф = (√5+1)/2 = 2 cos π/5

Deze eenvoudige en mooie formule verbindt het getal “pi” met de gulden snede. Geeft dit niet de fundamentele aard van de gouden verhouding aan, de relatie ervan met een universeel getal als “pi”? Het is kenmerkend dat in de beschouwde driehoek de verhouding van de hoeken overeenkomt met de verhouding van kleine gehele getallen 5: 3: 2 (waarbij de waarde van één hoek gelijk is aan de som van de andere twee), en de verhoudingen van de zijden zijn onvergelijkbaar. Wat schuilt er achter dit ‘mysterie van numerieke verhoudingen’?

In de formule Ф = (√5+1)/2 = 2 cos π/5 komt het getal “vijf” tweemaal voor. En een hoek van 36˚ is de hoek bij de hoekpunten van een vijfpuntige sterpolygoon. Het is duidelijk geen toeval dat de Pythagoreeërs het getal ‘vijf’ als heilig beschouwden, en de vijfhoekige ster als een symbool van de vereniging van Pythagoras-filosofen en wiskundigen. In de oudheid werd het beschouwd als een symbool van het leven. De geometrie van de pentaëder en de stervijfhoek is door veel wiskundigen bestudeerd.

In de figuur is onder de segmenten HJ, EH, EJ, EB de verhouding van elk volgend segment tot het vorige gelijk aan de gouden verhouding. Pacioli gevonden in vijf platonische lichamen: segmenten EB/EA, AJ/JK, AK/AJ. Het bevat ook een driehoek met hoeken van 90˚, 54˚ en 46˚, die hierboven werd besproken.

In 1509 publiceerde Leonardo da Vinci's tijdgenoot en vriend Luca Pacioli in Venetië het boek On Divine Proportion. Pacioli vond dertien manifestaties van ‘goddelijke’ proporties in de vijf platonische lichamen – regelmatige veelhoeken (tetraëder, kubus, octaëder, icosaëder en dodecaëder). In het hoofdstuk On the Twelfth, Almost Supernatural Property beschouwt hij de regelmatige icosaëder. Vijf driehoeken ontmoeten elkaar op elk hoekpunt van de icosaëder en vormen een regelmatige vijfhoek. Als je twee tegenoverliggende randen van de icosaëder met elkaar verbindt, krijg je een rechthoek waarin de grotere zijde gerelateerd is aan de kleinere, zoals de som van de zijden is aan de grote.

De gouden verhouding komt dus tot uiting in de geometrie van vijf regelmatige veelvlakken, die volgens oude wetenschappers aan de basis van het universum liggen. Plato geloofde dat de atomen van de vier elementen waaruit de wereld is opgebouwd (vuur, aarde, lucht en water) de vorm hebben van regelmatige convexe veelvlakken: tetraëder, kubus, octaëder, icosaëder, en de hele wereld als geheel is gebouwd in de vorm van een dodecaëder.

Fibonacci-getallen.

Dankzij de inspanningen van wiskundigen werd de gulden snede verklaard, bestudeerd en diepgaand geanalyseerd. Het lijkt erop dat de vraag is opgelost. Het enige dat overbleef was het bestuderen van de manifestaties van dit patroon in de natuur en het zoeken naar de praktische toepassing ervan. Misschien zou dit zijn gebeurd als er niet één onvervangbaar probleem in de geschiedenis van de wiskunde was verschenen.

Tijdens de middeleeuwen was de verschijning van een boek over wiskunde, geschreven in 1202 door de Italiaanse wiskundige Leonardo uit Pinza, een belangrijke gebeurtenis in het ‘wetenschappelijke leven van de samenleving’. Het boek "Liber abacci" ("Boek over de telraam") verzamelde informatie over de wiskunde die toen bekend was en gaf voorbeelden van het oplossen van allerlei problemen. En onder hen was er een eenvoudige. Niet zonder praktische waarde voor ondernemende Italianen is het konijnenprobleem: “Hoeveel konijnenparen worden er in één jaar uit één paar geboren?” Het probleem verklaart verder dat de aard van konijnen zodanig is dat na een maand een paar van hen een ander paar baart, en dat konijnen zich vanaf de tweede maand na hun geboorte beginnen voort te planten. Als resultaat van het oplossen van dit eenvoudige probleem werd een reeks getallen verkregen: 1, 2, 3, 3, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 enzovoort. Deze reeks getallen werd later vernoemd naar Fibonacci, zoals Leonardo werd genoemd (Fibonacci - afgekort filius Bonacci, dat wil zeggen Bonacci).

Wat is er opmerkelijk aan de cijfers verkregen door Leonardo Fibonacci? Beschouw deze reeks getallen: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 277, 610, 987, 1597 enzovoort. In deze reeks is elk volgend getal de som van de twee voorgaande getallen.

Dergelijke reeksen, waarbij elk lid een functie is van de voorgaande, worden in de wiskunde terugkerende of terugkerende reeksen genoemd. De reeks Fibonacci-getallen is ook terugkerend en de leden van deze reeks worden Fibonacci-getallen genoemd. Het bleek dat ze een aantal interessante en belangrijke eigenschappen hebben.

Vier eeuwen na Fibonacci’s ontdekking van een reeks getallen stelde J. Kepler (1571 – 1630) vast dat de verhouding van aangrenzende getallen in de limiet neigt naar de gouden verhouding. In de taal van de wiskunde wordt dit uitgedrukt door de formule Un+1/Un→Ф als n→ ∞. Hier is Ф=1,61803 de gulden snede.

Honderd jaar later bewees de Engelse wetenschapper R. Simpson wiskundig en rigoureus dat de verhouding van aangrenzende Fibonacci-getallen in de limiet neigt naar de gouden verhouding gelijk aan (√5+1)/2. En pas in 1843 vond de wiskundige J. Binet een formule voor het vinden van elk lid van de Fibonacci-getallenreeks.

Laten we de verhouding van aangrenzende Fibonacci-getallen bepalen: deze is gelijk aan 2, 1,5; 1,66; 1,6; 1,625;1,615. , 1,619, 1,6181, enz. De resulterende verhoudingen lijken rond een constante waarde te fluctueren, naderen deze geleidelijk, het verschil tussen aangrenzende verhoudingen neemt af. Dit is duidelijk zichtbaar op de grafiek. De verhouding van aangrenzende Fibonacci-getallen in de limiet neigt naar een waarde dichtbij 1,618. , dat wil zeggen de gulden snede.

De verhouding van aangrenzende Fibonacci-getallen weerspiegelt een oscillerend proces, oscillatie, een strikt periodieke afname van het verschil in de verhoudingen van deze getallen met afnemende amplitude, een gedempte oscillatie van deze verhoudingen ten opzichte van de waarde van Ф - de gouden verhouding.

De hoeveelheid Ф wordt beschouwd als een irrationeel getal, dat wil zeggen dat het niet incommensurabel kan worden uitgedrukt door middel van verhoudingen van gehele getallen. Maar bij het ontvouwen van een reeks Fibonacci-getallen zal hun verhouding steeds dichter bij de gulden snede komen (meer precies, oneindig dichtbij). Het blijkt dat de rationale grootheid Ф gelijk is aan de verhouding van twee oneindig grote getallen, dat wil zeggen evenredig is. Hier verschijnt een ander interessant facet van de relatie tussen gehele getallen van Fibonacci en de irrationele gulden snede.

Laten we nu de Fibonacci-getallen achter elkaar optellen. We krijgen een nieuwe reeks getallen: 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 123, enz. Zoals we kunnen zien, krijgen we ook een terugkerende reeks getallen; de verhouding van aangrenzende getallen neigt hier ook naar de gouden verhouding in de limiet.

Deze afgeleide terugkerende getallenreeks kan op een andere manier uit de reeks Fibonacci-getallen worden verkregen. Door de opeenvolgende getallen uit de Fibonacci-reeks consequent te delen door de voorgaande, verkrijgen we: 1:1=3; 3:1=3; 8:2=4; 21:3=7; 55:5=11, enz., dat wil zeggen de terugkerende serie die wordt geproduceerd, de “Luca-serie” genoemd. Door de getallen van de Lucas-reeks achter elkaar op te tellen, verkrijgen we een nieuwe afgeleide terugkerende reeks: 15, 25, 40, 65, 105, enz. Door de getallen van deze reeks door vijf te delen, verkrijgen we de originele reeks van Fibonacci cijfers.

Fibonacci-getallen hebben veel interessante eigenschappen. De som van alle getallen in de reeks van het eerste tot en met Un is dus gelijk aan het volgende getal na één getal (Un+2) zonder één. Het is gemakkelijk aan te tonen en te verifiëren met voorbeelden dat de verhouding van gescheiden Fibonacci-getallen neigt naar het kwadraat van de gouden verhouding, gelijk aan 2,618033. Een verbazingwekkende eigenschap! Het blijkt dat Ф + 1 = = Ф2. Maar deze relatie vindt plaats in een perfect rechthoekige driehoek met een hoek van ongeveer 51˚50΄. Dezelfde vergelijking verbindt segmenten van een geheel dat in twee delen is verdeeld in overeenstemming met de gulden snede. Een onzichtbare maar sterke verbinding van algemene patronen verenigde perfecte geometrische figuren, de piramides van Egypte en het probleem van de voortplanting van konijnen in een logisch enkelvoudig, harmonieus systeem.

De Franse wiskundige Pascal (1623 - 1662) construeerde een numerieke tabel in de vorm van een driehoek; daarin wordt elke regel verkregen uit de vorige door elk van de getallen in de regel te verdubbelen. Deze tabel wordt "de driehoek van Pascal" genoemd. De som van de getallen in de n-de rij van de driehoek van Pascal is gelijk aan 2n, dat wil zeggen dat de som van de getallen in de rijen toeneemt als een machtsfunctie, en verdubbelt in elke volgende rij.

Deze aard van de constructie van de driehoek van Pascal komt overeen met de eenvoudigste reproductie van organismen in de biologie, bijvoorbeeld celdeling. Als gevolg van de deling verandert elke cel in twee cellen, die zich op hun beurt in twee cellen verdelen, enz.

De driehoek van Pascal heeft veel interessante eigenschappen. Alle lijnen zijn symmetrisch. Tussen de optellingen van getallen in de kolommen ontstaat de volgende relatie: als we het kleinere getal ernaast aftrekken van een groter getal, krijgen we het volgende getal in de reeks optellingen. Er is een verband gelegd tussen de getallen van de Fibonacci-reeks en de driehoek van Pascal. Als je een diagonaal van de driehoek van Pascal tekent, vormt de som van de getallen op deze diagonalen een reeks Fibonacci-getallen.

Het probleem rond konijnen geeft duidelijk uitdrukking aan een algemeen groeipatroon, kenmerkend voor alle organismen, van het leven zelf. Daarom moeten de patronen van de getallenreeksen van Fibonacci en de daardoor gegenereerde gouden verhouding zich in een of andere vorm manifesteren in een grote verscheidenheid aan organismen: in hun structuur, evolutie en functioneren. Het onderzoek van wetenschappers in een grote verscheidenheid aan natuurgebieden heeft inderdaad geleid tot de ontdekking van patronen daarin die overeenkomen met Fibonacci-getallen en de gulden snede. Fibonacci-getallen zijn overal gevonden! En in de schilderijen van kunstenaars, en in het cardiogram, en in de structuur van de bodem, en in hersenactiviteit

De gulden snede-methode en de ‘Fibonacci-methode’ worden momenteel gebruikt in de wetenschappelijke onderzoeksmethodologie. Het bleek dat deze methoden een effectief middel zijn om sequentieel te zoeken naar optimale oplossingen en extremums van bepaalde functies. De natuur handelt immers in veel gevallen volgens een strikt gedefinieerd systeem, waarbij ze niet ‘blind’ naar optimale structurele toestanden zoekt, maar op een complexere manier, met behulp van de ‘Fibonacci-methode’.

Schoonheidsformule

Hoeveel kunstenaars, dichters, beeldhouwers, echte kenners van schoonheid bewonderden de schoonheid van het menselijk lichaam! “De mooiste menselijke lichamen in alle posities, gedurfd tot op het punt van ongelofelijkheid, slank tot op het punt van muziek - ja, dit is een hele wereld, vóór de onthulling waarvan een onvrijwillige rilling van verrukking en hartstochtelijke eerbied door alle aderen stroomt, ' schreef I. S. Toergenjev. ‘Het menselijk lichaam is de beste schoonheid op aarde’, zei N.G. Chernyshevsky. “Het naakte lichaam lijkt mij prachtig. Voor mij is het een wonder, het leven zelf, waar niets lelijks kan bestaan”, aldus O. Rodin.

De grote werken van beeldhouwers: Phidias, Polyctetus, Myron en Praxiteles worden lange tijd terecht beschouwd als de normen voor schoonheid van het menselijk lichaam, voorbeelden van een harmonieuze lichaamsbouw. Bij het maken van hun creaties gebruikten Griekse meesters het principe van de gouden verhouding. Het centrum van de gouden proportie van de structuur van het menselijk lichaam bevindt zich precies bij de navel.

De ‘schoonheidsformule’ – in de meest directe, wiskundige zin – is voor veel antropologen het doel geworden van vele jaren werk. Er zijn veel van dergelijke ‘formules’ bekend.

Duizenden jaren lang hebben mensen geprobeerd wiskundige patronen te vinden in de verhoudingen van het menselijk lichaam, vooral van een goed gebouwd, harmonieus persoon. De harmonie van het lichaam wekt de indruk van evenredigheid van al zijn delen, die kan worden uitgedrukt door eenvoudige numerieke verhoudingen. Om deze relaties te analyseren was een meeteenheid nodig: een deel van het lichaam.

Zelfs in het oude Egypte werd de lengte van de voet genomen als een maateenheid voor het lichaam, in latere tijden de lengte van de middelvinger. Het is gemakkelijk in te zien dat de lengte van een persoon gemiddeld 2 meter lang is. Tijdens de Renaissance nam de belangstelling voor het bestuderen van de proporties van het menselijk lichaam toe. Leonardo da Vinci voerde een reeks metingen uit waaruit hij de gemiddelde grootte van een persoon berekende. Hij nam het hoofd als meeteenheid voor lichaamsverhoudingen, maar niet de gehele lengte van de schedel, maar alleen de lengte van het gezicht. En Dürer nam de gehele lengte van de schedel als meeteenheid. De Franse anatoom Richet stelde de wet van 7,5 keer de lengte van het hoofd vast.

Veel verhoudingen van het menselijk lichaam kunnen worden uitgedrukt als verhoudingen van gehele getallen, als een fout wordt verwaarloosd. Om dit te doen, kunt u de gemiddelde statistische gegevens van de bevolking van ons land gebruiken. Deze gegevens voor mannen en vrouwen verschillen aanzienlijk en worden afzonderlijk gepresenteerd. Hier zijn er enkele (voor mannen en vrouwen): hoogte 1660 en 1567, armlengte - 723 en 661, beenlengte - 900 en 835, taillehoogte - 1035 en 976, kniehoogte - 506 en 467, schouderbreedte - 380 en 349, lengte, zit – 1310 en 1211, dijlengte – 590 en 568 mm. Met behulp van deze statistieken kunnen de verhoudingen van verschillende delen van het lichaam worden berekend, bijvoorbeeld in relatie tot de lengte van een persoon. De op deze manier verkregen verhoudingen bleken zeer dicht bij gehele verhoudingen te liggen

Halverwege de vorige eeuw bouwde de Engelse wetenschapper Edinburg een canon van proporties van het menselijk lichaam op basis van een muzikaal akkoord. Het is interessant dat, vanuit het gezichtspunt van deze canon, het ideale mannelijke lichaam naar zijn mening overeenkwam met een majeurakkoord, en het vrouwelijk lichaam met een mineurakkoord.

De berekende proporties van het menselijk lichaam breiden antropometrische gegevens uit, bieden nieuwe kenmerken voor analyse en vergelijking, maar hebben nog steeds geen fysieke inhoud. De enige uitzondering is de verhouding tussen hoogte en taillehoogte. Deze relatie, die al sinds de oudheid bekend is, wordt al lang bestudeerd en wordt beschouwd als een van de belangrijkste criteria voor de harmonie van het menselijk lichaam. Het kreeg verschillende namen: de gulden snede, de gouden verhouding, de goddelijke verhouding, enz. Van de vele verhoudingen die mensen al lang gebruiken om harmonische werken te maken, heeft alleen deze, de enige echte, unieke eigenschappen. Ik heb een onderzoek uitgevoerd om erachter te komen of de regel van de ‘gulden’ verhouding van toepassing is op moderne tieners. De gegevens in deze tabel geven aan dat de ‘gouden’ verhouding werkelijk bestaat.

De gouden verhouding neemt een leidende plaats in in de artistieke canons van Leonardo da Vinci en Durer. In overeenstemming met deze canons komt de gouden verhouding niet alleen overeen met de verdeling van het lichaam in twee ongelijke delen door de taillelijn. Het menselijk gezicht werd door de natuur gecreëerd, ook volgens de regel van de gouden proportie. Gezichtshoogte verwijst dus naar de verticale afstand tussen de bogen van de wenkbrauwen en de onderkant van de kin, net zoals de afstand tussen de onderkant van de neus en de onderkant van de kin verwijst naar de afstand tussen de hoeken van de lippen en de onderkant van de kin. onderkant van de kin. Deze verhouding is gelijk aan de gulden snede.

Menselijke vingers bestaan ​​uit drie vingerkootjes: hoofd-, midden- en nagel. De lengte van de belangrijkste vingerkootjes van alle vingers, behalve de duim, is gelijk aan de som van de lengtes van de andere twee vingerkootjes. Dit kan eenvoudig worden geverifieerd met behulp van eenvoudige metingen. Dus de lengte van het hoofdkootje van mijn wijsvinger is bijvoorbeeld 4,2 cm. De lengte van het middelste kootje en het nagelkootje zijn respectievelijk 2,3 en 1,9 cm. Door de laatste gegevens bij elkaar op te tellen, krijgen we de lengte van het hoofdkootje .

Bovendien zijn de lengtes van alle vingerkootjes van elke vinger aan elkaar gerelateerd volgens de regel van de gouden verhouding.

Tijdens de Italiaanse Renaissance werd de gulden snede verheven tot de rang van het belangrijkste esthetische principe, maar later werd deze vergeten en ongeveer 200 jaar lang herinnerde niemand zich eraan.

In 1850 herontdekte de Duitse wetenschapper Zeising de gulden snede. Hij ontdekte dat het hele menselijke lichaam als geheel en elk individueel lid ervan met elkaar verbonden zijn door een wiskundig strikt systeem van proportionele relaties, waarbij de gulden snede een belangrijke plaats inneemt. Nadat hij duizenden menselijke lichamen had gemeten, ontdekte hij dat de gemiddelde verhouding van het mannelijk lichaam bijna 13:8 = 1,625 bedraagt, en die van het vrouwelijk lichaam bijna 8:3 = 1,60. Soortgelijke waarden werden verkregen bij het analyseren van antropometrische gegevens van de Russische bevolking.

Het is kenmerkend dat de navel het lichaam van een pasgeborene in twee gelijke delen verdeelt en dat de proporties van het lichaam slechts geleidelijk, tegen de tijd dat de groei voltooid is, hun uiteindelijke ontwikkeling bereiken, overeenkomend met de gouden verhouding (er wordt aangenomen dat op twee jaar komt de lengte van een kind overeen met de helft van de toekomstige lengte van een volwassene). Dit alles geeft reden om de gouden verhouding te beschouwen als een soort ‘constante van harmonie’, de ideale grens waarnaar het menselijk lichaam in zijn ontwikkeling streeft. Het menselijk lichaam wordt echter niet alleen gekenmerkt door een ‘streven’ naar de gouden proportie, maar ook door afwijking daarvan, geassocieerd met geslacht en individuele verschillen bij mensen, bijzondere ‘variaties op het thema van de gouden proportie’.

Het is een algemeen aanvaarde mening dat de gouden verhouding niet alleen een maatstaf is voor harmonie in de natuur en in kunstwerken, maar ook de basis van schoonheid, een bron van esthetische bevrediging. Het concept van schoonheid en schoonheid is veel breder en gevarieerder dan het concept van harmonie en ordelijkheid. Perfecte symmetrie en evenredigheid voldoen misschien niet aan de normen van schoonheid; ze zijn perfect, maar dood, en alleen verschillende afwijkingen van deze statische canons geven levendigheid, unieke individualiteit, charme en gratie aan de creaties van de natuur en de kunstenaar. Daarom gaat het concept van schoonheid van het menselijk lichaam verder dan de geometrische canons, maar deze canons vormen een bepaalde basis waarop een harmonieus en mooi lichaam ontstaat.

Het concept van de ‘gulden proportie’ past het beste bij de definitie van ‘schoonheidsformule’. Deze verhouding vertoont inderdaad de duidelijkste tekenen van de harmonie van schoonheid. Deze verhouding markeert als het ware het toppunt van esthetische verkenning, een zekere grens aan de harmonie van de natuur. Deze verhouding is niet alleen dominant in veel kunstwerken, maar bepaalt ook de ontwikkelingspatronen van veel organismen; de aanwezigheid ervan wordt opgemerkt door bodemwetenschappers, scheikundigen, geologen en astronomen.

Een dergelijke universaliteit van de gulden snede maakt het niet eenvoudig en toegankelijk om te bestuderen. Veel van de essentie van deze ‘constante van harmonie’ blijft onbekend. Het is nog steeds onduidelijk waarom de natuur deze verhouding verkoos boven alle andere – was dat vanwege het unieke karakter ervan?

Kenmerkend is dat de gouden verhouding overeenkomt met de verdeling van het geheel in twee ongelijke delen, en daarom overeenkomt met asymmetrie. Waarom is het zo aantrekkelijk, vaak aantrekkelijker dan symmetrische proporties? Het is duidelijk dat dit aandeel een bijzondere eigenschap heeft. Het geheel kan in een oneindig aantal ongelijke delen worden verdeeld, maar slechts één van deze delen komt overeen met de gouden verhouding. Blijkbaar gaat in deze verhouding een van de fundamentele geheimen van de natuur schuil, die nog ontdekt moet worden.

Maar menselijke schoonheid is altijd het onderwerp geweest van langdurig onderzoek door verschillende wetenschappen. Schoonheidsidealen zijn niet eeuwig en met de verandering van tijdperk betekent het concept van ‘mooi persoon’ totaal andere dingen. De schoonheid van het menselijk lichaam is biologisch passend, maar niet eeuwig. Ook heb ik in de loop van mijn werk kunnen ontdekken dat de schoonheid van het menselijk lichaam biologisch passend is, maar niet eeuwig, en dat de moderne idealen die ons worden opgelegd in tegenspraak zijn met biologische wetten.

De gulden snede is een wiskundig concept, de studie ervan is in de eerste plaats een taak voor de wetenschap. Het is ook een criterium voor harmonie en schoonheid, en dit zijn al categorieën van kunst. Maar uiteindelijk is kunst geen vijand, maar een bondgenoot van de wetenschap.

"Gouden proportie" in de plantenwereld.

Zoals in alle delen van de natuur is er ook in de flora sprake van een gouden verhouding, en dat is niet onopgemerkt gebleven. De flora is behoorlijk divers, veranderlijk en mobiel. Als het aantal minerale soorten in de aardkorst wordt geschat op tweeduizend, dan loopt het aantal plantensoorten in de miljoenen. En wat een verscheidenheid aan vormen, soorten en kleuren! Het lijkt erop dat er niets gemeenschappelijks is tussen de levende en de levenloze natuur; ze zijn eerder antipoden dan familieleden. Maar we mogen niet vergeten dat de levende natuur voortkwam uit de levenloze natuur en volgens de wetten van de erfelijkheid enkele kenmerken van haar voorouder moest behouden.

De wereld van de levenloze natuur is in de eerste plaats een wereld van symmetrie. Daarom werd symmetrie ook geërfd door de levende natuur. Kijk maar naar de planten en je ziet strikt symmetrische bloemen en bladeren, veel vruchten en zelfs de planten zelf met hun symmetrische spiraalvormige opstelling van bladeren op de stengel van de stam.

Aan het einde van de vorige eeuw ontdekte de Duitse botanicus F. Ludwig dat de curven die het aantal marginale bloemen in de manden van veel plantensoorten beschrijven, niet glad zijn, maar gebroken, ze hebben een multivertex-karakter en de belangrijkste maxima (modi ) van deze curven komen overeen met het aantal bloemen 3, 5, 8, 13, 21, 34, dat wil zeggen dat het een reeks Fibonacci-getallen vormt. Om voldoende betrouwbare gegevens te verkrijgen, onderzocht F. Ludwig 18.573 bloemen. Bij een van de plantensoorten bleek dat de belangrijkste maxima in het aantal marginale bloemen op de nummers 13, 21 en 34 vallen. Naast de belangrijkste maxima zijn er minder uitgesproken pieken zichtbaar op de multivertexgrafiek bij 26, 28 en 39 bloemen.

De door Ludwig vastgestelde wet geeft aan dat het aantal organen in planten niet voortdurend verandert en waarden aanneemt, maar discreet, in sprongen, waarbij sommige waarden de voorkeur krijgen boven andere, en deze discrete waarden zijn Fibonacci-getallen. Fibonacci-nummers zijn vooral duidelijk zichtbaar in de opstelling van bladeren op de scheuten.

Er is alle reden om het bestaan ​​in planten aan te nemen van een bepaald soort variabiliteit in het aantal en de rangschikking van organen, die wiskundig wordt beschreven door een reeks Fibonacci-getallen, ‘die een algoritme bevat van een natuurlijk veranderende stap van discretie – het kwantum van het aantal orgels”, zoals V. Schmidt schreef. Planten ontwikkelen zich duidelijk “volgens Fibonacci”, neigend naar een bepaalde grens, naar een harmonieuze organisatie. De verhouding van getallen in twee rijen in de limiet neigt naar de waarden van 0,618034 of 0,381966, dat wil zeggen naar delen van een geheel verdeeld in twee delen volgens de regel van de gouden verhouding.

Maar niet alleen de opstelling van bladeren op de stam van planten is discreet, maar ook de groei van planten; planten zijn onderworpen aan de interne kwantisering van de groei. Hier verschijnen weinig bestudeerde patronen van de temporele organisatie van zich ontwikkelende planten. Onder constante en gunstige externe omstandigheden verandert de intensiteit van de groei in de loop van de tijd: perioden van intensieve groei worden vervangen door perioden van relatieve rust en stabiliteit. Aangenomen kan worden dat ook de duur van de groeiperiode een bepaald patroon zal vertonen, dat in verband kan worden gebracht met het ontvouwen van een reeks Fibonacci-getallen in de loop van de tijd. Bij de ontwikkeling van planten is er immers een begin en een einde, er is een kwalitatief verschil in de groeifasen, de richting ervan naar een bepaalde eindtoestand.

Het is niet verrassend dat de patronen van de gulden snede en de Fibonacci-getallen zo wijdverspreid van aard zijn en op verschillende ontwikkelingsniveaus voorkomen. Deze patronen zijn criteria voor de harmonieuze organisatie van verschillende systemen. In de gulden snede en de Fibonacci-getallen is het de sleutel tot de harmonie van systemen, de ‘gouden sleutel’ die de deur opent naar het land van harmonie en schoonheid.

Conclusie.

Het idee van Pythagoras om de natuurwetten uit te drukken in de vorm van verhoudingen van getallen, en dan nog van kleine getallen, bleek verrassend vasthoudend en vruchtbaar. Eeuwenlang hebben wetenschappers uit verschillende kennisgebieden geprobeerd gevestigde patronen uit te drukken met eenvoudige formules en numerieke relaties.

Bij diepgaande studie bleek echter dat de natuur zowel eenvoudig als complex is, dat deze kenmerken één zijn, en dat de zoektocht naar eenvoud alleen maar de wens van de wetenschap tot uitdrukking brengt. Als we erover nadenken, is het duidelijk dat mensen geen natuurmodellen kunnen creëren die zo complex zijn als de natuur zelf. Hun doel is om het simpele in het complexe te zien, zonder de complexiteit van het simpele te vergeten.

De zoektocht naar algemene natuurwetten is uiteraard het meest fascinerende gebied van cognitie. Het is in zulke patronen dat de eenheid van de natuur en de eenheid van de wetenschappen zich manifesteren. Het idee van een dergelijke eenheid, weerspiegeld in de aanwezigheid van algemene kwantitatieve en kwalitatieve relaties, in het bestaan ​​van algemene formules en getallen, heeft zijn relevantie vanaf Pythagoras tot op de dag van vandaag behouden.

Aristoteles schreef dat onder de Pythagoreeërs ‘getallen de essentie van alle dingen zijn, en dat de organisatie van het heelal in zijn definities over het algemeen een harmonieus systeem van getallen en hun relaties is’. Na Alcmaeon fungeert het in het systeem van Pythagoras ‘als een universele sleutel om de wereld te verklaren’.

Eeuwen en millennia gingen voorbij nadat Pythagoras duizenden van de belangrijkste wetten en patronen ontdekte, en het bleek dat veel daarvan worden beschreven door gehele getallen en hun verhoudingen.

Gedurende zijn hele bestaan ​​heeft de mens in zijn creativiteit van de natuur geleerd. Hij leefde in harmonie met haar. De mens van vandaag is ver verwijderd van de natuur en heeft het contact ermee verloren. De ‘omgeving’ die hij creëerde is een wereld van disharmonie, een wereld die vreemd is aan de natuurlijke aard van de mens.

Maar de tijden veranderen. Mensen begonnen te beseffen dat de natuur vroeg of laat voor altijd verloren zal gaan, dus keren ze weer terug naar de natuur en zoeken ze naar harmonie ermee, wat onvermijdelijk is. De natuur heeft zijn eigen wetten en patronen. En de mens is een onderdeel van de natuur, haar schepping, en daarom gehoorzaamt hij daaraan. Nadat hij de eerdere harmonie met de natuur heeft bereikt, zal een persoon een nieuwe ronde van de evolutionaire ontwikkelingsspiraal bereiken!

Meetkunde is een exacte en vrij complexe wetenschap, die tegelijkertijd een soort kunst is. Lijnen, vlakken, verhoudingen - dit alles helpt om veel werkelijk mooie dingen te creëren. En vreemd genoeg is dit gebaseerd op geometrie in de meest uiteenlopende vormen. In dit artikel zullen we kijken naar iets heel ongewoons dat hier rechtstreeks verband mee houdt. De gulden snede is precies de geometrische benadering die besproken zal worden.

De vorm van een object en zijn perceptie

Mensen vertrouwen meestal op de vorm van een object om het tussen miljoenen anderen te herkennen. Het is door zijn vorm dat we bepalen wat voor soort ding voor ons ligt of in de verte staat. We herkennen mensen in de eerste plaats aan de vorm van hun lichaam en gezicht. Daarom kunnen we vol vertrouwen zeggen dat de vorm zelf, de grootte en het uiterlijk een van de belangrijkste dingen is in de menselijke perceptie.

Voor mensen is de vorm van wat dan ook van belang om twee hoofdredenen: óf het wordt gedicteerd door vitale noodzaak, óf het wordt veroorzaakt door esthetisch genot van schoonheid. De beste visuele perceptie en het gevoel van harmonie en schoonheid komt meestal wanneer een persoon een vorm waarneemt in de constructie waarvan symmetrie en een speciale verhouding zijn gebruikt, die de gulden snede wordt genoemd.

Het concept van de gulden snede

De gulden snede is dus de gulden snede, die ook een harmonische verdeling is. Laten we, om dit duidelijker uit te leggen, enkele kenmerken van het formulier bekijken. Namelijk: een vorm is iets geheel, en het geheel bestaat op zijn beurt altijd uit enkele delen. Deze onderdelen hebben hoogstwaarschijnlijk verschillende kenmerken, althans verschillende maten. Welnu, dergelijke dimensies staan ​​altijd in een bepaalde relatie, zowel onderling als in relatie tot het geheel.

Dit betekent met andere woorden dat we kunnen zeggen dat de gulden snede een verhouding is van twee grootheden, die zijn eigen formule heeft. Het gebruik van deze verhouding bij het maken van een vorm helpt om deze voor het menselijk oog zo mooi en harmonieus mogelijk te maken.

Uit de eeuwenoude geschiedenis van de gulden snede

De gulden snede wordt tegenwoordig vaak op veel verschillende gebieden van het leven gebruikt. Maar de geschiedenis van dit concept gaat terug tot de oudheid, toen wetenschappen als wiskunde en filosofie nog maar net in opkomst waren. Als wetenschappelijk concept werd de gulden snede in gebruik genomen in de tijd van Pythagoras, namelijk in de 6e eeuw voor Christus. Maar zelfs daarvoor werd kennis over een dergelijke verhouding in de praktijk gebruikt in het oude Egypte en Babylon. Een duidelijke indicatie hiervan zijn de piramides, voor de constructie waarvan precies deze gouden verhouding werd gebruikt.

Nieuwe periode

De Renaissance bracht een nieuwe adem in de harmonische verdeeldheid, vooral dankzij Leonardo da Vinci. Deze verhouding wordt steeds vaker gebruikt, zowel in de geometrie als in de kunst. Wetenschappers en kunstenaars begonnen de gulden snede dieper te bestuderen en boeken te maken die deze kwestie onderzoeken.

Een van de belangrijkste historische werken met betrekking tot de gulden snede is een boek van Luca Pancholi genaamd The Divine Proportion. Historici vermoeden dat de illustraties in dit boek vóór Vinci door Leonardo zelf zijn gemaakt.

gouden ratio

Wiskunde geeft een heel duidelijke definitie van proportie, die zegt dat het de gelijkheid is van twee verhoudingen. Wiskundig gezien kan dit worden uitgedrukt door de volgende gelijkheid: a: b = c: d, waarbij a, b, c, d enkele specifieke waarden zijn.

Als we kijken naar het aandeel van een segment dat in twee delen is verdeeld, kunnen we slechts een paar situaties tegenkomen:

• Het segment is verdeeld in twee absoluut gelijke delen, wat betekent AB:AC = AB:BC, als AB het exacte begin en einde van het segment is, en C het punt is dat het segment in twee gelijke delen verdeelt.
• Het segment is verdeeld in twee ongelijke delen, die in zeer verschillende verhoudingen ten opzichte van elkaar kunnen staan, wat betekent dat ze hier volkomen onevenredig zijn.
• Het segment is zo verdeeld dat AB:AC = AC:BC.

Wat de gulden snede betreft, dit is een proportionele verdeling van een segment in ongelijke delen, wanneer het gehele segment betrekking heeft op het grotere deel, net zoals het grotere deel zelf betrekking heeft op het kleinere deel. Er is een andere formulering: het kleinere segment is gerelateerd aan het grotere, net zoals het grotere aan het hele segment. In wiskundige termen ziet het er als volgt uit: a:b = b:c of c:b = b:a. Dit is precies hoe de formule van de gulden snede eruit ziet.

Gulden snede in de natuur

De gulden snede, waarvan we nu voorbeelden zullen bekijken, verwijst naar ongelooflijke verschijnselen in de natuur. Dit zijn hele mooie voorbeelden van het feit dat wiskunde niet alleen maar getallen en formules is, maar een wetenschap die meer heeft dan een echte weerspiegeling in de natuur en ons leven in het algemeen.

Voor levende organismen is groei een van de belangrijkste taken in het leven. Dit verlangen om je plaats in de ruimte in te nemen komt in feite in verschillende vormen voor: omhoog groeiend, zich bijna horizontaal over de grond verspreidend, of in een spiraal draaiend op een soort steun. En hoe ongelooflijk het ook mag zijn, veel planten groeien volgens de gulden snede.

Een ander bijna ongelooflijk feit zijn de relaties in het lichaam van hagedissen. Hun lichaam ziet er voor het menselijk oog heel aangenaam uit en dit is mogelijk dankzij dezelfde gulden snede. Om preciezer te zijn: de lengte van hun staart heeft betrekking op de lengte van het hele lichaam, namelijk 62:38.

Interessante feiten over de regels van de gulden snede

De gulden snede is een werkelijk ongelooflijk concept, wat betekent dat we door de geschiedenis heen veel echt interessante feiten over deze verhouding tegen kunnen komen. Wij stellen u er enkele voor:

Gulden snede in het menselijk lichaam

In deze sectie is het noodzakelijk om een ​​zeer belangrijk persoon te noemen, namelijk S. Zeizinga. Dit is een Duitse onderzoeker die enorm veel werk heeft verricht op het gebied van het bestuderen van de gulden snede. Hij publiceerde een werk getiteld Aesthetic Studies. In zijn werk presenteerde hij de gulden snede als een absoluut concept dat universeel is voor alle verschijnselen zowel in de natuur als in de kunst. Hier kunnen we ons de gulden snede van de piramide herinneren, samen met de harmonieuze proporties van het menselijk lichaam enzovoort.

Het was Zeising die kon bewijzen dat de gulden snede in feite de gemiddelde statistische wet voor het menselijk lichaam is. Dit bleek in de praktijk, omdat hij tijdens zijn werk veel menselijke lichamen moest opmeten. Historici geloven dat meer dan tweeduizend mensen aan dit experiment hebben deelgenomen. Volgens het onderzoek van Zeising is de belangrijkste indicator van de gulden snede de verdeling van het lichaam door de navelpunt. Het mannelijk lichaam met een gemiddelde verhouding van 13:8 ligt dus iets dichter bij de gulden snede dan het vrouwelijk lichaam, waar de gulden snede 8:5 is. De gulden snede kan ook worden waargenomen in andere delen van het lichaam, zoals de hand.

Over de constructie van de gulden snede

In feite is het construeren van de gulden snede een eenvoudige zaak. Zoals we zien, konden zelfs oude mensen hier vrij gemakkelijk mee omgaan. Wat kunnen we zeggen over de moderne kennis en technologieën van de mensheid. In dit artikel zullen we niet laten zien hoe dit eenvoudigweg op een vel papier en met een potlood in de hand kan worden gedaan, maar we zullen vol vertrouwen verklaren dat het inderdaad mogelijk is. Bovendien kan dit op meer dan één manier gebeuren.

Omdat dit een vrij eenvoudige geometrie is, is de gulden snede vrij eenvoudig te construeren, zelfs op school. Daarom is informatie hierover gemakkelijk te vinden in gespecialiseerde boeken. Door de gulden snede te bestuderen, kunnen leerlingen van het zesde leerjaar de principes van de constructie ervan volledig begrijpen, wat betekent dat zelfs kinderen slim genoeg zijn om een ​​dergelijke taak onder de knie te krijgen.

Gulden snede in de wiskunde

De eerste kennismaking met de gulden snede in de praktijk begint met een eenvoudige verdeling van een recht lijnstuk in dezelfde verhoudingen. Meestal gebeurt dit met een liniaal, kompas en natuurlijk een potlood.

Segmenten van de gulden snede worden uitgedrukt als een oneindige irrationele breuk AE = 0,618..., als AB als één wordt genomen, BE = 0,382... Om deze berekeningen praktischer te maken, gebruiken ze heel vaak niet exact, maar benaderend waarden, namelijk - 0,62 en 0,38. Als het segment AB uit 100 delen wordt genomen, zal het grootste deel respectievelijk gelijk zijn aan 62 en het kleinere deel gelijk aan 38 delen.

De belangrijkste eigenschap van de gulden snede kan worden uitgedrukt door de vergelijking: x 2 -x-1=0. Bij het oplossen krijgen we de volgende wortels: x 1,2 =. Hoewel wiskunde een exacte en rigoureuze wetenschap is, net als haar sectie, de meetkunde, zijn het eigenschappen zoals de wetten van de gulden snede die dit onderwerp mysterieus maken.

Harmonie in de kunst door de gulden snede

Laten we, om samen te vatten, kort bekijken wat er al is besproken.

In principe vallen veel kunstwerken onder de regel van de gulden snede, waarbij een verhouding dichtbij 3/8 en 5/8 wordt aangehouden. Dit is de ruwe formule van de gulden snede. In het artikel is al veel vermeld over voorbeelden van het gebruik van de sectie, maar we zullen er nog eens naar kijken door het prisma van oude en moderne kunst. Dus de meest opvallende voorbeelden uit de oudheid:

Wat betreft het waarschijnlijk bewuste gebruik van proporties, vanaf de tijd van Leonardo da Vinci, werd het op bijna alle gebieden van het leven gebruikt - van wetenschap tot kunst. Zelfs de biologie en de geneeskunde hebben bewezen dat de gulden snede zelfs in levende systemen en organismen werkt.

Jakovleva Alena

Het doel van het werk is om het concept van de Gulden Snede te bestuderen, om na te gaan hoe de Gulden Snede door de natuur wordt gebruikt.

De samenvatting bespreekt in detail de concepten van de Gulden Snede, Gulden Rechthoek, Gulden Spiraal en hun toepassing in de natuur. Beschrijft onderzoek dat in de klas wordt uitgevoerd.

Downloaden:

Voorbeeld:

Gemeentelijke onderwijsinstelling

"Middelbare school nr. 48"

STAD WETENSCHAPPELIJKE EN PRAKTISCHE CONFERENTIE

Sectie: wiskunde, biologie

"Gulden snede in de natuur."

Gemeentelijke onderwijsinstelling van Kurgan "Middelbare school nr. 48",

8 "B"-klasse.

Wetenschappelijke begeleiders: Jakoesjtsjenko

Tat'jana Aleksandrovna

Docent biologie,

Gemeentelijke onderwijsinstelling van Kurgan "Middelbare school nr. 48",

Baeva Liliya Nikolajevna,

Gemeentelijke onderwijsinstelling van Kurgan "Middelbare school nr. 48",

Wiskundeleraar.

heuvel,

2010

1. Introductiepagina 3
2. Het concept van de Gulden Snede p.5
3. Geschiedenis van de Gulden Snede pagina 5
4. Gouden rechthoek p.7
5. Gouden spiraal p.8
6. Gouden spiralen in de levende natuur p.9
7. Alomtegenwoordige phyllotaxis p.10
8. Gulden snede in de natuur p.11
9. Gouden proporties in het menselijk lichaam p.12
10. Mijn onderzoek p.13
11. Conclusie p.13
12. Bijlage pagina 16
13. Referenties p.15

Invoering. Over de levende en levenloze natuur.

De natuur, opgevat als de hele wereld in de diversiteit van haar vormen, bestaat uit twee delen: de levende en de levenloze natuur. Wat is het verschil tussen hen?Creaties van de levenloze natuur worden gekenmerkt door hoge stabiliteit en lage variabiliteit, te oordelen naar de schaal van het menselijk leven. Een mens wordt geboren, leeft, wordt ouder, sterft, maar de granieten bergen (bijlage 1) blijven hetzelfde en de planeten draaien op dezelfde manier rond de zon als in de tijd van Pythagoras.

De wereld van de levende natuur lijkt ons compleet anders: mobiel, veranderlijk en verrassend divers. Het leven toont ons een fantastisch carnaval van diversiteit en uniciteit van creatieve combinaties! (Bijlage 2)De wereld van de levenloze natuur is in de eerste plaats een wereld van symmetrie, die zijn creaties stabiliteit en schoonheid geeft. De wereld van de levende natuur is in de eerste plaats een wereld van harmonie waarin de wet van de Gulden Snede werkzaam is.

Doel Het is mijn taak om het concept van de Gulden Snede te bestuderen, om na te denken over hoe de Gulden Snede door de natuur wordt gebruikt.

Het doel volgt taken:

Bestudeer de literatuur over dit onderwerp;

Bestudeer het concept van de Gulden Snede, overweeg hoe de “Gulden Snede” door de natuur wordt gebruikt;

Onderzoek bronnen verscheen:

1. bibliotheekcollecties;
2. Internet;
3. de bibliotheek van mijn supervisor.

Onderzoeksmethoden:

1. het bestuderen van materiaal over dit onderwerp;
2. werken met de klas;

Het concept van de gulden snede

De gulden snede (gulden verhouding, verdeling in extreme en gemiddelde verhouding, harmonische verdeling, φ) is de verdeling van een segment in delen in een zodanige verhouding waarin het kleinere deel zich verhoudt tot het grotere, zoals het grotere deel zich verhoudt tot het geheel. . Bijvoorbeeld: het verdelen van een segment AC in twee delen op zo'n manier dat het grotere deel AB zich verhoudt tot de kleinere BC op dezelfde manier als het hele segment AC zich verhoudt tot AB (d.w.z. |AB| / |BC| = |AC| / |AB|). (add. 3) Deze verhouding wordt gewoonlijk aangegeven met de Griekse letter φ en is gelijk aan: 1,618 (add. 4)

Segmenten van de gouden verhouding worden uitgedrukt door de irrationele oneindige breuk 0,618..., als c als één wordt genomen, a = 0,382. De getallen 0,618 en 0,382 zijn de Fibonacci-reeksverhoudingen. De geometrische basisfiguren zijn op deze verhouding gebaseerd.

Als je bij een lege bank komt en erop gaat zitten, dan ga je niet in het midden van de bank zitten (op de een of andere manier onfatsoenlijk, hoewel er zulke uitgesproken karakters zijn) en natuurlijk niet helemaal op de rand. Als je rustig de lengtes meet waarin je de bank met je lichaam hebt verdeeld, zul je merken dat de verhouding van het grotere segment tot het kleinere segment gelijk is aan de verhouding van de gehele lengte tot het grotere segment en ongeveer 1,62 bedraagt. Dit getal, de Gulden Snede genoemd, is een van de drie bekendste irrationele getallen, dat wil zeggen de getallen waarvan de decimale representatie oneindig en niet-periodiek is.

Geschiedenis van de gulden snede.

Het is algemeen aanvaard dat het concept van de Gulden Divisie in wetenschappelijk gebruik werd geïntroduceerd door Pythagoras, een oude Griekse filosoof en wiskundige (VI eeuw voor Christus). Er wordt aangenomen dat Pythagoras zijn kennis over de gouden verdeling ontleende aan de Egyptenaren en Babyloniërs. De Grieken waren bekwame meetkundigen. Ze leerden hun kinderen zelfs rekenen met behulp van geometrische figuren. Het Pythagorasvierkant en de diagonaal van dit vierkant vormden de basis voor de constructie van dynamische rechthoeken.
Plato (toevoeging 5) (427...347 v.Chr.) was ook op de hoogte van de gouden verdeling. Zijn dialoog “Timaeus” is gewijd aan de wiskundige en esthetische opvattingen van de school van Pythagoras en in het bijzonder aan de kwesties van de gouden verdeling. De façade van de oude Griekse tempel van het Parthenon heeft gouden proporties. In de oude literatuur die tot ons is gekomen, wordt de gouden verdeling voor het eerst genoemd in de Elementen van Euclides (bijlage 6). In het tweede boek van de Elementen wordt de geometrische constructie van de gouden verdeling gegeven. Na Euclides werd de studie van de gouden verdeling uitgevoerd door Hypsicles (2e eeuw voor Christus), Pappus (3e eeuw na Christus) en anderen. In middeleeuws Europa maakten ze kennis met de gouden verdeling door middel van Arabische vertalingen van de Elementen van Euclides. De vertaler J. Campano uit Navarra (IIIe eeuw) maakte commentaar op de vertaling. De geheimen van de gouden divisie werden angstvallig bewaakt en strikt geheim gehouden. Ze waren alleen bekend bij ingewijden.
Tijdens de Renaissance nam de belangstelling voor de gouden scheiding onder wetenschappers en kunstenaars toe vanwege het gebruik ervan in zowel de geometrie als de kunst, vooral in de architectuur.
Luca Pacioli (bijlage 7) begreep perfect het belang van wetenschap voor de kunst. In 1496 kwam hij op uitnodiging van de hertog van Moreau naar Milaan, waar hij wiskunde doceerde. Leonardo da Vinci werkte destijds ook in Milaan aan het Moro-hof (bijlage 8). In 1509 werd in Venetië het boek “The Divine Proportion” van Luca Pacioli gepubliceerd met briljant uitgevoerde illustraties, en daarom wordt aangenomen dat ze door Leonardo da Vinci zijn gemaakt. Het boek was een enthousiaste hymne aan de Gulden Proportie. Onder de vele voordelen van de Gulden Proportie heeft de monnik Luca Pacioli niet nagelaten de ‘goddelijke essentie’ ervan te noemen als een uitdrukking van de goddelijke drie-eenheid: God de Zoon, God de Vader en God de Heilige Geest (er werd gesuggereerd dat de kleine segment is de personificatie van God de Zoon)

gouden rechthoek

De gulden snede wordt veel gebruikt in de meetkunde. We beginnen onze reis door de geometrische eigenschappen van de Gulden Snede met de Gulden Rechthoek, die de volgende geometrische definitie heeft. Een gouden rechthoek is een rechthoek waarin de verhouding van de grotere zijde tot de kleinere zijde gelijk is aan de gouden verhouding (Bijlage 9).Beschouw het geval van de eenvoudigste Gulden Rechthoek, waarbij AB = en BC = 1. (Bijlage 10)

De gouden rechthoek heeft veel bijzondere eigenschappen. Door uit de gouden rechthoek een vierkant te knippen waarvan de zijde gelijk is aan de kleinere zijde van de rechthoek, krijgen we weer een kleinere gouden rechthoek. Terwijl we doorgaan met het afsnijden van vierkanten, krijgen we steeds kleinere gouden rechthoeken. Bovendien zullen ze zich in een logaritmische spiraal bevinden (bijlage 11), wat belangrijk is in wiskundige modellen van natuurlijke objecten (bijvoorbeeld slakkenhuizen). De pool van de spiraal ligt op het snijpunt van de diagonalen van de initiële rechthoek BD en de eerste verticale AC die moet worden gesneden. Bovendien liggen de diagonalen van alle volgende afnemende Gulden Rechthoeken op deze diagonalen (Bijlage 12)

De gulden snede was al bekend bij de oude Grieken. Er kan weinig twijfel over bestaan ​​dat sommige oude Griekse architecten en beeldhouwers het bewust in hun creaties gebruikten. Een voorbeeld zou het Parthenon zijn. Het was precies deze omstandigheid die de Amerikaanse wiskundige Mark Barr in gedachten had toen hij voorstelde om de verhouding van twee segmenten die de gulden snede vormen een getal te noemen. De letter (phi) is de eerste letter in de naam van de grote Phidias.

Terwijl de Gulden Snede en de Gulden Rechthoek statische vormen van natuurlijke en door de mens gemaakte schoonheid en activiteit vertegenwoordigen, kan de representatie van esthetisch aangename dynamiek, de georganiseerde beweging van groei en ontwikkeling, alleen tot stand worden gebracht door de mooiste vorm in het universum – de Gouden spiraal.

Gouden spiraal

De Gouden Rechthoek kan worden gebruikt om de Gouden Spiraal te construeren. Elke Gouden Rechthoek kan worden verdeeld in een vierkant en een kleinere Gouden Rechthoek. Dit proces kan theoretisch voor onbepaalde tijd worden voortgezet. Deze resulterende rechthoeken die we hebben getekend en die naar binnen lijken te krullen, worden gelabeld met A, B, C, D, E, F en G (Bijlage 13). Stippellijnen, die zelf in een gulden snede ten opzichte van elkaar staan, ontleden de rechthoeken markeer diagonaal en nauwkeurig het theoretische middelpunt van de kronkelende vierkanten. Vanaf ongeveer het middelpunt kunnen we een spiraal tekenen (bijlage 14) door de snijpunten van elk kronkelend vierkant met elkaar te verbinden in volgorde van toenemende grootte. Terwijl de vierkanten naar binnen en naar buiten draaien, vormen hun verbindingspunten een Gouden Spiraal. Om de Gouden Spiraal te construeren kan hetzelfde proces worden gebruikt, maar dan met gedraaide driehoeken.

Op elk punt in de ontwikkeling van de Gouden Spiraal is de verhouding tussen de lengte van de boog en de diameter 1,618. De diameter en straal zijn op hun beurt gerelateerd aan de diameter en straal, gescheiden door een hoek van 90 graden, met een coëfficiënt van 1,618 (Adj. 15). De Gouden Spiraal, een soort logaritmische of isogonale spiraal, heeft geen grenzen en is

constant van vorm. Vanaf elk punt op de spiraal kun je eindeloos naar binnen of naar buiten bewegen. Het centrale deel van de logaritmische spiraal zou, bekeken door een microscoop, hetzelfde uiterlijk hebben als het breedste zichtbare deel op een afstand van vele lichtjaren.

Gouden spiralen in de natuur

Gouden spiralen zijn wijdverbreid in de biologische wereld. Zoals hierboven opgemerkt, groeien dierenhoorns slechts vanaf één uiteinde. Deze groei vindt plaats in een logaritmische spiraal. In het boek ‘Curved Lines in Life’ onderzoekt T. Cook de verschillende soorten spiralen die voorkomen in de hoorns (bijlage 16) van rammen, geiten, antilopen en andere gehoornde dieren. Uit de vele spiralen kiest hij de Gouden Spiraal (de curve van harmonische toename) en beschouwt deze als een symbool van evolutie en groei.

Spiralen manifesteren zich op grote schaal in de levende natuur. De ranken van planten draaien in een spiraal (bijlage 17), weefselgroei in boomstammen vindt plaats in een spiraal, zaden in een zonnebloem bevinden zich in een spiraal, spiraalvormige bewegingen (nutaties) worden waargenomen tijdens de groei van wortels en scheuten. Dit toont duidelijk de erfelijkheid van de plantorganisatie aan, en de wortels ervan moeten op cellulair en moleculair niveau worden gezocht.

De meeste schelpen hebben een spiraalvorm (bijlage 18-19). Bij het bestuderen van de ontwerpen van schelpen hebben wetenschappers aandacht besteed aan de geschiktheid van de vormen en oppervlakken van de schelpen: het binnenoppervlak is glad, het buitenoppervlak is gegroefd. Het lichaam van het weekdier rust binnenin - het binnenoppervlak moet glad zijn. Externe ribben vergroten de stijfheid van de schaal en vergroten daarmee de sterkte. De vorm van de schelpen valt op door zijn perfectie en de kosteneffectiviteit van het geld dat aan de creatie ervan is besteed. Het idee van een spiraal in schelpen wordt niet bij benadering uitgedrukt, maar in een perfecte geometrische vorm, in een verbazingwekkend mooi, "aangescherpt" ontwerp.

Russische wetenschapper S.V. Petukhov, die de structurele patronen van het bewegingsapparaat bij verschillende gewervelde dieren bestudeerde, kwam tot de conclusie dat de constructie van hun ledematen plaatsvond onder invloed van twee factoren: de wetten van de Gulden Proportie en de aanpassing van het lichaam aan de manier van leven:

“De wetten van de Gulden Proportie bepaalden het basisplan, het basisidee van het ontwerp van de ledematen, en de specifieke bestaansomstandigheden van elk dier bepaalden afwijkingen – schommelingen van dit plan – de gehele diversiteit van de structuur van bestaande formulieren.”

Alomtegenwoordige phyllotaxis.

Een karakteristiek kenmerk van de structuur van planten en hun ontwikkeling is

heliciteit. Ook Goethe, die niet alleen een groot dichter was, maar ook

als natuurwetenschapper beschouwde hij spiraliteit als een van de karakteristieke kenmerken van alle organismen, een manifestatie van de diepste essentie van het leven. De ranken van planten draaien spiraalvormig, weefsel groeit spiraalvormig in boomstammen, zaden in een zonnebloem bevinden zich in een spiraal, tijdens de groei van wortels en scheuten worden spiraalvormige bewegingen (nutaties) waargenomen. Dit toont duidelijk de erfelijkheid van de plantorganisatie aan, en de wortels ervan moeten op cellulair en moleculair niveau worden gezocht.

Er bestaat geen twijfel dat erfelijke heliciteit een van de meest voorkomende is

fundamentele eigenschappen van organismen, het weerspiegelt een van de essentiële kenmerken van levende wezens. Op het eerste gezicht lijkt het erop dat er in kristallen van anorganische stoffen geen heliciteit of schroefstructuur is. Uit diepgaander onderzoek is echter gebleken dat de schroefschikking van atomen ook in sommige kristallen wordt waargenomen en tot uiting komt in de vorming van zogenaamde schroefdislocaties. Dergelijke kristallen bestaan ​​uit een enkel spiraalvormig, gebogen atoomvlak. Met elke omwenteling om de as stijgt dit vlak

met één schroefspoed gelijk aan de interatomaire afstand. Hieraan moet worden toegevoegd dat kristallen met een dergelijke schroefstructuur extreem sterk zijn. Van de spiraalvormige structuur van DNA-moleculen tot het draaien van plantenranken - dit zijn de vormen van manifestatie van heliciteit op verschillende niveaus van plantorganisatie.

Dit kenmerk van de organisatie van planten in

patronen van bladschikking.

Er zijn verschillende manieren om de bladeren te rangschikken. In de eerste bladeren

de scheuten bevinden zich strikt onder elkaar en vormen verticale rijen - orthostychs. De voorwaardelijke spiraal die de locaties van de bladeren op de scheut met elkaar verbindt, wordt een genetische of hoofdspiraal genoemd, meer precies een spiraallijn, en is verdeeld in een aantal bladcycli. Deze schroef wordt genetisch genoemd omdat de rangschikking van de bladeren erin overeenkomt met de volgorde waarin de bladeren erin verschijnen. De projectie op het vlak van de bladopstelling maakt het mogelijk de divergentiehoek van de bladeren uit te drukken in fracties van een cirkel.

Het weloverwogen patroon van de opstelling van bladeren, schubben, zaden

phyllotaxis genoemd. Er is vastgesteld dat wanneer het zich bevindt

Als de bladeren in een ideale hoek staan, zal geen enkel blad precies boven het andere liggen, wat betere omstandigheden voor fotosynthese creëert

Gulden snede in de natuur.

Alles wat een vorm aannam, werd gevormd, groeide, streefde ernaar een plaats in de ruimte in te nemen en zichzelf te behouden. Dit verlangen wordt voornamelijk op twee manieren gerealiseerd: naar boven groeien of zich over het aardoppervlak verspreiden en in een spiraal draaien.

Tussen de kruiden langs de weg groeit een onopvallende plant: cichorei (bijlage 20). Laten we het eens nader bekijken. Er is een scheut gevormd uit de hoofdstam. Het eerste blad bevond zich daar. De scheut maakt een sterke uitwerping in de ruimte, stopt, laat een blad los, maar deze keer is het korter dan de eerste, maakt opnieuw een uitwerping in de ruimte, maar met minder kracht, laat een blad van een nog kleiner formaat los en wordt opnieuw uitgeworpen . Als de eerste emissie wordt genomen als 100 eenheden, dan is de tweede gelijk aan 62 eenheden, de derde - 38, de vierde - 24, enz. Ook de lengte van de bloemblaadjes is onderworpen aan de Gulden Proportie. Bij het groeien en veroveren van de ruimte behield de plant bepaalde verhoudingen. De impulsen van zijn groei namen geleidelijk af in verhouding tot de gulden snede.

Op het eerste gezicht heeft de hagedis verhoudingen die prettig zijn voor onze ogen - de lengte van zijn staart is gerelateerd aan de lengte van de rest van het lichaam, namelijk 62 tot 38 (bijlage 21).

Gouden proporties in het menselijk lichaam.

In 1855 publiceerde de Duitse onderzoeker van de Gulden Snede, professor Zeising, zijn werk ‘Aesthetic Studies’. Wat met Zeising gebeurde, was precies wat onvermijdelijk zou moeten gebeuren met een onderzoeker die een fenomeen als zodanig beschouwt, zonder verband met andere verschijnselen. Hij verabsoluteerde het aandeel van de Gulden Snede en verklaarde deze universeel voor alle verschijnselen van natuur en kunst.

Zeising had talloze aanhangers, maar er waren ook tegenstanders die zijn doctrine van proporties als ‘wiskundige esthetiek’ bestempelden.

Zeising heeft geweldig werk geleverd. Hij mat ongeveer tweeduizend menselijke lichamen en kwam tot de conclusie dat de Gulden Snede de gemiddelde statistische wet uitdrukt. De verdeling van het lichaam door de navelpunt is de belangrijkste indicator van de gulden snede. De mannelijke lichaamsverhoudingen fluctueren binnen de gemiddelde verhouding van 13:8 = 1,625 en liggen iets dichter bij de Gulden Snede dan de vrouwelijke lichaamsverhoudingen, waarbij de gemiddelde verhouding wordt uitgedrukt in de verhouding 8:5 = 1,6. Bij een pasgeborene is de verhouding 1:1, op 13-jarige leeftijd is deze 1,6 en op 21-jarige leeftijd is deze gelijk aan die van een man. De verhoudingen van de Gulden Snede verschijnen ook in relatie tot andere delen van het lichaam: de lengte van de schouder, onderarm en hand, hand en vingers, enz. (adj. 22).

Mijn onderzoek.

Ik keek naar bloemen binnenshuis op school en thuis en identificeerde de bloemen die groeien volgens de wetten van de Gulden Snede (bijlagen 23 - 29) en de bloemen die groeien volgens de wetten van de Gulden Spiraal (bijlagen 30 - 34).

In de klas voerde ik het volgende onderzoek uit: ik nodigde de kinderen uit om op een bankje te gaan zitten. Alle gegevens zijn samengevat in een tabel (bijlage 35), er worden berekeningen gemaakt van de verhouding van de lengte van de bank tot het grotere deel en het grotere deel tot het kleinere. Het bleek ongeveer 1,6 te zijn. Dit getal is de gulden snede.

Conclusie.

Een persoon onderscheidt objecten om hem heen door hun vorm. Interesse in de vorm van een object kan worden ingegeven door vitale noodzaak, of kan worden veroorzaakt door de schoonheid van de vorm. De vorm, die gebaseerd is op een combinatie van symmetrie en de Gulden Snede, bevordert de beste visuele waarneming en het verschijnen van een gevoel van schoonheid en harmonie. Het geheel bestaat altijd uit delen, delen van verschillende grootte staan ​​in een bepaalde relatie tot elkaar en tot het geheel. Het principe van de Gulden Snede is de hoogste manifestatie van de structurele en functionele perfectie van het geheel en zijn delen in kunst, wetenschap, technologie en natuur.

Bibliografie

1. N. Vasyutinsky “Gouden proportie” – M., “Jonge Garde”, 1990
2. A. Azevich “Twintig harmonielessen” – M., “School-Press”, 1998
3. M. Gardner “Wiskundige puzzels en entertainment” - M., “Mir”, 1971
4. D. Pidou “Geometrie en kunst” - M., “Mir”, 1989
5. Encyclopedisch woordenboek van een jonge wiskundige – M., 1989
6. Tijdschrift “Kvant”, 1973, nr. 8
7. Tijdschrift “Wiskunde op school”, 1994, nr. 2, nr. 3

Deze harmonie is opvallend in zijn schaal...

Hallo vrienden!

Heb je iets gehoord over Goddelijke Harmonie of de Gulden Snede? Heb je er ooit over nagedacht waarom iets voor ons ideaal en mooi lijkt, maar iets ons afstoot?

Zo niet, dan ben je met succes naar dit artikel gekomen, want daarin zullen we de gulden snede bespreken, ontdekken wat het is, hoe het eruit ziet in de natuur en bij mensen. Laten we het hebben over de principes ervan, ontdekken wat de Fibonacci-reeks is en nog veel meer, inclusief het concept van de gouden rechthoek en de gouden spiraal.

Ja, het artikel bevat veel afbeeldingen, formules, de gulden snede is tenslotte ook wiskunde. Maar alles wordt in vrij eenvoudige taal en duidelijk beschreven. En aan het einde van het artikel zul je ontdekken waarom iedereen zo dol is op katten =)

Wat is de gulden snede?

Simpel gezegd: de gulden snede is een bepaalde proportieregel die harmonie creëert. Dat wil zeggen, als we de regels van deze verhoudingen niet overtreden, krijgen we een zeer harmonieuze compositie.

De meest uitgebreide definitie van de gulden snede stelt dat het kleinere deel verband houdt met het grotere, zoals het grotere deel verband houdt met het geheel.

Maar daarnaast is de gulden snede wiskunde: het heeft een specifieke formule en een specifiek getal. Veel wiskundigen beschouwen het in het algemeen als de formule van goddelijke harmonie en noemen het ‘asymmetrische symmetrie’.

De gulden snede heeft onze tijdgenoten bereikt sinds de tijd van het oude Griekenland, maar er is een mening dat de Grieken zelf de gulden snede al onder de Egyptenaren hadden bespioneerd. Omdat veel kunstwerken uit het oude Egypte duidelijk zijn gebouwd volgens de canons van deze verhouding.

Er wordt aangenomen dat Pythagoras de eerste was die het concept van de gulden snede introduceerde. De werken van Euclides zijn tot op de dag van vandaag bewaard gebleven (hij gebruikte de gulden snede om regelmatige vijfhoeken te bouwen, daarom wordt zo'n vijfhoek 'gouden' genoemd), en het getal van de gulden snede is vernoemd naar de oude Griekse architect Phidias. Dat wil zeggen, dit is ons getal “phi” (aangegeven met de Griekse letter φ), en het is gelijk aan 1,6180339887498948482... Uiteraard is deze waarde afgerond: φ = 1,618 of φ = 1,62, en procentueel de gulden snede lijkt op 62% en 38%.

Wat is er uniek aan dit aandeel (en geloof me, het bestaat)? Laten we het eerst proberen uit te zoeken aan de hand van een voorbeeld van een segment. We nemen dus een segment en verdelen het in ongelijke delen, op zo'n manier dat het kleinere deel betrekking heeft op het grotere, zoals het grotere deel betrekking heeft op het geheel. Ik begrijp het, het is nog niet erg duidelijk wat wat is, ik zal proberen het duidelijker te illustreren met behulp van het voorbeeld van segmenten:

We nemen dus een segment en verdelen het in twee andere, zodat het kleinere segment a betrekking heeft op het grotere segment b, net zoals segment b betrekking heeft op het geheel, dat wil zeggen de hele lijn (a + b). Wiskundig gezien ziet het er als volgt uit:

Deze regel werkt voor onbepaalde tijd; je kunt segmenten verdelen zo lang als je wilt. En zie hoe eenvoudig het is. Het belangrijkste is om het één keer te begrijpen en dat is alles.

Maar laten we nu eens kijken naar een complexer voorbeeld, dat heel vaak voorkomt, omdat de gulden snede ook wordt weergegeven in de vorm van een gouden rechthoek (waarvan de beeldverhouding φ = 1,62 is). Dit is een heel interessante rechthoek: als we er een vierkant van "afsnijden", krijgen we opnieuw een gouden rechthoek. En zo eindeloos door. Zien:

Maar wiskunde zou geen wiskunde zijn als er geen formules voor bestonden. Dus vrienden, nu zal het een beetje "pijn doen". Ik heb de oplossing voor de gulden snede onder een spoiler verborgen; er zijn veel formules, maar ik wil het artikel niet zonder laten.

Fibonacci-reeks en gulden snede

We blijven de magie van de wiskunde en de gulden snede creëren en observeren. In de Middeleeuwen was er zo'n kameraad: Fibonacci (of Fibonacci, ze spellen het overal anders). Hij hield van wiskunde en problemen, hij had ook een interessant probleem met de reproductie van konijnen =) Maar daar gaat het niet om. Hij ontdekte een getallenreeks, de getallen daarin heten ‘Fibonacci-getallen’.

De reeks zelf ziet er als volgt uit:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233... enzovoort tot in het oneindige.

Met andere woorden, de Fibonacci-reeks is een reeks getallen waarbij elk volgend getal gelijk is aan de som van de vorige twee.

Wat heeft de gulden snede ermee te maken? Je zult het nu zien.

Fibonacci-spiraal

Om het hele verband tussen de Fibonacci-getallenreeks en de gulden snede te zien en te voelen, moet je de formules nog eens bekijken.

Met andere woorden, vanaf de 9e term van de Fibonacci-reeks beginnen we de waarden van de gulden snede te verkrijgen. En als we dit hele plaatje visualiseren, zullen we zien hoe de Fibonacci-reeks rechthoeken creëert die steeds dichter bij de gouden rechthoek komen. Dit is de verbinding.

Laten we het nu hebben over de Fibonacci-spiraal, deze wordt ook wel de “gouden spiraal” genoemd.

De gouden spiraal is een logaritmische spiraal waarvan de groeicoëfficiënt φ4 is, waarbij φ de gulden snede is.

Over het algemeen is de gulden snede vanuit wiskundig oogpunt een ideale verhouding. Maar dit is nog maar het begin van haar wonderen. Bijna de hele wereld is onderworpen aan de principes van de gulden snede; de ​​natuur zelf heeft deze verhouding geschapen. Zelfs esoterici zien er numerieke kracht in. Maar we zullen hier in dit artikel zeker niet over praten, dus om niets te missen, kun je je abonneren op site-updates.

Gulden snede in de natuur, de mens, kunst

Voordat we beginnen, wil ik graag een aantal onjuistheden ophelderen. Ten eerste is de definitie van de gulden snede in deze context niet helemaal correct. Feit is dat het concept van ‘doorsnede’ een geometrische term is, die altijd een vlak aanduidt, maar niet een reeks Fibonacci-getallen.

En ten tweede zijn de getallenreeksen en de verhouding tussen de een en de ander natuurlijk veranderd in een soort stencil dat kan worden toegepast op alles wat verdacht lijkt, en men kan heel blij zijn als er toevalligheden zijn, maar toch mag het gezond verstand niet verloren gaan.

Maar ‘in ons koninkrijk was alles door elkaar’ en het een werd synoniem met het ander. Dus over het algemeen gaat de betekenis hiervan niet verloren. Laten we nu aan de slag gaan.

Je zult verrast zijn, maar de gulden snede, of beter gezegd de verhoudingen die daar zo dicht mogelijk bij liggen, is bijna overal te zien, zelfs in de spiegel. Geloof je mij niet? Laten we hiermee beginnen.

Weet je, toen ik leerde tekenen, legden ze ons uit hoe gemakkelijker het is om iemands gezicht, zijn lichaam, enzovoort op te bouwen. Alles moet worden berekend ten opzichte van iets anders.

Alles, werkelijk alles is proportioneel: botten, onze vingers, handpalmen, afstanden op het gezicht, de afstand van uitgestrekte armen ten opzichte van het lichaam, enzovoort. Maar zelfs dit is nog niet alles, de interne structuur van ons lichaam, zelfs dit, is gelijk of bijna gelijk aan de formule van de gulden snede. Hier zijn de afstanden en verhoudingen:

van schouders tot kruin tot hoofdmaat = 1:1.618

van de navel tot de kruin tot het segment van de schouders tot de kruin = 1:1,618

van navel tot knieën en van knieën tot voeten = 1:1,618

van de kin tot het uiterste punt van de bovenlip en vandaar naar de neus = 1:1,618

Is dit niet geweldig!? Harmonie in zijn puurste vorm, zowel binnen als buiten. En dat is de reden waarom sommige mensen ons op een onbewust niveau niet mooi lijken, ook al hebben ze een sterk, strak lichaam, een fluweelzachte huid, mooi haar, mooie ogen, enz., en al het andere. Maar toch doet de geringste overtreding van de proporties van het lichaam en het uiterlijk al een beetje pijn aan de ogen.

Kortom, hoe mooier een persoon ons lijkt, hoe dichter zijn verhoudingen bij het ideaal liggen. En dit kan trouwens niet alleen aan het menselijk lichaam worden toegeschreven.

Gulden snede in de natuur en haar verschijnselen

Een klassiek voorbeeld van de gulden snede in de natuur is de schelp van het weekdier Nautilus pompilius en de ammoniet. Maar dit is nog niet alles, er zijn nog veel meer voorbeelden:

in de krullen van het menselijk oor kunnen we een gouden spiraal zien;

hetzelfde (of dichtbij) in de spiralen waarlangs sterrenstelsels draaien;

en in het DNA-molecuul;

Volgens de Fibonacci-serie is het midden van een zonnebloem gerangschikt, groeien er kegels, in het midden van bloemen, een ananas en vele andere vruchten.

Vrienden, er zijn zoveel voorbeelden dat ik de video hier laat staan ​​(hij staat gewoon hieronder) om het artikel niet te overladen met tekst. Want als je je in dit onderwerp verdiept, kun je je in zo'n jungle verdiepen: zelfs de oude Grieken bewezen dat het universum en, in het algemeen, alle ruimte is gepland volgens het principe van de gulden snede.

Je zult verrast zijn, maar deze regels zijn zelfs in geluid terug te vinden. Zien:

Het hoogste geluidspunt dat pijn en ongemak in onze oren veroorzaakt, is 130 decibel.

We delen de verhouding 130 door de gulden snede φ = 1,62 en we krijgen 80 decibel - het geluid van een menselijke schreeuw.

We blijven proportioneel delen en krijgen, laten we zeggen, het normale volume van menselijke spraak: 80 / φ = 50 decibel.

Welnu, het laatste geluid dat we dankzij de formule krijgen is een aangenaam fluistergeluid = 2,618.

Met behulp van dit principe is het mogelijk om de optimaal comfortabele, minimale en maximale aantallen temperatuur, druk en vochtigheid te bepalen. Ik heb het niet getest en ik weet niet in hoeverre deze theorie waar is, maar je moet het ermee eens zijn: het klinkt indrukwekkend.

Je kunt de hoogste schoonheid en harmonie lezen in absoluut alles wat leeft en niet-levend is.

Het belangrijkste is dat we ons hier niet door laten meeslepen, want als we ergens iets in willen zien, zullen we het zien, zelfs als het er niet is. Ik heb bijvoorbeeld gelet op het ontwerp van de PS4 en zag daar de gulden snede =) Deze console is echter zo cool dat het me niet zou verbazen als de ontwerper daar echt iets slims zou doen.

Gulden snede in de kunst

Dit is ook een zeer groot en uitgebreid onderwerp dat de moeite waard is om afzonderlijk te overwegen. Hier zal ik slechts enkele fundamentele punten opmerken. Het meest opmerkelijke is dat veel kunstwerken en architectonische meesterwerken uit de oudheid (en niet alleen) zijn gemaakt volgens de principes van de gulden snede.

Egyptische en Maya-piramides, de Notre Dame de Paris, het Griekse Parthenon enzovoort.

In de muziekwerken van Mozart, Chopin, Schubert, Bach en anderen.

In de schilderkunst (dit is duidelijk zichtbaar): alle beroemdste schilderijen van beroemde kunstenaars zijn gemaakt met inachtneming van de regels van de gulden snede.

Deze principes zijn terug te vinden in de gedichten van Poesjkin en in de buste van de prachtige Nefertiti.

Ook nu nog worden de regels van de gulden snede gehanteerd, bijvoorbeeld in de fotografie. Nou ja, en natuurlijk in alle andere kunsten, inclusief cinematografie en design.

Gouden Fibonacci-katten

En tot slot, over katten! Heb je je ooit afgevraagd waarom iedereen zoveel van katten houdt? Ze hebben het internet overgenomen! Katten zijn overal en het is geweldig =)

En het hele punt is dat katten perfect zijn! Geloof je mij niet? Nu zal ik het je wiskundig bewijzen!

Zie je? Het geheim wordt onthuld! Katten zijn ideaal vanuit het oogpunt van wiskunde, de natuur en het universum =)

*Ik maak natuurlijk een grapje. Nee, katten zijn echt ideaal) Maar waarschijnlijk heeft niemand ze wiskundig gemeten.

Dat is het eigenlijk, vrienden! We zien je in de volgende artikelen. Veel succes!

P.S. Afbeeldingen afkomstig van medium.com.

Gemeentelijke staatsonderwijsinstelling

"Vysotinskaja middelbare school"

Ontwerp- en onderzoekswerkzaamheden

"De gulden snede in de natuur"

voltooid:

Laptev Pavel, Zhavnov Evgeni

Leerlingen van het 6e leerjaar

supervisor: Elena Alekseevna Shklyaeva, wiskundeleraar

Vysotino, 2018

Inhoud

INLEIDING.................................................................................................1

2. HOOFDDEEL……..……………………………………………………...2

2.1. Geschiedenis van het ontstaan ​​en de constructie van de “Gulden Snede”………….2

2.2. Definitie, soorten verhoudingen……………………………………………2

2.3 Toepassing van de gulden snede in de natuur…………….…………...3-4

2.4. Het verband tussen de gulden snede en objecten in de natuur…………….…… ……….6

3. PRAKTIJK DEEL.................................................................................7

4. CONCLUSIE.................................................................8

9. REFERENTIES………………………………………………9

Invoering

"Nieuwsgierigheid - een van de zekere tekenen van een energieke geest"
Johnson Samuël

Relevantie.

Vreemde, mysterieuze, onverklaarbare dingen: deze goddelijke proporties vergezellen op mystieke wijze alle levende wezens. Je zult deze verhouding zeker zien in de rondingen van zeeschelpen, in de vorm van bloemen, in het uiterlijk van kevers en in het prachtige menselijke lichaam. Alles wat leeft en alles wat mooi is - alles gehoorzaamt aan de goddelijke wet, wiens naam de 'gulden snede' is. Dus wat is de “gulden snede”?.. Wat is deze ideale, goddelijke combinatie? Misschien is dit de wet van schoonheid? Of is het nog steeds een mystiek geheim of een wetenschappelijk fenomeen?

De relevantie van het bestuderen van de ‘Gulden Snede’ ligt in het feit dat veel objecten om ons heen de evenredigheid van de gouden snede in zich dragen.

Hypothese:

We gaan ervan uit dat de ‘gulden snede’ een soort wiskundige formule is.

Doel van het werk: Doe nieuwe kennis op over het onderwerp “Gulden Snede” in de natuur.

Taken

Bestudeer theoretische informatie over het onderwerp "Gouden Sectie" (vind informatie over het onderwerp in de literatuur en op internet);

​Analyseer de informatie en trek een conclusie.

Voorbereidenpresentatie over dit onderwerp.

Ervaring opdoen met spreken voor een publiek.

Zoekopdracht methode: gebruik maken van wetenschappelijke en educatieve literatuur, zoeken naar noodzakelijke informatie op internet;

Praktische methode: observatie, het uitvoeren van metingen.

Analyse gegevens, verkregen door het bestuderen van de literatuur en het maken van een presentatie.
Praktische betekenis van het werk isde mogelijkheid om het materiaal van dit werk te gebruiken in lessen en keuzevakken, om de motivatie van studenten om het onderwerp “Wiskunde” te studeren te vergroten.

Grootste deel

Theoretische rechtvaardiging van het onderwerp.

2.1. Geschiedenis van de opkomst en constructie van de “Gulden Snede”

Het is algemeen aanvaard dat het concept van de gouden verdeling in wetenschappelijk gebruik werd geïntroduceerd door Pythagoras, de oude Griekse filosoof en wiskundige.VIV. BC.). Er is een voorstel dat Pythagoras zijn kennis van de gouden divisie leende van de Egyptenaren en Babyloniërs. De verhoudingen van de piramide, de tempels en de bas-reliëfs van Cheops geven aan dat Egyptische meesters de verhoudingen van de gouden verdeling in hun gedachten gebruikten.De grote Pythagoras creëerden een geheime school waar de mystieke essentie van de ‘gulden snede’ werd bestudeerd. Euclides gebruikte het bij het maken van zijn geometrie, en Phidias - zijn onsterfelijke sculpturen. Plato zei dat het heelal is gerangschikt volgens de ‘gulden snede’. En Aristoteles vond een overeenkomst tussen de ‘gulden snede’ en de ethische wet.

De gulden snede was al bekend in het oude Egypte en Babylon, in India en China.

2.2 Woordproportie betekent ‘proportionaliteit’, ‘een bepaalde relatie tussen delen’.

De gulden snede en zelfs de ‘goddelijke verhouding’ werden door wiskundigen uit de oudheid en de middeleeuwen genoemdeen dergelijke proportionele verdeling van een segment in ongelijke delen, waarbij het gehele segment gerelateerd is aan het grotere deel, zoals het grotere deel zelf gerelateerd is aan het kleinere; of met andere woorden, het kleinere segment staat voor het grotere, zoals het grotere voor het geheel.

A : B = B : C of Met : B = B : A

Dus,gulden snede = 1:1,618. Deze verhouding is ongeveer gelijk0,618 ≈ 5/8.

De gulden snede wordt gebruikt in kunstwerken, architectuur, de ontwikkeling van ambachten en komt voor in de natuur.

De ‘gulden snede’ vind je in de plantenwerelden de dierenwereld. De vormende tendens van de natuur – symmetrie wat betreft de richting van groei en beweging – breekt voortdurend door. Hier verschijnt de “Gulden Snede” in de verhoudingen van de delen loodrecht op de groeirichting. Laten we naar voorbeelden kijken.

Bij de hagedis kunnen we op het eerste gezicht verhoudingen zien die aangenaam zijn voor onze ogen: de lengte van zijn staart is gerelateerd aan de lengte van het hele lichaam als 62:38.

De eritsa legt op het eerste gezicht proporties vast die aangenaam zijn voor onze ogen: de lengte

Laten we het schematisch weergegeven fragment van een kamerplant eens nader bekijken.

Er is een scheut gevormd uit de hoofdstam. Het eerste blad bevond zich daar. De scheut maakt een sterke uitwerping in de ruimte, stopt en laat een blad los, maar deze keer korter dan de eerste, maakt opnieuw een uitwerping in de ruimte, maar laat met minder kracht een blad los dat nog kleiner van formaat is. Als de eerste emissie 100 eenheden bedraagt, dan is de tweede gelijk aan 62 eenheden, de derde 38, de vierde 24, enz.

Ook de lengte van de bloemblaadjes volgt de gulden snede. Bij groei en verovering van de ruimte behoudt de plant bepaalde verhoudingen. De impulsen van zijn groei namen geleidelijk af in verhouding tot de gulden snede.

Als je kijkt naar de locatie van drie opeenvolgende paar bladeren op een gemeenschappelijke stengel van een plant, kun je zien dat tussen het eerste en het derde paar het tweede zich op de “gulden snede” bevindt.

A B C

Als je de afstand AC en de afstand BC meet en de verhouding vindtZon: AC , dan is het ongeveer gelijk0,618 , d.w.z. voldoet aan de gouden verhouding (zie tabel 1).

Tafel 1. Verhouding plantendelen

Wisselstroom (mm)

166

250

133

142

220

187

Zon (mm)

103

170

136

115

Zon: AS

0,62

0,68

0,624

0,608

0,67

0,613

0,615

Conclusie: Observatieresultaten laten zien dat de plant bij groei en verovering van de ruimte bepaalde verhoudingen behoudt. De groei-impulsen nemen geleidelijk af in verhouding tot de gulden snede.

2.3. “Het verband tussen de gulden snede en de Gouden Spiraal”

Door de verhoudingen van de Gulden Snede te gebruiken, kun je de Gulden Spiraal bouwen. Laten we dus een klein vierkant tekenen met zijde 1. Eén vierkant 1 2 zal 1 zijn. Laten we nog een vierkant naast het eerste tekenen, dicht bij elkaar. Vervolgens is het volgende verhoudingsgetal 2 (1+1). Twee kwadraat 2 2 wordt 4. Laten we nog een vierkant tekenen dichtbij de eerste twee vierkanten, maar nu met een zijde van 2 en een oppervlakte van 4. Het volgende getal is het getal 3 (1+2). Het kwadraat van het getal 3 is 9. Teken een vierkant met een zijde van 3 en een oppervlakte van 9 naast de reeds getekende vierkanten. Vervolgens hebben we een vierkant met zijde 5 en oppervlakte 25, een vierkant met zijde 8 en oppervlakte 64 - enzovoort, tot in het oneindige.

Laten we een gouden spiraal bouwen. Laten we de grenspunten tussen de vierkanten verbinden met een vloeiende gebogen lijn. En we zullen die zeer gouden spiraal krijgen, op basis waarvan veel levende en levenloze objecten in de natuur worden gebouwd.

2.4 “Relatie tussen de gulden snede en natuurlijke objecten”

De gulden snede-spiraal heeft een begin van waaruit hij zich begint te ontspannen. Dit is een zeer belangrijke eigenschap. Het stelt de natuur in staat om, na de volgende gesloten cyclus, vanaf het begin een nieuwe spiraal op te bouwen.

De spiraalvormige en spiraalvormige opstelling van bladeren op boomtakken werd lang geleden opgemerkt. De spiraal was te zien in de opstelling van zonnebloempitten, dennenappels, ananassen, cactussen, enz.

Het gezamenlijke werk van botanici en wiskundigen heeft licht geworpen op deze verbazingwekkende natuurverschijnselen.

De zeegolf draait in een spiraal.

Spin weeft een web in een spiraalvormig patroon

Een orkaan draait in spiraalvormZeester 13 stralen

Spiralen van de Gulden Snede verschijnen in de morfologie van verschillende organismen. Bijvoorbeeld zeesterren. Het aantal van hun stralen komt overeen met een reeks getallen in proportionele verdeling en is gelijk aan 5, 8, 13, 21, 34, 55.

Dankzij de gulden snede werd de asteroïdengordel tussen Mars en Jupiter ontdekt - afhankelijk van de verhouding zou daar nog een planeet moeten zijn.

Praktisch gedeelte.

Studieobject: wilgentakje en andere natuurlijke voorwerpen

Laten we wilgentakken bestuderen en bepalen waar de knoppen zich op een wilgentak bevinden.

We schetsten op welke plaats en in welke volgorde de knoppen groeien, van onder naar boven. Eerst groeide knop nummer 1, daarna 2, toen 3, daarna 4 en 5, en 6 knoppen. Het onderzoek werd op een klein gebied uitgevoerd.

Tijdens het onderzoeksproces doen we dat welconclusie, dat de knoppen zo zijn geplaatst dat ze elkaar niet "bedekken", elk toekomstig blad krijgt voldoende zonlicht. De knoppen op een tak zijn gerangschikt in de vorm van een zich herhalende spiraal in een strikt wiskundige volgorde.

Conclusie

De gulden snede heeft vele toepassingen in ons leven en is te vinden in de levende natuur.

De regelmaat van natuurlijke verschijnselen en objecten (aan de hand van het voorbeeld van een wilgentakje), de structuur en diversiteit van levende organismen, kunnen vanuit wiskundig oogpunt worden verklaard, namelijk door het bestaan ​​van een patroon van proportionele deling en een patroon van rangschikking. in de vorm van een spiraal. "Gouden spiraal"

5. Lijst met bronnen en literatuur

1. Wikipedia:

2. Aanlegsteiger L.A., getallen en formules in de natuur, interessant en nuttig voor interessant. informatie

3. website http://www.ed.vseved.ru/