Graadformules gebruikt bij het verminderen en vereenvoudigen van complexe uitdrukkingen, bij het oplossen van vergelijkingen en ongelijkheden.

Nummer C is N-de macht van een getal A Wanneer:

Operaties met graden.

1. Door graden met hetzelfde grondtal te vermenigvuldigen, worden hun indicatoren opgeteld:

ben·een n = een m + n .

2. Bij het delen van graden met hetzelfde grondtal worden hun exponenten afgetrokken:

3. De graad van het product van 2 of meer factoren is gelijk aan het product van de graden van deze factoren:

(abc…) n = een n · b n · c n …

4. De graad van een breuk is gelijk aan de verhouding tussen de graden van het deeltal en de deler:

(a/b) n = een n /b n .

5. Als je een macht tot een macht verheft, worden de exponenten vermenigvuldigd:

(een m) n = een m n .

Elke bovenstaande formule is waar in de richtingen van links naar rechts en omgekeerd.

Bijvoorbeeld. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operaties met wortels.

1. De wortel van het product van verschillende factoren is gelijk aan het product van de wortels van deze factoren:

2. De wortel van een verhouding is gelijk aan de verhouding van het deeltal en de deler van de wortels:

3. Wanneer je een wortel tot een macht verheft, is het voldoende om het radicaalgetal tot deze macht te verheffen:

4. Als je de wortelgraad vergroot N een keer en tegelijkertijd inbouwen N Als de macht een radicaal getal is, verandert de waarde van de wortel niet:

5. Als je de wortelgraad verkleint N verwijder tegelijkertijd de wortel N-de macht van een radicaal getal, dan verandert de waarde van de wortel niet:

Een graad met een negatieve exponent. De macht van een bepaald getal met een niet-positieve (geheel getal) exponent wordt gedefinieerd als één gedeeld door de macht van hetzelfde getal met een exponent gelijk aan de absolute waarde van de niet-positieve exponent:

Formule ben:een n =een m - n kan niet alleen voor worden gebruikt M> N, maar ook met M< N.

Bijvoorbeeld. A4:een 7 = een 4 - 7 = een -3.

Naar formule ben:een n =een m - n werd eerlijk toen m=n, is de aanwezigheid van nul graden vereist.

Een graad met een nulindex. De macht van elk getal dat niet gelijk is aan nul met een exponent van nul is gelijk aan één.

Bijvoorbeeld. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Graad met een fractionele exponent. Om een ​​reëel getal te verhogen A tot de graad m/n, moet je de root extraheren N e graad van M-de macht van dit getal A.

Wanneer het getal vermenigvuldigt zichzelf Voor mezelf, werk genaamd rang.

Dus 2,2 = 4, kwadraat of tweede macht van 2
2.2.2 = 8, derde macht of derde macht.
2.2.2.2 = 16, vierde graad.

Ook 10,10 = 100, de tweede macht van 10.
10.10.10 = 1000, derde graad.
10.10.10.10 = 10.000 vierde macht.

En a.a = aa, tweede macht van a
a.a.a = aaa, derde macht van a
a.a.a.a = aaaa, vierde macht van a

Het originele nummer wordt gebeld wortel machten van dit getal, omdat dit het getal is waaruit de machten zijn ontstaan.

Het is echter, vooral in het geval van hoge machten, niet helemaal handig om alle factoren waaruit de machten bestaan ​​op te schrijven. Daarom wordt een verkorte notatiemethode gebruikt. De wortel van de graad wordt slechts één keer geschreven, en aan de rechterkant en iets hoger ernaast, maar in een iets kleiner lettertype staat hoe vaak de wortel fungeert als een factor. Dit nummer of deze letter wordt gebeld exponent of rang cijfers. Een 2 is dus gelijk aan a.a of aa, omdat de wortel a tweemaal met zichzelf moet worden vermenigvuldigd om de macht aa te krijgen. Ook betekent een 3 aaa, dat wil zeggen dat hier a wordt herhaald drie keer als vermenigvuldiger.

De exponent van de eerste graad is 1, maar wordt meestal niet opgeschreven. Een 1 wordt dus geschreven als een.

Je moet graden niet verwarren met coëfficiënten. De coëfficiënt laat zien hoe vaak de waarde wordt gebruikt Deel het geheel. De macht laat zien hoe vaak een hoeveelheid wordt genomen factor in productie.
Dus 4a = a + a + a + a. Maar een 4 = a.a.a.a

Het machtsnotatieschema heeft het bijzondere voordeel dat het ons in staat stelt uit te drukken onbekend rang. Voor dit doel wordt de exponent geschreven in plaats van een getal brief. Tijdens het oplossen van een probleem kunnen we een grootheid verkrijgen waarvan we weten dat die bestaat sommige graad van een andere omvang. Maar tot nu toe weten we niet of het een vierkant, een kubus of een andere, hogere graad is. Dus in de uitdrukking a x betekent de exponent dat deze uitdrukking heeft sommige graad, hoewel niet gedefinieerd welke graad. Dus b m en d n worden verheven tot de machten van m en n. Wanneer de exponent gevonden is, nummer wordt vervangen door een letter. Dus als m=3, dan b m = b 3 ; maar als m = 5, dan b m = b 5.

De methode om waarden met machten te schrijven is ook een groot voordeel bij het gebruik uitdrukkingen. Dus (a + b + d) 3 is (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), dat wil zeggen de kubus van de trinominale (a + b + d) . Maar als we deze uitdrukking schrijven nadat we deze tot een kubus hebben verheven, zal het er zo uitzien
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3 .

Als we een reeks machten nemen waarvan de exponenten met 1 toenemen of afnemen, zien we dat het product met toeneemt gemeenschappelijke vermenigvuldiger of daalt met gemeenschappelijke deler, en deze factor of deler is het oorspronkelijke getal dat tot een macht wordt verheven.

Dus in de serie aaaaa, aaaa, aaa, aa, a;
of een 5, een 4, een 3, een 2, een 1;
de indicatoren, van rechts naar links geteld, zijn 1, 2, 3, 4, 5; en het verschil tussen hun waarden is 1. Als we beginnen rechts vermenigvuldigen door a, zullen we met succes meerdere waarden verkrijgen.

Dus a.a = a 2 , tweede term. En een 3 .a = een 4
a 2 .a = a 3 , derde term. een 4 .a = een 5 .

Als we beginnen links verdeling naar een,
we krijgen een 5:a = een 4 en een 3:a = een 2 .
een 4:a = een 3 een 2:a = een 1

Maar dit verdeeldheidsproces kan verder worden voortgezet en we krijgen een nieuwe reeks waarden.

Dus a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.

De volledige rij zou zijn: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.

Of een 5, een 4, een 3, een 2, een, 1, 1/a, 1/a 2, 1/a 3.

Hier zijn de waarden rechts van één is er achteruit waarden links van één. Daarom kunnen deze graden worden genoemd omgekeerde machten A. We kunnen ook zeggen dat de machten aan de linkerkant het omgekeerde zijn van de machten aan de rechterkant.

Dus 1:(1/a) = 1.(a/1) = a. En 1:(1/een 3) = een 3.

Hetzelfde opnameplan kan worden toegepast veeltermen. Dus voor a + b krijgen we de set,
(a + b) 3 , (a + b) 2 , (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b) 2 , 1/(a + b) 3 .

Voor het gemak wordt een andere vorm van het schrijven van wederkerige bevoegdheden gebruikt.

Volgens dit formulier is 1/a of 1/a 1 = a -1. En 1/aaa of 1/a 3 = a -3 .
1/aa of 1/a 2 = a -2 . 1/aaaa of 1/a 4 = een -4 .

En om een ​​complete reeks te maken met 1 als totaal verschil met exponenten, wordt a/a of 1 beschouwd als iets dat geen graad heeft en wordt geschreven als een 0.

Vervolgens wordt rekening gehouden met de directe en omgekeerde krachten
in plaats van aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa
je kunt een 4, een 3, een 2, een 1, een 0, een -1, een -2, een -3, een -4 schrijven.
Of een +4, een +3, een +2, een +1, een 0, een -1, een -2, een -3, een -4.

En een reeks van uitsluitend individuele graden zal er als volgt uitzien:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

De wortel van een graad kan met meer dan één letter worden uitgedrukt.

Dus aa.aa of (aa) 2 is de tweede macht van aa.
En aa.aa.aa of (aa) 3 is de derde macht van aa.

Alle machten van het getal 1 zijn hetzelfde: 1.1 of 1.1.1. zal gelijk zijn aan 1.

Machtsverheffing is het vinden van de waarde van een willekeurig getal door dat getal met zichzelf te vermenigvuldigen. Regel voor machtsverheffing:

Vermenigvuldig de hoeveelheid met zichzelf zo vaak als aangegeven in de macht van het getal.

Deze regel geldt voor alle voorbeelden die zich tijdens het machtsverheffingsproces kunnen voordoen. Maar het is juist om uit te leggen hoe dit op specifieke gevallen van toepassing is.

Als slechts één term tot een macht wordt verheven, wordt deze zo vaak met zichzelf vermenigvuldigd als aangegeven door de exponent.

De vierde macht van a is een 4 of aaaa. (Art. 195.)
De zesde macht van y is y 6 of yyyyyy.
De N-de macht van x is x n of xxx..... n keer herhaald.

Als het nodig is een uitdrukking van meerdere termen tot een macht te verheffen, geldt het principe dat de macht van het product van meerdere factoren is gelijk aan het product van deze factoren, verheven tot een macht.

Dus (ay) 2 =a 2 y 2 ; (ay) 2 = ay.ay.
Maar ay.ay = ayay = aayy = a 2 y 2 .
Dus (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3 .

Daarom kunnen we bij het vinden van de kracht van een product óf met het hele product in één keer werken, óf we kunnen met elke factor afzonderlijk werken en vervolgens hun waarden vermenigvuldigen met de machten.

Voorbeeld 1. De vierde macht van dhy is (dhy) 4, of d 4 h 4 y 4.

Voorbeeld 2. De derde macht is 4b, er is (4b) 3, of 4 3 b 3, of 64b 3.

Voorbeeld 3. De N-de macht van 6ad is (6ad) n of 6 n en d n.

Voorbeeld 4. De derde macht van 3m.2y is (3m.2y) 3, of 27m 3.8y 3.

De graad van een binomiaal, bestaande uit termen verbonden door + en -, wordt berekend door de termen ervan te vermenigvuldigen. Ja,

(a + b) 1 = a + b, eerste graad.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2, tweede macht (a + b).
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, derde macht.
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4, vierde macht.

Het kwadraat van a - b is a 2 - 2ab + b 2.

Het kwadraat van a + b + h is a 2 + 2ab + 2ah + b 2 + 2bh + h 2

Oefening 1. Zoek de kubus a + 2d + 3

Oefening 2. Vind de vierde macht van b + 2.

Oefening 3. Vind de vijfde macht van x + 1.

Oefening 4. Vind de zesde macht 1 - b.

Som vierkanten bedragen En verschillen binominale getallen komen zo vaak voor in de algebra dat het noodzakelijk is ze heel goed te kennen.

Als we a + h met zichzelf vermenigvuldigen of a - h met zichzelf,
we krijgen: (a + h)(a + h) = a 2 + 2ah + h 2 ook, (a - h)(a - h) = a 2 - 2ah + h 2 .

Hieruit blijkt dat in elk geval de eerste en de laatste term de kwadraten zijn van a en h, en dat de middelste term tweemaal het product is van a en h. Vanaf hier kan het kwadraat van de som en het verschil van binomialen worden gevonden met behulp van de volgende regel.

Het kwadraat van een binomiaal waarvan beide termen positief zijn, is gelijk aan het kwadraat van de eerste term + tweemaal het product van beide termen + het kwadraat van de laatste term.

Vierkant verschillen binomials is gelijk aan het kwadraat van de eerste term minus tweemaal het product van beide termen plus het kwadraat van de tweede term.

Voorbeeld 1. Vierkant 2a + b, er is 4a 2 + 4ab + b 2.

Voorbeeld 2. Vierkant ab + cd, er is a 2 b 2 + 2abcd + c 2 d 2.

Voorbeeld 3. Vierkant 3d - h, er is 9d 2 + 6dh + h 2.

Voorbeeld 4. Het vierkant a - 1 is een 2 - 2a + 1.

Zie de volgende secties voor een methode voor het vinden van hogere machten van binominale getallen.

In veel gevallen is het effectief om op te schrijven graden zonder vermenigvuldiging.

Het kwadraat van a + b is dus (a + b) 2.
De N-de macht van bc + 8 + x is (bc + 8 + x) n

In dergelijke gevallen dekken de haakjes Alle leden onder graad.

Maar als de wortel van de graad uit meerdere bestaat vermenigvuldigers, kunnen de haakjes de gehele uitdrukking bedekken, of kunnen ze, afhankelijk van het gemak, afzonderlijk op de factoren worden toegepast.

Het kwadraat (a + b)(c + d) is dus ofwel [(a + b).(c + d)] 2 of (a + b) 2 .(c + d) 2.

Voor de eerste van deze uitdrukkingen is het resultaat het kwadraat van het product van twee factoren, en voor de tweede is het resultaat het product van hun kwadraten. Maar ze zijn gelijkwaardig aan elkaar.

Kubus a.(b + d), is 3, of een 3.(b + d) 3.

Er moet ook rekening gehouden worden met het bord dat voor de betrokken leden staat. Het is heel belangrijk om te onthouden dat wanneer de wortel van een graad positief is, al zijn positieve krachten ook positief zijn. Maar als de wortel negatief is, zijn de waarden met vreemd machten zijn negatief, terwijl de waarden zelfs graden zijn positief.

De tweede graad (-a) is +a 2
De derde graad (-a) is -a 3
De vierde macht (-a) is +a 4
De vijfde macht (-a) is -a 5

Vandaar enige vreemd de graad heeft hetzelfde teken als het getal. Maar zelfs de graad is positief, ongeacht of het getal een negatief of positief teken heeft.
Dus +a.+a = +a 2
En -a.-a = +a 2

Een grootheid die al tot een macht is verheven, wordt opnieuw tot een macht verheven door de exponenten te vermenigvuldigen.

De derde macht van een 2 is een 2,3 = een 6.

Voor een 2 = aa; kubus aa is aa.aa.aa = aaaaaa = a 6; dat is de zesde macht van a, maar de derde macht van a 2.

De vierde macht van a 3 b 2 is a 3,4 b 2,4 = a 12 b 8

De derde macht van 4a 2 x is 64a 6 x 3.

De vijfde macht van (a + b) 2 is (a + b) 10.

De N-de macht van een 3 is een 3n

De N-de macht van (x - y) m is (x - y) mn

(een 3 .b 3) 2 = een 6 .b 6

(a 3 b 2 u 4) 3 = a 9 b 6 u 12

De regel geldt eveneens voor negatief graden.

Voorbeeld 1. De derde macht van a -2 is a -3,3 =a -6.

Voor a -2 = 1/aa, en de derde macht hiervan
(1/aa).(1/aa).(1/aa) = 1/aaaaaa = 1/a 6 = een -6

De vierde macht van een 2 b -3 is een 8 b -12 of een 8 /b 12.

Het vierkant is b 3 x -1, er is b 6 x -2.

De N-de macht van ax -m is x -mn of 1/x.

We moeten hier echter niet vergeten dat als het teken vorig graad is "-", dan moet dit worden gewijzigd in "+" wanneer de graad een even getal is.

Voorbeeld 1. Het kwadraat -a 3 is +a 6. Het kwadraat van -a 3 is -a 3 .-a 3, wat volgens de tekenregels bij vermenigvuldiging +a 6 is.

2. Maar de kubus -a 3 is -a 9. Voor -a 3 .-a 3 .-a 3 = -a 9 .

3. De N-de macht -a 3 is een 3n.

Hier kan het resultaat positief of negatief zijn, afhankelijk van of n even of oneven is.

Als fractie wordt verheven tot een macht, dan worden de teller en de noemer tot een macht verheven.

Het kwadraat van a/b is a 2 /b 2 . Volgens de regel voor het vermenigvuldigen van breuken,
(a/b)(a/b) = aa/bb = a 2 b 2

De tweede, derde en nde machten van 1/a zijn 1/a 2, 1/a 3 en 1/a n.

Voorbeelden binomialen, waarbij een van de termen een breuk is.

1. Zoek het kwadraat van x + 1/2 en x - 1/2.
(x + 1/2) 2 = x 2 + 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 + x + 1/4
(x - 1/2) 2 = x 2 - 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 - x + 1/4

2. Het kwadraat van a + 2/3 is a 2 + 4a/3 + 4/9.

3. Kwadraat x + b/2 = x 2 + bx + b 2 /4.

4 Het kwadraat van x - b/m is x 2 - 2bx/m + b 2 /m 2 .

Dat werd eerder al aangetoond fractionele coëfficiënt kan van de teller naar de noemer of van de noemer naar de teller worden verplaatst. Met behulp van het schema voor het schrijven van wederzijdse bevoegdheden is dat duidelijk welke vermenigvuldiger dan ook kan ook verplaatst worden, als het teken van de graad wordt gewijzigd.

Dus in de breuk ax -2 /y kunnen we x van de teller naar de noemer verplaatsen.
Dan ax -2 /y = (a/y).x -2 = (a/y).(1/x 2 = a/yx 2 .

In de breuk a/bij 3 kunnen we y van de noemer naar de teller verplaatsen.
Dan a/by 2 = (a/b).(1/y 3) = (a/b).y -3 = ay -3 /b.

Op dezelfde manier kunnen we een factor met een positieve exponent naar de teller verplaatsen, of een factor met een negatieve exponent naar de noemer.

Dus ax 3 /b = a/bx -3. Voor x 3 is de inverse x -3 , wat betekent x 3 = 1/x -3 .

Daarom kan de noemer van elke breuk volledig worden verwijderd, of kan de teller worden teruggebracht tot één, zonder de betekenis van de uitdrukking te veranderen.

Dus a/b = 1/ba -1 , of ab -1 .

Wat zien we hier als we de achtste macht negeren? Laten we het programma van groep 7 niet vergeten. Weet je nog? Dit is de formule voor verkorte vermenigvuldiging, namelijk het verschil in kwadraten! We krijgen:

Laten we goed naar de noemer kijken. Het lijkt veel op een van de tellerfactoren, maar wat is er mis? De volgorde van de termen is verkeerd. Als ze zouden worden teruggedraaid, zou de regel van toepassing kunnen zijn.

Maar hoe doe je dat? Het blijkt heel eenvoudig: de even graad van de noemer helpt ons hierbij.

Op magische wijze veranderden de termen van plaats. Dit ‘fenomeen’ is in gelijke mate van toepassing op elke uitdrukking: we kunnen de tekens tussen haakjes gemakkelijk veranderen.

Maar het is belangrijk om te onthouden: alle borden veranderen tegelijkertijd!

Laten we teruggaan naar het voorbeeld:

En nogmaals de formule:

Geheel we noemen de natuurlijke getallen, hun tegenpolen (dat wil zeggen, genomen met het teken " ") en het getal.

positief integer, en het is niet anders dan natuurlijk, dan ziet alles er precies zo uit als in de vorige sectie.

Laten we nu naar nieuwe gevallen kijken. Laten we beginnen met een indicator gelijk aan.

Elk getal tot de macht nul is gelijk aan één:

Laten we ons zoals altijd de vraag stellen: waarom is dit zo?

Laten we een graad met een basis overwegen. Neem bijvoorbeeld en vermenigvuldig met:

Dus vermenigvuldigden we het getal met, en we kregen hetzelfde als het was: . Met welk getal moet je vermenigvuldigen zodat er niets verandert? Dat klopt, op. Middelen.

We kunnen hetzelfde doen met een willekeurig getal:

Laten we de regel herhalen:

Elk getal tot de macht nul is gelijk aan één.

Maar op veel regels bestaan ​​uitzonderingen. En hier is het ook daar - dit is een getal (als basis).

Aan de ene kant moet het in elke graad gelijk zijn - hoeveel je nul ook met zichzelf vermenigvuldigt, je krijgt nog steeds nul, dit is duidelijk. Maar aan de andere kant moet het, zoals elk getal tot de macht nul, gelijk zijn. Dus hoeveel hiervan is waar? De wiskundigen besloten er niet bij betrokken te raken en weigerden nul tot de macht nul te verheffen. Dat wil zeggen, nu kunnen we niet alleen door nul delen, maar het ook tot de macht nul verheffen.

Laten we verder gaan. Naast natuurlijke getallen en getallen omvatten gehele getallen ook negatieve getallen. Om te begrijpen wat een negatieve macht is, gaan we doen zoals de vorige keer: vermenigvuldig een normaal getal met hetzelfde getal tot een negatieve macht:

Vanaf hier kunt u eenvoudig aangeven wat u zoekt:

Laten we nu de resulterende regel in willekeurige mate uitbreiden:

Laten we dus een regel formuleren:

Een getal met een negatieve macht is het omgekeerde van hetzelfde getal met een positieve macht. Maar op het zelfde moment De basis kan niet nul zijn:(omdat je niet kunt delen door).

Laten we het samenvatten:

I. De uitdrukking is niet gedefinieerd in de casus. Als dan.

II. Elk getal tot de macht nul is gelijk aan één: .

III. Een getal dat niet gelijk is aan nul tot een negatieve macht is het omgekeerde van hetzelfde getal tot een positieve macht: .

Taken voor onafhankelijke oplossing:

Zoals gewoonlijk voorbeelden van onafhankelijke oplossingen:

Analyse van problemen voor onafhankelijke oplossing:

Ik weet het, ik weet het, de cijfers zijn beangstigend, maar bij het Unified State Exam moet je op alles voorbereid zijn! Los deze voorbeelden op of analyseer hun oplossingen als u ze niet kunt oplossen. Op het examen leert u er gemakkelijk mee omgaan!

Laten we doorgaan met het uitbreiden van het bereik van getallen die “geschikt” zijn als exponent.

Laten we nu eens overwegen rationele nummers. Welke getallen worden rationeel genoemd?

Antwoord: alles dat kan worden weergegeven als een breuk, waarbij en gehele getallen zijn, en.

Om te begrijpen wat het is "fractionele graad", beschouw de breuk:

Laten we beide kanten van de vergelijking verheffen tot een macht:

Laten we nu de regel onthouden "graad tot graad":

Welk getal moet verheven worden tot een macht om te krijgen?

Deze formulering is de definitie van de wortel van de e graad.

Laat me je eraan herinneren: de wortel van de e-macht van een getal () is een getal dat, wanneer het tot een macht wordt verheven, gelijk is aan.

Dat wil zeggen, de wortel van de e-macht is de omgekeerde werking van het verheffen tot een macht: .

Het blijkt dat. Uiteraard is dit speciale geval uitbreidbaar: .

Nu voegen we de teller toe: wat is het? Het antwoord is eenvoudig te verkrijgen met behulp van de power-to-power-regel:

Maar kan de basis een willekeurig getal zijn? De wortel kan immers niet uit alle getallen worden afgeleid.

Geen!

Laten we de regel onthouden: elk getal tot een even macht is een positief getal. Dat wil zeggen, het is onmogelijk om zelfs wortels uit negatieve getallen te halen!

Dit betekent dat dergelijke getallen niet kunnen worden verheven tot een fractionele macht met een even noemer, dat wil zeggen dat de uitdrukking geen betekenis heeft.

Hoe zit het met de uitdrukking?

Maar hier ontstaat een probleem.

Het getal kan bijvoorbeeld worden weergegeven in de vorm van andere, reduceerbare breuken, of.

En het blijkt dat het bestaat, maar niet bestaat, maar dit zijn slechts twee verschillende records van hetzelfde nummer.

Of nog een voorbeeld: één keer, dan kun je het opschrijven. Maar als we de indicator anders opschrijven, komen we opnieuw in de problemen: (dat wil zeggen, we hebben een heel ander resultaat!).

Om dergelijke paradoxen te vermijden, overwegen we alleen positieve basisexponent met fractionele exponent.

Dus als:

• - natuurlijk nummer;
• - geheel getal;

Voorbeelden:

Rationele exponenten zijn erg handig voor het transformeren van uitdrukkingen met wortels, bijvoorbeeld:

5 voorbeelden om te oefenen

Analyse van 5 voorbeelden voor training

1. Vergeet de gebruikelijke eigenschappen van graden niet:

2. . Hier herinneren we ons dat we vergaten de gradentabel te leren:

tenslotte - dit is of. De oplossing wordt automatisch gevonden: .

Nou, nu komt het moeilijkste deel. Nu gaan we het uitzoeken graad met irrationele exponent.

Alle regels en eigenschappen van graden zijn hier precies hetzelfde als die voor een graad met een rationale exponent, met uitzondering van die

Irrationele getallen zijn immers per definitie getallen die niet als breuk kunnen worden weergegeven, waarbij en gehele getallen zijn (dat wil zeggen dat irrationele getallen allemaal reële getallen zijn, behalve rationale getallen).

Bij het bestuderen van graden met natuurlijke, gehele en rationele exponenten creëerden we elke keer een bepaald ‘beeld’, ‘analogie’ of beschrijving in meer vertrouwde termen.

Een graad met een natuurlijke exponent is bijvoorbeeld een getal dat meerdere keren met zichzelf wordt vermenigvuldigd;

...getal tot de macht nul- dit is als het ware een getal dat één keer met zichzelf is vermenigvuldigd, dat wil zeggen dat ze nog niet zijn begonnen het te vermenigvuldigen, wat betekent dat het getal zelf nog niet eens is verschenen - daarom is het resultaat slechts een bepaald "leeg getal" , namelijk een getal;

...negatief geheel getal- het is alsof er een "omgekeerd proces" heeft plaatsgevonden, dat wil zeggen dat het getal niet met zichzelf is vermenigvuldigd, maar gedeeld.

Trouwens, in de wetenschap wordt vaak een graad met een complexe exponent gebruikt, dat wil zeggen dat de exponent niet eens een reëel getal is.

Maar op school denken we niet aan zulke moeilijkheden; op het instituut krijg je de kans om deze nieuwe concepten te begrijpen.

WAAR WE ZEKER ZIJN DAT JE GAAT! (als je dergelijke voorbeelden leert oplossen :))

Bijvoorbeeld:

Beslis voor jezelf:

Analyse van oplossingen:

1. Laten we beginnen met de gebruikelijke regel om een ​​macht tot een macht te verheffen:

Kijk nu naar de indicator. Herinnert hij je nergens aan? Laten we ons de formule herinneren voor de verkorte vermenigvuldiging van het verschil in vierkanten:

In dit geval,

Het blijkt dat:

Antwoord: .

2. We reduceren breuken in exponenten tot dezelfde vorm: beide decimalen of beide gewone decimalen. We krijgen bijvoorbeeld:

Antwoord: 16

3. Niets bijzonders, we gebruiken de gebruikelijke eigenschappen van graden:

GEVORDERD NIVEAU

Bepaling van de graad

Een graad is een uitdrukking van de vorm: , waarbij:

• — graadbasis;
• - exponent.

Graad met natuurlijke indicator (n = 1, 2, 3,...)

Een getal verheffen tot de natuurlijke macht n betekent dat je het getal keer met zichzelf vermenigvuldigt:

Graad met een gehele exponent (0, ±1, ±2,...)

Als de exponent dat is positief integer nummer:

Bouw tot nul graden:

De uitdrukking is onbepaald, omdat enerzijds dit in elke graad is, en anderzijds elk getal tot de e graad dit is.

Als de exponent dat is negatief geheel getal nummer:

(omdat je niet kunt delen door).

Nogmaals over nullen: de uitdrukking is niet gedefinieerd in het geval. Als dan.

Voorbeelden:

Macht met rationele exponent

• - natuurlijk nummer;
• - geheel getal;

Voorbeelden:

Eigenschappen van graden

Laten we, om het gemakkelijker te maken om problemen op te lossen, proberen te begrijpen: waar komen deze eigenschappen vandaan? Laten we ze bewijzen.

Laten we eens kijken: wat is en?

A-prioriteit:

Dus aan de rechterkant van deze uitdrukking krijgen we het volgende product:

Maar per definitie is het een macht van een getal met een exponent, dat wil zeggen:

QED

Voorbeeld : Vereenvoudig de uitdrukking.

Oplossing : .

Voorbeeld : Vereenvoudig de uitdrukking.

Oplossing : Het is belangrijk om dit in onze regel op te merken Nodig er moeten dezelfde redenen zijn. Daarom combineren we de krachten met de basis, maar het blijft een aparte factor:

Nog een belangrijke opmerking: deze regel - alleen voor het product van machten!

Dat kun je in geen geval schrijven.

Laten we, net als bij de vorige eigenschap, kijken naar de definitie van graad:

Laten we dit werk als volgt hergroeperen:

Het blijkt dat de uitdrukking keer op keer met zichzelf wordt vermenigvuldigd, dat wil zeggen dat dit volgens de definitie de e-macht van het getal is:

In wezen kan dit worden genoemd: “de indicator tussen haakjes zetten.” Maar je kunt dit nooit in totaal doen: !

Laten we de verkorte vermenigvuldigingsformules onthouden: hoe vaak wilden we schrijven? Maar dit is tenslotte niet waar.

Macht met een negatieve basis.

Tot nu toe hebben we alleen besproken hoe het zou moeten zijn inhoudsopgave graden. Maar wat moet de basis zijn? In bevoegdheden van natuurlijk indicator de basis kan zijn elk nummer .

We kunnen inderdaad alle getallen met elkaar vermenigvuldigen, of ze nu positief, negatief of zelfs zijn. Laten we eens nadenken over welke tekens ("" of "") graden van positieve en negatieve getallen zullen hebben?

Is het getal bijvoorbeeld positief of negatief? A? ?

Bij de eerste is alles duidelijk: hoeveel positieve getallen we ook met elkaar vermenigvuldigen, het resultaat zal positief zijn.

Maar de negatieve zijn iets interessanter. We herinneren ons de eenvoudige regel uit het 6e leerjaar: “min voor min geeft een plus.” Dat wil zeggen, of. Maar als we vermenigvuldigen met (), krijgen we - .

En zo gaat het tot in het oneindige door: bij elke volgende vermenigvuldiging verandert het teken. De volgende eenvoudige regels kunnen worden geformuleerd:

1. zelfs graad, - getal positief.
2. Negatief getal verhoogd naar vreemd graad, - getal negatief.
3. Een positief getal, in welke mate dan ook, is een positief getal.
4. Nul tot elke macht is gelijk aan nul.

Bepaal zelf welk teken de volgende uitdrukkingen zullen hebben:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Is het je gelukt? Hier zijn de antwoorden:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Ik hoop dat alles duidelijk is in de eerste vier voorbeelden? We kijken eenvoudigweg naar het grondtal en de exponent en passen de juiste regel toe.

In voorbeeld 5) is alles ook niet zo eng als het lijkt: het maakt immers niet uit waar de basis gelijk aan is - de graad is gelijk, wat betekent dat het resultaat altijd positief zal zijn. Nou ja, behalve als de basis nul is. De basis is niet gelijk, toch? Uiteraard niet, aangezien (omdat).

Voorbeeld 6) is niet meer zo eenvoudig. Hier moet je uitzoeken wat minder is: of? Als we dat onthouden, wordt dat duidelijk, wat betekent dat de basis kleiner is dan nul. Dat wil zeggen, we passen regel 2 toe: het resultaat zal negatief zijn.

En opnieuw gebruiken we de definitie van graad:

Alles is zoals gewoonlijk - we schrijven de definitie van graden op en verdelen ze door elkaar, verdelen ze in paren en krijgen:

Voordat we naar de laatste regel kijken, laten we een paar voorbeelden oplossen.

Bereken de uitdrukkingen:

Oplossingen :

Wat zien we hier als we de achtste macht negeren? Laten we het programma van groep 7 niet vergeten. Weet je nog? Dit is de formule voor verkorte vermenigvuldiging, namelijk het verschil in kwadraten!

We krijgen:

Laten we goed naar de noemer kijken. Het lijkt veel op een van de tellerfactoren, maar wat is er mis? De volgorde van de termen is verkeerd. Als ze omgekeerd zouden worden, zou regel 3 van toepassing kunnen zijn, maar hoe? Het blijkt heel eenvoudig: de even graad van de noemer helpt ons hierbij.

Als je het vermenigvuldigt, verandert er niets, toch? Maar nu komt het zo uit:

Op magische wijze veranderden de termen van plaats. Dit ‘fenomeen’ is in gelijke mate van toepassing op elke uitdrukking: we kunnen de tekens tussen haakjes gemakkelijk veranderen. Maar het is belangrijk om te onthouden: Alle borden veranderen tegelijkertijd! Je kunt het niet vervangen door slechts één nadeel te veranderen dat we niet leuk vinden!

Laten we teruggaan naar het voorbeeld:

En nogmaals de formule:

Dus nu de laatste regel:

Hoe gaan we het bewijzen? Natuurlijk, zoals gewoonlijk: laten we het concept van diploma uitbreiden en vereenvoudigen:

Laten we nu de haakjes openen. Hoeveel letters zijn er in totaal? maal door vermenigvuldigers - waar doet dit je aan denken? Dit is niets meer dan een definitie van een operatie vermenigvuldiging: Er waren daar alleen vermenigvuldigers. Dat wil zeggen, dit is per definitie een macht van een getal met een exponent:

Voorbeeld:

Graad met irrationele exponent

Naast informatie over graden voor het gemiddelde niveau, analyseren we de graad met een irrationele exponent. Alle regels en eigenschappen van graden zijn hier precies hetzelfde als voor een graad met een rationale exponent, met de uitzondering: irrationele getallen zijn immers per definitie getallen die niet als breuk kunnen worden weergegeven, waarbij en gehele getallen zijn (dat wil zeggen irrationele getallen zijn alle reële getallen behalve rationale getallen).

Bij het bestuderen van graden met natuurlijke, gehele en rationele exponenten creëerden we elke keer een bepaald ‘beeld’, ‘analogie’ of beschrijving in meer vertrouwde termen. Een graad met een natuurlijke exponent is bijvoorbeeld een getal dat meerdere keren met zichzelf wordt vermenigvuldigd; een getal tot de macht nul is als het ware een getal dat één keer met zichzelf is vermenigvuldigd, dat wil zeggen, ze zijn nog niet begonnen het te vermenigvuldigen, wat betekent dat het getal zelf nog niet eens is verschenen - daarom is het resultaat slechts een bepaalde “leeg getal”, namelijk een getal; een graad met een geheel getal negatieve exponent - het is alsof er een "omgekeerd proces" heeft plaatsgevonden, dat wil zeggen dat het getal niet met zichzelf is vermenigvuldigd, maar gedeeld.

Het is uiterst moeilijk om een ​​graad met een irrationele exponent voor te stellen (net zoals het moeilijk is om een ​​vierdimensionale ruimte voor te stellen). Het is eerder een puur wiskundig object dat wiskundigen hebben gemaakt om het concept van graad uit te breiden naar de hele ruimte van getallen.

Trouwens, in de wetenschap wordt vaak een graad met een complexe exponent gebruikt, dat wil zeggen dat de exponent niet eens een reëel getal is. Maar op school denken we niet aan zulke moeilijkheden; op het instituut krijg je de kans om deze nieuwe concepten te begrijpen.

Dus wat doen we als we een irrationele exponent zien? Wij doen ons best om er vanaf te komen! :)

Bijvoorbeeld:

Beslis voor jezelf:

1)

2)

3)

Antwoorden:

1. Laten we de formule voor het verschil in vierkanten onthouden. Antwoord: .
2. We reduceren de breuken tot dezelfde vorm: beide decimalen of beide gewone. Wij krijgen bijvoorbeeld: .
3. Niets bijzonders, we gebruiken de gebruikelijke eigenschappen van graden:

SAMENVATTING VAN DE SECTIE EN BASISFORMULES

Rang heet een uitdrukking van de vorm: , waarbij:

Graad met een gehele exponent

een graad waarvan de exponent een natuurlijk getal is (dat wil zeggen geheel getal en positief).

Macht met rationele exponent

graad, waarvan de exponent negatieve en fractionele getallen is.

Graad met irrationele exponent

een graad waarvan de exponent een oneindige decimale breuk of wortel is.

Eigenschappen van graden

Kenmerken van graden.

• Negatief getal verhoogd naar zelfs graad, - getal positief.
• Negatief getal verhoogd naar vreemd graad, - getal negatief.
• Een positief getal, in welke mate dan ook, is een positief getal.
• Nul is gelijk aan elke macht.
• Elk getal tot de macht nul is gelijk.

NU HEB JE HET WOORD...

Wat vind je van het artikel? Schrijf hieronder in de reacties of je het leuk vond of niet.

Vertel ons over uw ervaringen met het gebruik van diploma-eigenschappen.

Misschien heeft u vragen. Of suggesties.

Schrijf in de reacties.

En succes met je examens!

kan worden gevonden met behulp van vermenigvuldiging. Bijvoorbeeld: 5+5+5+5+5+5=5x6. Zo'n uitdrukking zou zijn dat de som van gelijke termen tot een product wordt gevouwen. En omgekeerd: als we deze gelijkheid van rechts naar links lezen, zien we dat we de som van gelijke termen hebben uitgebreid. Op dezelfde manier kun je het product van verschillende gelijke factoren samenvouwen: 5x5x5x5x5x5=5 6.

Dat wil zeggen, in plaats van zes identieke factoren 5x5x5x5x5x5 te vermenigvuldigen, schrijven ze 5 6 en zeggen ze 'vijf tot de zesde macht'.

De uitdrukking 5 6 is een macht van een getal, waarbij:

5 - graadbasis;

6 - exponent.

Acties waarbij het product van gelijke factoren tot een macht wordt herleid, worden genoemd tot een macht verheffen.

Over het algemeen wordt een graad met grondtal “a” en exponent “n” als volgt geschreven

Het getal a verheffen tot de macht n betekent het vinden van het product van n factoren, die elk gelijk zijn aan a

Als de basis van de graad “a” gelijk is aan 1, dan zal de waarde van de graad voor elk natuurlijk getal n gelijk zijn aan 1. Bijvoorbeeld: 1 5 =1, 1 256 =1

Als u het getal “a” verhoogt tot eerste graad, dan krijgen we het getal a zelf: een 1 = een

Als je een getal verhoogt naar nul graad, dan krijgen we er als resultaat van berekeningen één. een 0 = 1

De tweede en derde macht van een getal worden als speciaal beschouwd. Ze hebben er namen voor bedacht: de tweede graad heet kwadrateren het getal, derde - kubus dit nummer.

Elk getal kan tot een macht worden verheven: positief, negatief of nul. In dit geval zijn de volgende regels niet van toepassing:

Bij het vinden van de macht van een positief getal is het resultaat een positief getal.

Als we nul berekenen voor de natuurlijke kracht, krijgen we nul.

x m · x n = x m + n

bijvoorbeeld: 7 1,7 7 - 0,9 = 7 1,7+(- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

Naar machten met dezelfde bases verdelen We veranderen de basis niet, maar trekken de exponenten af:

x m / x n = x m - n , Waar, m > n,

bijvoorbeeld: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6

Bij het berekenen een macht tot een macht verheffen We veranderen de grondtal niet, maar vermenigvuldigen de exponenten met elkaar.

(Geldautomaat ) N = j m N

bijvoorbeeld: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · j) n = x n · j m ,

bijvoorbeeld:(2 3) 3 = 2 n 3 m,

Bij het uitvoeren van berekeningen volgens een breuk tot een macht verheffen we verheffen de teller en de noemer van de breuk tot een bepaalde macht

(x/y)n = x n / jn

bijvoorbeeld: (2/5) 3 = (2/5) · (2/5) · (2/5) = 2 3/5 3.

De volgorde van berekeningen bij het werken met uitdrukkingen die een graad bevatten.

Bij het uitvoeren van berekeningen van uitdrukkingen zonder haakjes, maar die machten bevatten, voeren ze allereerst machtsverheffen uit, vervolgens vermenigvuldigen en delen, en pas daarna optellen en aftrekken.

Als u een uitdrukking met haakjes moet berekenen, voer dan eerst de berekeningen tussen de haakjes uit in de hierboven aangegeven volgorde, en vervolgens de overige acties in dezelfde volgorde van links naar rechts.

Op grote schaal worden bij praktische berekeningen kant-en-klare machtentabellen gebruikt om berekeningen te vereenvoudigen.

We hebben ontdekt wat een macht van een getal eigenlijk is. Nu moeten we begrijpen hoe we het correct kunnen berekenen, d.w.z. getallen tot machten verheffen. In dit materiaal zullen we de basisregels analyseren voor het berekenen van graden in het geval van gehele, natuurlijke, fractionele, rationale en irrationele exponenten. Alle definities worden geïllustreerd met voorbeelden.

Het concept van machtsverheffing

Laten we beginnen met het formuleren van basisdefinities.

Definitie 1

Machtsverheffing- dit is de berekening van de waarde van de macht van een bepaald getal.

Dat wil zeggen dat de woorden ‘de waarde van een macht berekenen’ en ‘tot een macht verheffen’ hetzelfde betekenen. Dus als het probleem luidt: ‘Verhoog het getal 0, 5 tot de vijfde macht’, moet dit worden opgevat als ‘bereken de waarde van de macht (0, 5) 5.

Nu presenteren we de basisregels die moeten worden gevolgd bij het maken van dergelijke berekeningen.

Laten we onthouden wat een macht van een getal met een natuurlijke exponent is. Voor een macht met grondtal a en exponent n is dit het product van het n-de aantal factoren, die elk gelijk zijn aan a. Dit kan als volgt worden geschreven:

Om de waarde van een graad te berekenen, moet u een vermenigvuldigingsactie uitvoeren, dat wil zeggen: de bases van de graad het opgegeven aantal keren vermenigvuldigen. Het concept van een graad met een natuurlijke exponent is gebaseerd op het vermogen om zich snel te vermenigvuldigen. Laten we voorbeelden geven.

voorbeeld 1

Conditie: verhoog - 2 tot de macht 4.

Oplossing

Met behulp van de bovenstaande definitie schrijven we: (− 2) 4 = (− 2) · (− 2) · (− 2) · (− 2) . Vervolgens hoeven we alleen maar deze stappen te volgen en 16 te krijgen.

Laten we een ingewikkelder voorbeeld nemen.

Voorbeeld 2

Bereken de waarde 3 2 7 2

Oplossing

Deze invoer kan worden herschreven als 3 2 7 · 3 2 7 . Eerder hebben we gekeken hoe we de gemengde getallen die in de voorwaarde worden genoemd, correct kunnen vermenigvuldigen.

Laten we deze stappen uitvoeren en het antwoord krijgen: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Als het probleem aangeeft dat het nodig is om irrationele getallen tot een natuurlijke macht te verheffen, zullen we eerst hun grondtal moeten afronden op het cijfer waarmee we een antwoord met de vereiste nauwkeurigheid kunnen verkrijgen. Laten we eens kijken naar een voorbeeld.

Voorbeeld 3

Voer het kwadraat van π uit.

Oplossing

Laten we het eerst afronden op honderdsten. Dan is π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Als π ≈ 3. 14159, dan krijgen we een nauwkeuriger resultaat: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Merk op dat de noodzaak om machten van irrationele getallen te berekenen in de praktijk relatief zelden voorkomt. We kunnen het antwoord dan schrijven als de macht (ln 6) 3 zelf, of indien mogelijk omrekenen: 5 7 = 125 5 .

Afzonderlijk moet worden aangegeven wat de eerste macht van een getal is. Hier kun je eenvoudig onthouden dat elk getal tot de eerste macht zichzelf blijft:

Dit blijkt duidelijk uit de opname .

Het hangt niet af van de basis van het diploma.

Voorbeeld 4

Dus (− 9) 1 = − 9, en 7 3 tot de eerste macht blijft gelijk aan 7 3.

Voor het gemak zullen we drie gevallen afzonderlijk onderzoeken: als de exponent een positief geheel getal is, als deze nul is en als deze een negatief geheel getal is.

In het eerste geval is dit hetzelfde als verheffen tot een natuurlijke macht: positieve gehele getallen behoren immers tot de verzameling natuurlijke getallen. We hebben hierboven al gesproken over hoe je met dergelijke graden kunt werken.

Laten we nu eens kijken hoe we op de juiste manier tot de macht nul kunnen komen. Voor een andere basis dan nul levert deze berekening altijd 1 op. We hebben eerder uitgelegd dat de 0-de macht van a kan worden gedefinieerd voor elk reëel getal dat niet gelijk is aan 0, en dat a 0 = 1.

Voorbeeld 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - niet gedefinieerd.

Er blijft alleen het geval over van een graad met een geheel getal negatieve exponent. We hebben al besproken dat dergelijke graden kunnen worden geschreven als een breuk 1 a z, waarbij a een willekeurig getal is en z een negatief geheel getal is. We zien dat de noemer van deze breuk niets meer is dan een gewone macht met een positieve gehele exponent, en we hebben al geleerd hoe we deze moeten berekenen. Laten we voorbeelden van taken geven.

Voorbeeld 6

Verhef 2 tot de macht - 3.

Oplossing

Met behulp van de bovenstaande definitie schrijven we: 2 - 3 = 1 2 3

Laten we de noemer van deze breuk berekenen en 8 krijgen: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8.

Dan is het antwoord: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Voorbeeld 7

Verhef 1,43 tot de macht -2.

Oplossing

Laten we herformuleren: 1, 43 - 2 = 1 (1, 43) 2

We berekenen het kwadraat in de noemer: 1,43·1,43. Decimalen kunnen op deze manier worden vermenigvuldigd:

Als resultaat kregen we (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449. Het enige wat we hoeven te doen is dit resultaat in de vorm van een gewone breuk te schrijven, waarvoor we het met 10 duizend moeten vermenigvuldigen (zie het materiaal over het converteren van breuken).

Antwoord: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Een speciaal geval is het verheffen van een getal tot de min eerste macht. De waarde van deze graad is gelijk aan het omgekeerde van de oorspronkelijke waarde van de basis: a - 1 = 1 a 1 = 1 a.

Voorbeeld 8

Voorbeeld: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Hoe je een getal kunt verheffen tot een fractionele macht

Om een ​​dergelijke bewerking uit te voeren, moeten we de basisdefinitie van een graad met een fractionele exponent onthouden: a m n = a m n voor elke positieve a, geheel getal m en natuurlijke n.

Definitie 2

De berekening van een fractionele macht moet dus in twee stappen worden uitgevoerd: verheffen tot een gehele macht en het vinden van de wortel van de n-de macht.

We hebben de gelijkheid a m n = a m n , die, rekening houdend met de eigenschappen van de wortels, meestal wordt gebruikt om problemen op te lossen in de vorm a m n = a n m . Dit betekent dat als we een getal a verheffen tot een fractionele macht m / n, we eerst de n-de wortel van a nemen, en vervolgens het resultaat verheffen tot een macht met een gehele exponent m.

Laten we het illustreren met een voorbeeld.

Voorbeeld 9

Bereken 8 - 2 3 .

Oplossing

Methode 1: Volgens de basisdefinitie kunnen we dit weergeven als: 8 - 2 3 = 8 - 2 3

Laten we nu de graad onder de wortel berekenen en de derde wortel uit het resultaat halen: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Methode 2. Transformeer de basisgelijkheid: 8 - 2 3 = 8 - 2 3 = 8 3 - 2

Hierna extraheren we de wortel 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 en kwadrateren we het resultaat: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

We zien dat de oplossingen identiek zijn. Je kunt het op elke gewenste manier gebruiken.

Er zijn gevallen waarin de graad een indicator heeft, uitgedrukt als een gemengd getal of een decimale breuk. Om de berekeningen te vereenvoudigen, is het beter om deze te vervangen door een gewone breuk en te berekenen zoals hierboven aangegeven.

Voorbeeld 10

Verhoog 44, 89 tot de macht 2, 5.

Oplossing

Laten we de waarde van de indicator omzetten in een gewone breuk: 44, 89 2, 5 = 44, 89 5 2.

Nu voeren we in volgorde alle hierboven aangegeven acties uit: 44, 89 5 2 = 44, 89 5 = 44, 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501, 25107

Antwoord: 13 501, 25107.

Als de teller en de noemer van een fractionele exponent grote getallen bevatten, dan is het berekenen van dergelijke exponenten met rationale exponenten een nogal moeilijke klus. Meestal is hiervoor computertechnologie vereist.

Laten we afzonderlijk stilstaan ​​bij machten met een grondtal nul en een fractionele exponent. Een uitdrukking van de vorm 0 m n kan de volgende betekenis krijgen: als m n > 0, dan is 0 m n = 0 m n = 0; als m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Hoe je een getal tot een irrationele macht kunt verheffen

De noodzaak om de waarde te berekenen van een macht waarvan de exponent een irrationeel getal is, komt niet zo vaak voor. In de praktijk beperkt de taak zich meestal tot het berekenen van een geschatte waarde (tot een bepaald aantal decimalen). Dit wordt meestal op een computer berekend vanwege de complexiteit van dergelijke berekeningen, dus we zullen hier niet in detail op ingaan, we zullen alleen de belangrijkste bepalingen aangeven.

Als we de waarde van een macht a met een irrationele exponent a moeten berekenen, nemen we de decimale benadering van de exponent en tellen we daarvan af. Het resultaat zal een benaderend antwoord zijn. Hoe nauwkeuriger de decimale benadering is, hoe nauwkeuriger het antwoord. Laten we het met een voorbeeld laten zien:

Voorbeeld 11

Bereken de benadering van 2 tot de macht 1,174367....

Oplossing

Laten we ons beperken tot de decimale benadering a n = 1, 17. Laten we berekeningen uitvoeren met dit getal: 2 1, 17 ≈ 2, 250116. Als we bijvoorbeeld de benadering a n = 1, 1743 nemen, dan zal het antwoord iets nauwkeuriger zijn: 2 1, 174367. . . ≈ 2 1, 1743 ≈ 2, 256833.

Als u een fout in de tekst opmerkt, markeer deze dan en druk op Ctrl+Enter