BEOORDEL MATERIAAL
Regelmatige veelhoek Een convexe veelhoek met gelijke zijden en gelijke hoeken wordt genoemd.a is de zijde van de achthoek,
R - straal van de omgeschreven cirkel,
r is de straal van de ingeschreven cirkel.
Som van de binnenhoeken van een regelmatige n-hoek
180(n-2).
Graadmaat voor de binnenhoek van een n-hoek
180(n-2) : n.
Kant van de rechter n-ka
Straal van een cirkel ingeschreven in een regelmatige veelhoek
Gebied van correcte n
OPDRACHTEN
1. a) De som van de interne hoeken van een zeshoek is gelijk aan:
1) 360°; 2) 180°; 3) 720°; 4) 540°.
b) De som van de interne hoeken van een achthoek is gelijk aan:
1) 360°; 2) 180°; 3) 720°; 4) 1080°.
Oplossing:
a) Volgens de formule is de som van de hoeken van een zeshoek: 180(6-2)=180*4=720
°
.
Antwoord: 720
°
.
2. a) De zijde van een regelmatige veelhoek is 5 cm, de interne hoek is 144°
a) De zijde van een regelmatige veelhoek is 7 cm, de interne hoek is 150°
. Zoek de omtrek van de veelhoek.
Oplossing:
a) 1) Zoek het aantal zijden van de veelhoek:
144=180(n - 2):n;
144n=180n-360;
36n=360;
n=10.
2) Bepaal de omtrek van de tienhoek: P=5*10=50 cm.
Antwoord: 50 cm.
3. a) De omtrek van een regelmatige vijfhoek is 30 cm. Bereken de diameter van de cirkel die om de vijfhoek heen ligt.
b) De diameter van de cirkel is 10 cm, zoek de omtrek van de vijfhoek die erin is ingeschreven.
Oplossing:
a) 1) Zoek de zijkant van de vijfhoek: 30:5=6 cm.
2) Zoek de straal van de omgeschreven cirkel:
a=2R*zonde(180
°
:N);
6=2R*zonde (180
°
:5);
R=3:zonde 36
°
=3:0,588=5,1 cm
Antwoord: 5,1 cm.
4. a) De som van de interne hoeken van een regelmatige veelhoek is 2520°
b) De som van de interne hoeken van een regelmatige veelhoek is 1800°
. Zoek het aantal zijden van de veelhoek.
Oplossing:
a) Zoek het aantal zijden van de veelhoek:
2520
°
= 180
°
(n-2);
2520
°
+360
°
=180
°
N;
2880
°
=180
°
N;
n=16.
Antwoord: 16 zijden.
5. a) De straal van de omgeschreven cirkel rond een regelmatige twaalfhoek is 5 cm. Vind de oppervlakte van de veelhoek.
b) De straal van de omgeschreven cirkel rond een regelmatige achthoek is 6 cm. Zoek de oppervlakte van de veelhoek.
Oplossing:
a) Zoek het gebied van de dodecagon:
S=0,5*
R 2 *n*zonde(360°
:n)=0,5*25*12*sin30°
=75 cm 2
.
Antwoord: 75cm 2
.
6. Zoek de oppervlakte van de zeshoek als de oppervlakte van het gearceerde deel bekend is:
a) 1) Bereken de lengte van zijde AB van de zeshoek. Beschouw driehoek ABC - gelijkbenig (AB=BC).
∠ABC=180 ° (6-2):6=120 ° .
De oppervlakte van driehoek ABC is 0,5*AB*BC*sin120° en is voorwaardelijk gelijk aan 48.
3) Zoek het gebied van de zeshoek:
Antwoord: 288 cm 2 .
7. a) Bereken het aantal zijden van een regelmatige veelhoek als de uitwendige hoek bij het hoekpunt 18 is°
.
b) Bereken het aantal zijden van een regelmatige veelhoek als de uitwendige hoek bij het hoekpunt 45 is°
.
Oplossing:
a) De som van de buitenhoeken van een regelmatige veelhoek is 360
°
.
Laten we het aantal zijden vinden: 360
°
:18
°
=20.
Antwoord: 20 zijden.
8. Bereken de oppervlakte van de ring als het akkoord AB gelijk is aan:
a) 8cm; b) 10 cm.
A)
1) OV - straal van de buitenste cirkel, OH - straal van de binnenste cirkel. De oppervlakte van de ring kun je vinden met behulp van de formule: S-ring = S buitenste cirkel - S binnenste cirkel.
S= π *OB 2 - π *OH 2 = π(OB 2 -OH 2 ).
2) Beschouw de driehoek ABO - gelijkbenig (OA = OB als stralen). OH is de hoogte en de mediaan in driehoek ABO, dus AN=HB=8:2= 4 cm.
3) Beschouw de driehoek ONB - rechthoekig: HB 2 =OB 2 -HIJ 2 , vandaar
OB 2 -HIJ 2 =16.
4) Zoek het gebied van de ring:
S=π(OB 2 -OH 2 )=16 π cm 2 .
Antwoord:16 π cm 2 .
9. een) Zoek de omtrek van een regelmatige zeshoek als AC = 9 cm.
B) Zoek de oppervlakte van een regelmatige zeshoek als FA=6 cm.
a) 1) Zoek hoek ABC: 180 ° (6-4):6=120 ° .
2) Beschouw driehoek ABC - gelijkbenig (AB = BC als de zijden van een regelmatige zeshoek).
∠ JIJ= ∠ BCA=(180° -120 ° ):2=30 ° .
Volgens de sinusstelling: AC: sin ∠ ABC = AB: zonde∠ BCA;
AB=AC*sin30 ° :zonde120;
P=6*AB;
10. Bewijs dat in een regelmatige achthoek de oppervlakte van het gearceerde deel gelijk is aan:
a) een kwart van de oppervlakte van de achthoek; b) de helft van de oppervlakte van de achthoek:
A)
1) Laten we de deellijnen van de hoeken van de achthoek tekenen, ze zullen elkaar snijden in punt O. De oppervlakte van de achthoek is gelijk aan de som van de gebieden van de resulterende acht gelijke driehoeken, d.w.z. S (ABCDEFKM) =8* S (OEF).
2) Vierhoek ABEF is een parallellogram (AB//EF en AB=EF). De diagonalen van een parallellogram zijn gelijk: AE = BF (als de diameters van een cirkel omgeschreven rond een achthoek), daarom is ABEF een rechthoek. De diagonalen van een rechthoek verdelen deze in vier gelijke driehoeken.
3) Zoek het gebied van de vierhoek AFKM:
S (ABEF)= 4* S (OEF).
2*S (AFKM)=S (ABCDEFKM) - S (ABEF) =8* S (OEF)-4* S (OEF)=4* S (OEF).
S (AFKM)=2* S (OEF).
4) Zoek de verhouding van het gebied van de achthoek tot het gebied van het gearceerde deel:
S (ABCDEFKM) : S (AFKM) = 8* S (OEF) : (2* S(OEF))=4.
QED
11. Zoek de verhouding van het gebied van de BAC-sector tot het gebied van de gearceerde figuur, als BA=AC en het gebied van de BAC-sector gelijk is aan een kwart van het gebied van de cirkel :
A)
1) AB=AC=2R. De hoek BAC is recht, omdat de oppervlakte van de BAC-sector is gelijk aan een kwart van de oppervlakte van de cirkel .
2) Overweeg vierzijdige AO 2 MO 1 . Het is een ruit omdat alle zijden zijn gelijk aan de straal, en sindsdien Eén van hun hoeken is 90° en dan AO 2 MO 1 - vierkant.
Driehoek S = 0,5 R2 cm 2 .S-segment = (0,25 π - 0,5)R2cm2.
S van het gearceerde deel = 2* S-segment = 2*(0,25 π - 0,5)R2=(0,5 π -1)R 2 sm2.
4) Zoek het gebied van de sector BAC:
Ssectoren =π *(2R) 2 *90:360= π R 2 Metm2.
5) Laten we de verhouding vinden tussen het gebied van de BAC-sector en het gebied van het gearceerde deel:
π R 2 :(0,5 π -1)R2= 2 π : (π-2).
Antwoord: 2 π : (π-2).
TAKEN VOOR ONAFHANKELIJKE OPLOSSING
1. Wat is de som van de externe hoeken van een vijfhoek?
2. Wat is de oppervlakte van de achthoek als de oppervlakte van het gearceerde gebied 20 is.
4. Zijde AB van een regelmatige veelhoek is 8 cm, O is het middelpunt van de veelhoek, hoek AOB is 36° . Zoek de omtrek van de veelhoek.
5. De omtrek van een regelmatige achthoek is 80 cm. Zoek de kleinere diagonaal.
6. Een cirkel is ingeschreven in een regelmatige driehoek en eromheen wordt een cirkel beschreven. Zoek het gebied van de ring gevormd door de cirkels als de zijde van de driehoek 8 cm is.
7. Zoek de hoek tussen twee kleinere diagonalen die uit hetzelfde hoekpunt van een regelmatige zevenhoek komen.
8. Er wordt een regelmatige driehoek beschreven rond een cirkel, en daarin is een regelmatige zeshoek ingeschreven. Zoek de verhouding tussen de oppervlakten van een driehoek en een zeshoek.
9. Een convexe veelhoek heeft 48 zijden. Zoek het aantal diagonalen.
10. ABCD is een vierkant. Cirkels met straal AB worden getrokken vanuit de hoekpunten B en C. Zoek de verhouding tussen de oppervlakte van de gearceerde figuur en de oppervlakte van het vierkant:
De afleiding van de oppervlakte van een regelmatige n-hoek houdt verband met de straal van de cirkel die in deze n-hoek is ingeschreven en de straal van de cirkel die eromheen is beschreven. Bij het afleiden van deze formule gebruiken we de verdeling van een n-hoek in n driehoeken. Als het gebied is van een bepaalde regelmatige veelhoek, is a de zijde ervan, is de omtrek en is a de straal van respectievelijk de ingeschreven en omgeschreven cirkels. Laten we dit bewijzen: door het midden van deze veelhoek met zijn hoekpunten te verbinden, zoals weergegeven in figuur 2.7.1, zullen we deze verdelen in n gelijke driehoeken, waarvan de oppervlakte gelijk is aan . Vandaar,. Verder,.
Figuur 2.7.1
Figuur 2.7.1
Voorbeeld 2.7.1.
Dit vierkant met zijde a wordt op de hoeken afgesneden zodat een regelmatige achthoek ontstaat. Bepaal de oppervlakte van deze achthoek.
Oplossing:
Laten (Figuur 2.7.2). Toen of waar 
Figuur 2.7.2
Daarom het vereiste gebied
Antwoord: 
Voorbeeld 2.7.2.
De gehele boog van een cirkel met straal R is verdeeld in vier grote en vier kleine delen, die elkaar afwisselen. Het grotere deel is 2 keer langer dan het kleine. Bepaal de oppervlakte van een achthoek waarvan de hoekpunten de scheidingspunten van de cirkelboog zijn.
Oplossing:
Laat de kleine boog graden bevatten. De achthoek bevat dus vier driehoeken met een centrale hoek (hun totale oppervlakte) en vier driehoeken met een centrale hoek (hun totale oppervlakte). Het benodigde gebied is
Antwoord:
Voorbeeld 2.7.3.
Gegeven een vierkant met een zijde. Aan elke zijde van het vierkant, daarbuiten, is een trapezium gebouwd, zodat de bovenste basis van deze trapeziums en hun zijkanten een regelmatige twaalfhoek vormen. Bereken de oppervlakte.
Oplossing:
Het vereiste gebied, waar en zijn de stralen van de cirkel beschreven rond het vierkant en de twaalfhoek (Figuur 2.7.3). Omdat de zijde van het vierkant gelijk is 
. We hebben 
waar⏊ Maar sinds 
. Dus, 
, dat is
Figuur 2.7.3
Antwoord:
3 Planimetrieproblemen door gecentraliseerd testen
Optie 1
OM 8 UUR. In een gelijkbenige driehoek worden door de hoekpunten van de basis en het punt (dat op de hoogte ligt die naar de basis is getrokken en deze in de verhouding verdeelt, gerekend vanaf de basis), rechte lijnen getrokken (D AB; E AC). Zoek de oppervlakte van de driehoek als de oppervlakte van het trapezium 64 is.
Oplossing:
Laten we de volgende notatie introduceren: 
Uit de figuur volgt dat 
Laten we een systeem maken:
Figuur 3.1
Uit het systeem halen we:
Als we deze vergelijking oplossen, vinden we:
Als we dit in de tweede vergelijking van het systeem invullen, krijgen we:
Zoek het gebied van de driehoek
Antwoord:
Optie 1
A8. In een gelijkbenige driehoek met zijden wordt de hoogte naar de zijkant getekend. Als en zijn de middelpunten van de cirkels beschreven rond de driehoek, dan is de afstand tussen de punten gelijk aan...
Oplossing:
De probleemstelling zegt niet specifiek waar de zijkanten en de basis gelijk aan zijn. Als a, dan geldt de driehoeksongelijkheid niet. Daarom 
, A. Vervolgens moet je onthouden dat het middelpunt van de cirkel rond een rechthoekige driehoek in het midden van de hypotenusa ligt. Daarom zijn de middelpunten van cirkels beschreven rond driehoeken en punten en respectievelijk de middelpunten van zijden en.
Figuur 3.2
Zo is de middelste lijn van de driehoek en 
Antwoord:
Optie 1
B4. Een vierhoek is ingeschreven in een cirkel. Als,,, dan is de graadmaat van de hoek tussen rechte lijnen gelijk aan...
Oplossing:
Omdat we op voorwaarde dat ,,, dan krijgen 
We weten dat een vierhoek in een cirkel kan worden ingeschreven als en slechts als de som van de overstaande hoeken gelijk is. 
Figuur 3.3
En hieruit volgt dat we uit een driehoek de hoek kunnen vinden die we nodig hebben. Dus dat snappen we
Antwoord:
Optie 1
A12. De grotere basis van het trapezium is 114. Zoek de kleinere basis van het trapezium als de afstand tussen de middelpunten van de diagonalen 19 is.
Oplossing:
Figuur 3.4
Laten we de kleinere basis van het trapezium aanduiden
Driehoeken en dergelijke. We krijgen de verhouding:
Uit de gelijkenis van driehoeken krijgen we:
Deel de tweede vergelijking door de eerste:
Vandaar:
We vinden dat de kleinere basis van het trapezium gelijk is aan
Antwoord:
Optie 1
A11. Er wordt een rechte lijn getrokken evenwijdig aan de zijkant van de driehoek, die de zijkant op een zodanig punt snijdt 
. Als de oppervlakte van de driehoek 50 is, dan is de oppervlakte van het resulterende trapezium...
Oplossing:
Figuur 3.5
Laten we uitgaan van de voorwaarde dat 
Vanaf hier dan, 
Laten we daarom nu de oppervlakte van de trapezium vinden, dat snappen we
Antwoord:
Optie 1
A13. De hoogte van een rechthoekige driehoek, getrokken naar de hypotenusa, verdeelt deze in een segment waarvan de lengtes in de verhouding 1:4 liggen. Als de hoogte 8 is, dan is de hypotenusa...
Oplossing:
De lengte van de hoogte van een rechthoekige driehoek die naar de hypotenusa is getrokken, kan worden gevonden met de formule: 
Tekening 3.6
Onder voorwaarde wordt ons dat gegeven. Middelen,
Vanaf hier krijgen we dat. Dan
Antwoord:
Optie 1
A12. De afmetingen van twee hoeken van een driehoek zijn gelijk aan en, en de hoogte vanaf het hoekpunt van de grotere hoek is 9. Zoek de kortere zijde van de driehoek.
Oplossing:
Figuur 3.7
Laat , betekent Sinds–
de hoogte van de driehoek, dan . Omdat de driehoek rechthoekig is, is het been van een rechthoekige driehoek tegenover een hoek van 30 gelijk aan de helft van de hypotenusa.
Van de eigenschap krijgen we: Dus, 
Antwoord:
Optie 1
A16. Een cirkel met oppervlakte is ingeschreven in een ruit met oppervlakte. De zijkant van een ruit is...
Oplossing:
;
Omdat de oppervlakte van een ruit gelijk is aan , dan 
Dan,
Vanaf hier krijgen we dat
Figuur 3.8
Antwoord:
Optie 1
A11. Een vierhoek waarin een cirkel is ingeschreven. Zoek de graadmaat van de hoek.
Oplossing:
Een vierhoek kan in een cirkel worden ingeschreven als en slechts als de som van de overstaande hoeken gelijk is
Figuur 3.9
Antwoord:
Optie 1
OM 3 UUR. De basis van een acute gelijkbenige driehoek is 10 en de sinus van de tegenovergestelde hoek is . Zoek het gebied van de driehoek.
Oplossing:
Figuur 3.10
1. Vind de cosinus van de hoek met behulp van de formule
Omdat de hoek scherp is, selecteren we het teken "":
2. Om de lengte van de zijde te vinden (Figuur 3.10), passen we de cosinusstelling toe:
of of 
3. Zoek de oppervlakte van de driehoek met behulp van de formule:
;
Antwoord: .
Optie 1
Taak B3. Een driehoek is ingeschreven in een cirkel met straal 6, de lengtes van de twee zijden zijn 6 en 10. Bereken de lengte van de hoogte van de driehoek, getekend naar de derde zijde.
Oplossing:
Laten we een hulptekening maken om het probleem op te lossen. Laat een gegeven driehoek zijn waarvan.
Laten we de hoogte van de driehoek bepalen.
Figuur 3.11
Bij dergelijke problemen is het moeilijkste moment om te begrijpen hoe de parameters van de driehoek (hoeken of zijden) in verband kunnen worden gebracht met de parameters van de cirkel. We lossen tenslotte een probleem over een driehoek op, maar aangezien de straal van de omgeschreven cirkel gegeven is, moet deze op de een of andere manier gebruikt worden om de ontbrekende informatie over de driehoek zelf te verkrijgen.
Een van de beroemdste verbindingen tussen een driehoek en de omgeschreven cirkel wordt bewezen in de sinusstelling. Laten we de conclusies van deze stelling voor de hoek opschrijven:
Hier is de straal van de cirkel rond de driehoek. Vanaf hier krijgen we:
Bereken de hoogte van een rechthoekige driehoek:
Het waarborgen van uw privacy is belangrijk voor ons. Om deze reden hebben wij een privacybeleid ontwikkeld waarin wordt beschreven hoe wij uw gegevens gebruiken en opslaan. Bekijk onze privacypraktijken en laat het ons weten als u vragen heeft.
Verzameling en gebruik van persoonlijke informatie
Persoonlijke informatie verwijst naar gegevens die kunnen worden gebruikt om een specifieke persoon te identificeren of ermee contact op te nemen.
U kunt op elk moment worden gevraagd om uw persoonlijke gegevens te verstrekken wanneer u contact met ons opneemt.
Hieronder vindt u enkele voorbeelden van de soorten persoonlijke informatie die we kunnen verzamelen en hoe we dergelijke informatie kunnen gebruiken.
Welke persoonlijke informatie verzamelen wij:
- Wanneer u een aanvraag indient op de site, kunnen we verschillende informatie verzamelen, waaronder uw naam, telefoonnummer, e-mailadres, enz.
Hoe wij uw persoonlijke gegevens gebruiken:
- Met de persoonlijke informatie die we verzamelen, kunnen we contact met u opnemen over unieke aanbiedingen, promoties en andere evenementen en aankomende evenementen.
- Van tijd tot tijd kunnen we uw persoonlijke gegevens gebruiken om belangrijke mededelingen en mededelingen te verzenden.
- We kunnen persoonlijke informatie ook gebruiken voor interne doeleinden, zoals het uitvoeren van audits, data-analyse en diverse onderzoeken om de diensten die wij leveren te verbeteren en u aanbevelingen te doen met betrekking tot onze diensten.
- Als u deelneemt aan een prijstrekking, wedstrijd of soortgelijke promotie, kunnen wij de door u verstrekte informatie gebruiken om dergelijke programma's te beheren.
Openbaarmaking van informatie aan derden
Wij maken de van u ontvangen gegevens niet bekend aan derden.
Uitzonderingen:
- Indien nodig - in overeenstemming met de wet, gerechtelijke procedure, in gerechtelijke procedures en/of op basis van publieke verzoeken of verzoeken van overheidsinstanties op het grondgebied van de Russische Federatie - om uw persoonlijke gegevens openbaar te maken. We kunnen ook informatie over u vrijgeven als we vaststellen dat een dergelijke openbaarmaking noodzakelijk of gepast is voor veiligheids-, wetshandhavings- of andere doeleinden van openbaar belang.
- In het geval van een reorganisatie, fusie of verkoop kunnen we de persoonlijke informatie die we verzamelen overdragen aan de toepasselijke opvolger van een derde partij.
Bescherming van persoonlijke informatie
We nemen voorzorgsmaatregelen - inclusief administratieve, technische en fysieke - om uw persoonlijke gegevens te beschermen tegen verlies, diefstal en misbruik, evenals tegen ongeoorloofde toegang, openbaarmaking, wijziging en vernietiging.
Het respecteren van uw privacy op bedrijfsniveau
Om ervoor te zorgen dat uw persoonlijke gegevens veilig zijn, communiceren we privacy- en beveiligingsnormen met onze medewerkers en handhaven we de privacypraktijken strikt.
Stelling 1. Rond elke regelmatige veelhoek kan een cirkel worden beschreven.
Laat ABCDEF (Fig. 419) een regelmatige veelhoek zijn; het is noodzakelijk om te bewijzen dat er een cirkel omheen kan worden beschreven.
We weten dat het altijd mogelijk is een cirkel te tekenen door drie punten die niet op dezelfde lijn liggen; Dit betekent dat het altijd mogelijk is om een cirkel te tekenen die door drie willekeurige hoekpunten van een regelmatige veelhoek gaat, bijvoorbeeld door de hoekpunten E, D en C. Laat punt O het middelpunt van deze cirkel zijn.
Laten we bewijzen dat deze cirkel ook door het vierde hoekpunt van de veelhoek gaat, bijvoorbeeld door hoekpunt B.
Segmenten OE, OD en OS zijn gelijk aan elkaar, en elk is gelijk aan de straal van de cirkel. Laten we nog een segment OB uitvoeren; over dit segment kan men niet meteen zeggen dat het ook gelijk is aan de straal van de cirkel; dit moet bewezen worden. Beschouw driehoeken OED en ODC, ze zijn gelijkbenig en gelijk, daarom ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4.
Als de binnenhoek van een gegeven veelhoek gelijk is aan α, dan is ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4 = α / 2; maar als ∠4= α / 2, dan is ∠5 = α / 2, d.w.z. ∠4 = ∠5.
Hieruit concluderen we dat (Delta)OSD = (Delta)OSV en dus OB = OS, d.w.z. het segment OB is gelijk aan de straal van de getekende cirkel. Hieruit volgt dat de cirkel ook door hoekpunt B van de regelmatige veelhoek zal gaan.
Met dezelfde techniek zullen we bewijzen dat de geconstrueerde cirkel door alle andere hoekpunten van de veelhoek zal gaan. Dit betekent dat deze cirkel om deze regelmatige veelhoek wordt begrensd. De stelling is bewezen.
Stelling 2. Een cirkel kan in elke regelmatige veelhoek worden ingeschreven.
Stel dat ABCDEF een regelmatige veelhoek is (Fig. 420), dan moeten we bewijzen dat er een cirkel in kan worden ingeschreven.
Uit de vorige stelling is bekend dat een cirkel rond een regelmatige veelhoek kan worden beschreven. Laat punt O het middelpunt van deze cirkel zijn.
Laten we punt Oc verbinden met de hoekpunten van de veelhoek. De resulterende driehoeken OED, ODC, etc. zijn gelijk aan elkaar, wat betekent dat hun hoogten, getrokken vanuit punt O, ook gelijk zijn, d.w.z. OK = OL = OM = ON = OP = OQ.
Daarom zal een cirkel beschreven vanuit punt O als vanuit een middelpunt met een straal gelijk aan het segment OK door de punten K, L, M, N, P en Q gaan, en de hoogten van de driehoeken zullen de stralen van de cirkel zijn. De zijden van de veelhoek staan op deze punten loodrecht op de stralen en raken dus deze cirkel. Dit betekent dat de geconstrueerde cirkel in deze regelmatige veelhoek is ingeschreven.
Dezelfde constructie kan worden uitgevoerd voor elke regelmatige veelhoek; daarom kan een cirkel in elke regelmatige veelhoek worden ingeschreven.
Gevolg. Cirkels die om een regelmatige veelhoek zijn begrensd en daarin zijn ingeschreven, hebben een gemeenschappelijk middelpunt.
Definities.
1. Het middelpunt van een regelmatige veelhoek is het gemeenschappelijke middelpunt van de cirkels die rond deze veelhoek zijn omschreven en erin zijn ingeschreven.
2. Een loodlijn die vanuit het midden van een regelmatige veelhoek naar de zijkant wordt getrokken, wordt de apothema van een regelmatige veelhoek genoemd.
De zijden van regelmatige veelhoeken uitdrukken in termen van de circumradius
Met trigonometrische functies kunt u de zijde van een regelmatige veelhoek uitdrukken in termen van de straal van de cirkel eromheen.
Laat AB de goede kant zijn N-gon ingeschreven in een cirkel met straal OA = R (figuur).
Laten we de apothema OD van een regelmatige veelhoek tekenen en de rechthoekige driehoek AOD bekijken. In deze driehoek
∠AOD = 1 / 2 ∠AOB = 1 / 2 360° / N= 180° / N
AD = AO zonde ∠AOD = R zonde 180° / N ;
maar AB = 2AD en dus AB = 2R zonde 180° / N .
Juiste lengte van de zijkant N-gon ingeschreven in een cirkel wordt meestal aangegeven en N, zodat de resulterende formule als volgt kan worden geschreven:
en N= 2R zonde 180° / N .
Gevolgen:
1. Zijlengte van een regelmatige zeshoek ingeschreven in een cirkel met straal R , wordt uitgedrukt door de formule A 6 = R, omdat
A 6 = 2R zonde 180° / 6 = 2R zonde 30° = 2R 1 / 2 = R.
2. De lengte van de zijde van een regelmatige vierhoek (vierkant) ingeschreven in een straalcirkel R , wordt uitgedrukt door de formule A 4 = R√2 , omdat
A 4 = 2R zonde 180° / 4 = 2R zonde 45° = 2R √ 2 / 2 = R√2
3. Zijlengte van een regelmatige driehoek ingeschreven in een cirkel met straal R , wordt uitgedrukt door de formule A 3 = R√3 , omdat.
A 3 = 2R zonde 180° / 3 = 2R zonde 60° = 2R √ 3 / 2 = R√3
Gebied van een regelmatige veelhoek
Laat de juiste gegeven worden N-gon (fig). Het is vereist om het gebied te bepalen. Laten we de zijde van de veelhoek aangeven met A en het midden door O. We verbinden het midden met de uiteinden van elke zijde van de veelhoek met segmenten, we krijgen een driehoek waarin we de apothema van de veelhoek tekenen.
De oppervlakte van deze driehoek is Ah / 2. Om de oppervlakte van de gehele veelhoek te bepalen, moet u de oppervlakte van één driehoek vermenigvuldigen met het aantal driehoeken, d.w.z. met N. We krijgen: S = Ah / 2 N = ah / 2 maar een gelijk is aan de omtrek van de veelhoek. Laten we het aanduiden met R.
Uiteindelijk krijgen we: S = P H / 2. waarbij S het gebied is van een regelmatige veelhoek, P de omtrek is, H- apothema.
De oppervlakte van een regelmatige veelhoek is gelijk aan de helft van het product van zijn omtrek en apothema.
Andere materialenDriehoek, vierkant, zeshoek - deze figuren zijn bij bijna iedereen bekend. Maar niet iedereen weet wat een regelmatige veelhoek is. Maar deze zijn allemaal hetzelfde: een regelmatige veelhoek is een veelhoek met gelijke hoeken en zijden. Er zijn veel van dergelijke figuren, maar ze hebben allemaal dezelfde eigenschappen en dezelfde formules zijn erop van toepassing.
Eigenschappen van regelmatige veelhoeken
Elke regelmatige veelhoek, of het nu een vierkant of een achthoek is, kan in een cirkel worden ingeschreven. Deze basiseigenschap wordt vaak gebruikt bij het construeren van een figuur. Bovendien kan een cirkel in een veelhoek worden ingeschreven. In dit geval is het aantal contactpunten gelijk aan het aantal zijden. Het is belangrijk dat een cirkel die in een regelmatige veelhoek is ingeschreven, een gemeenschappelijk middelpunt heeft. Deze geometrische figuren zijn onderworpen aan dezelfde stellingen. Elke zijde van een regelmatige n-hoek is gerelateerd aan de straal van de omringende cirkel R. Daarom kan deze worden berekend met behulp van de volgende formule: a = 2R ∙ sin180°. Hierdoor kun je niet alleen de zijkanten vinden, maar ook de omtrek van de veelhoek.
Hoe het aantal zijden van een regelmatige veelhoek te vinden
Elk bestaat uit een bepaald aantal segmenten die gelijk zijn aan elkaar en die, wanneer ze zijn verbonden, een gesloten lijn vormen. In dit geval hebben alle hoeken van de resulterende figuur dezelfde waarde. Veelhoeken zijn onderverdeeld in eenvoudig en complex. De eerste groep omvat een driehoek en een vierkant. Complexe polygonen hebben meer zijden. Hiertoe behoren ook stervormige figuren. Voor complexe regelmatige veelhoeken worden de zijden gevonden door ze in een cirkel te schrijven. Laten we een bewijs geven. Teken een regelmatige veelhoek met een willekeurig aantal zijden n. Teken er een cirkel omheen. Stel de straal R in. Stel je nu voor dat je een n-hoek krijgt. Als de punten van de hoeken op de cirkel liggen en gelijk zijn aan elkaar, dan kunnen de zijden worden gevonden met behulp van de formule: a = 2R ∙ sinα: 2.
Het aantal zijden van een ingeschreven regelmatige driehoek vinden
Een gelijkzijdige driehoek is een regelmatige veelhoek. Hiervoor gelden dezelfde formules als voor een vierkant en een n-hoek. Een driehoek wordt als regelmatig beschouwd als de zijden even lang zijn. In dit geval zijn de hoeken 60⁰. Laten we een driehoek construeren met een gegeven zijdelengte a. Als u de mediaan en hoogte kent, kunt u de waarde van de zijkanten vinden. Om dit te doen, zullen we de methode gebruiken om te vinden via de formule a = x: cosα, waarbij x de mediaan of hoogte is. Omdat alle zijden van de driehoek gelijk zijn, krijgen we a = b = c. Dan is de volgende bewering waar: a = b = c = x: cosα. Op dezelfde manier kun je de waarde van de zijden in een gelijkbenige driehoek vinden, maar x is de gegeven hoogte. In dit geval moet het strikt op de basis van de figuur worden geprojecteerd. Dus als we de hoogte x kennen, vinden we zijde a van de gelijkbenige driehoek met behulp van de formule a = b = x: cosα. Nadat je de waarde van a hebt gevonden, kun je de lengte van basis c berekenen. Laten we de stelling van Pythagoras toepassen. We zoeken de waarde van de helft van de basis c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tanα. Dan c = 2xtanα. Op deze eenvoudige manier kun je het aantal zijden van elke ingeschreven veelhoek vinden.
Berekening van de zijden van een vierkant ingeschreven in een cirkel
Net als elke andere ingeschreven regelmatige veelhoek heeft een vierkant gelijke zijden en hoeken. Hiervoor gelden dezelfde formules als voor een driehoek. Je kunt de zijden van een vierkant berekenen met behulp van de diagonale waarde. Laten we deze methode in meer detail bekijken. Het is bekend dat een diagonaal een hoek doormidden deelt. Aanvankelijk was de waarde 90 graden. Dus na deling worden er twee gevormd, waarvan de hoeken aan de basis gelijk zijn aan 45 graden. Dienovereenkomstig zal elke zijde van het vierkant gelijk zijn, dat wil zeggen: a = b = c = d = e ∙ cosα = e√2: 2, waarbij e de diagonaal van het vierkant is, of de basis van de rechthoekige driehoek gevormd daarna divisie. Dit is niet de enige manier om de zijden van een vierkant te vinden. Laten we deze figuur in een cirkel inschrijven. Als we de straal van deze cirkel R kennen, vinden we de zijde van het vierkant. We berekenen het als volgt: a4 = R√2. De stralen van regelmatige veelhoeken worden berekend met behulp van de formule R = a: 2tg (360 o: 2n), waarbij a de lengte van de zijde is.
Hoe de omtrek van een n-hoek te berekenen
De omtrek van een n-hoek is de som van al zijn zijden. Het is gemakkelijk te berekenen. Om dit te doen, moet je de betekenissen van alle kanten kennen. Voor sommige soorten polygonen zijn er speciale formules. Hiermee kunt u de perimeter veel sneller vinden. Het is bekend dat elke regelmatige veelhoek gelijke zijden heeft. Om de omtrek te berekenen, is het daarom voldoende om er minstens één te kennen. De formule hangt af van het aantal zijden van de figuur. Over het algemeen ziet het er als volgt uit: P = an, waarbij a de zijwaarde is en n het aantal hoeken. Om bijvoorbeeld de omtrek van een regelmatige achthoek met een zijde van 3 cm te vinden, moet je deze met 8 vermenigvuldigen, dat wil zeggen P = 3 ∙ 8 = 24 cm. Voor een zeshoek met een zijde van 5 cm berekenen we als volgt: P = 5 ∙ 6 = 30 cm En zo voor elke veelhoek.
Het vinden van de omtrek van een parallellogram, vierkant en ruit
Afhankelijk van hoeveel zijden een regelmatige veelhoek heeft, wordt de omtrek berekend. Dit maakt de taak veel eenvoudiger. In tegenstelling tot andere figuren hoef je in dit geval niet naar alle kanten te zoeken, één is voldoende. Met hetzelfde principe vinden we de omtrek van vierhoeken, dat wil zeggen een vierkant en een ruit. Ondanks het feit dat dit verschillende cijfers zijn, is de formule ervoor hetzelfde: P = 4a, waarbij a de zijde is. Laten we een voorbeeld geven. Als de zijde van een ruit of vierkant 6 cm is, vinden we de omtrek als volgt: P = 4 ∙ 6 = 24 cm Voor een parallellogram zijn alleen overstaande zijden gelijk. Daarom wordt de omtrek ervan op een andere manier gevonden. We moeten dus de lengte a en breedte b van de figuur weten. Vervolgens passen we de formule P = (a + b) ∙ 2 toe. Een parallellogram waarin alle zijden en hoeken ertussen gelijk zijn, wordt een ruit genoemd.
Het vinden van de omtrek van een gelijkzijdige en rechthoekige driehoek
De omtrek van de juiste kan worden gevonden met behulp van de formule P = 3a, waarbij a de lengte van de zijde is. Als het onbekend is, kan het via de mediaan worden gevonden. In een rechthoekige driehoek hebben slechts twee zijden dezelfde waarde. De basis kan worden gevonden via de stelling van Pythagoras. Zodra de waarden van alle drie de zijden bekend zijn, berekenen we de omtrek. Het kan worden gevonden met behulp van de formule P = a + b + c, waarbij a en b gelijke zijden zijn en c de basis is. Bedenk dat in een gelijkbenige driehoek a = b = a, wat betekent a + b = 2a, en dan P = 2a + c. De zijde van een gelijkbenige driehoek is bijvoorbeeld 4 cm, laten we de basis en de omtrek ervan bepalen. We berekenen de waarde van de hypotenusa met behulp van de stelling van Pythagoras met = √a 2 + b 2 = √16+16 = √32 = 5,65 cm Bereken nu de omtrek P = 2 ∙ 4 + 5,65 = 13,65 cm.
Hoe de hoeken van een regelmatige veelhoek te vinden
Elke dag komt er in ons leven een regelmatige veelhoek voor, bijvoorbeeld een regelmatig vierkant, een driehoek of een achthoek. Het lijkt erop dat er niets eenvoudiger is dan dit figuur zelf te bouwen. Maar dit is alleen op het eerste gezicht eenvoudig. Om een n-hoek te construeren, moet je de waarde van de hoeken kennen. Maar hoe kun je ze vinden? Zelfs oude wetenschappers probeerden regelmatige veelhoeken te construeren. Ze ontdekten hoe ze ze in cirkels konden passen. En vervolgens werden de nodige punten erop gemarkeerd en verbonden met rechte lijnen. Voor eenvoudige figuren was het constructieprobleem opgelost. Formules en stellingen werden verkregen. Euclides behandelde bijvoorbeeld in zijn beroemde werk 'Inception' het oplossen van problemen voor 3-, 4-, 5-, 6- en 15-gons. Hij vond manieren om ze te construeren en hoeken te vinden. Laten we eens kijken hoe we dit kunnen doen voor een 15-gon. Eerst moet je de som van de binnenhoeken berekenen. Het is noodzakelijk om de formule S = 180⁰(n-2) te gebruiken. We krijgen dus een 15-gon, wat betekent dat het getal n 15 is. We vervangen de gegevens die we kennen in de formule en krijgen S = 180⁰(15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰. We hebben de som gevonden van alle binnenhoeken van een 15-hoek. Nu moet je de waarde van elk van hen achterhalen. Er zijn in totaal 15 hoeken, we maken de berekening 2340⁰: 15 = 156⁰. Dit betekent dat elke interne hoek gelijk is aan 156⁰. Met behulp van een liniaal en kompas kun je nu een regelmatige 15-hoek construeren. Maar hoe zit het met complexere n-gonen? Eeuwenlang hebben wetenschappers geworsteld om dit probleem op te lossen. Het werd pas in de 18e eeuw gevonden door Carl Friedrich Gauss. Hij was in staat een 65537-gon te bouwen. Sindsdien wordt het probleem officieel als volledig opgelost beschouwd.
Berekening van hoeken van n-hoeken in radialen
Natuurlijk zijn er verschillende manieren om de hoeken van veelhoeken te vinden. Meestal worden ze berekend in graden. Maar ze kunnen ook in radialen worden uitgedrukt. Hoe je dat doet? U moet als volgt te werk gaan. Eerst bepalen we het aantal zijden van een regelmatige veelhoek en trekken daar vervolgens 2 van af. Dit betekent dat we de waarde krijgen: n - 2. Vermenigvuldig het gevonden verschil met het getal n ("pi" = 3,14). Nu hoeft u alleen nog maar het resulterende product te delen door het aantal hoeken in de n-hoek. Laten we deze berekeningen eens bekijken met dezelfde tienhoek als voorbeeld. Het getal n is dus 15. Laten we de formule toepassen S = n(n - 2) : n = 3,14(15 - 2) : 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72. Dit is uiteraard niet de enige manier om een hoek in radialen te berekenen. Je kunt de hoek eenvoudig in graden delen door 57,3. Dit is tenslotte hoeveel graden gelijk zijn aan één radiaal.
Berekening van hoeken in graden
Naast graden en radialen kun je ook proberen de hoeken van een regelmatige veelhoek in graden te vinden. Dit gebeurt als volgt. Trek 2 af van het totale aantal hoeken en deel het resulterende verschil door het aantal zijden van een regelmatige veelhoek. We vermenigvuldigen het gevonden resultaat met 200. Overigens wordt een dergelijke maateenheid voor hoeken als graden praktisch niet gebruikt.
Berekening van externe hoeken van n-hoeken
Voor elke regelmatige veelhoek kunt u, naast de interne, ook de externe hoek berekenen. De waarde ervan wordt op dezelfde manier gevonden als voor andere cijfers. Om de externe hoek van een regelmatige veelhoek te vinden, moet u dus de waarde van de interne hoek kennen. Verder weten we dat de som van deze twee hoeken altijd gelijk is aan 180 graden. Daarom voeren we de berekeningen als volgt uit: 180⁰ minus de waarde van de interne hoek. Wij vinden het verschil. Het zal gelijk zijn aan de waarde van de hoek ernaast. De interne hoek van een vierkant is bijvoorbeeld 90 graden, wat betekent dat de externe hoek 180⁰ - 90⁰ = 90⁰ zal zijn. Zoals we kunnen zien, is het niet moeilijk te vinden. De externe hoek kan een waarde aannemen van respectievelijk +180⁰ tot -180⁰.