Инструкция

Существует несколько способов решения линейных функций. Приведем наиболее из них. Чаще всего используется пошаговый метод подстановки. В одном из уравнений необходимо выразить одну переменную через другую, и подставить в другое уравнение. И так до тех пор, пока в одном из уравнений не останется лишь одна переменная. Чтобы решить его необходимо с одной стороны знака равенства оставить переменную (она может быть с коэффициентом), а на другую сторону знака равенства все числовые данные, не забыв при переносе поменять знак числа на противоположный. Вычислив одну переменную, подставьте ее в другие выражения, продолжите вычисления по такому же алгоритму.

Для примера возьмем систему линейной функции , состоящую из двух уравнений:
2х+у-7=0;
х-у-2=0.
Из второго уравнения удобно выразить х:
х=у+2.
Как видите, при переносе из одной части равенства в другую, у и переменных поменялся знак, как и было описано выше.
Подставляем полученное выражение в первое уравнение, таким образом исключая из него переменную х:
2*(у+2)+у-7=0.
Раскрываем скобки:
2у+4+у-7=0.
Компонуем переменные и числа, складываем их:
3у-3=0.
Переносим в правую часть уравнения, меняем знак:
3у=3.
Делим на общий коэффициент, получаем:
у=1.
Подставляем полученное значение в первое выражение:
х=у+2.
Получаем х=3.

Еще один способ решения подобных - это почленное двух уравнений для получения нового с одной переменной. Уравнение можно умножить на определенный коэффициент, главное при этом умножить каждый член уравнения и не забыть , а затем сложить или вычесть одно уравнение из . Этот метод очень экономит при нахождении линейной функции .

Возьмем уже знакомую нам систему уравнений с двумя переменными:
2х+у-7=0;
х-у-2=0.
Легко заметить что коэффициент при переменной у идентичен в первом и втором уравнении и отличается лишь знаком. Значит, при почленном сложении двух этих уравнений мы получим новое, но уже с одной переменной.
2х+х+у-у-7-2=0;
3х-9=0.
Переносим числовые данные на правую сторону уравнения, меняя при этом знак:
3х=9.
Находим общий множитель, равный коэффициенту, стоящему при х и дели обе части уравнения на него:
х=3.
Полученный можно подставить в любое из уравнений системы, чтобы вычислить у:
х-у-2=0;
3-у-2=0;
-у+1=0;
-у=-1;
у=1.

Также вы можете вычислять данные, построив точный график. Для этого необходимо найти нули функции . Если одна из переменных равняется нулю, то такая функция называется однородной. Решив такие уравнения, вы получите две точки, необходимые и достаточные для построения прямой - одна из них будет располагаться на оси х, другая на оси у.

Берем любое уравнение системы и подставляем туда значение х=0:
2*0+у-7=0;
Получаем у=7. Таким образом первая точка, назовем ее А, будет иметь координаты А(0;7).
Для того чтобы вычислить точку, лежащую на оси х, удобно подставить значение у=0 во второе уравнение системы:
х-0-2=0;
х=2.
Вторая точка (В) будет иметь координаты В (2;0).
На координатной сетке отмечаем полученные точки и поводим через них прямую. Если вы построите ее довольно точно, другие значения х и у можно будет вычислять прямо по ней.

Линейная функция – это функция вида

x-аргумент (независимая переменная),

y- функция (зависимая переменная),

k и b- некоторые постоянные числа

Графиком линейной функции является прямая .

Для построения графика достаточно двух точек, т.к. через две точки можно провести прямую и притом только одну.

Если k˃0, то график расположен в 1-й и 3-й координатных четвертях. Если k˂0, то график расположен в 2-й и 4-й координатных четвертях.

Число k называют угловым коэффициентом прямой графика функции y(x)=kx+b. Если k˃0, то угол наклона прямой y(x)= kx+b к положительному направлению Ох - острый; если k˂0, то этот угол- тупой.

Коэффициент b показывает точку пересечения графика с осью ОУ (0; b).

y(x)=k∙x-- частный случай типичной функции носит название прямая пропорциональность. Графиком является прямая, проходящая через начало координат, поэтому для построения этого графика достаточно одной точки.

График линейной функции

Где коэффициент k = 3, следовательно

График функции будет возрастать и иметь острый угол с осью Ох т.к. коэффициент k имеет знак плюс.

ООФ линейной функции

ОЗФ линейной функции

Кроме случая, где

Так же линейная функция вида

Является функцией общего вида.

Б) Если k=0; b≠0,

В этом случае графиком является прямая параллельная оси Ох и проходящая через точку (0;b).

В) Если k≠0; b≠0, то линейная функция имеет вид y(x)=k∙x+b.

Пример 1 . Построить график функции y(x)= -2x+5

Пример 2 . Найдём нули функции у=3х+1, у=0;

– нули функции.

Ответ: или (;0)

Пример 3 . Определить значение функции y=-x+3 для x=1 и x=-1

y(-1)=-(-1)+3=1+3=4

Ответ: y_1=2; y_2=4.

Пример 4 . Определить координаты их точки пересечения или доказать, что графики не пересекаются. Пусть даны функции y 1 =10∙x-8 и y 2 =-3∙x+5.

Если графики функций пересекаются, то значение функций в этой точке равны

Подставим х=1, то y 1 (1)=10∙1-8=2.

Замечание. Подставить полученное значение аргумента можно и в функцию y 2 =-3∙x+5, тогда получим тот же самый ответ y 2 (1)=-3∙1+5=2.

y=2- ордината точки пересечения.

(1;2)- точка пересечения графиков функций у=10х-8 и у=-3х+5.

Ответ: (1;2)

Пример 5 .

Построить графики функций y 1 (x)= x+3 и y 2 (x)= x-1.

Можно заметить, что коэффициент k=1 для обеих функций.

Из выше сказанного следует, что если коэффициенты линейной функции равны, то их графики в системе координат расположены параллельно.

Пример 6 .

Построим два графика функции.

Первый график имеет формулу

Второй график имеет формулу

В данном случае перед нами график двух прямых, пересекающихся в точке (0;4). Это значит, что коэффициент b, отвечающий за высоту подъёма графика над осью Ох, если х=0. Значит мы может полагать, что коэффициент bу обоих графиков равен 4.

Редакторы: Агеева Любовь Александровна, Гаврилина Анна Викторовна

Научитесь брать производные от функций. Производная характеризует скорость изменения функции в определенной точке, лежащей на графике этой функции. В данном случае графиком может быть как прямая, так и кривая линия. То есть производная характеризует скорость изменения функции в конкретный момент времени. Вспомните общие правила, по которым берутся производные, и только потом переходите к следующему шагу.

  • Прочитайте статью .
  • Как брать простейшие производные, например, производную показательного уравнения, описано . Вычисления, представленные в следующих шагах, будут основаны на описанных в ней методах.

Научитесь различать задачи, в которых угловой коэффициент требуется вычислить через производную функции. В задачах не всегда предлагается найти угловой коэффициент или производную функции. Например, вас могут попросить найти скорость изменения функции в точке А(х,у). Также вас могут попросить найти угловой коэффициент касательной в точке А(х,у). В обоих случаях необходимо брать производную функции.

  • Возьмите производную данной вам функции. Здесь строить график не нужно – вам понадобится только уравнение функции. В нашем примере возьмите производную функции . Берите производную согласно методам, изложенным в упомянутой выше статье:

    • Производная:

  • В найденную производную подставьте координаты данной вам точки, чтобы вычислить угловой коэффициент. Производная функции равна угловому коэффициенту в определенной точке. Другими словами, f"(х) – это угловой коэффициент функции в любой точке (x,f(x)). В нашем примере:

    • Найдите угловой коэффициент функции f (x) = 2 x 2 + 6 x {\displaystyle f(x)=2x^{2}+6x} в точке А(4,2).
    • Производная функции:
      • f ′ (x) = 4 x + 6 {\displaystyle f"(x)=4x+6}
    • Подставьте значение координаты «х» данной точки:
      • f ′ (x) = 4 (4) + 6 {\displaystyle f"(x)=4(4)+6}
    • Найдите угловой коэффициент:
    • Угловой коэффициент функции f (x) = 2 x 2 + 6 x {\displaystyle f(x)=2x^{2}+6x} в точке А(4,2) равен 22.

  • Если возможно, проверьте полученный ответ на графике. Помните, что угловой коэффициент можно вычислить не в каждой точке. Дифференциальное исчисление рассматривает сложные функции и сложные графики, где угловой коэффициент можно вычислить не в каждой точке, а в некоторых случаях точки вообще не лежат на графиках. Если возможно, используйте графический калькулятор, чтобы проверить правильность вычисления углового коэффициента данной вам функции. В противном случае проведите касательную к графику в данной вам точке и подумайте, соответствует ли найденное вами значение углового коэффициента тому, что вы видите на графике.

    • Касательная будет иметь тот же угловой коэффициент, что и график функции в определенной точке. Для того, чтобы провести касательную в данной точке, двигайтесь вправо/влево по оси Х (в нашем примере на 22 значения вправо), а затем вверх на единицу по оси Y. Отметьте точку, а затем соедините ее с данной вам точкой. В нашем примере соедините точки с координатами (4,2) и (26,3).

    • Рассмотрим задачу. Мотоциклист, выехавший из города А, в настоящий момент находится в 20 км от него. На каком расстоянии s (км) от А будет находиться мотоциклист через t часов, если он будет двигаться со скоростью 40 км/ч?

    Очевидно, что за t часов мотоциклист проедет 50t км. Следовательно, через t часов он будет находиться от А на расстоянии (20 + 50t) км, т.е. s = 50t + 20, где t ≥ 0.

    Каждому значению t соответствует единственное значение s.

    Формулой s = 50t + 20, где t ≥ 0, задается функция.

    Рассмотрим еще одну задачу. За отправление телеграммы взимается плата 3 копейки за каждое слово и дополнительно 10 копеек. Сколько копеек (u) следует уплатить за отправление телеграммы, содержащей n слов?

    Так как за n слов отправитель должен уплатить 3n копеек, то стоимость отправления телеграммы в n слов может быть найдена по формуле u = 3n + 10, где n – любое натуральное число.

    В обеих рассмотренных задачах мы столкнулись с функциями, которые заданы формулами вида у = kx + l, где k и l – это некоторые числа, а х и у – это переменные.

    Функция, которую можно задать формулой вида у = kx + l, где k и l – некоторые числа, называется линейной.

    Так как выражение kx + l имеет смысл при любых х, то областью определения линейной функции может служить множество всех чисел или любое его подмножество.

    Частным случаем линейной функции является рассмотренная ранее прямая пропорциональность. Вспомним, при l = 0 и k ≠ 0 формула у = kx + l принимает вид у = kx, а этой формулой, как известно, при k ≠ 0 задается прямая пропорциональность.

    Пусть нам нужно построить график линейной функции f, заданной формулой
    у = 0,5х + 2.

    Получим несколько соответственных значений переменной у для некоторых значений х:

    х -6 -4 -2 0 2 4 6 8
    y -1 0 1 2 3 4 5 6

    Отметим точки с полученными нами координатами: (-6; -1), (-4; 0); (-2; 1), (0; 2), (2; 3), (4; 4); (6; 5), (8; 6).

    Очевидно, что построенные точки лежат на некоторой прямой. Из этого еще не следует, что графиком данной функции является прямая линия.

    Чтобы выяснить, какой вид имеет график рассматриваемой функции f, сравним его со знакомым нам графиком прямой пропорциональности х – у, где х = 0,5.

    Для любого х значение выражение 0,5х + 2 больше соответствующего значения выражения 0,5х на 2 единицы. Поэтому ордината каждой точки графика функции f больше соответствующей ординаты графика прямой пропорциональности на 2 единицы.

    Следовательно, график рассматриваемой функции f может быть получен из графика прямой пропорциональности путем параллельного переноса на 2 единицы в направлении оси ординат.

    Так как график прямой пропорциональности – это прямая линия, то и график рассматриваемой линейной функции f также прямая линия.

    Вообще, график функции, заданной формулой вида у = kx + l, есть прямая линия.

    Мы знаем, что для построения прямой линии достаточно определить положение двух ее точек.

    Пусть, например, нужно построить график функции, которая задана формулой
    у = 1,5х – 3.

    Возьмем два произвольных значения х, например, х 1 = 0 и х 2 = 4. Вычислим соответствующие значения функции у 1 = -3, у 2 = 3, построим в координатной плоскости точки А (-3; 0) и В (4; 3) и проведем через эти точки прямую. Эта прямая и есть искомый график.

    Если область определения линейной функции представлена не всеми числами, то ее графиком будет подмножество точек прямой (например, луч, отрезок, множество отдельных точек).

    От значений l и k зависит расположение графика функции, заданной формулой у = kx + l. В частности, от коэффициента k зависит величина угла наклона графика линейной функции к оси х. Если k – положительное число, то этот угол острый; если k – отрицательное число, то угол – тупой. Число k называют угловым коэффициентом прямой.

    сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.