Күш формулаларыкүрделі өрнектерді азайту және ықшамдау процесінде, теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуде қолданылады.
Сан вболып табылады n-санның дәрежесі аҚашан:
Дәрежелері бар амалдар.
1. Негіздері бірдей дәрежелерді көбейткенде олардың көрсеткіштері қосылады:
а мa n = a m + n .
2. Негіздері бірдей дәрежелерді бөлу кезінде олардың көрсеткіштері шегеріледі:
3. 2 немесе одан да көп факторлардың көбейтіндісінің дәрежесі осы факторлардың дәрежелерінің көбейтіндісіне тең:
(abc…) n = a n b n c n…
4. Бөлшектің дәрежесі дивиденд пен бөлгіштің дәрежелерінің қатынасына тең:
(a/b) n = a n / b n .
5. Дәрежені дәрежеге көтергенде, дәрежелер көбейтіледі:
(am) n = a m n .
Жоғарыдағы әрбір формула солдан оңға және керісінше бағытта дұрыс.
Мысалы. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.
Түбірлермен операциялар.
1. Бірнеше факторлардың туындысының түбірі осы факторлардың түбірлерінің көбейтіндісіне тең:
2. Қатынас түбірі дивиденд пен түбірлердің бөлгішінің қатынасына тең:
3. Түбірді дәрежеге көтергенде, түбір санын осы дәрежеге көтеру жеткілікті:
4. Түбірдің дәрежесін арттырсақ nбір рет және бір уақытта дейін көтеріңіз n th дәреже түбір сан болса, онда түбірдің мәні өзгермейді:
5. Түбірдің дәрежесін төмендетсек nбір мезгілде тамыр nрадикалды саннан ші дәрежелі болса, түбірдің мәні өзгермейді:
Теріс көрсеткішті дәреже.Оң емес (бүтін) дәреже көрсеткіші бар санның дәрежесі оң емес көрсеткіштің абсолютті мәніне тең дәрежелі көрсеткіші бар сол санның дәрежесіне бөлінетін дәреже ретінде анықталады:
Формула а м:a n = a m - nүшін ғана емес қолдануға болады м> n, бірақ сонымен бірге м< n.
Мысалы. а4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.
Формулаға а м:a n = a m - nәділетті болды m=n, сізге нөлдік дәреженің болуы қажет.
Нөл көрсеткіші бар дәреже.Кез келген нөлдік көрсеткіші нөлдік емес санның дәрежесі бірге тең.
Мысалы. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Бөлшек көрсеткіші бар дәреже.Нақты санды көтеру үшін Адәрежеге дейін м/н, түбірін шығарып алу керек nші дәрежесі мосы санның дәрежесі А.
Қашансан өзін-өзі көбейтеді өзіңе қарай, жұмысшақырды дәрежесі.
Сонымен 2,2 = 4, квадрат немесе 2-нің екінші дәрежесі
2.2.2 = 8, текше немесе үшінші дәреже.
2.2.2.2 = 16, төртінші дәреже.
Сондай-ақ, 10,10 = 100, екінші дәреже - 10.
10.10.10 = 1000, үшінші дәрежелі.
10.10.10.10 = 10000 төртінші дәреже.
Ал a.a = aa, a-ның екінші дәрежесі
a.a.a = aaa, a-ның үшінші дәрежесі
a.a.a.a = aaaa, a-ның төртінші дәрежесі
Бастапқы нөмір шақырылады тамырсол санның дәрежелері, өйткені бұл дәрежелер жасалған сан.
Дегенмен, әсіресе жоғары өкілеттіктер жағдайында өкілеттіктерді құрайтын барлық факторларды жазу өте ыңғайлы емес. Сондықтан қысқартылған белгілеу әдісі қолданылады. Дәреженің түбірі бір рет қана жазылады, ал оң жағына және оның жанынан сәл жоғарырақ, бірақ сәл кішірек шрифтпен неше рет жазылады. түбір фактор ретінде әрекет етеді. Бұл сан немесе әріп шақырылады көрсеткішнемесе дәрежесісандар. Сонымен, 2 a.a немесе aa-ға тең, өйткені a-ның түбірін екі есе көбейту керек, aa дәрежесін алу үшін. Сондай-ақ, 3 aaa дегенді білдіреді, яғни мұнда а қайталанады Үш реткөбейткіш ретінде.
Бірінші дәреженің көрсеткіші 1-ге тең, бірақ ол әдетте жазылмайды. Сонымен, 1 a ретінде жазылады.
Сіз дәрежелерді шатастырмауыңыз керек коэффициенттер. Коэффицент мәннің қаншалықты жиі қабылданатынын көрсетеді Бөлімтұтас. Көрсеткіш мәннің қаншалықты жиі қабылданатынын көрсетеді факторжұмыста.
Сонымен, 4a = a + a + a + a. Бірақ 4 = a.a.a.a
Көрсеткіштік белгілердің өрнектеуге мүмкіндік беретін ерекше артықшылығы бар белгісіздәрежесі. Ол үшін санның орнына дәреже көрсеткіші жазылады хат. Мәселені шешу барысында біз білетіндей мәнді ала аламыз кейбірбасқа шаманың дәрежесі. Бірақ әзірге оның шаршы, текше немесе басқа, жоғары дәрежелі екенін білмейміз. Сонымен, a x өрнегіндегі көрсеткіш бұл өрнектің бар екенін білдіреді кейбірдәрежесі анықталмағанымен қандай дәрежеде. Сонымен, b m және d n m және n дәрежелеріне көтеріледі. Көрсеткіш табылғанда, саныәріппен ауыстырылады. Сонымен, егер m=3 болса, онда b m = b 3 ; бірақ m = 5 болса, b m =b 5.
Көрсеткіштермен мәндерді жазу әдісі де пайдалану кезінде үлкен артықшылық болып табылады өрнектер. Сонымен, (a + b + d) 3 - (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), яғни үшмүшенің кубы (a + b + d) . Бірақ бұл өрнекті текшеден кейін жазсақ, ол келесідей болады
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3 .
Көрсеткіштері 1-ге өсетін немесе кемітетін дәрежелердің қатарын алсақ, көбейтіндінің келесіге өсетінін табамыз. ортақ факторнемесе азаяды ортақ бөлгіш, және бұл көбейткіш немесе бөлгіш дәрежеге көтерілетін бастапқы сан болып табылады.
Сонымен, аааа, аааа, ааа, аа, а қатарында;
немесе 5, а 4, а 3, а 2, а 1;
көрсеткіштер, егер оңнан солға қарай есептелсе, 1, 2, 3, 4, 5; және олардың мәндерінің арасындағы айырмашылық 1. Егер біз бастасақ оң жақта көбейту a бойынша біз бірнеше мәндерді сәтті аламыз.
Сонымен a.a = a 2 , екінші мүшесі. Ал 3 .a = a 4
a 2 .a = a 3 , үшінші мүше. a 4 .a = a 5 .
бастасақ сол бөлуүстінде,
біз 5:a = a 4 және 3:a = a 2 аламыз.
a 4:a = a 3 a 2:a = a 1
Бірақ мұндай бөлу процесін одан әрі жалғастыруға болады және біз құндылықтардың жаңа жиынтығын аламыз.
Сонымен, a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.
Толық қатар: ааааа, аааа, ааа, аа, а, 1, 1/а, 1/аа, 1/ааа болады.
Немесе a 5 , a 4 , a 3 , a 2 , a, 1, 1/a, 1/a 2 , 1/a 3 .
Мұнда құндылықтар оң жақтабірліктен керімәндер біреудің сол жағында. Сондықтан бұл дәрежелерді атауға болады кері қуаттара. Сол жақтағы күштер оң жақтағы күштерге кері күштер деп те айтуға болады.
Сонымен, 1:(1/а) = 1.(a/1) = a. Және 1:(1/a 3) = a 3 .
Дәл осындай жазу жоспарын қолдануға болады көпмүшелер. Сонымен, a + b үшін жиынды аламыз,
(a + b) 3 , (a + b) 2 , (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b) 2 , 1/(a + b) 3 .
Ыңғайлы болу үшін кері қуаттарды жазудың басқа түрі қолданылады.
Бұл пішінге сәйкес 1/a немесе 1/a 1 = a -1 . Және 1/aaa немесе 1/a 3 = a -3 .
1/aa немесе 1/a 2 = a -2 . 1/aaaa немесе 1/a 4 = a -4 .
Көрсеткіштерді толық айырым ретінде 1 болатын толық қатар жасау үшін, a/a немесе 1 дәрежесі жоқ және 0 ретінде жазылады.
Содан кейін тікелей және кері қуаттарды ескере отырып
aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa орнына
4 , 3 , 2 , 1 , 0 , а -1 , а -2 , а -3 , а -4 деп жазуға болады .
Немесе a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
Ал жеке алынған дәрежелер қатары келесідей болады:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.
Дәреженің түбірі бірнеше әріппен көрсетілуі мүмкін.
Сонымен, aa.aa немесе (aa) 2 - aa-ның екінші дәрежесі.
Ал aa.aa.aa немесе (aa) 3 - aa-ның үшінші дәрежесі.
1 санының барлық дәрежелері бірдей: 1.1 немесе 1.1.1. 1-ге тең болады.
Көрсеткіш дегеніміз кез келген санның мәнін сол санды өзіне көбейту арқылы табу. Дәрежені көбейту ережесі:
Санның дәрежесінде көрсетілген мәнді өзіне қанша рет көбейтіңіз.
Бұл ереже дәрежеге шығару процесінде туындауы мүмкін барлық мысалдарға ортақ. Бірақ оның нақты жағдайларға қалай қолданылатынын түсіндіру дұрыс болады.
Егер бір ғана мүше дәрежеге көтерілсе, онда ол көрсеткіш көрсеткіші қанша рет болса, сонша есе көбейтіледі.
Төртінші a дәрежесі 4 немесе аааа. (195-бап.)
y санының алтыншы дәрежесі у 6 немесе жжжжж.
х-тің n-ші дәрежесі х n немесе ххх..... n рет қайталанады.
Бірнеше терминнің өрнегін дәрежеге көтеру қажет болса, бұл принцип бірнеше факторлардың көбейтіндісінің дәрежесі бір дәрежеге көтерілген осы факторлардың көбейтіндісіне тең.
Сонымен (ay) 2 =a 2 y 2 ; (ай) 2 = ай.ай.
Бірақ ай.ай = aay = aayy = a 2 y 2 .
Сонымен, (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3 .
Демек, өнімнің дәрежесін табуда біз бір уақытта бүкіл өнімге әрекет ете аламыз немесе әр факторға бөлек әрекет ете аламыз, содан кейін олардың мәндерін градусқа көбейтеміз.
Мысал 1. dhy төртінші дәрежесі (dhy) 4 , немесе d 4 h 4 y 4 .
Мысал 2. 4b санының үшінші дәрежесі (4b) 3 , немесе 4 3 b 3 , немесе 64b 3 .
Мысал 3. 6ad санының n-ші дәрежесі (6ad) n немесе 6 n a n d n.
Мысал 4. 3м.2у-дың үшінші дәрежесі (3м.2у) 3 , немесе 27м. 3 .8у 3 .
+ және - арқылы байланысқан мүшелерден тұратын биномның дәрежесі оның мүшелерін көбейту арқылы есептеледі. Иә,
(a + b) 1 = a + b, бірінші дәреже.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2 , екінші дәреже (a + b).
(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, үшінші дәреже.
(a + b) 4 \u003d a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4, төртінші дәреже.
a - b квадраты, 2 - 2ab + b 2 бар.
a + b + h квадраты - a 2 + 2ab + 2ah + b 2 + 2bh + h 2
1-жаттығу. a + 2d + 3 текшесін табыңыз
2-жаттығу. Төртінші дәреже b+2 табыңыз.
3-жаттығу. х + 1-нің бесінші дәрежесін табыңыз.
4-жаттығу. Алтыншы дәрежені табыңыз 1 - б.
Қосынды квадраттары сомаларЖәне айырмашылықбиномдардың алгебрада жиі кездесетіні сонша, оларды өте жақсы білу қажет.
Егер a + h өзіне, немесе a - h өздігінен көбейтсек,
мынаны аламыз: (a + h)(a + h) = a 2 + 2ah + h 2, (a - h)(a - h) = a 2 - 2ah + h 2 .
Бұл әрбір жағдайда бірінші және соңғы мүшелері a және h санының квадраттары, ал ортаңғы мүшесі a мен h санының екі есе көбейтіндісі екенін көрсетеді. Демек, биномдардың қосындысы мен айырмасының квадратын келесі ережені пайдаланып табуға болады.
Екеуі де оң болатын биномның квадраты бірінші мүшесінің квадратына + екі мүшесінің екі есе көбейтіндісіне, + соңғы мүшесінің квадратына тең.
Шаршы айырмашылықбином бірінші мүшесінің квадратына екі мүшенің екі есе көбейтіндісін алып тастап, екінші мүшенің квадратына тең.
Мысал 1. Шаршы 2a + b, 4a 2 + 4ab + b 2 бар.
2-мысал. ab + cd квадраты a 2 b 2 + 2abcd + c 2 d 2 болады.
3-мысал. 3d - h квадраты 9d 2 + 6dh + h 2.
4-мысал. a - 1 квадраты 2 - 2a + 1 болады.
Биномдардың жоғары дәрежелерін табу әдісін келесі бөлімдерден қараңыз.
Көп жағдайда жазу тиімді дәрежесікөбейту жоқ.
Сонымен, a + b квадраты (a + b) 2 болады.
n-ші дәреже bc + 8 + x (bc + 8 + x) n
Мұндай жағдайларда жақшалар жабады Барлықдәрежедегі мүшелер.
Бірақ егер дәреженің түбірі бірнешеден тұрса көбейткіштер, жақшалар бүкіл өрнекті қамтуы мүмкін немесе ыңғайлылыққа байланысты факторларға бөлек қолданылуы мүмкін.
Сонымен, (a + b)(c + d) квадраты не [(a + b).(c + d)] 2 немесе (a + b) 2 .(c + d) 2 болады.
Осы өрнектердің біріншісі үшін нәтиже екі көбейткіштің көбейтіндісінің квадраты, ал екіншісі үшін олардың квадраттарының көбейтіндісі болып табылады. Бірақ олар бір-біріне тең.
a.(b + d) текшесі 3 , немесе a 3 .(b + d) 3 .
Қатысушы мүшелердің алдындағы белгіні де ескеру қажет. Күштің түбірі оң болса, оның барлық оң күштері де оң болатынын есте сақтау өте маңызды. Бірақ түбір теріс болған кезде, мәндер тақкүштер теріс, ал мәндер тіптідәрежелері оң.
Екінші дәреже (- a) +a 2
Үшінші дәреже (-а) -а 3
Төртінші дәреже (-a) +a 4
Бесінші дәреже (-а) -а 5
Демек, кез келген тақкөрсеткіштің санмен бірдей таңбасы болады. Бірақ тіптісанның теріс немесе оң таңбасының болуына қарамастан, дәреже оң болады.
Сонымен, +a.+a = +a 2
ЖӘНЕ -a.-a = +a 2
Дәрежеге дейін көтерілген мән дәрежелерді көбейту арқылы қайтадан дәрежеге көтеріледі.
2-нің үшінші дәрежесі 2,3 = a 6.
a 2 = aa үшін; текше aa - aa.aa.aa = aaaaa = a 6; бұл а-ның алтыншы дәрежесі, бірақ 2-нің үшінші дәрежесі.
Төртінші дәреже a 3 b 2 - a 3,4 b 2,4 = a 12 b 8
4a 2 x-тің үшінші дәрежесі 64a 6 x 3.
(a + b) 2 санының бесінші дәрежесі (a + b) 10 .
3 санының N-ші дәрежесі 3n
(x - y) m санының n-ші дәрежесі (x - y) mn
(a 3 .b 3) 2 = a 6 .b 6
(a 3 b 2 h 4) 3 = a 9 b 6 h 12
Ереже мыналарға бірдей қолданылады терісградус.
Мысал 1. a -2 санының үшінші дәрежесі -3,3 =a -6 .
a -2 = 1/aa үшін, және осының үшінші дәрежесі
(1/аа).(1/аа).(1/аа) = 1/аааааа = 1/а 6 = а -6
Төртінші қуат a 2 b -3 - 8 b -12 немесе 8 / b 12.
b 3 x -1 квадраты b 6 x -2 болады.
n-ші дәреже ax -m - x -mn немесе 1/x .
Алайда, бұл жерде есте сақтау керек, егер белгі алдыңғыдәрежесі «-», содан кейін дәреже жұп сан болған кезде оны «+» мәніне өзгерту керек.
Мысал 1. -a 3 квадраты +a 6 . -a 3-тің квадраты -a 3 .-a 3 , ол көбейту белгілерінің ережесі бойынша +a 6 .
2. Бірақ -a 3 кубы -a 9 . -a 3 .-a 3 .-a 3 = -a 9 үшін.
3. -a 3 санының N-ші дәрежесі 3n .
Мұнда нәтиже n жұп немесе тақ болуына байланысты оң немесе теріс болуы мүмкін.
Егер бөлшекдәрежеге көтерілсе, алым мен бөлгіш дәрежеге көтеріледі.
a/b квадраты - a 2 /b 2 . Бөлшектерді көбейту ережесіне сәйкес,
(a/b)(a/b) = aa/bb = a 2 b 2
1/a-ның екінші, үшінші және n-ші дәрежелері 1/a 2 , 1/a 3 және 1/a n .
Мысалдар биномдармұндағы мүшелердің бірі бөлшек.
1. x + 1/2 және x - 1/2 квадратын табыңыз.
(x + 1/2) 2 = x 2 + 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 + x + 1/4
(x - 1/2) 2 = x 2 - 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 - x + 1/4
2. a + 2/3 квадраты 2 + 4a/3 + 4/9.
3. Шаршы x + b/2 = x 2 + bx + b 2/4.
4 x - b/m квадраты x 2 - 2bx/m + b 2 /m 2.
Бұрын бұл көрсетілді бөлшек коэффициентіалымнан бөлгішке немесе азайғыштан алымға жылжытуға болады. Кері дәрежелерді жазу сызбасын пайдаланып, оны көруге болады кез келген көбейткішжылжытуға да болады дәрежесінің белгісі өзгерсе.
Сонымен, ax -2 /y бөлігінде х-ті алымнан бөлгішке жылжытуға болады.
Сонда ax -2 /y = (a/y).x -2 = (a/y).(1/x 2 = a/yx 2 .
a/by 3 бөлігінде у-ді бөлгіштен алымға жылжытуға болады.
Сонда a/by 2 = (a/b).(1/y 3) = (a/b).y -3 = ay -3 /b.
Сол сияқты, оң көрсеткіші бар көбейткішті алымға немесе теріс көрсеткіші бар көбейткішті азайтқышқа жылжыта аламыз.
Сонымен, ax 3 / b = a / bx -3 . x 3 үшін кері x -3 , ол x 3 = 1/x -3 .
Сондықтан кез келген бөлшектің бөлімін толығымен алып тастауға болады немесе өрнектің мағынасын өзгертпестен алымын біреуге келтіруге болады.
Сонымен, a/b = 1/ba -1 , немесе ab -1 .
Сегізінші дәрежеге мән бермесек, мұнда нені көріп отырмыз? 7-сынып бағдарламасына назар аударайық. Сонымен, есіңізде ме? Бұл қысқартылған көбейту формуласы, атап айтқанда квадраттардың айырмасы! Біз алып жатырмыз:
Біз бөлгішке мұқият қараймыз. Бұл сандық факторлардың біріне ұқсайды, бірақ не дұрыс емес? Терминдердің қате реті. Егер олар ауыстырылса, ереже қолданылуы мүмкін.
Бірақ мұны қалай жасауға болады? Бұл өте оңай екені белгілі болды: бұл жерде бөлгіштің біркелкі дәрежесі көмектеседі.
Терминдер сиқырлы түрде орындарын ауыстырды. Бұл «құбылыс» кез келген өрнекке бірдей дәрежеде қатысты: біз жақшадағы белгілерді еркін өзгерте аламыз.
Бірақ есте сақтау маңызды: барлық белгілер бір уақытта өзгереді!
Мысалға қайта оралайық:
Және тағы да формула:
тұтаснатурал сандарды, олардың қарама-қарсы сандарын (яғни «» белгісімен алынған) және санды атаймыз.
оң бүтін сан, және бұл табиғидан еш айырмашылығы жоқ, сонда бәрі алдыңғы бөлімдегідей болады.
Енді жаңа істерді қарастырайық. тең көрсеткіштен бастайық.
Кез келген санның нөлдік дәрежесі бірге тең:
Әдеттегідей, біз өзімізге сұрақ қоямыз: неге бұлай?
Негізмен біраз қуатты қарастырыңыз. Мысалы, алайық және көбейтіңіз:
Сонымен, біз санды көбейттік және ол - сияқты болды. Ештеңе өзгермеуі үшін қандай санға көбейту керек? Дәл солай. білдіреді.
Біз ерікті санмен де солай істей аламыз:
Ережені қайталайық:
Кез келген санның нөлдік дәрежесі бірге тең.
Бірақ көптеген ережелерден ерекшеліктер бар. Міне, ол да бар - бұл сан (негіз ретінде).
Бір жағынан, ол кез келген дәрежеге тең болуы керек – нөлді өзіне қанша көбейтсең де, бәрібір нөл шығады, бұл түсінікті. Бірақ екінші жағынан, нөлдік дәрежеге дейінгі кез келген сан сияқты, ол тең болуы керек. Сонымен, мұның шындығы қандай? Математиктер араласпауға шешім қабылдады және нөлді нөлдік дәрежеге көтеруден бас тартты. Яғни, қазір біз нөлге бөліп қана қоймай, оны нөлдік дәрежеге дейін көтере аламыз.
Әрі қарай жүрейік. Натурал сандар мен сандардан басқа бүтін сандар теріс сандарды қамтиды. Теріс дәреженің не екенін түсіну үшін соңғы ретпен бірдей әрекет етейік: кейбір қалыпты санды теріс дәрежеде бірдей көбейтеміз:
Осы жерден қалағаныңызды білдіру оңай:
Енді алынған ережені еркін дәрежеге дейін кеңейтеміз:
Ендеше, ережені құрастырайық:
Теріс дәрежелі сан – сол санның оң дәрежесіне кері сан. Бірақ негіз нөл болуы мүмкін емес:(өйткені бөлуге болмайды).
Жинақтау:
I. Өрнек жағдайда анықталмайды. Егер, онда.
II. Кез келген санның нөлдік дәрежесі біреуге тең: .
III. Теріс дәрежеге нөлге тең емес сан оң дәрежеге бірдей санға кері сан болады: .
Тәуелсіз шешуге арналған тапсырмалар:
Әдеттегідей, тәуелсіз шешімнің мысалдары:
Өз бетінше шешу үшін тапсырмаларды талдау:
Білемін, білемін, сандар қорқынышты, бірақ емтиханда сіз бәріне дайын болуыңыз керек! Осы мысалдарды шешіңіз немесе егер сіз оны шеше алмасаңыз, олардың шешімін талдаңыз және емтиханда олармен оңай күресуді үйренесіз!
Көрсеткіш ретінде «қолайлы» сандар шеңберін кеңейтуді жалғастырайық.
Енді ойланыңыз рационал сандар.Қандай сандар рационал деп аталады?
Жауап: бөлшек түрінде беруге болатынның бәрі, мұндағы және бүтін сандар.
Не екенін түсіну үшін «бөлшек дәреже»Бөлшекті қарастырайық:
Теңдеудің екі жағын да дәрежеге көтерейік:
Енді ережені еске түсіріңіз «дәрежеге дейін»:
Алу үшін қандай санды көбейту керек?
Бұл тұжырым – ші дәрежелі түбірдің анықтамасы.
Еске сала кетейін: санның () дәрежесінің түбірі дәрежеге көтерілгенде тең болатын сан.
Яғни, ші дәреженің түбірі дәрежеге шығарудың кері операциясы: .
Солай екен. Әлбетте, бұл ерекше жағдайды ұзартуға болады: .
Енді санды қосыңыз: бұл не? Жауапты қуат-қуат ережесімен алу оңай:
Бірақ негіз кез келген сан болуы мүмкін бе? Өйткені, түбірді барлық сандардан шығару мүмкін емес.
Ешбір!
Ережені есте сақтаңыз: жұп дәрежеге көтерілген кез келген сан оң сан болады. Яғни, теріс сандардан жұп дәрежелі түбірлерді шығару мүмкін емес!
Ал бұл мұндай сандарды жұп бөлімі бар бөлшек дәрежесіне көтеруге болмайтынын білдіреді, яғни өрнек мағынасы жоқ.
Ал өрнек туралы не деуге болады?
Бірақ бұл жерде мәселе туындайды.
Санды басқа, қысқартылған бөлшек түрінде көрсетуге болады, мысалы, немесе.
Ал ол бар, бірақ жоқ екені белгілі болды және бұл бір санның екі түрлі жазбасы ғана.
Немесе басқа мысал: бір рет, содан кейін оны жазуға болады. Бірақ индикаторды басқаша жазғанда, біз қайтадан қиындыққа тап боламыз: (яғни, біз мүлдем басқа нәтиже алдық!).
Мұндай парадокстарды болдырмау үшін қарастырыңыз бөлшек көрсеткіші бар тек оң базалық көрсеткіш.
Сонымен, егер:
- - натурал сан;
- - бүтін сан;
Мысалдар:
Рационал көрсеткішті дәрежелер түбірлері бар өрнектерді түрлендіру үшін өте пайдалы, мысалы:
5 тәжірибелік мысал
Тренингке 5 мысалды талдау
1. Дәрежелердің әдеттегі қасиеттері туралы ұмытпаңыз:
2. . Бұл жерде біз дәрежелер кестесін үйренуді ұмытып кеткенімізді еске түсіреміз:
ақыр соңында - бұл немесе. Шешім автоматты түрде табылады: .
Ал, қазір - ең қиын. Енді талдаймыз иррационал көрсеткіші бар дәреже.
Мұндағы дәрежелердің барлық ережелері мен қасиеттері рационал көрсеткіші бар дәрежелермен бірдей.
Шынында да, анықтамасы бойынша иррационал сандар бөлшек түрінде ұсынылмайтын сандар, мұндағы және бүтін сандар (яғни иррационал сандар рационал сандардан басқа барлық нақты сандар).
Табиғи, бүтін және ұтымды көрсеткіші бар дәрежелерді оқығанда, біз әр уақытта белгілі бір «бейне», «аналогия» немесе көбірек таныс терминдермен сипаттама жасаймыз.
Мысалы, натурал көрсеткіш дегеніміз өзіне бірнеше есе көбейтілген сан;
...нөлдік қуат- бұл, бір рет өзіне көбейтілген сан, яғни ол әлі көбейтіле бастаған жоқ, бұл санның өзі әлі пайда болған жоқ дегенді білдіреді - сондықтан нәтиже тек белгілі бір «бос сан» болып табылады. , атап айтқанда саны;
...теріс бүтін көрсеткіш- бұл белгілі бір «кері процесс» орын алған сияқты, яғни сан өздігінен көбейтілмейді, бірақ бөлінген.
Айтпақшы, ғылымда күрделі көрсеткіші бар дәреже жиі қолданылады, яғни көрсеткіш тіпті нақты сан да емес.
Бірақ мектепте біз мұндай қиындықтар туралы ойламаймыз, сіз институтта бұл жаңа ұғымдарды түсінуге мүмкіндік аласыз.
СІЗДІҢ ҚАЙДА БАРАТЫНЫЗҒА СЕНІМДІМІЗ! (мұндай мысалдарды шешуді үйренсеңіз :))
Мысалы:
Өзіңіз шешіңіз:
Шешімдерді талдау:
1. Дипломды дәрежеге көтерудің әдеттегі ережесінен бастайық:
Енді ұпайға қараңыз. Ол сізге бірдеңені еске түсіре ме? Квадраттардың айырмасын қысқартылған көбейту формуласын еске түсіреміз:
Бұл жағдайда,
Анықталғандай:
Жауап: .
2. Көрсеткіштердегі бөлшектерді бірдей пішінге келтіреміз: не ондық немесе екеуі де жай. Біз, мысалы:
Жауабы: 16
3. Ерекше ештеңе жоқ, біз дәрежелердің әдеттегі қасиеттерін қолданамыз:
АРТТЫҚ ДЕҢГЕЙ
Дәреженің анықтамасы
Дәреже пішіннің өрнегі: , мұндағы:
- — дәреже базасы;
- - көрсеткіш.
Натурал көрсеткішті дәреже (n = 1, 2, 3,...)
Санды n натурал дәрежесіне көтеру санды өзіне есе көбейтуді білдіреді:
Бүтін көрсеткішті қуат (0, ±1, ±2,...)
Көрсеткіш болса оң бүтін сансаны:
эрекция нөлдік қуатқа:
Өрнек белгісіз, өйткені, бір жағынан, кез келген дәрежеде бұл, ал екінші жағынан, кез келген ші дәрежелі сан осы.
Көрсеткіш болса бүтін теріссаны:
(өйткені бөлуге болмайды).
Нөлдер туралы тағы бір рет: өрнек жағдайда анықталмаған. Егер, онда.
Мысалдар:
Рационал көрсеткішті дәреже
- - натурал сан;
- - бүтін сан;
Мысалдар:
Дәреженің қасиеттері
Есептерді шешуді жеңілдету үшін түсінуге тырысайық: бұл қасиеттер қайдан пайда болды? Оларды дәлелдеп көрейік.
Көрейік: бұл не және?
А- приорит:
Сонымен, осы өрнектің оң жағында келесі өнім алынады:
Бірақ анықтамасы бойынша бұл көрсеткіші бар санның дәрежесі, яғни:
Q.E.D.
Мысал : Өрнекті жеңілдету.
Шешім : .
Мысал : Өрнекті жеңілдету.
Шешім : Біздің ережеде атап өту маңызды Міндетті түрденегізі бірдей болуы керек. Сондықтан біз дәрежелерді негізбен біріктіреміз, бірақ бөлек фактор болып қала береміз:
Тағы бір маңызды ескерту: бұл ереже - тек билік өнімдері үшін!
Ешбір жағдайда мен оны жазбауым керек.
Алдыңғы қасиет сияқты, дәреженің анықтамасына көшейік:
Оны келесідей ретке келтірейік:
Көрсетілгендей, өрнек өзіне бір рет көбейтіледі, яғни анықтама бойынша бұл санның --ші дәрежесі:
Шын мәнінде, мұны «индикаторды жақшаға алу» деп атауға болады. Бірақ сіз мұны ешқашан жасай алмайсыз:!
Қысқартылған көбейту формулаларын еске түсірейік: біз неше рет жазғымыз келді? Бірақ бұл шын емес.
Теріс негізі бар қуат.
Осы уақытқа дейін біз тек не болуы керек екенін талқыладық индексдәрежесі. Бірақ негіз не болуы керек? бастап градуспен табиғи көрсеткіш негізі болуы мүмкін кез келген сан .
Шынында да, біз кез келген санды бір-біріне көбейте аламыз, олар оң, теріс немесе жұп. Қандай белгілерде («» немесе «») оң және теріс сандардың дәрежелері болады деп ойланайық?
Мысалы, сан оң немесе теріс болады ма? А? ?
Біріншісінде бәрі түсінікті: біз бір-бірімізге қанша оң сандарды көбейтсек те, нәтиже оң болады.
Бірақ теріс жақтары сәл қызықтырақ. Өйткені, біз 6-сыныптағы қарапайым ережені еске аламыз: «минусты көбейту минус плюс береді». Яғни, немесе. Бірақ () көбейтсек, - аламыз.
Және т.б. ad infinitum: әрбір келесі көбейту кезінде белгі өзгереді. Сіз мына қарапайым ережелерді тұжырымдай аласыз:
- тіптідәрежесі, - саны оң.
- Теріс сан көтерілді тақдәрежесі, - саны теріс.
- Кез келген дәрежеге оң сан оң сан болады.
- Кез келген дәрежедегі нөл нөлге тең.
Мына өрнектерде қандай белгі болатынын өзіңіз анықтаңыз:
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
Сіз басқардыңыз ба? Міне, жауаптар:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
Алғашқы төрт мысалда бәрі түсінікті деп үміттенемін? Біз жай ғана негізге және көрсеткішке қарап, сәйкес ережені қолданамыз.
5-мысалда) бәрі де соншалықты қорқынышты емес: базаның қандай болатыны маңызды емес - дәреже біркелкі, яғни нәтиже әрқашан оң болады. Негізі нөлге тең болғаннан басқа. База бірдей емес, солай емес пе? Әлбетте, жоқ, өйткені (өйткені).
6-мысал бұдан былай қарапайым емес. Мұнда қайсысы аз екенін анықтау керек: немесе? Егер сіз есіңізде болса, бұл анық болады, бұл базаның нөлден аз екенін білдіреді. Яғни, 2-ережені қолданамыз: нәтиже теріс болады.
Біз тағы да дәреже анықтамасын қолданамыз:
Барлығы әдеттегідей - біз дәрежелердің анықтамасын жазып, оларды бір-біріне бөлеміз, жұптарға бөлеміз және аламыз:
Соңғы ережені талдамас бұрын, бірнеше мысалды шешейік.
Өрнектер мәндерін есептеңіз:
Шешімдер :
Сегізінші дәрежеге мән бермесек, мұнда нені көріп отырмыз? 7-сынып бағдарламасына назар аударайық. Сонымен, есіңізде ме? Бұл қысқартылған көбейту формуласы, атап айтқанда квадраттардың айырмасы!
Біз алып жатырмыз:
Біз бөлгішке мұқият қараймыз. Бұл сандық факторлардың біріне ұқсайды, бірақ не дұрыс емес? Терминдердің қате реті. Егер олар кері қайтарылса, 3-ереже қолданылуы мүмкін.Бірақ мұны қалай жасауға болады? Бұл өте оңай екені белгілі болды: бұл жерде бөлгіштің біркелкі дәрежесі көмектеседі.
Егер сіз оны көбейтсеңіз, ештеңе өзгермейді, солай емес пе? Бірақ қазір ол келесідей көрінеді:
Терминдер сиқырлы түрде орындарын ауыстырды. Бұл «құбылыс» кез келген өрнекке бірдей дәрежеде қатысты: біз жақшадағы белгілерді еркін өзгерте аламыз. Бірақ есте сақтау маңызды: барлық белгілер бір уақытта өзгереді!Оны бізге тек бір жағымсыз минус өзгерту арқылы ауыстыруға болмайды!
Мысалға қайта оралайық:
Және тағы да формула:
Енді соңғы ереже:
Оны қалай дәлелдейміз? Әрине, әдеттегідей: дәреже ұғымын кеңейтіп, жеңілдетейік:
Ал, енді жақшаларды ашайық. Қанша әріп болады? есе көбейткіштер бойынша – ол неге ұқсайды? Бұл операцияның анықтамасынан басқа ештеңе емес көбейту: барлығы көбейткіштер болып шықты. Яғни, анықтамасы бойынша, көрсеткіші бар санның дәрежесі:
Мысалы:
Иррационал көрсеткішті дәреже
Орташа деңгейге арналған дәрежелер туралы ақпаратқа қосымша, біз иррационал көрсеткішпен дәрежені талдаймыз. Мұндағы дәрежелердің барлық ережелері мен қасиеттері рационал көрсеткіші бар дәрежеге дәл сәйкес келеді, оны қоспағанда - анықтамасы бойынша иррационал сандар бөлшек түрінде ұсынылмайтын сандар, мұндағы және бүтін сандар (яғни , иррационал сандар рационал сандардан басқа барлық нақты сандар).
Табиғи, бүтін және ұтымды көрсеткіші бар дәрежелерді оқығанда, біз әр уақытта белгілі бір «бейне», «аналогия» немесе көбірек таныс терминдермен сипаттама жасаймыз. Мысалы, натурал көрсеткіш дегеніміз өзіне бірнеше есе көбейтілген сан; нөлдік дәрежеге дейінгі сан - бұл өзіне бір рет көбейтілген сан, яғни ол әлі көбейтіле бастаған жоқ, бұл санның өзі әлі пайда болған жоқ дегенді білдіреді - демек, нәтиже тек белгілі бір «санды дайындау», атап айтқанда сан; бүтін теріс көрсеткіші бар дәреже - бұл белгілі бір «кері процесс» орын алған сияқты, яғни сан өздігінен көбейтілмейді, бірақ бөлінген.
Иррационал көрсеткіші бар дәрежені елестету өте қиын (4 өлшемді кеңістікті елестету қиын сияқты). Керісінше, бұл математиктер дәреже ұғымын сандар кеңістігіне дейін кеңейту үшін жасаған таза математикалық нысан.
Айтпақшы, ғылымда күрделі көрсеткіші бар дәреже жиі қолданылады, яғни көрсеткіш тіпті нақты сан да емес. Бірақ мектепте біз мұндай қиындықтар туралы ойламаймыз, сіз институтта бұл жаңа ұғымдарды түсінуге мүмкіндік аласыз.
Сонымен иррационал көрсеткішті көрсек не істейміз? Біз одан құтылуға тырысамыз! :)
Мысалы:
Өзіңіз шешіңіз:
| 1) | 2) | 3) |
Жауаптары:
- Квадраттардың айырмашылығы формуласын есте сақтаңыз. Жауап: .
- Бөлшектерді бір пішінге келтіреміз: не ондықты да, не қарапайым екеуін де. Біз аламыз, мысалы: .
- Ерекше ештеңе жоқ, біз дәрежелердің әдеттегі қасиеттерін қолданамыз:
БӨЛІМДІ ҚОРЫТЫНДЫ ЖӘНЕ НЕГІЗГІ ФОРМУЛА
Дәрежетүрінің өрнегі деп аталады: , мұндағы:
Бүтін көрсеткішті дәреже
дәрежесі, оның көрсеткіші натурал сан (яғни бүтін және оң).
Рационал көрсеткішті дәреже
дәрежесі, оның көрсеткіші теріс және бөлшек сандар.
Иррационал көрсеткішті дәреже
көрсеткіші шексіз ондық бөлшек немесе түбір болатын дәреже.
Дәреженің қасиеттері
Дәрежелердің ерекшеліктері.
- Теріс сан көтерілді тіптідәрежесі, - саны оң.
- Теріс сан көтерілді тақдәрежесі, - саны теріс.
- Кез келген дәрежеге оң сан оң сан болады.
- Нөл кез келген қуатқа тең.
- Кез келген санның нөлдік дәрежесі тең болады.
ЕНДІ СІЗДЕ СӨЗ БАР...
Сізге мақала қалай ұнады? Сізге ұнады ма, жоқ па, төмендегі түсініктемелерде маған хабарлаңыз.
Қуат қасиеттерімен тәжірибеңіз туралы айтып беріңіз.
Мүмкін сұрақтарыңыз бар шығар. Немесе ұсыныстар.
Түсініктемелерде жазыңыз.
Ал емтихандарыңызға сәттілік!
көбейту арқылы табуға болады. Мысалы: 5+5+5+5+5+5=5х6. Олар мұндай өрнек туралы тең мүшелердің қосындысы көбейтіндіге бүктелгенін айтады. Және керісінше, егер бұл теңдікті оңнан солға қарай оқысақ, тең мүшелердің қосындысын кеңейткенімізді аламыз. Сол сияқты бірнеше тең көбейткіштердің көбейтіндісін 5x5x5x5x5x5=5 6 бүктеуге болады.
Яғни, 5х5х5х5х5х5 бірдей алты көбейткіштерді көбейтудің орнына 5 6 деп жазып, «бестен алтыншы дәреже» дейді.
5 6 өрнегі санның дәрежесі, мұндағы:
5 - дәреже базасы;
6 - көрсеткіш.
Бірдей көбейткіштердің көбейтіндісін дәрежеге бүктейтін операциялар деп аталады дәрежеге шығару.
Жалпы алғанда, негізі «a» және көрсеткіші «n» болатын дәреже ретінде жазылады
a санын n-дің дәрежесіне көтеру, әрқайсысы а-ға тең n көбейтіндісін табуды білдіреді.
Егер «а» дәрежесінің негізі 1 болса, онда кез келген табиғи n үшін дәреженің мәні 1-ге тең болады. Мысалы, 1 5 \u003d 1, 1 256 \u003d 1
Егер сіз «а» санын көтерсеңіз, дейін көтеріңіз бірінші дәрежелі, онда біз а санының өзін аламыз: a 1 = a
Егер сіз кез келген нөмірді көтерсеңіз нөлдік дәреже, содан кейін есептеулер нәтижесінде біз біреуін аламыз. a 0 = 1
Санның екінші және үшінші дәрежелері ерекше деп саналады. Олар үшін атаулар ойлап тапты: екінші дәреже деп аталады санның квадраты, үшінші - текшебұл сан.
Кез келген санды дәрежеге көтеруге болады - оң, теріс немесе нөл. Дегенмен, келесі ережелер қолданылмайды:
Оң санның дәрежесін тапқанда оң сан шығады.
Нөлді заттай есептегенде біз нөлді аламыз.
x м х n = x m + n
мысалы: 7 1,7 7 - 0,9 = 7 1,7+(- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8
Кімге Дәрежелерді бірдей негізге бөлубіз негізді өзгертпейміз, бірақ дәрежелерді шегереміз:
x м / x n \u003d x m - n , Қайда, m > n
мысалы: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6
Есептеу кезінде дәрежеге шығаруБіз негізді өзгертпейміз, бірақ дәрежелерді бір-біріне көбейтеміз.
(м )n = y м n
мысалы: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6
(X · у) п = x n · м ,
мысалы: (2 3) 3 = 2 n 3 м ,
үшін есептеулерді орындау кезінде бөлшекті дәрежеге шығарубөлшектің алымы мен бөлімін берілген дәрежеге көтереміз
(x/y)n = x n / ж н
мысалы: (2/5) 3 = (2/5) (2/5) (2/5) = 2 3/5 3 .
Құрамында дәрежесі бар өрнектермен жұмыс істеу кезіндегі есептеулерді орындау реттілігі.
Жақшасыз, бірақ дәрежелері бар өрнектерді есептеу кезінде ең алдымен дәрежеге шығару, одан кейін көбейту және бөлу амалдары, содан кейін ғана қосу және азайту амалдары орындалады.
Құрамында жақша бар өрнекті бағалау қажет болса, алдымен жоғарыда көрсетілген ретпен жақшадағы есептеулерді, содан кейін солдан оңға қарай қалған әрекеттерді сол ретпен орындаймыз.
Практикалық есептеулерде өте кең таралған, есептеулерді жеңілдету үшін дәрежелердің дайын кестелері қолданылады.
Жалпы санның дәрежесі қандай екенін анықтадық. Енді біз оны қалай дұрыс есептеу керектігін түсінуіміз керек, яғни. сандарды қуатқа көтеру. Бұл материалда біз бүтін, натурал, бөлшек, рационал және иррационал көрсеткішті жағдайда дәрежені есептеудің негізгі ережелерін талдаймыз. Барлық анықтамалар мысалдармен суреттелетін болады.
Көрсеткіштер туралы түсінік
Негізгі анықтамаларды тұжырымдаудан бастайық.
Анықтама 1
Экспоненциалдаукейбір санның дәрежесінің мәнін есептеу болып табылады.
Яғни, «дәреженің құнын есептеу» және «көрсеткіш» сөздері бір мағынаны білдіреді. Сонымен, егер тапсырма «0 , 5 санын бесінші дәрежеге дейін көтеру» болса, бұл «дәреженің мәнін есептеңіз (0 , 5) 5 .
Енді біз мұндай есептеулерде сақталуы керек негізгі ережелерді береміз.
Натурал көрсеткішті санның дәрежесі қандай болатынын еске түсірейік. Негізі a және көрсеткіші n болатын дәреже үшін бұл әрқайсысы а-ға тең болатын n-ші көбейткіштер санының көбейтіндісі болады. Мұны былай жазуға болады:
Дәреженің мәнін есептеу үшін көбейту операциясын орындау керек, яғни дәреженің негіздерін көрсетілген санға көбейту керек. Табиғи көрсеткіші бар дәреже ұғымының өзі тез көбейту қабілетіне негізделген. Мысалдар келтірейік.
1-мысал
Шарты: - 2-ні 4-тің дәрежесіне дейін көтеру.
Шешім
Жоғарыдағы анықтаманы пайдаланып, жазамыз: (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) . Әрі қарай, біз осы қадамдарды орындап, 16 алуымыз керек.
Күрделі мысалды алайық.
2-мысал
3 2 7 2 мәнін есептеңіз
Шешім
Бұл жазбаны 3 2 7 · 3 2 7 ретінде қайта жазуға болады. Бұрын біз шартта айтылған аралас сандарды қалай дұрыс көбейту керектігін қарастырдық.
Мына қадамдарды орындап, жауапты алыңыз: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49
Егер тапсырма иррационал сандарды натурал дәрежеге көтеру қажеттілігін көрсетсе, алдымен олардың негіздерін қажетті дәлдіктің жауабын алуға мүмкіндік беретін цифрға дейін дөңгелектеуіміз керек. Мысал келтірейік.
3-мысал
π санының квадратурасын орындаңдар.
Шешім
Алдымен оны жүздікке дейін дөңгелектеп алайық. Сонда π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Егер π ≈ 3 болса. 14159, сонда біз дәлірек нәтиже аламыз: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.
Іс жүзінде иррационал сандардың дәрежесін есептеу қажеттілігі салыстырмалы түрде сирек туындайтынын ескеріңіз. Содан кейін жауапты қуаттың өзі (ln 6) 3 деп жаза аламыз немесе мүмкін болса түрлендіруге болады: 5 7 = 125 5 .
Санның бірінші дәрежесі қандай болатынын бөлек көрсету керек. Мұнда сіз бірінші дәрежеге көтерілген кез келген санның өзі қалатынын есте сақтай аласыз:
Бұл жазбадан анық көрінеді. 
.
Бұл дәреженің негізіне байланысты емес.
4-мысал
Сонымен, (− 9) 1 = − 9 , ал бірінші дәрежеге көтерілген 7 3 7 3 тең болып қалады.
Ыңғайлы болу үшін біз үш жағдайды бөлек талдаймыз: егер көрсеткіш оң бүтін болса, нөл болса және теріс бүтін болса.
Бірінші жағдайда, бұл натурал дәрежеге көтерумен бірдей: ақыр соңында натурал сандар жиынына натурал сандар жатады. Мұндай дәрежелермен қалай жұмыс істеу керектігін жоғарыда сипаттадық.
Енді нөлдік қуатқа қалай дұрыс көтеру керектігін көрейік. Нөлге тең емес базамен бұл есептеу әрқашан 1 нәтижесін береді. Біз бұрын а-ның 0-ші дәрежесін 0-ге тең емес кез келген нақты сан және 0 = 1 үшін анықтауға болатынын түсіндірдік.
5-мысал
5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1
0 0 - анықталмаған.
Бізге тек теріс бүтін көрсеткіші бар дәреженің жағдайы ғана қалды. Мұндай дәрежелерді 1 a z бөлімі ретінде жазуға болатынын, мұндағы a - кез келген сан, ал z - теріс бүтін сан екенін біз жоғарыда айттық. Біз бұл бөлшектің бөлгіші натурал санға ие қарапайым дәрежеден басқа ештеңе емес екенін көреміз және біз оны қалай есептеу керектігін үйрендік. Тапсырмаларға мысалдар келтірейік.
6-мысал
2-ні -3 қуатқа дейін көтеріңіз.
Шешім
Жоғарыдағы анықтаманы пайдаланып, жазамыз: 2 - 3 = 1 2 3
Біз бұл бөлшектің бөлгішін есептеп, 8 аламыз: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.
Сонда жауап: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8
7-мысал
1, 43-ті -2 қуатқа дейін көтеріңіз.
Шешім
Қайта тұжырымдау: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2
Квадратты бөлгіште есептейміз: 1,43 1,43. Ондық бөлшектерді келесі жолмен көбейтуге болады: 
Нәтижесінде (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2 , 0449 алдық. Бұл нәтижені жай бөлшек түрінде жазу бізге қалды, ол үшін оны 10 мыңға көбейту керек (бөлшектерді түрлендіру туралы материалды қараңыз).
Жауабы: (1, 43) - 2 = 10000 20449
Бөлек жағдай санды минус бірінші дәрежесіне дейін көтеру болып табылады. Мұндай дәреженің мәні негіздің бастапқы мәніне қарама-қарсы санға тең: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.
8-мысал
Мысалы: 3 − 1 = 1 / 3
9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .
Санды бөлшек дәрежесіне қалай шығаруға болады
Мұндай операцияны орындау үшін бөлшек көрсеткіші бар дәреженің негізгі анықтамасын еске түсіру керек: кез келген оң a, бүтін m және натурал n үшін a m n \u003d a m n.
Анықтама 2
Осылайша, бөлшек дәрежені есептеу екі қадамда орындалуы керек: бүтін дәрежеге көтеру және n-ші дәреженің түбірін табу.
Бізде a m n = a m n теңдігі бар, ол түбірлердің қасиеттерін ескере отырып, әдетте a m n = a n m түріндегі есептерді шешу үшін қолданылады. Бұл дегеніміз, егер а санын m/n бөлшек дәрежесіне көтерсек, онда алдымен а-дан n-ші дәрежелі түбірді шығарамыз, содан кейін нәтижені m бүтін көрсеткіші бар дәрежеге көтереміз.
Мысалмен түсіндірейік.
9-мысал
8 - 2 3 санын есептеңіз.
Шешім
1-әдіс. Негізгі анықтамаға сәйкес, біз оны келесідей көрсетуге болады: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3
Енді түбір астындағы дәрежені есептеп, нәтижеден үшінші түбірді шығарайық: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4
2-әдіс. Негізгі теңдікті түрлендірейік: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2
Осыдан кейін 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 түбірін шығарып, нәтиженің квадратын аламыз: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4
Біз шешімдердің бірдей екенін көреміз. Сіз өзіңізге ұнайтын кез келген жолмен пайдалана аласыз.
Дәреженің аралас сан немесе ондық бөлшек түрінде көрсетілген көрсеткіші болатын жағдайлар бар. Есептеуді жеңілдету үшін оны жай бөлшекпен ауыстырып, жоғарыда көрсетілгендей санаған дұрыс.
10-мысал
44,89-ды 2,5-ке дейін көтеріңіз.
Шешім
Көрсеткіштің мәнін жай бөлшекке айналдырайық: 44 , 89 2 , 5 = 44 , 89 5 2 .
Ал енді жоғарыда көрсетілген барлық әрекеттерді ретімен орындаймыз: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 2 5 = 67 10 5 = 10101 13 501, 25107
Жауабы: 13501, 25107.
Бөлшек көрсеткіштің алымы мен бөлгішінде үлкен сандар болса, онда мұндай дәрежелерді рационал дәрежелі дәрежелермен есептеу өте қиын жұмыс. Ол әдетте компьютерлік технологияны қажет етеді.
Біз нөлдік негізі және бөлшек көрсеткіші бар дәрежеге бөлек тоқталамыз. 0 m n түріндегі өрнекке мынадай мағына беруге болады: егер m n > 0 болса, онда 0 m n = 0 m n = 0 ; егер m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .
Санды иррационал дәрежеге қалай көтеруге болады
Көрсеткішінде иррационал сан болатын дәреженің мәнін есептеу қажеттілігі жиі туындамайды. Тәжірибеде тапсырма әдетте шамамен алынған мәнді есептеумен шектеледі (ондық белгінің белгілі санына дейін). Бұл әдетте мұндай есептеулердің күрделілігіне байланысты компьютерде есептеледі, сондықтан біз бұл туралы егжей-тегжейлі тоқталмаймыз, тек негізгі ережелерді көрсетеміз.
Егер а дәрежесінің мәнін иррационал көрсеткіші a арқылы есептеу керек болса, онда дәреженің ондық жуықтауын алып, одан санаймыз. Нәтиже шамамен жауап болады. Ондық жуықтау неғұрлым дәл алынған болса, соғұрлым жауап дәлірек болады. Мысалмен көрсетейік:
11-мысал
2-нің жуық мәнін 1,174367 дәрежесіне есептеңіз....
Шешім
Біз өзімізді ондық жуықтаумен шектейміз a n = 1, 17. Осы санды пайдаланып есептер жасайық: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Мысалы, a n = 1 , 1743 жуықтауын алсақ, онда жауап сәл дәлірек болады: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1. 1743 ≈ 2. 256833.
Мәтінде қатені байқасаңыз, оны бөлектеп, Ctrl+Enter пернелерін басыңыз