Cos (oneindigheid) waar is het gelijk aan? en kreeg het beste antwoord

Antwoord van Krab Вark[guru]
Niets. Oneindigheid is geen getal. En er is geen limiet aan de cosinus, aangezien het argument naar oneindig neigt.

Antwoord van Costa Verde[actief]
bestaat het niet van 0 tot 180

Antwoord van Alexander Alenitsyn[goeroe]
Je vraagt ​​​​waar de cosinus naar neigt als zijn argument
neigt naar oneindig? Er bestaat niet zo'n limiet, altijd cosinus
fluctueert van min tot plus 1. En in het algemeen elke periodieke
een functie die niet gelijk is aan de identieke constante kan niet hebben
limiet op oneindig.

Antwoord van Amanzjolov Timur[goeroe]
Zo gebeurt het niet. Het is een hoek of het is het niet. Tip: vraag wat cos 100 grad gelijk is aan (hint = 0 (nul)). Zelden weet iemand van hagelbuien (ik maak een grapje, veel mensen hebben op school gestudeerd, maar niet iedereen herinnert het zich)... Eigenlijk is de hoek (in graden, min., sec.) van 0 tot 360. Een oneindige rotatie kan niet met cosinus worden gemeten... Ter referentie: cosinus is de schaduw van een paal gelijk aan één en die in de gespecificeerde hoek staat, terwijl het licht verticaal naar beneden valt... (school)... Het is net zo simpel als spugen op een openbare plek.. . Het belangrijkste is om te weten waar...

Antwoord van Extrapolator[goeroe]
Ja, of het nu wil of niet...
Wat omdat, wat zonde...
Omdat de cosinuswaarde periodiek verandert van +1 naar -1 en weer terug naar +1, zal de functie, wanneer het argument naar oneindig neigt, een bereik aan waarden hebben van +1 tot -1.

Uit het bovenstaande artikel kun je ontdekken wat de limiet is en waarmee het wordt gegeten - dit is HEEL belangrijk. Waarom? Het kan zijn dat u niet begrijpt wat determinanten zijn en deze met succes kunt oplossen, dat u misschien helemaal niet begrijpt wat een derivaat is en dat u ze met een “A” vindt. Maar als je niet begrijpt wat een limiet is, zal het oplossen van praktische taken moeilijk zijn. Het zou ook een goed idee zijn om vertrouwd te raken met de voorbeeldoplossingen en mijn ontwerpaanbevelingen. Alle informatie wordt gepresenteerd in een eenvoudige en toegankelijke vorm.

En voor deze les hebben we het volgende lesmateriaal nodig: Prachtige grenzen En Trigonometrische formules. Ze zijn te vinden op de pagina. Het is het beste om de handleidingen af ​​te drukken - dat is veel handiger en bovendien zul je ze vaak offline moeten raadplegen.

Wat is er zo speciaal aan opmerkelijke limieten? Het opmerkelijke aan deze limieten is dat ze zijn bewezen door de grootste geesten van beroemde wiskundigen, en dankbare nakomelingen hoeven niet te lijden onder vreselijke limieten met een stapel trigonometrische functies, logaritmen en machten. Dat wil zeggen dat we bij het vinden van de grenzen kant-en-klare resultaten zullen gebruiken die theoretisch zijn bewezen.

Er zijn verschillende prachtige grenzen, maar in de praktijk hebben deeltijdstudenten in 95% van de gevallen twee prachtige grenzen: De eerste prachtige limiet, Tweede prachtige limiet. Opgemerkt moet worden dat dit historisch gevestigde namen zijn, en wanneer ze bijvoorbeeld spreken over ‘de eerste opmerkelijke limiet’, bedoelen ze hiermee iets heel specifieks, en niet een willekeurige limiet die uit het plafond is gehaald.

De eerste prachtige limiet

Houd rekening met de volgende limiet: (in plaats van de oorspronkelijke letter "hij" zal ik de Griekse letter "alpha" gebruiken, dit is handiger vanuit het oogpunt van de presentatie van het materiaal).

Volgens onze regel voor het vinden van grenzen (zie artikel Grenzen. Voorbeelden van oplossingen) proberen we nul in de functie te vervangen: in de teller krijgen we nul (de sinus van nul is nul), en in de noemer is er uiteraard ook nul. We worden dus geconfronteerd met een onzekerheid over de vorm, die gelukkig niet openbaar hoeft te worden gemaakt. In de loop van wiskundige analyse is bewezen dat:

Dit wiskundige feit wordt genoemd De eerste prachtige limiet. Ik zal geen analytisch bewijs geven van de limiet, maar we zullen kijken naar de geometrische betekenis ervan in de les over oneindig kleine functies.

Vaak kunnen bij praktische taken functies anders worden ingericht, dit verandert niets:

- dezelfde eerste prachtige limiet.

Maar je kunt de teller en de noemer niet zelf herschikken! Als er een limiet wordt gegeven in de vorm , dan moet deze in dezelfde vorm worden opgelost, zonder iets te herschikken.

In de praktijk kan niet alleen een variabele, maar ook een elementaire functie of een complexe functie als parameter fungeren. Het is alleen belangrijk dat het naar nul neigt.

Voorbeelden:
, , ,

Hier , , , , en alles is goed - de eerste prachtige limiet is van toepassing.

Maar de volgende vermelding is ketterij:

Waarom? Omdat de polynoom niet naar nul neigt, neigt hij naar vijf.

Trouwens, een korte vraag: wat is de limiet? ? Het antwoord vind je aan het einde van de les.

In de praktijk verloopt niet alles zo soepel; vrijwel nooit wordt een student aangeboden een vrije limiet op te lossen en een gemakkelijke pass te krijgen. Hmmm... Ik ben deze regels aan het schrijven, en er kwam een ​​heel belangrijke gedachte in me op: het is tenslotte beter om 'vrije' wiskundige definities en formules uit het hoofd te onthouden, dit kan van onschatbare waarde zijn bij de test, wanneer de vraag wordt gesteld er kan worden gekozen tussen een “twee” en een “drie”, en de leraar besluit de leerling een eenvoudige vraag te stellen of aan te bieden een eenvoudig voorbeeld op te lossen (“misschien weet hij (s) nog wat?!”).

Laten we verder gaan met het bekijken van praktische voorbeelden:

voorbeeld 1

Zoek de limiet

Als we een sinus in de limiet opmerken, zou dit ons er onmiddellijk toe moeten brengen na te denken over de mogelijkheid om de eerste opmerkelijke limiet toe te passen.

Eerst proberen we 0 te vervangen in de uitdrukking onder het limietteken (we doen dit mentaal of in een concept):

We hebben dus onzekerheid over de vorm zeker aangeven bij het nemen van een beslissing. De uitdrukking onder het limietteken is vergelijkbaar met de eerste prachtige limiet, maar dit is het niet precies, het staat onder de sinus, maar in de noemer.

In dergelijke gevallen moeten we de eerste opmerkelijke limiet zelf organiseren, met behulp van een kunstmatige techniek. De redenering zou als volgt kunnen zijn: “onder de sinus hebben we , wat betekent dat we ook in de noemer moeten komen.”
En dit gebeurt heel eenvoudig:

Dat wil zeggen, de noemer wordt in dit geval kunstmatig vermenigvuldigd met 7 en gedeeld door dezelfde zeven. Nu heeft onze opname een vertrouwde vorm aangenomen.
Wanneer de taak met de hand wordt opgesteld, is het raadzaam om de eerste opmerkelijke grens aan te geven met een eenvoudig potlood:

Wat is er gebeurd? In feite werd onze omcirkelde uitdrukking een eenheid en verdween in het werk:

Het enige dat nu overblijft is het wegwerken van de breuk van drie verdiepingen:

Wie de vereenvoudiging van breuken op meerdere niveaus is vergeten, vernieuw het materiaal in het naslagwerk Populaire formules voor de wiskundecursus op school .

Klaar. Definitieve antwoord:

Als u geen potloodmarkeringen wilt gebruiken, kunt u de oplossing als volgt schrijven:

“

Laten we de eerste prachtige limiet gebruiken

“

Voorbeeld 2

Zoek de limiet

Opnieuw zien we een breuk en een sinus in de limiet. We proberen nul in de teller en de noemer te vervangen:

We hebben inderdaad onzekerheid en daarom moeten we proberen de eerste prachtige limiet te organiseren. Bij de les Grenzen. Voorbeelden van oplossingen we hebben de regel overwogen dat als we onzekerheid hebben, we de teller en de noemer moeten ontbinden in factoren. Hier is het hetzelfde, we vertegenwoordigen de graden als een product (vermenigvuldigers):

Net als in het vorige voorbeeld tekenen we een potlood rond de opmerkelijke grenzen (hier zijn er twee) en geven aan dat ze naar eenheid neigen:

Eigenlijk is het antwoord klaar:

In de volgende voorbeelden zal ik geen kunst maken in Paint, ik denk hoe je een oplossing correct in een notitieboekje kunt opstellen - je begrijpt het al.

Voorbeeld 3

Zoek de limiet

We vervangen nul in de uitdrukking onder het limietteken:

Er is sprake van een onzekerheid die openbaar gemaakt moet worden. Als er een raaklijn in de limiet zit, dan wordt deze vrijwel altijd omgezet in sinus en cosinus met behulp van de bekende trigonometrische formule (ze doen overigens ongeveer hetzelfde met cotangens, zie methodologisch materiaal Hete trigonometrische formules Op de pagina Wiskundige formules, tabellen en referentiematerialen).

In dit geval:

De cosinus van nul is gelijk aan één, en het is gemakkelijk om er vanaf te komen (vergeet niet te markeren dat deze naar één neigt):

Dus als in de limiet de cosinus een MULTIPLIER is, dan moet deze grofweg worden omgezet in een eenheid, die in het product verdwijnt.

Hier bleek alles eenvoudiger, zonder vermenigvuldigingen en delingen. De eerste opmerkelijke grens wordt ook één en verdwijnt in het product:

Als resultaat wordt oneindigheid verkregen, en dit gebeurt.

Voorbeeld 4

Zoek de limiet

Laten we proberen nul in de teller en de noemer te vervangen:

De onzekerheid wordt verkregen (de cosinus van nul is, zoals we ons herinneren, gelijk aan één)

We gebruiken de trigonometrische formule. Maak een notitie! Om de een of andere reden zijn limieten die deze formule gebruiken heel gebruikelijk.

Laten we de constante factoren voorbij het limietpictogram verplaatsen:

Laten we de eerste prachtige limiet organiseren:

Hier hebben we slechts één opmerkelijke limiet, die verandert in één en verdwijnt in het product:

Laten we de structuur met drie verdiepingen wegwerken:

De limiet is feitelijk opgelost, we geven aan dat de resterende sinus naar nul neigt:

Voorbeeld 5

Zoek de limiet

Dit voorbeeld is ingewikkelder, probeer het zelf uit te zoeken:

Sommige limieten kunnen worden teruggebracht tot de 1e opmerkelijke limiet door een variabele te wijzigen, hierover kun je verderop in het artikel lezen Methoden voor het oplossen van grenzen.

Tweede prachtige limiet

In de theorie van de wiskundige analyse is bewezen dat:

Dit feit wordt genoemd tweede prachtige limiet.

Referentie: is een irrationeel getal.

De parameter kan niet alleen een variabele zijn, maar ook een complexe functie. Het enige belangrijke is dat het naar oneindigheid streeft.

Voorbeeld 6

Zoek de limiet

Wanneer de uitdrukking onder het limietteken een graad aangeeft, is dit het eerste teken dat u moet proberen de tweede prachtige limiet toe te passen.

Maar eerst proberen we, zoals altijd, een oneindig groot getal in de uitdrukking te vervangen. Het principe waarmee dit wordt gedaan wordt besproken in de les Grenzen. Voorbeelden van oplossingen.

Het is gemakkelijk om op te merken dat wanneer de basis van de graad is en de exponent is , dat wil zeggen, er is onzekerheid over de vorm:

Deze onzekerheid wordt precies onthuld met behulp van de tweede opmerkelijke grens. Maar zoals vaak gebeurt, ligt de tweede prachtige grens niet op een presenteerblaadje, maar moet deze kunstmatig worden georganiseerd. Je kunt als volgt redeneren: in dit voorbeeld is de parameter , wat betekent dat we ook de indicator moeten organiseren. Om dit te doen, verheffen we de basis tot de macht, en zodat de uitdrukking niet verandert, verheffen we deze tot de macht:

Wanneer de taak met de hand is voltooid, markeren we met een potlood:

Bijna alles is klaar, de vreselijke graad is veranderd in een mooie brief:

In dit geval verplaatsen we het limietpictogram zelf naar de indicator:

Voorbeeld 7

Zoek de limiet

Aandacht! Dit type limiet komt zeer vaak voor. Bestudeer dit voorbeeld zorgvuldig.

Laten we proberen een oneindig groot getal te vervangen door de uitdrukking onder het limietteken:

Het resultaat is onzekerheid. Maar de tweede opmerkelijke grens geldt voor de onzekerheid van de vorm. Wat moeten we doen? We moeten de basis van het diploma omzetten. We redeneren als volgt: in de noemer hebben we , wat betekent dat we in de teller ook moeten organiseren .

De eerste opmerkelijke limiet ziet er als volgt uit: lim x → 0 sin x x = 1 .

In praktische voorbeelden kom je vaak wijzigingen van de eerste opmerkelijke limiet tegen: lim x → 0 sin k · x k · x = 1, waarbij k een bepaalde coëfficiënt is.

Laten we het uitleggen: lim x → 0 sin (k x) k x = leeg t = k x en uit x → 0 volgt t → 0 = lim t → 0 sin (t) t = 1.

Gevolgen van de eerste opmerkelijke grens:

1. lim x → 0 x zonde x = lim x → 0 = 1 zonde x x = 1 1 = 1

1. lim x → 0 k x sin k x = lim x → 0 1 sin (k x) k x = 1 1 = 1

Deze uitvloeisels zijn vrij eenvoudig te bewijzen door de regel van L'Hopital toe te passen of door oneindig kleine functies te vervangen.

Laten we eens kijken naar enkele problemen bij het vinden van de limiet met behulp van de eerste opmerkelijke limiet; We zullen een gedetailleerde beschrijving van de oplossing geven.

voorbeeld 1

Het is noodzakelijk om de limiet te bepalen zonder de regel van L'Hopital te gebruiken: lim x → 0 sin (3 x) 2 x.

Oplossing

Laten we de waarde vervangen:

lim x → 0 zonde (3 x) 2 x = 0 0

We zien dat de onzekerheid van nul gedeeld door nul is ontstaan. Laten we de onzekerheidstabel raadplegen om de oplossingsmethode in te stellen. De combinatie van sinus en zijn argument geeft ons een hint over het gebruik van de eerste prachtige limiet, maar eerst transformeren we de uitdrukking. Vermenigvuldig de teller en de noemer van de breuk met 3 x en krijg:

lim x → 0 zonde (3 x) 2 x = 0 0 = lim x → 0 3 x zonde (3 x) 3 x (2 x) = lim x → 0 zonde (3 x) 3 x 3 x 2 x = = lim x → 0 3 2 zonde (3 x) 3 x

Gebaseerd op het gevolg van de eerste opmerkelijke limiet, hebben we: lim x → 0 sin (3 x) 3 x = 1.

Dan komen we bij het resultaat:

lim x → 0 3 2 zonde (3 x) 3 x = 3 2 1 = 3 2

Antwoord: lim x → 0 zonde (3 x) 3 x = 3 2 .

Voorbeeld 2

Het is noodzakelijk om de limiet lim x → 0 1 - cos (2 x) 3 x 2 te vinden.

Oplossing

Laten we de waarden vervangen en krijgen:

lim x → 0 1 - cos (2 x) 3 x 2 = 1 - cos (2 0) 3 0 2 = 1 - 1 0 = 0 0

We zien de onzekerheid van nul gedeeld door nul. Laten we de teller transformeren met behulp van trigonometrieformules:

lim x → 0 1 - cos (2 x) 3 x 2 = 0 0 = lim x → 0 2 sin 2 (x) 3 x 2

We zien dat de eerste opmerkelijke limiet nu hier kan worden toegepast:

lim x → 0 2 zonde 2 (x) 3 x 2 = lim x → 0 2 3 zonde x x zonde x x = 2 3 1 1 = 2 3

Antwoord: lim x → 0 1 - cos (2 x) 3 x 2 = 2 3 .

Voorbeeld 3

Het is noodzakelijk om de limiet lim x → 0 a r c sin (4 x) 3 x te berekenen.

Oplossing

Laten we de waarde vervangen:

lim x → 0 a r c zonde (4 x) 3 x = a r c zonde (4 0) 3 0 = 0 0

We zien de onzekerheid van het delen van nul door nul. Laten we een vervanging maken:

a r c zonde (4 x) = t ⇒ zonde (a r c zonde (4 x)) = zonde (t) 4 x = zonde (t) ⇒ x = 1 4 zonde (t) lim x → 0 (a r c zonde (4 x) ) = a r c sin (4 · 0) = 0, wat betekent t → 0 als x → 0.

In dit geval neemt de limiet, na het vervangen van de variabele, de vorm aan:

lim x → 0 a r c sin (4 x) 3 x = 0 0 = lim t → 0 t 3 1 4 sin (t) = = lim t → 0 4 3 t sin t = 4 3 1 = 4 3

Antwoord: lim x → 0 a r c zonde (4 x) 3 x = 4 3 .

Voor een vollediger begrip van het materiaal in het artikel moet u het materiaal over het onderwerp 'Grenzen, basisdefinities, voorbeelden van bevindingen, problemen en oplossingen' herhalen.

Als u een fout in de tekst opmerkt, markeer deze dan en druk op Ctrl+Enter

De eerste opmerkelijke limiet wordt vaak gebruikt om limieten te berekenen die sinus, boogsinus, tangens, boogtangens en de daaruit voortvloeiende onzekerheden nul gedeeld door nul bevatten.

Formule

De formule voor de eerste opmerkelijke limiet is: $$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin\alpha)(\alpha) = 1 $$

We merken op dat we voor $ \alpha\to 0 $ $ \sin\alpha \to 0 $ krijgen, dus we hebben nullen in de teller en de noemer. De formule van de eerste opmerkelijke limiet is dus nodig om de onzekerheden $ \frac(0)(0) $ te onthullen.

Om de formule toe te passen, moet aan twee voorwaarden worden voldaan:

1. De uitdrukkingen in de sinus en de noemer van de breuk zijn hetzelfde
2. Uitdrukkingen in de sinus en de noemer van een breuk neigen naar nul

Aandacht! $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(2x^2+1))(2x^2+1) \neq 1 $ Hoewel de uitdrukkingen onder de sinus en in de noemer hetzelfde zijn, $ 2x ^2+1 = 1 $, bij $ x\tot 0 $. Aan de tweede voorwaarde is niet voldaan, dus u KUNT de formule NIET toepassen!

Gevolgen

Heel zelden zie je bij taken een pure eerste prachtige limiet, waarin je meteen het antwoord zou kunnen opschrijven. In de praktijk ziet alles er iets ingewikkelder uit, maar voor dergelijke gevallen zal het nuttig zijn om de gevolgen van de eerste opmerkelijke limiet te kennen. Dankzij hen kunt u snel de vereiste limieten berekenen.

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\alpha)(\sin\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\sin(a\alpha))(\sin(b\alpha)) = \frac(a)(b) $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(tg\alpha)(\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(\arcsin\alpha)(\alpha) = 1 $$

$$ \lim_(\alpha\to 0) \frac(arctg\alpha)(\alpha) = 1 $$

Voorbeelden van oplossingen

Laten we eens kijken naar de eerste opmerkelijke limiet, voorbeelden van de oplossing ervan voor het berekenen van limieten die trigonometrische functies en onzekerheid bevatten $ \bigg[\frac(0)(0)\bigg] $

voorbeeld 1

Bereken $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) $

Oplossing

Laten we naar de limiet kijken en zien dat deze een sinus bevat. Vervolgens vervangen we $ x = 0 $ in de teller en de noemer en krijgen we de onzekerheid nul gedeeld door nul: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \frac(0)(0 ) $$ Al twee tekens dat we een prachtige limiet moeten toepassen, maar er is een kleine nuance: we kunnen de formule niet onmiddellijk toepassen, omdat de uitdrukking onder het sinusteken verschilt van de uitdrukking in de noemer. En we hebben ze nodig om gelijk te zijn. Daarom zullen we er met behulp van elementaire transformaties van de teller $2x$ van maken. Om dit te doen, nemen we de twee als een afzonderlijke factor uit de noemer van de breuk. Het ziet er zo uit: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(4x) = \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2\cdot 2x) = $$ $$ = \frac(1)(2) \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = \frac(1)(2)\cdot 1 = \frac(1)(2) $$ alstublieft merk op dat uiteindelijk $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin2x)(2x) = 1 $ werd verkregen volgens de formule. Als u uw probleem niet kunt oplossen, stuur het dan naar ons. Wij zullen een gedetailleerde oplossing bieden. U kunt de voortgang van de berekening bekijken en informatie verkrijgen. Zo krijg je tijdig je cijfer van je leraar!

Antwoord

$$ \lim_(x\tot 0) \frac(\sin2x)(4x) =\frac(1)(2) $$

Voorbeeld 2

Vind $ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) $

Oplossing

Zoals altijd moet u eerst weten om welk soort onzekerheid het gaat. Als het nul is gedeeld door nul, dan letten we op de aanwezigheid van een sinus: $$ \lim_(x\to 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = \frac(0) (0) = $$ Deze onzekerheid stelt ons in staat de formule van de eerste opmerkelijke limiet te gebruiken, maar de uitdrukking van de noemer is niet gelijk aan het argument van de sinus? Daarom kan de formule niet “frontaal” worden toegepast. Het is noodzakelijk om de breuk te vermenigvuldigen en te delen door het argument van de sinus: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x)\sin(x^3+2x))((2x -x^4)(x ^3+2x)) = $$ Nu noteren we de eigenschappen van de limieten: $$ = \lim_(x\to 0) \frac((x^3+2x))(2x -x^4)\cdot \lim_(x \to 0) \frac(\sin(x^3+2x))((x^3+2x)) = $$ De tweede limiet past precies in de formule en is gelijk naar één: $$ = \lim_(x\to 0 ) \frac(x^3+2x)(2x-x^4)\cdot 1 = \lim_(x\to 0) \frac(x^3+2x )(2x-x^4) = $$ Vervang $ x = 0 $ opnieuw door een breuk en we krijgen de onzekerheid $ \frac(0)(0) $. Om het te elimineren volstaat het om $ x $ tussen haakjes te zetten en te verkleinen met: $$ = \lim_(x\to 0) \frac(x(x^2+2))(x(2-x^ 3)) = \ lim_(x\to 0) \frac(x^2+2)(2-x^3) = $$ $$ = \frac(0^2 + 2)(2 - 0^3) = \frac(2 )(2) = 1 $$

Antwoord

$$ \lim_(x\tot 0) \frac(\sin(x^3+2x))(2x-x^4) = 1 $$

Voorbeeld 4

Bereken $ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) $

Oplossing

Laten we de berekening beginnen met de vervanging $ x=0 $. Als resultaat verkrijgen we de onzekerheid $ \frac(0)(0) $. De limiet bevat een sinus en een raaklijn, wat duidt op een mogelijke ontwikkeling van de situatie met behulp van de formule van de eerste opmerkelijke limiet. Laten we de teller en de noemer van de breuk omzetten in een formule en gevolg: $$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg3x) = \frac(0)(0) = \lim_(x\to0) \frac(\frac(\sin2x)(2x)\cdot 2x )(\frac(tg3x)(3x)\cdot 3x) = $$ Nu zien we dat er in de teller en de noemer uitdrukkingen zijn die passen bij de formule en de consequenties. Het sinusargument en het tangensargument zijn hetzelfde voor de overeenkomstige noemers $$ = \lim_(x\to0) \frac(1\cdot 2x)(1\cdot 3x) = \frac(2)(3) $$

Antwoord

$$ \lim_(x\to0) \frac(\sin2x)(tg2x) = \frac(2)(3) $$

Het artikel: "De eerste opmerkelijke limiet, voorbeelden van oplossingen" sprak over gevallen waarin het raadzaam is om deze formule en de gevolgen ervan te gebruiken.

Er zijn verschillende opmerkelijke limieten, maar de bekendste zijn de eerste en tweede opmerkelijke limieten. Het opmerkelijke aan deze limieten is dat ze op grote schaal worden gebruikt en dat je met hun hulp andere limieten kunt vinden die je bij talloze problemen tegenkomt. Dit gaan we doen in het praktijkgedeelte van deze les. Om problemen op te lossen door ze terug te brengen tot de eerste of tweede opmerkelijke limiet, is het niet nodig om de onzekerheden die erin zitten te onthullen, aangezien de waarden van deze limieten al lang zijn afgeleid door grote wiskundigen.

De eerste opmerkelijke grens wordt de limiet genoemd van de verhouding van de sinus van een oneindig kleine boog tot dezelfde boog, uitgedrukt in radialenmaat:

Laten we verder gaan met het oplossen van problemen bij de eerste opmerkelijke limiet. Let op: als er een trigonometrische functie onder het limietteken staat, is dit een vrijwel zeker teken dat deze uitdrukking kan worden teruggebracht tot de eerste opmerkelijke limiet.

Voorbeeld 1. Zoek de limiet.

Oplossing. Vervanging in plaats daarvan X nul leidt tot onzekerheid:

.

De noemer is sinus, daarom kan de uitdrukking tot de eerste opmerkelijke limiet worden gebracht. Laten we beginnen met de transformatie:

.

De noemer is de sinus van drie X, maar de teller heeft slechts één X, wat betekent dat je drie X in de teller moet krijgen. Waarvoor? Ter introductie 3 X = A en verkrijg de uitdrukking.

En we komen bij een variatie op de eerste opmerkelijke limiet:

omdat het niet uitmaakt welke letter (variabele) in deze formule staat in plaats van X.

We vermenigvuldigen X met drie en delen onmiddellijk:

.

In overeenstemming met de eerste opmerkelijke limiet die we hebben opgemerkt, vervangen we de fractionele uitdrukking:

Nu kunnen we eindelijk deze limiet oplossen:

.

Voorbeeld 2. Zoek de limiet.

Oplossing. Directe vervanging leidt opnieuw tot de onzekerheid van ‘nul gedeeld door nul’:

.

Om de eerste opmerkelijke limiet te krijgen, is het noodzakelijk dat de x onder het sinusteken in de teller en alleen de x in de noemer dezelfde coëfficiënt hebben. Laat deze coëfficiënt gelijk zijn aan 2. Stel je hiervoor de huidige coëfficiënt voor x voor zoals hieronder, door bewerkingen met breuken uit te voeren, verkrijgen we:

.

Voorbeeld 3. Zoek de limiet.

Oplossing. Bij vervanging krijgen we opnieuw de onzekerheid “nul gedeeld door nul”:

.

Je begrijpt waarschijnlijk al dat je met de oorspronkelijke uitdrukking de eerste prachtige limiet kunt vermenigvuldigen met de eerste prachtige limiet. Om dit te doen, ontleden we de kwadraten van de x in de teller en de sinus in de noemer in identieke factoren, en om dezelfde coëfficiënten voor de x en de sinus te krijgen, delen we de x in de teller door 3 en vermenigvuldigen we onmiddellijk tegen 3. We krijgen:

.

Voorbeeld 4. Zoek de limiet.

Oplossing. Opnieuw krijgen we de onzekerheid “nul gedeeld door nul”:

.

We kunnen de verhouding van de eerste twee opmerkelijke grenzen verkrijgen. We delen zowel de teller als de noemer door x. Vervolgens, zodat de coëfficiënten voor sinussen en xen samenvallen, vermenigvuldigen we de bovenste x met 2 en delen we onmiddellijk door 2, en vermenigvuldigen we de onderste x met 3 en delen we onmiddellijk door 3. We krijgen:

Voorbeeld 5. Zoek de limiet.

Oplossing. En opnieuw de onzekerheid van “nul gedeeld door nul”:

We herinneren ons uit de trigonometrie dat de tangens de verhouding is tussen sinus en cosinus, en dat de cosinus van nul gelijk is aan één. We voeren de transformaties uit en krijgen:

.

Voorbeeld 6. Zoek de limiet.

Oplossing. De trigonometrische functie onder het teken van een limiet suggereert opnieuw het gebruik van de eerste opmerkelijke limiet. We stellen het voor als de verhouding van sinus tot cosinus.