| § 1.1. Nummer systemen

Lessen 2 - 5
§ 1.1. Nummer systemen

Trefwoorden:

Notatie
nummer
alfabet
positioneel nummer systeem
baseren
uitgebreide vorm van een getal
gevouwen vorm van een getal
binair systeem
octaal getallenstelsel
hexadecimaal getallenstelsel

1.1.1. Algemene informatie over nummerstelsels

Het nummerstelsel is een tekensysteem waarin bepaalde regels voor het schrijven van getallen zijn overgenomen.. De tekens waarmee getallen worden geschreven (Fig. 1.1) worden genoemd figuren, en hun totaliteit is nummer systeem alfabet.

Rijst. 1.1. Tekens die worden gebruikt om nummers in verschillende nummerstelsels te schrijven

In elk nummersysteem worden cijfers gebruikt om nummers aan te duiden, knooppunt genoemd; de resterende getallen (algoritmisch) worden verkregen als resultaat van bewerkingen van de knooppuntnummers.

voorbeeld 1. Onder de Babyloniërs waren de nodale nummers 1, 10, 60; in het Romeinse cijfersysteem zijn de knooppuntnummers 1, 5, 10, 50, 100, 500 en 1000, respectievelijk aangeduid met I, V, X, L, C, D, M.

Nummerstelsels verschillen in de keuze van knooppuntnummers en in de manier waarop algoritmische nummers worden gevormd. De volgende typen nummerstelsels kunnen worden onderscheiden:

1) unair systeem;
2) niet-positionele systemen;
3) positionele systemen.

Het eenvoudigste en oudste stelsel is het zogenaamde unaire getallenstelsel.. Het gebruikt slechts één symbool om getallen te schrijven - een stok, een knoop, een inkeping, een kiezelsteen. De lengte van een nummerrecord in deze codering is direct gerelateerd aan de waarde ervan, waardoor deze methode gerelateerd is aan de geometrische weergave van nummers in de vorm van segmenten. Het is het unaire systeem dat aan de basis ligt van rekenen, en het is het dat nog steeds eersteklassers introduceert in de wereld van tellen. Het unaire systeem wordt ook wel het tag-systeem genoemd.

Het getallenstelsel wordt niet-positioneel genoemd als het kwantitatieve equivalent (kwantitatieve waarde) van een cijfer in een getal niet afhangt van zijn positie in de notatie van het getal.

In de meeste niet-positionele nummerstelsels worden nummers gevormd door knooppuntnummers toe te voegen.

Voorbeeld 2. IN oude Egyptenaar nummerstelsel werden de nummers 1, 2, 3, 4, 10, 13, 40 respectievelijk als volgt aangeduid:

Dezelfde nummers erin Romeins Het nummerstelsel wordt als volgt aangeduid: I, II, III, IV, X, XIII, XL. Hier worden algoritmische getallen verkregen door knooppuntnummers op te tellen en af ​​te trekken, rekening houdend met de volgende regel: elk kleiner teken dat rechts van het grotere wordt geplaatst, wordt opgeteld bij zijn waarde, en elk kleiner teken dat links van het grotere wordt geplaatst, wordt ervan afgetrokken.

Het getallenstelsel wordt positioneel genoemd als het kwantitatieve equivalent van een cijfer afhangt van zijn positie (positie) in de notatie van het getal. De basis van een positiegetalsysteem is gelijk aan het aantal cijfers waaruit het alfabet bestaat.

Decimaal getalsysteem die we gewend zijn te gebruiken in het dagelijks leven, waarmee we al van kinds af aan kennen, waarin we al onze berekeningen uitvoeren - voorbeeld van een positioneel nummerstelsel. Het alfabet van het decimale stelsel bestaat uit de getallen O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Algoritmische getallen worden daarin als volgt gevormd: de waarden van de getallen worden vermenigvuldigd met de "gewichten" van de overeenkomstige cijfers en alle resulterende waarden worden opgeteld. Dit is duidelijk te zien in de cijfers van de Russische taal, bijvoorbeeld: " driehonderd vijf tien zeven».

Het grondtal van het positiegetalstelsel kan elk natuurlijk getal q > 1 zijn. Het alfabet van een willekeurig positiegetalsysteem met basis q is de getallen O, 1, ..., q-1, die elk kunnen worden geschreven met één uniek teken; het laagste cijfer is altijd O.

De belangrijkste voordelen van elk positiegetalsysteem zijn het gemak van het uitvoeren van rekenkundige bewerkingen en het beperkte aantal tekens dat nodig is om getallen te schrijven.

Hier:

A is een getal;




q i - "gewicht" van het i-de cijfer.

Het schrijven van een getal volgens formule (1) wordt een uitgebreide vorm van schrijven genoemd. De gevouwen vorm van het schrijven van een nummer is de weergave ervan in de vorm 1

Voorbeeld 3. Beschouw het decimale getal 14351.1. De gevouwen notatie is zo vertrouwd dat we niet opmerken hoe we in onze gedachten overschakelen naar een uitgebreide notatie, de cijfers van het getal vermenigvuldigen met de "gewichten" van de cijfers en de resulterende producten optellen:

1.1.2. Binair getallenstelsel

Het binaire getallenstelsel is een positioneel getallenstelsel met grondtal 2. Om getallen in het binaire getallenstelsel te schrijven, worden slechts twee cijfers gebruikt: 0 en 1.

Op basis van formule (1) voor gehele binaire getallen kunnen we schrijven:

Bijvoorbeeld:

Deze vorm van notatie "suggereert" de regel voor het omzetten van natuurlijke binaire getallen naar het decimale talstelsel: het is noodzakelijk om de som van de machten van twee te berekenen die overeenkomen met eenheden in de gevouwen vorm van het binaire getal.

Laten we de regel nemen voor het converteren van integer decimale getallen naar het binaire talstelsel van formule (1").

Delen door 2. Het quotiënt is , en de rest is een 0 .

Het resulterende quotiënt wordt opnieuw gedeeld door 2, de rest van de deling is gelijk aan 1.

Als we dit delingsproces voortzetten, krijgen we bij de n-de stap een reeks getallen:

die zijn opgenomen in de binaire weergave van het oorspronkelijke getal en samenvallen met de resten wanneer het achtereenvolgens wordt gedeeld door 2.

Dus om een ​​decimaal geheel getal om te zetten in een binair getalsysteem, is het noodzakelijk om dit getal en de resulterende gehele quotiënten achtereenvolgens door 2 te delen totdat we een quotiënt krijgen dat gelijk is aan nul. Het originele nummer in het binaire nummersysteem wordt samengesteld door sequentiële opname van de resulterende residuen, te beginnen met de laatste.

Voorbeeld 4. Laten we het decimale getal 11 converteren naar het binaire getallenstelsel. De hierboven beschouwde volgorde van acties (vertaalalgoritme) kan als volgt worden weergegeven:

Als we de restanten van de deling uitschrijven in de richting van de pijl, krijgen we: 11 10 = 1011 2 .

Voorbeeld 5. Als het decimale getal groot genoeg is, is de volgende manier om het bovenstaande algoritme te schrijven handiger:

363 10 = 101101011 2

1.1.3. Octaal getallenstelsel

Het octale talstelsel is een positioneel talstelsel met grondtal 8. Om getallen in het octale talstelsel te schrijven, worden de getallen gebruikt: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Op basis van formule (1) kunnen we voor een geheel octaal getal schrijven:

Bijvoorbeeld: 1063 8 = 1 8 3 + 0 8 2 + 6 8 1 + 3 8 0 = 563 10 .

Dus, om een ​​geheel octaal getal om te zetten in een decimaal getalsysteem, moet je naar de uitgebreide notatie gaan en de waarde van de resulterende uitdrukking berekenen.

Om een ​​decimaal geheel getal te vertalen naar een octaal getalsysteem, moet men dit getal en de resulterende gehele quotiënten opeenvolgend delen door 8 totdat we een quotiënt krijgen dat gelijk is aan nul. Het originele nummer in het nieuwe nummersysteem wordt samengesteld door opeenvolgende opname van de resulterende residuen, te beginnen met de laatste.

Voorbeeld 6. Laten we het decimale getal 103 omzetten naar het octale getalsysteem.

103 10 = 147 8

1.1.4. Hexadecimaal getallenstelsel

Basis: q = 16.

Alfabet: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Hier hebben slechts tien van de zestien cijfers de algemeen aanvaarde aanduiding 0, ..., 9. Om getallen te schrijven met decimale kwantitatieve equivalenten 10, 11, 12, 13, 14, 15, zijn de eerste vijf letters van het Latijnse alfabet gewoonlijk gebruikt.

Aldus de binnenkomst 3AF16 middelen:

Voorbeeld 7. Laten we het decimale getal 154 omzetten in een hexadecimaal getalsysteem.

154 10 = 9A 16

1.1.5. Regel voor het omzetten van gehele decimale getallen naar een getallenstelsel met grondtal q

Om een ​​geheel decimaal getal om te zetten in een getalstelsel met grondtal g, moet u:

1) deel achtereenvolgens het gegeven getal en de resulterende gehele quotiënten door de basis van het nieuwe getallenstelsel totdat we het quotiënt gelijk aan nul krijgen;
2) de resulterende resten, zijnde cijfers van een getal in het nieuwe cijferstelsel, brengen deze in overeenstemming met het alfabet van het nieuwe cijferstelsel;
3) maak een nummer in het nieuwe nummersysteem, schrijf het op, beginnend bij het laatst ontvangen saldo.

Laten we ons een correspondentietabel voorstellen van decimale, binaire, octale en hexadecimale getallen van 0 tot 20 10 .

De Unified Collection of Digital Educational Resources (http://sc.edu.ru/) bevat de interactieve animatie "Converting a Decimal Number to Another Number System" (135050). Met zijn hulp kunt u de vertaling observeren van een willekeurig geheel getal van 0 tot 512 in een positiegetalsysteem, waarvan de basis niet groter is dan 16.

In het virtuele laboratorium "Digitale Weegschalen" (135009) dat daar is gevestigd, kunt u een andere manier leren om hele decimale getallen in andere getalstelsels te vertalen - de methode van verschillen.

1.1.6. Binaire rekenkunde

Binaire rekenkunde is gebaseerd op het gebruik van de volgende optel- en vermenigvuldigtafels:

Voorbeeld 8. De binaire opteltabel is uiterst eenvoudig. Aangezien 1 + 1 = 10, blijft 0 in de minst significante bit en wordt 1 overgedragen naar de meest significante bit.

Voorbeeld 9. De bewerking van het vermenigvuldigen van binaire getallen wordt uitgevoerd volgens het gebruikelijke schema dat wordt gebruikt in het decimale talstelsel, met opeenvolgende vermenigvuldiging van de vermenigvuldiger met het volgende cijfer van de vermenigvuldiger.

In het binaire systeem wordt vermenigvuldiging dus gereduceerd tot verschuivingen van het vermenigvuldigtal en optellingen.

1.1.7. "Computer" nummerstelsels

In de computertechnologie wordt het binaire getallenstelsel gebruikt, wat een aantal voordelen biedt ten opzichte van andere getalstelsels:

Binaire getallen worden in een computer weergegeven met vrij eenvoudige technische elementen met twee stabiele toestanden;
weergave van informatie door middel van slechts twee toestanden is betrouwbaar en ruisbestendig;
binaire rekenkunde is de eenvoudigste;
er is een wiskundig apparaat dat zorgt voor logische transformaties van binaire gegevens.

De uitwisseling van informatie tussen computerapparaten wordt uitgevoerd door binaire codes over te dragen. Het is onhandig voor een persoon om dergelijke codes te gebruiken vanwege hun grote lengte en visuele uniformiteit. Daarom vervangen specialisten (programmeurs, ingenieurs) in sommige stadia van ontwikkeling, creatie en configuratie van computersystemen binaire codes door equivalente waarden in octale of hexadecimale nummersystemen. Als gevolg hiervan wordt de lengte van het oorspronkelijke woord met respectievelijk drie, vier keer verminderd. Dit maakt de informatie gemakkelijker te bekijken en te analyseren.

Met behulp van het hulpmiddel "Interactief opgavenboek, sectie "Getalstelsels"" (128659), te vinden in de Unified Collection of Digital Educational Resources, kunt u controleren hoe goed u de stof beheerst die in deze paragraaf is bestudeerd.

HET BELANGRIJKSTE

Het nummerstelsel is een tekensysteem waarin bepaalde regels voor het schrijven van getallen zijn overgenomen. De tekens waarmee getallen worden geschreven, worden cijfers genoemd en hun totaliteit wordt het alfabet van het getallenstelsel genoemd.

Het getallenstelsel wordt positioneel genoemd als het kwantitatieve equivalent van een cijfer afhangt van zijn positie (positie) in de notatie van het getal. De basis van een positiegetalsysteem is gelijk aan het aantal cijfers waaruit het alfabet bestaat.

Het grondtal van het positiegetalstelsel kan elk natuurlijk getal q > 1 zijn.

In een positiegetalstelsel met grondtal q kan elk getal worden weergegeven als:

Hier:

A is een getal;
q is de basis van het nummerstelsel;
a i - cijfers die behoren tot het alfabet van het gegeven nummerstelsel;
n is het aantal gehele cijfers van het getal;
m - het aantal gebroken cijfers van het nummer;
q i - "gewicht" van het i-de cijfer.

Vragen en taken

1. Maak uzelf vertrouwd met het presentatiemateriaal voor de paragraaf in het elektronische supplement bij het leerboek. Wat kun je zeggen over de presentatievormen van informatie in de presentatie en in het leerboek? Welke dia's zou je aan je presentatie willen toevoegen?

2. Vind meer informatie over unaire, positionele en niet-positionele nummerstelsels. Hoe verschillen ze? Geef voorbeelden.

3. De nummers van welke nummerstelsels in afb. 1.1?

4. Leg uit waarom positionele getalstelsels met basis 5, 10, 12 en 20 getalstelsels van anatomische oorsprong worden genoemd.

5. Hoe ga je van de samengevouwen vorm van het decimale getal naar de uitgevouwen vorm?

6. Noteer de getallen in uitgebreide vorm:

a) 143.511 10 ;
b) 143511 8 ;
c) 143511 16;
d) 1435,11 8

7. Bereken de decimale equivalenten van de volgende getallen:

a) 172 8 ;
b) 2EA 16;
c) 101010 2 ;
d) 10.12;
e) 243 6 .

8. Geef aan welke van de nummers 110011 2 , 111 4 , 35 8 en 1B 16 is:

a) de grootste;
b) de kleinste.

9. Wat is de minimale basis van het getallenstelsel als de getallen 123, 222, 111, 241 erin staan? Bepaal het decimale equivalent van deze getallen in het gevonden getallenstelsel.

10. Zijn de volgende gelijkheden waar?

a) 33 4 \u003d 21 7;
b) 33 8 = 21 4 .

11. Bepaal het grondtal x van het getallenstelsel als:

a) 14 x = 9 10;
b) 2002x. = 130 10 .

12. Converteer gehele getallen van decimaal naar binair:

een) 89;
b) 600;
c) 2010.

13. Converteer gehele getallen van decimaal naar octaal:

a) 513;
b) 600;
c) 2010.

14. Converteer gehele getallen van decimaal naar hexadecimaal:

a) 513;
b) 600;
c) 2010.

15. Vul de tabel in, waarbij in elke regel hetzelfde getal geschreven moet worden in talstelsels met grondtal 2, 8, 10 en 16.

– Igor (Beheerder)

In dit artikel vertel ik het je wat zijn getalstelsels, evenals wat ze zijn.

Elke dag gebruiken we verschillende getalstelsels, bijvoorbeeld decimaal. En als je meer weet van informatietechnologie, dan kan het ook niet anders dan binair, octaal en hexadecimaal zijn. Niet iedereen weet echter wat het is en of er nuances zijn. Daarom zal ik verder proberen alles in de schappen te leggen.

Notatie is een methode die de notatie van getallen bepaalt, evenals mogelijke wiskundige bewerkingen op deze getallen.

Overweeg een eenvoudig voorbeeld om het gemakkelijker te begrijpen. Stel dat er geen decimaal talstelsel is en dat u het aantal borden op tafel moet tellen. Ten eerste, om dit probleem op te lossen, heb je enkele richtlijnen nodig. 1 lucifer is bijvoorbeeld één bord en een doos is 10 borden. De tweede taak is het vermogen om op de een of andere manier met deze nummers te werken. Zodat je borden kunt toevoegen of verwijderen van de tafel en je zou ze kunnen tellen. Alles is hier bekend, een bord is toegevoegd - een lucifer is toegevoegd, het bord is weggenomen - de lucifer is verwijderd, er waren 10 lucifers, ze zijn vervangen door dozen.

Dit is een voorbeeld van een eenvoudig getallenstelsel, bestaande uit het schrijven van getallen (overeenkomsten, een vakje) en wiskundige bewerkingen (optellen, verwijderen).

De vraag hoe getallen bij te houden, wordt al lang door de mensheid geconfronteerd, dus er zijn hun gradaties ... En hier zijn er minstens 3 soorten:

1. Niet-positioneel nummersysteem- het oudste type systeem. Het houdt in dat elk cijfer in een getal niet afhankelijk is van zijn locatie (positie, cijfer). Het hierboven uitgevonden systeem is bijvoorbeeld niet-positioneel. Omdat je lucifers en dozen in elke gewenste volgorde kunt leggen (zelfs in een cirkel, zelfs schuin) en dit zal hun totale bedrag niet veranderen.

2. Positioneel nummerstelsel (homogeen)- dit systeem houdt in dat elk personage, gekoppeld aan zijn positie, logisch is. Bijvoorbeeld het ons bekende decimale stelsel. Daarin is de volgorde van het nummer belangrijk en beïnvloedt het nummer zelf. Dus 120 is niet gelijk aan 201, hoewel de cijfers zelf hetzelfde zijn. Tegelijkertijd is het belangrijk op te merken dat in positionele homogene systemen elke positie elk van de basiselementen van de calculus kan aannemen. Dat wil zeggen, als we het hebben over een binair systeem, dan kan de waarde in elk cijfer 0 of 1 zijn. Voor octaal - van 0 tot 7. En zo verder.

3. Gemengd nummerstelsel- zoals de naam al aangeeft, zijn dit verschillende variaties van systemen. Meestal zijn het gemodificeerde positieberekeningssystemen. Bijvoorbeeld een datum en tijd waarin er beperkingen zijn aan de volgorde van de getallen en hun mogelijke waarden.

Hoewel gradaties heel eenvoudig lijken, is het toch de moeite waard eraan te denken dat er tegenwoordig een groot aantal getalsystemen zijn die op verschillende gebieden worden gebruikt. Dit is cryptografie, en computers, en nog veel meer. Bovendien, als we hetzelfde voorbeeld over wedstrijden beschouwen, dan worden veel van dergelijke systemen in het dagelijks leven uitgevonden. Iedereen kan bijvoorbeeld op een eigenaardige manier bijhouden wat er gedaan en niet gedaan is (er is een gemeenschappelijke stapel cases, er is een stapel voltooide cases, een vel wordt van de ene naar de andere geschoven in willekeurige volgorde als het klaar is ).

Nu weet je wat nummerstelsels zijn, waarom ze nodig zijn en wat ze zijn.

Notatie is een manier om getallen te schrijven. Meestal worden getallen geschreven met speciale tekens - cijfers (hoewel niet altijd). Als je dit probleem nog nooit hebt bestudeerd, moet je in ieder geval op de hoogte zijn van twee cijferstelsels: Arabisch en Romeins. De eerste gebruikt de nummers 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 en is een positioneel nummersysteem. En in de tweede - I, V, X, L, C, D, M en dit is een niet-positioneel nummersysteem.

In positionele nummersystemen hangt het bedrag dat wordt aangegeven door een cijfer in een nummer af van de positie, maar in niet-positionele systemen niet. Bijvoorbeeld:

11 - hier staat de eerste eenheid voor tien en de tweede - 1.
II - hier duiden beide eenheden een eenheid aan.

345, 259, 521 - hier betekent het getal 5 in het eerste geval 5, in het tweede - 50 en in het derde - 500.

XXV, XVI, VII - hier, waar het getal V ook staat, geeft het overal vijf eenheden aan. Met andere woorden, de waarde aangegeven door V is onafhankelijk van zijn positie.

Optellen, vermenigvuldigen en andere wiskundige bewerkingen in positionele getalstelsels zijn gemakkelijker uit te voeren dan in niet-positionele getallenstelsels, omdat wiskundige bewerkingen worden uitgevoerd volgens eenvoudige algoritmen (bijvoorbeeld vermenigvuldiging in een kolom, vergelijking van twee getallen).

Positionele nummersystemen zijn de meest voorkomende ter wereld. Naast het decimale getal dat iedereen van kinds af aan kent (waarbij tien cijfers van 0 tot 9 worden gebruikt), worden talstelsels zoals binair (de cijfers 0 en 1 worden gebruikt), octaal en hexadecimaal veel gebruikt in de technologie.

Opgemerkt moet worden de belangrijke rol van nul. De "ontdekking" van deze figuur in de geschiedenis van de mensheid speelde een grote rol bij de vorming van positionele nummersystemen.

De basis van het nummersysteem is het aantal cijfers dat wordt gebruikt om cijfers te schrijven.

Het cijfer is de positie van het cijfer in het nummer. Nummercapaciteit - het aantal cijfers waaruit het nummer bestaat (264 is bijvoorbeeld een driecijferig nummer, 00010101 is een achtcijferig nummer). De cijfers zijn genummerd van rechts naar links (bijvoorbeeld in het getal 598, de acht bezet het eerste cijfer en de vijf bezet het derde).

In het positiegetalstelsel worden getallen dus zo geschreven dat elk volgend (van rechts naar links bewegend) bit groter is dan het andere met de graad van het grondtal van het getalstelsel. (een plan maken)

Een en hetzelfde getal (waarde) kan in verschillende getalstelsels worden weergegeven. De weergave van het getal is anders, maar de waarde blijft hetzelfde.

Binair getallenstelsel

Het binaire getallenstelsel gebruikt slechts twee cijfers 0 en 1. Met andere woorden, twee is de basis van het binaire getallenstelsel. (Evenzo heeft het decimale stelsel grondtal 10.)

Om getallen in het binaire getallenstelsel te leren begrijpen, moet u eerst eens kijken hoe getallen worden gevormd in het ons bekende decimale getallenstelsel.

In het decimale talstelsel hebben we tien cijfers (van 0 tot 9). Wanneer de telling 9 bereikt, wordt een nieuw cijfer (tientallen) ingevoerd, worden de eenheden teruggezet op nul en begint de telling opnieuw. Na 19 worden de tientallen met 1 verhoogd en worden de eenheden weer op nul gezet. Enzovoort. Wanneer de tientallen 9 bereiken, verschijnt het derde cijfer - honderden.

Het binaire getallenstelsel is vergelijkbaar met de decimale één, behalve dat er slechts twee cijfers betrokken zijn bij de vorming van het getal: 0 en 1. Zodra de bit zijn limiet bereikt (d.w.z. één), verschijnt er een nieuwe bit en de oude wordt gereset.

Laten we proberen te tellen in het binaire systeem:
0 is nul
1 is één (en dat is de ontladingslimiet)
10 is twee
11 is drie (en dat is weer de limiet)
100 is vier
101 - vijf
110 - zes
111 - zeven, enz.
Getallen omzetten van binair naar decimaal

Het is niet moeilijk om te zien dat in het binaire getallenstelsel de lengte van getallen snel toeneemt met toenemende waarden. Hoe te bepalen wat dit betekent: 10001001? Niet gewend aan deze vorm van het schrijven van getallen, kan het menselijk brein meestal niet begrijpen hoeveel het is. Het zou leuk zijn om binaire getallen om te zetten in decimalen.

In het decimale talstelsel kan elk getal worden weergegeven als een som van eenheden, tientallen, honderden, enz. Bijvoorbeeld:

1476 = 1000 + 400 + 70 + 6

1476 = 1 * 103 + 4 * 102 + 7 * 101 + 6 * 100

Kijk goed naar dit bericht. Hier zijn de getallen 1, 4, 7 en 6 een reeks getallen die samen het getal 1476 vormen. Al deze getallen worden afwisselend met tien vermenigvuldigd tot een graad of een andere. Tien is de basis van het decimale talstelsel. De macht waartoe een tien wordt verheven is het cijfer van het cijfer min één.

Elk binair getal kan op dezelfde manier worden ontleed. Alleen de basis hier zal 2 zijn:

10001001 = 1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0

1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 137

Die. het getal 10001001 in grondtal 2 is gelijk aan het getal 137 in grondtal 10. Je kunt het zo schrijven:

10001001 2 = 13710
Waarom is het binaire getallenstelsel zo gewoon?

Feit is dat het binaire getallenstelsel de taal is van computertechnologie. Elke figuur moet op de een of andere manier worden weergegeven op een fysiek medium. Als dit een decimaal systeem is, dan zul je zo'n apparaat moeten maken dat in tien toestanden kan zijn. Het is gecompliceerd. Het is gemakkelijker om een ​​fysiek element te maken dat slechts in twee toestanden kan zijn (er is bijvoorbeeld stroom of er is geen stroom). Dit is een van de belangrijkste redenen waarom het binaire systeem zoveel aandacht krijgt.
Conversie van decimaal naar binair

Mogelijk moet u een decimaal getal converteren naar een binair getal. Een manier is om te delen door twee en een binair getal te vormen uit de restanten. U moet bijvoorbeeld de binaire notatie van het getal 77 krijgen:

77 / 2 = 38 (1 rest)
38 / 2 = 19 (0 rest)
19 / 2 = 9 (1 rest)
9 / 2 = 4 (1 rest)
4 / 2 = 2 (0 rest)
2 / 2 = 1 (0 rest)
1/2 = 0 (1 rest)

We verzamelen de restanten samen, beginnend vanaf het einde: 1001101. Dit is het getal 77 in binaire weergave. Laten we het controleren:

1001101 = 1*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 77

Octaal getallenstelsel

Dus het moderne "ijzer begrijpt" alleen het binaire getallenstelsel. Het is echter moeilijk voor een persoon om aan de ene kant lange records van nullen en enen waar te nemen, en aan de andere kant converteert hij getallen van binair naar decimaal en vice versa, wat behoorlijk lang en arbeidsintensief is. Daarom gebruiken programmeurs vaak andere getalstelsels: octaal en hexadecimaal. Zowel 8 als 16 zijn machten van 2, en het omzetten van een binair getal naar hen (evenals het uitvoeren van de omgekeerde bewerking) is heel eenvoudig.

Het octale talstelsel gebruikt acht cijfers (van 0 tot 7). Elk cijfer komt overeen met een reeks van drie cijfers in het binaire systeem:

000 - 0
001 - 1
010 - 2
011 - 3
100 - 4
101 - 5
110 - 6
111 - 7

Om een ​​binair getal in een octaal getal om te zetten, volstaat het om het in drievouden op te splitsen en ze te vervangen door de overeenkomstige cijfers uit het octale getallenstelsel. U moet vanaf het einde beginnen met splitsen in drietallen en de ontbrekende getallen aan het begin vervangen door nullen. Bijvoorbeeld:

1011101 = 1 011 101 = 001 011 101 = 1 3 5 = 135

Dat wil zeggen, het getal 1011101 in het binaire talstelsel is gelijk aan het getal 135 in het octale talstelsel. Of 1011101 2 = 1358.

Omgekeerde vertaling. Stel dat u het getal 1008 (vergis u niet, 100 in octaal is niet 100 in decimaal getal) wilt converteren naar het binaire getallenstelsel.

100 8 = 1 0 0 = 001 000 000 = 001000000 = 10000002

Het omzetten van een octaal getal naar een decimaal getal kan volgens het reeds bekende schema:

6728 = 6 * 8 2 + 7 * 8 1 + 2 * 8 0 = 6 * 64 + 56 + 2 = 384 + 56 + 2 = 44210
1008 = 1 * 8 2 + 0 * 8 1 + 0 * 8 0 = 6410

Hexadecimaal getallenstelsel

Het hexadecimale getallenstelsel wordt, net als het octale, veel gebruikt in de informatica vanwege het gemak waarmee binaire getallen erin kunnen worden omgezet. Met hexadecimale notatie zijn getallen compacter.

Het hexadecimale getallenstelsel gebruikt getallen van 0 tot 9 en de eerste zes Latijnse letters - A (10), B (11), C (12), D (13), E (14), F (15).

Bij het converteren van een binair getal naar hexadecimaal, wordt het eerste getal verdeeld in groepen van vier cijfers, beginnend vanaf het einde. Als het aantal cijfers niet volledig wordt gedeeld, worden de eerste vier opgeteld met nullen ervoor. Elke vier komt overeen met een hexadecimaal getal:

Bijvoorbeeld:
10001100101 = 0100 1100 0101 = 4C5 = 4C5

Indien nodig kan het getal 4C5 als volgt worden geconverteerd naar het decimale talstelsel (C moet worden vervangen door het getal dat overeenkomt met dit teken in het decimale talstelsel - dit is 12):

4C5 = 4 * 162 + 12 * 161 + 5 * 160 = 4 * 256 + 192 + 5 = 1221

Het maximale tweecijferige getal dat kan worden verkregen met behulp van hexadecimale notatie is FF.

VV = 15 * 161 + 15 * 160 = 240 + 15 = 255

255 is de maximale waarde van één byte, gelijk aan 8 bits: 1111 1111 = FF. Daarom is het met behulp van het hexadecimale nummersysteem erg handig om kort (met twee cijfers-cijfers) de waarden van bytes op te schrijven. Aandacht! Een 8-bits byte kan 256 toestanden hebben, maar de maximale waarde is 255. Vergeet 0 niet - dit is slechts de 256e toestand

Basisconcepten van nummerstelsels

Het nummersysteem is een set regels en technieken voor het schrijven van getallen met behulp van een set digitale tekens. Het aantal cijfers dat nodig is om een ​​nummer in het systeem te schrijven, wordt het grondtal van het nummersysteem genoemd. De basis van het systeem staat rechts van het nummer in het subscript: ; ; enz.

Er zijn twee soorten nummerstelsels:

positioneel, wanneer de waarde van elk cijfer van een getal wordt bepaald door zijn positie in de notatie van het getal;

niet-positioneel, wanneer de waarde van een cijfer in een getal niet afhangt van zijn plaats in de notatie van het getal.

Een voorbeeld van een niet-positief getallenstelsel is het Romeinse: de getallen IX, IV, XV, enz. Een voorbeeld van een positioneel getalsysteem is het decimale systeem dat elke dag wordt gebruikt.

Elk geheel getal in het positionele systeem kan worden geschreven als een polynoom:

waarbij S het grondtal is van het getallenstelsel;

Cijfers van een nummer geschreven in een bepaald nummersysteem;

n is het aantal cijfers van het getal.

Voorbeeld. Nummer wordt als volgt in polynoomvorm geschreven:

Soorten nummerstelsels

Het Romeinse cijfersysteem is een niet-positioneel systeem. Het gebruikt letters van het Latijnse alfabet om getallen te schrijven. In dit geval betekent de letter I altijd één, de letter V betekent vijf, X betekent tien, L betekent vijftig, C betekent honderd, D betekent vijfhonderd, M betekent duizend, enz. Het getal 264 wordt bijvoorbeeld geschreven als CCLXIV. Bij het schrijven van getallen in het Romeinse cijfersysteem is de waarde van een getal de algebraïsche som van de cijfers die erin zijn opgenomen. In dit geval volgen de cijfers in de cijferinvoer in de regel in aflopende volgorde van hun waarden en is het niet toegestaan ​​om meer dan drie identieke cijfers naast elkaar te schrijven. In het geval dat een cijfer met een grotere waarde wordt gevolgd door een cijfer met een kleinere waarde, is de bijdrage aan de waarde van het getal als geheel negatief. Typische voorbeelden ter illustratie van de algemene regels voor het schrijven van getallen in het Romeinse cijfersysteem worden in de tabel weergegeven.

Tabel 2. Cijfers schrijven in het Romeinse cijfersysteem

		III
	VII	VIII
	XIII	XVIII	XIX	XXII
XXXIV	XXXIX			XXIX
200	438	649	999	1207
	CDXXXVIII	DCXLIX	CMXCIX	MCCVII
2045	3555	3678	3900	3999
MMXLV	MMMDLV	MMMDCLXXVIII	MMMCM	MMMCMXCIX

Het nadeel van het Romeinse systeem is het ontbreken van formele regels voor het schrijven van getallen en dienovereenkomstig rekenkundige bewerkingen met meercijferige getallen. Vanwege het ongemak en de grote complexiteit wordt het Romeinse cijfersysteem momenteel gebruikt waar het echt handig is: in de literatuur (hoofdstuknummering), in papierwerk (een reeks paspoorten, waardepapieren, enz.), Voor decoratieve doeleinden op de wijzerplaat en in een aantal andere gevallen.

Het decimale talstelsel is momenteel het meest bekende en gebruikte. De uitvinding van het decimale getallenstelsel is een van de belangrijkste verwezenlijkingen van het menselijk denken. Zonder dat zou moderne technologie nauwelijks kunnen bestaan, laat staan ​​ontstaan. De reden waarom het decimale talstelsel algemeen aanvaard is geworden, is helemaal niet wiskundig. Mensen zijn gewend om in decimale notatie te tellen omdat ze 10 vingers aan hun handen hebben.

Het oude beeld van decimale cijfers (Fig. 1) is niet toevallig: elk cijfer geeft een getal aan door het aantal hoeken erin. Bijvoorbeeld 0 - geen hoeken, 1 - één hoek, 2 - twee hoeken, etc. De spelling van decimale cijfers heeft aanzienlijke veranderingen ondergaan. De vorm die we gebruiken is ontstaan ​​in de 16e eeuw.

Het decimale systeem verscheen voor het eerst in India rond de 6e eeuw na Christus. Indiase nummering gebruikte negen numerieke tekens en een nul om een ​​lege positie aan te geven. In de vroege Indiase manuscripten die tot ons zijn gekomen, werden de nummers in omgekeerde volgorde geschreven - de meest significante figuur werd aan de rechterkant geplaatst. Maar al snel werd het regel om zo'n figuur aan de linkerkant te plaatsen. Bijzonder belang werd gehecht aan het nulsymbool, dat werd geïntroduceerd voor de positionele notatie. Indiase nummering, inclusief nul, is tot onze tijd gekomen. In Europa raakten hindoeïstische methoden van decimale rekenkunde wijdverspreid aan het begin van de 13e eeuw. dankzij het werk van de Italiaanse wiskundige Leonardo van Pisa (Fibonacci). De Europeanen leenden het Indiase getallenstelsel van de Arabieren en noemden het Arabisch. Deze historisch incorrecte naam wordt tot op de dag van vandaag behouden.

Het decimale systeem gebruikt tien cijfers - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9, evenals de symbolen "+" en "-" om het teken van het getal aan te geven en een komma of periode om de gehele en gebroken deelnummers te scheiden.

Computers gebruiken een binair getalsysteem, de basis is het getal 2. Om getallen in dit systeem te schrijven, worden slechts twee cijfers gebruikt - 0 en 1. In tegenstelling tot een algemene misvatting, is het binaire getalsysteem niet uitgevonden door computerontwerpers, maar door wiskundigen en filosofen lang voor de komst van computers, in de zeventiende en negentiende eeuw. De eerste gepubliceerde bespreking van het binaire getallenstelsel is van de Spaanse priester Juan Caramuel Lobkowitz (1670). Algemene aandacht voor dit systeem werd getrokken door het artikel van de Duitse wiskundige Gottfried Wilhelm Leibniz, gepubliceerd in 1703. Het verklaarde de binaire bewerkingen van optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Leibniz raadde het gebruik van dit systeem voor praktische berekeningen niet aan, maar benadrukte het belang ervan voor theoretisch onderzoek. Na verloop van tijd wordt het binaire getallenstelsel bekend en ontwikkelt het zich.

De keuze voor een binair systeem voor gebruik in computertechnologie wordt verklaard door het feit dat elektronische elementen - triggers waaruit computermicroschakelingen bestaan, slechts in twee werkende toestanden kunnen zijn.

Met behulp van een binair coderingssysteem kunnen alle gegevens en kennis worden vastgelegd. Dit is gemakkelijk te begrijpen als u zich het principe herinnert van het coderen en verzenden van informatie met behulp van morsecode. Een telegrafist die slechts twee tekens van dit alfabet gebruikt - punten en streepjes - kan bijna elke tekst verzenden.

Het binaire systeem is handig voor een computer, maar onhandig voor een mens: de getallen zijn lang en moeilijk op te schrijven en te onthouden. Natuurlijk kun je het getal omzetten in het decimale stelsel en het in deze vorm opschrijven, en dan, als je het nodig hebt, het terugvertalen, maar al deze vertalingen zijn tijdrovend. Daarom worden getallenstelsels gebruikt die gerelateerd zijn aan binair - octaal en hexadecimaal. Om getallen in deze systemen te schrijven, zijn respectievelijk 8 en 16 cijfers vereist. In hexadecimaal zijn de eerste 10 cijfers gebruikelijk en daarna worden Latijnse hoofdletters gebruikt. Hexadecimaal cijfer A komt overeen met decimaal 10, hexadecimaal B met decimaal 11, enz. Het gebruik van deze systemen wordt verklaard door het feit dat de overgang naar het schrijven van een getal in elk van deze systemen vanuit de binaire notatie heel eenvoudig is. Hieronder vindt u een correspondentietabel tussen nummers die in verschillende systemen zijn geschreven.

Tabel 3. Overeenkomst van nummers geschreven in verschillende nummerstelsels

Decimale	Binair	octaal	Hexadecimaal
	001
	010
	011
	100
	101
	110
	111
	1000
	1001
	1010
	1011
	1100
	1101		D http://viagrasstore.net/generic-viagra-soft/
	1110
	1111
	10000

Regels voor het omzetten van getallen van het ene naar het andere getalstelsel

Het omzetten van getallen van het ene naar het andere getalsysteem is een belangrijk onderdeel van machinaal rekenen. Overweeg de basisregels van vertalen.

1. Om een ​​binair getal om te zetten in een decimaal getal, is het noodzakelijk om het te schrijven als een polynoom bestaande uit de producten van de cijfers van het getal en de overeenkomstige macht van het getal 2, en te berekenen volgens de regels van decimale rekenkunde:

Bij het vertalen is het handig om de machtentabel van twee te gebruiken:

Tabel 4. Machten van 2

n (graad)
											1024

Voorbeeld. Converteer het getal naar het decimale talstelsel.

2. Om een ​​octaal getal in een decimaal getal te vertalen, is het noodzakelijk om het te schrijven als een polynoom bestaande uit de producten van de cijfers van het getal en de overeenkomstige macht van het getal 8, en te berekenen volgens de regels van decimale rekenkunde:

Bij het vertalen is het handig om de tabel met machten van acht te gebruiken:

Tabel 5. Machten van 8

n (graad)

Engels: Wikipedia maakt de site veiliger. U gebruikt een oude webbrowser die in de toekomst geen verbinding meer kan maken met Wikipedia. Werk uw apparaat bij of neem contact op met uw IT-beheerder.

中文: 维基百科正在使网站更加安全.设备或联络您的IT管理员。以下提供更长，更具技术性的更新（仅英语）。

Spaans: Wikipedia heeft zijn positie in de meeste gevallen. Gebruikt u een web-navigator die geen verbinding kan maken met Wikipedia in de toekomst. Actualice su dispositivo of contacte a su administrator informático. Er is een grotere actualisering en meer techniek in het Engels.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Frans: Wikipedia kan de veiligheid van de site vergroten. U maakt gebruik van een oude navigatie op het web, maar u kunt ook een verbinding maken met Wikipedia Lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil of de contactpersoon van uw administrateur informatique à cette fin. Des aanvullende informatie plus technieken en Engels zijn niet beschikbaar.

日本語: .供しています。

Duits: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Als je een andere webbrowser gebruikt, kun je niet meer op Wikipedia werken. Bitte actualisiere dein Gerät of sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in English Sprache.

Italiaans: Wikipedia laat zien hoe het zit. Stai usando een browserweb kan niet worden gebruikt in de toekomst van Wikipedia in de toekomst. Voor uw voorkeur kunt u contact opnemen met uw informaticabeheerder. Più in basso è beschikbaar een aggiornamento più dettagliato en techniek in het Engels.

Magyaars: Biztonságosabb lesz een Wikipedia. In ieder geval, met de használsz, geen lesz képes kapcsolódni a jövőben. De moderne tijd heeft een vagius probleem veroorzaakt en een probleem veroorzaakt. Alább olvashatod en reszletesebb magyarázatot (angolul).

Zweden: Wikipedia verwijst naar meer informatie. Er zijn veel websites die veel interesse hebben in Wikipedia en framtiden. Update uw account of contact met uw IT-beheerder. Het is een Finse taal en meer technische kennis van de Engelse taal.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

We verwijderen de ondersteuning voor onveilige TLS-protocolversies, met name TLSv1.0 en TLSv1.1, waarvan uw browsersoftware afhankelijk is om verbinding te maken met onze sites. Dit wordt meestal veroorzaakt door verouderde browsers of oudere Android-smartphones. Of het kan interferentie zijn van zakelijke of persoonlijke "Web Security" -software, die de verbindingsbeveiliging in feite verlaagt.

U moet uw webbrowser upgraden of dit probleem op een andere manier oplossen om toegang te krijgen tot onze sites. Dit bericht blijft staan ​​tot 1 januari 2020. Na die datum kan uw browser geen verbinding meer maken met onze servers.