Дифференциа́льное уравне́ние - уравнение, связывающее значение производной функции с самой функцией, значениями независимой переменной, числами (параметрами). Порядок входящих в уравнение производных может быть различен (формально он ничем не ограничен). Производные, функции, независимые переменные и параметры могут входить в уравнение в различных комбинациях или все, кроме хотя бы одной производной, отсутствовать вовсе. Не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением. Например, не является дифференциальным уравнением. [

Дифференциальное уравнение порядка выше первого можно преобразовать в систему уравнений первого порядка, в которой число уравнений равно порядку исходного уравнения.

Современные быстродействующие ЭВМ эффективно дают численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений, не требуя получения его решения в аналитическом виде. Это позволило некоторым исследователям утверждать, что решение задачи получено, если её удалось свести к решению обыкновенного дифференциального уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) - это уравнения, зависящие от одной независимой переменной; они имеют вид

Или

где - неизвестная функция (возможно, вектор-функция; в таком случае часто говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от независимой переменной штрих означает дифференцирование по Число называется порядком дифференциального уравнения. Наиболее практически важными являются дифференциальные уравнения первого и второго порядка.

Порядок дифференциального уравнения

Порядком дифференциального уравнения называют наивысший порядок производной, входящей в данное уравнение.

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка - класс дифференциальных уравнений первого порядка, наиболее легко поддающихся решению и исследованию. К нему относятся уравнения в полных дифференциалах, уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения первого порядка и линейные уравнения первого порядка. Все эти уравнения можно проинтегрировать в конечном виде.

Отправной точкой изложения будет служить дифференциальное уравнение первого порядка, записанное в т. н. симметричной форме:

где функции и определены и непрерывны в некоторой области .

Дифференциальные уравнения в частных производных

Дифференциальные уравнения в частных производных (УРЧП) - это уравнения, содержащие неизвестные функции от нескольких переменных и их частные производные. Общий вид таких уравнений можно представить в виде:

где - независимые переменные, а - функция этих переменных. Порядок уравнений в частных производных может определяется так же, как для обыкновенных дифференциальных уравнений. Ещё одной важной классификацией уравнений в частных производных является их разделение на уравнения эллиптического, параболического и гиперболического типа, в особенности для уравнений второго порядка.

Линейные и нелинейные дифференциальные уравнения

Как обыкновенные дифференциальные уравнения, так и уравнения в частных производных можно разделить на линейные и нелинейные . Дифференциальное уравнение является линейным, если неизвестная функция и её производные входят в уравнение только в первой степени (и не перемножаются друг с другом). Для таких уравнений решения образуют аффинное подпространство пространства функций. Теория линейных ДУ развита значительно глубже, чем теория нелинейных уравнений. Общий вид линейного дифференциального уравнения n -го порядка:

где p i (x ) - известные функции независимой переменной, называемые коэффициентами уравнения. Функция r (x ) в правой части называется свободным членом (единственное слагаемое, не зависящее от неизвестной функции) Важным частным классом линейных уравнений являются линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами .

Подклассом линейных уравнений являются однородные дифференциальные уравнения - уравнения, которые не содержат свободного члена: r (x ) = 0. Для однородных дифференциальных уравнений выполняется принцип суперпозиции: линейная комбинация частных решений такого уравнения также будет его решением. Все остальные линейные дифференциальные уравнения называются неоднородными дифференциальными уравнениями.

Нелинейные дифференциальные уравнения в общем случае не имеют разработанных методов решения, кроме некоторых частных классов. В некоторых случаях (с применением тех или иных приближений) они могут быть сведены к линейным. Например, линейное уравнение гармонического осциллятора может рассматриваться как приближение нелинейного уравнения математического маятника для случая малых амплитуд, когда y ≈ sin y .

(обыкновенное или с частными производными), в к-рое по крайней мере одна из производных неизвестной функции (включая и производную нулевого порядка - саму неизвестную функцию) входит нелинейно. Этот термин обычно употребляют, когда хотят специально подчеркнуть, что рассматриваемое дифференциальное уравнение Н=0 не является линейным, т. е. его левая часть Нне представляет собой линейную форму от производных неизвестной функции с коэффициентами, зависящими только от независимых переменных.

Иногда под Н. д. у. понимается наиболее общее уравнение определенного вида. Напр., нелинейным обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка наз. уравнение с произвольной функцией ; при этом линейное обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка соответствует частному случаю

Н. д. у. с частными производными 1-го порядка для неизвестной функции z от. пнезависимых переменных имеет вид

где F- произвольная своих аргументов; в случае

такое уравнение наз. квазилинейным, а в случае

Линейным.

Н. Розов.

Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .

Смотреть что такое "НЕЛИНЕЙНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ" в других словарях:

Уравнение вида где F заданная действительная функция точки х=(xt, ..., х п)области Dевклидова пространства Е п, и действительных переменных (и(х) неизвестная функция) с неотрицательными целочисленными индексами i1 ,..., in, k=0, ..., т, по… … Математическая энциклопедия

Уравнение, к рое содержит хотя бы одну производную 2 го порядка от неизвестной функции и(х)и не содержит производных более высокого порядка. Напр., линейное уравнение 2 го порядка имеет вид где точка х (х 1, х 2, ..., х п)принадлежит нек рой… … Математическая энциклопедия

Уравнение, содержащее неизвестную функцию под знаками дифференциальных и интегральных операций. И. д. у. включают и интегральные и дифференциальные уравнения. Линейные И. д. у. Пусть f(x) заданная функция, дифференциальные выражения с достаточно… … Математическая энциклопедия

- (др. греч. εἰκών) это нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных, встречающееся в задачах распространения волн, когда волновое уравнение аппроксимируется с помощью теории ВКБ. Оно является следствием уравнений Максвелла, и… … Википедия

Уравнение вида где есть мультииндекс с целыми неотрицательными где. Аналогично определяется Н. у … Математическая энциклопедия

Нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение 2 го порядка или, в самосопряженной форме, где константа. Точка х=0является для Э. у. особой. Заменой переменной уравнение (1) приводится к виду а заменой к виду После замены переменных и… … Математическая энциклопедия

Уравнение (линейное или нелинейное), в к ром неизвестным является элемент какого либо банахова пространства, конкретного (функционального) или абстрактного, т. е. уравнение вида где Р(х) нек рый, вообще говоря, нелинейный оператор, переводящий… … Математическая энциклопедия

Уравнение неравновесной статистпч. физики, используемое в теории газов, аэродинамике, физике плазмы, теории прохождения частиц через вещество, теории переноса излучения. Решение К. у. определяет функцию распределения дпнамич. состояний одной… … Математическая энциклопедия

Нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение 2 го порядка (*) где функция F(и)удовлетворяет предположению: Р. у. описывает типичную нелинейную систему с одной степенью свободы, в к рой возможны автоколебания. Названо по имени Рэлея… … Математическая энциклопедия

Нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение 2 го порядка Является важным частным случаем Лъенара уравнения. В. д. П. у. описывает свободные автоколебания одной из простейших нелинейных колебательных систем (осциллятора Ван дер Поля). В… … Математическая энциклопедия

Дифференциальное уравнение - это уравнение, в которое входят функция и одна или несколько ее производных. В большинстве практических задач функции представляют собой физические величины, производные соответствуют скоростям изменения этих величин, а уравнение определяет связь между ними.

В данной статье рассмотрены методы решения некоторых типов обыкновенных дифференциальных уравнений, решения которых могут быть записаны в виде элементарных функций , то есть полиномиальных, экспоненциальных, логарифмических и тригонометрических, а также обратных им функций. Многие из этих уравнений встречаются в реальной жизни, хотя большинство других дифференциальных уравнений нельзя решить данными методами, и для них ответ записывается в виде специальных функций или степенных рядов, либо находится численными методами.

Для понимания данной статьи необходимо владеть дифференциальным и интегральным исчислением, а также иметь некоторое представление о частных производных. Рекомендуется также знать основы линейной алгебры в применении к дифференциальным уравнениям, особенно к дифференциальным уравнениям второго порядка, хотя для их решения достаточно знания дифференциального и интегрального исчисления.

Предварительные сведения

• Дифференциальные уравнения имеют обширную классификацию. В настоящей статье рассказывается об обыкновенных дифференциальных уравнениях , то есть об уравнениях, в которые входит функция одной переменной и ее производные. Обыкновенные дифференциальные уравнения намного легче понять и решить, чем дифференциальные уравнения в частных производных , в которые входят функции нескольких переменных. В данной статье не рассматриваются дифференциальные уравнения в частных производных, поскольку методы решения этих уравнений обычно определяются их конкретным видом.
  • Ниже приведены несколько примеров обыкновенных дифференциальных уравнений.
    • d y d x = k y {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}=ky}
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }^{2}x}{{\mathrm {d} }t^{2}}}+kx=0}
  • Ниже приведены несколько примеров дифференциальных уравнений в частных производных.
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=0}
    • ∂ u ∂ t − α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0}
• Порядок дифференциального уравнения определяется по порядку старшей производной, входящей в данное уравнение. Первое из приведенных выше обыкновенных дифференциальных уравнений имеет первый порядок, в то время как второе относится к уравнениям второго порядка. Степенью дифференциального уравнения называется наивысшая степень, в которую возводится один из членов этого уравнения.
  • Например, приведенное ниже уравнение имеет третий порядок и вторую степень.
    • (d 3 y d x 3) 2 + d y d x = 0 {\displaystyle \left({\frac {{\mathrm {d} }^{3}y}{{\mathrm {d} }x^{3}}}\right)^{2}+{\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}=0}
• Дифференциальное уравнение является линейным дифференциальным уравнением в том случае, если функция и все ее производные стоят в первой степени. В противном случае уравнение является нелинейным дифференциальным уравнением . Линейные дифференциальные уравнения примечательны тем, что из их решений можно составить линейные комбинации, которые также будут решениями данного уравнения.
  • Ниже приведены несколько примеров линейных дифференциальных уравнений.
    • d y d x + p (x) y = q (x) {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}+p(x)y=q(x)}
    • x 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 {\displaystyle x^{2}{\frac {{\mathrm {d} }^{2}y}{{\mathrm {d} }x^{2}}}+ax{\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}+by=0}
  • Ниже приведены несколько примеров нелинейных дифференциальных уравнений. Первое уравнение является нелинейным из-за слагаемого с синусом.
    • d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0 {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }^{2}\theta }{{\mathrm {d} }t^{2}}}+{\frac {g}{l}}\sin \theta =0}
    • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }^{2}x}{{\mathrm {d} }t^{2}}}+\left({\frac {{\mathrm {d} }x}{{\mathrm {d} }t}}\right)^{2}+tx^{2}=0}
• Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения не является единственным, оно включает в себя произвольные постоянные интегрирования . В большинстве случаев число произвольных постоянных равно порядку уравнения. На практике значения этих констант определяются по заданным начальным условиям , то есть по значениям функции и ее производных при x = 0. {\displaystyle x=0.} Число начальных условий, которые необходимы для нахождения частного решения дифференциального уравнения, в большинстве случаев также равно порядку данного уравнения.
  • Например, в данной статье будет рассмотрено решение приведенного ниже уравнения. Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Его общее решение содержит две произвольные постоянные. Для нахождения этих постоянных необходимо знать начальные условия при x (0) {\displaystyle x(0)} и x ′ (0) . {\displaystyle x"(0).} Обычно начальные условия задаются в точке x = 0 , {\displaystyle x=0,} , хотя это и не обязательно. В данной статье будет рассмотрено также, как найти частные решения при заданных начальных условиях.
    • d 2 x d t 2 + k 2 x = 0 {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }^{2}x}{{\mathrm {d} }t^{2}}}+k^{2}x=0}
    • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x {\displaystyle x(t)=c_{1}\cos kx+c_{2}\sin kx}

Шаги

Часть 1

Уравнения первого порядка

При использовании этого сервиса некоторая информация может быть передана YouTube.

Эту страницу просматривали 69 354 раз.

Была ли эта статья полезной?

Дифференциальные уравнения - раздел математики, изучающий теорию и способы решения уравнений, содержащих искомую функцию и ее производные различных порядков одного аргумента (обыкновенные дифференциальные) или нескольких аргументов (дифференциальные уравнения в частных производных). Дифференциальные уравнения широко используются на практике, в частности для описания переходных процессов.

Теория дифференциальных уравнений - раздел математики, занимающийся изучением дифференциальных уравнений и связанных с ними задач. Их результаты применяются во многих естественных науках, особенно широко - в физике.

Проще говоря, дифференциальное уравнение - это уравнение, в котором неизвестной величиной является некоторая функция.При этом, в самом уравнении участвует не только неизвестная функция, но и различные ее производные. Дифференциальным уравнением описывается связь между неизвестной функцией и ее производными. Такие связи отыскиваются в различных областях знаний: в механике, физике, химии, биологии, экономике и др.

Различают обыкновенные дифференциальные уравнения и дифференциальные уравнения в частных производных. Более сложными являются интегро-дифференциальные уравнения.

Сначала дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых участвовали координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции от времени.

Дифференциальное уравнение называется интегрируемых в квадратурах , если задачу нахождения всех развязок связей можно свести к вычислению конечного числа интегралов от известных функций и простых алгебраических операций.

История

Леонард Эйлер

Жозеф-Луи Лагранж

Пьер-Симон Лаплас

Жозеф Лиувилль

Анри Пуанкаре

Дифференциальные уравнения изобретены Ньютоном (1642-1727). Ньютон считал это свое изобретение настолько важным, что зашифровал его в виде анаграммы, смысл которой в современных терминах можно свободно передать так: «законы природы выражаются дифференциальными уравнениями».

Основным аналитическим достижением Ньютона было разложение всевозможных функций в степенные ряды (смысл второй, длинной анаграммы Ньютона в том, что для решения любого уравнения нужно подставить в уравнение ряд и приравнять члены одинакового степени). Особое значение имела здесь открытая им формула бинома Ньютона (разумеется, не только с целыми показателями, для которых формулу знал, например, Виет (1540-1603), но и, что особенно важно, с дробными и отрицательными показателями). Ньютон разложил в «ряды Тейлора» все основные элементарные функции Это, вместе с составленной им таблице первобытных (которая перешла в почти неизменном виде в современные учебники анализа), позволяло ему, по его словам, сравнивать площади любых фигур «за половину четверти часа».

Ньютон указывал, что коэффициенты его рядов пропорциональны последовательным производным функции, но не останавливался на этом подробно, поскольку он справедливо считал, что все вычисления в анализе удобнее проводить не с помощью кратных дифференцировок, а путем вычисления первых членов ряда. Для Ньютона связь между коэффициентами ряда и производными был скорее средством вычисления производных, чем средством составления ряда. Одним из важнейших достижений Ньютона является его теория солнечной системы, изложенная в «Математических принципах натуральной философии» («Principia») без помощи математического анализа. Обычно считают, что Ньютон открыл с помощью своего анализа закон всемирного тяготения. На самом деле Ньютону (1680) принадлежит лишь доказательство эллиптичности орбит в поле притяжения по закону обратных квадратов: сам этот закон был указан Ньютону Гуком (1635-1703) и, пожалуй, угадывался еще несколькими учеными.

Из огромного числа работ XVIII века по дифференциальным уравнениям выделяются работы Эйлера (1707-1783) и Лагранжа(1736-1813). В этих работах была прежде развита теория малых колебаний, а следовательно - теория линейных систем дифференциальных уравнений; попутно возникли основные понятия линейной алгебры (собственные числа и векторы в n-мерном случае). Характеристическое уравнение линейного оператора долго называли секулярным, поскольку именно из такого уравнения определяются секулярные (возрастные, т.е. медленные по сравнению с годовым движением) возмущения планетных орбит согласно теории малых колебаний Лагранжа. Вслед за Ньютоном Лаплас и Лагранж, а позже Гаусс (1777-1855) развивают также методы теории возмущений.

Когда была доказана неразрешимость алгебраических уравнений в радикалах, Жозеф Лиувилль (1809-1882) построил аналогичную теорию для дифференциальных уравнений, установив невозможность решения ряда уравнений (в частности таких классических, как линейные уравнения второго порядка) в элементарных функциях и квадратурах. Позже Софус Ли (1842-1899), анализируя вопрос об интегрировании уравнений в квадратурах, пришел к необходимости детально исследовать группы дифеоморфизмив (получившие впоследствии имя групп Ли) - так по теории дифференциальных уравнений возникла одна из самых плодотворных областей современной математики, дальнейшее развитие которой было тесно связано совсем с другими вопросами (алгебры Ли еще раньше рассматривали Симеон-Дени Пуассон (1781-1840) и, особенно, Карл Густав Якоб Якоби (1804-1851)).

Новый этап развития теории дифференциальных уравнений начинается с работ Анри Пуанкаре (1854-1912), созданная им «качественная теория дифференциальных уравнений» вместе с теорией функций комплексных переменных привела к основанию современной топологии. Качественная теория дифференциальных уравнений, или, как теперь ее чаще называют, теория динамических систем, сейчас развивается наиболее активно и имеет наиболее важные применения теории дифференциальных уравнений в естествознании.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения - это уравнения вида F (t , x , x ", x "",..., x (n )) = 0 , где x = x (t ) - неизвестная функция (возможно, вектор-функция; в таком случае часто говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от переменной времени t , штрих означает дифференцирование по t . Число n называется порядком дифференциального уравнения.

Решением (или решением) дифференциального уравнения называется функция, дифференцируется n раз, и удовлетворяет уравнению во всех точках своей области определения. Обычно существует целое множество таких функций, и для выбора одной из развязок нужно наложить на нее дополнительные условия: например, требовать, чтобы решения принимал в определенной точке определенное значение.

Основные задачи и результаты теории дифференциальных уравнений: существование и единственность решения различных задач для ОДУ, методы розьязання простых ОДУ, качественное исследование решений ОДУ без нахождения их явного вида.

Дифференциальные уравнения в частных производных

Дифференциальные уравнения в частных производных - это уравнения, содержащие неизвестные функции от нескольких переменных и их частных производных.

Общий вид таких уравнений можно представить в виде:

,

где - независимые переменные, а - функция этих переменных.

Нелинейные дифференциальные уравнения

Нелинейные дифференциальные уравнения - раздел математики, изучающий теорию и способы решения нелинейных уравнений, содержащих искомую функцию и ее производные различных порядков одного аргумента (обычные нелинейные дифференциальные) или нескольких аргументов (нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных). Дифференциальные уравнения широко используются на практике, в частности для описания переходных процессов.

Теория нелинейных дифференциальных уравнений - раздел математики, занимающийся изучением дифференциальных уравнений и связанных с ними задач. Их результаты применяются во многих естественных науках: механике, физике, термоупругости, оптике.

Нелинейное дифференциальное уравнение - это уравнение, в котором неизвестной величиной является некоторая функция. В самом дифференциальном уравнении участвует не только неизвестная функция, но и различные ее производные в нелинейном виде. Нелинейным дифференциальным уравнением описывается связь между неизвестной функцией и ее производными. Такие связи отыскиваются в различных областях знаний: в механике, физике, химии, биологии, экономике и др..

Различают обычные нелинейные дифференциальные уравнения и нелийни дифференциальные уравнения в частных производных.

Нелинейные дифференциальные уравнения возникли из задач нелинейной механики, в которых участвовали координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции от времени.

Примеры

• Второй закон Ньютона можно записать в форме дифференциального уравнения

,

где m - масса тела, x - его координата, F (x , t ) - сила, действующая на тело с координатой x в момент времени t . Его решением является траектория движения тела под действием указанной силы.

• Колебания струны задается уравнением

,

где u = u (x , t ) - отклонение струны в точке с координатой x в момент времени t , параметр a задает свойства струны.

Дифференциальное уравнение уравнение связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию её производные и независимые переменные; однако не любое уравнение содержащее производные неизвестной функции является дифференциальным уравнением. Нелинейное дифференциальное уравнение дифференциальное уравнение обыкновенное или с частными производными в которое по крайней мере одна...

Поделитесь работой в социальных сетях

Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск

ПГУ им. Т.Г. Шевченко

Курсовая работа

Виды нелинейных дифференциальных уравнений 1-го порядка

Выполнил:

Студент 211 группы

Специальности «ИКТиСС»

Бирт Игорь Андреевич

Проверил:

Тирасполь 2014 год

1. Введение 3 стр.

2. Виды дифференциальных уравнений 4 стр.

3. Практическая часть 8 стр.

4. Литература 20 стр.

1. ВВЕДЕНИЕ

Дифференциальное уравнение — уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, её производные и независимые переменные; однако не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением.

Порядок дифференциального уравнения — наибольший порядок производных, входящих в него.

Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием.

Все дифференциальные уравнения можно разделить на линейные и не линейные.

Нелинейное дифференциальное уравнение - дифференциальное уравнение (обыкновенное или с частными производными ), в к ото рое по крайней мере о дна из производных неизвестной функции (включая и производную нулевого порядка - саму неизвестную функцию ) входит нелинейно .

Иногда под Н.Д.У. понимается наиболее общее уравнение определенного вида. Напр ., нелинейнымобыкновенным дифференциальным уравнением 1 - го порядка наз . уравнение с произвольной

функцией при этом линейное обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка соответствует частному случаю

Н . д . у . с частными производными 1-го порядка для неизвестной функции z

от независимых переменных имеет вид:

где F - произвольная функция своих аргументов ;

Виды нелинейных дифференциальных уравнений 1-го порядка:

Уравнения с разделенными переменными

П1.

Общий интеграл

П2.

Общий интеграл

Уравнение в полных дифференциалах

Где

Существует такая функция u(x, y) , что

Общий интеграл уравнения в полных дифференциалах u(x, y) = C.

Функция u может быть представлена в виде

Однородное уравнение

где P(x, y) , Q(x, y) - однородные функции одной и той же степени

Подстановка y = ux , dy = xdu + udx переводит однородное уравнение в линейное относительно функции u :

Уравнение вида

1. Если прямые и пересекаются в точке

(x 0 ; y 0 ), то замена приводит его к однородному уравнению

2. Если прямые и параллельны, то замена приводит к уравнению с разделяющимися переменными

Уравнение Бернулли

Подстановкой сводится к линейному

Уравнение Риккати

Если известно какое-либо из решений, то уравнение сводится к

линейному подстановкой.

Уравнение Лагранжа

Дифференцируя по x и полагая y" = p , приходим к линейному уравнению относительно x как функции p :

Уравнение Клеро

Частный случай уравнения Лагранжа.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.

Уравнения Риккати

Решить дифференциальное уравнение

y" = y + y 2 + 1.

Решение.

Данное уравнение является простейшим уравнением Риккати с постоянными коэффициентами. Переменные x, y здесь легко разделяются, так что общее решение уравнения определяется в следующем виде:

Решить уравнение Риккати

Решение

Будем искать частное решение в форме:

Подставляя это в уравнение, находим:

Получаем квадратное уравнение для c:

Мы можем выбрать любое значение c. Например, пусть c = 2. Теперь, когда частное решение известно, сделаем замену:

Снова подставим это в исходное уравнение Риккати:

Как видно, мы получили уравнение Бернулли с параметром m = 2. Сделаем еще одну замену:

Разделим уравнение Бернулли на z2 (полагая, что z ≠ 0) и запишем его через переменную v:

Последнее уравнение является линейным и легко решается с помощью интегрирующего множителя:

Общее решение линейного уравнения определяется функцией

Теперь мы будем последовательно возвращаться к предыдущим переменным. Так как z = 1/v, то общее решение для z записывается следующим образом:

Следовательно,

Можно переименовать константу: 3C = C1 и записать ответ в виде

где C1 − произвольное действительное число.

Уравнения Бернули

Решение.

Данное уравнение является уравнением Бернулли с дробным параметром

m = 1/2. Его можно свести к линейному дифференциальному уравнению с помощью замены

Производная новой функции z (x ) будет равна

Разделим исходное уравнение Бернулли на

Аналогично другим примерам на этой веб-странице, корень y = 0 также является тривиальным решением дифференциального уравнения. Поэтому можно записать:

Заменяя y на z , находим:

Итак, мы имеем линейное уравнение для функции z (x ). Интегрирующий множитель здесь будет равен

Выберем в качестве интегрирующего множителя функцию u (x ) = x . Можно проверить, что после умножения на u (x ) левая часть уравнения будет представлять собой производную произведения z (x ) u (x ):

Тогда общее решение линейного дифференциального уравнения будет определяться выражением:

Возвращаясь к исходной функции y (x ), записываем решение в неявной форме:

Итак, полный ответ имеет вид:

Уравнения с разделяющимися переменными

Найти все решения дифференциального уравнения

y" = −xe y .

Решение.

Преобразуем уравнение следующим образом:

Очевидно, что деление на e y не приводит к потере решения, поскольку e y > 0. После интегрирования получаем

Данный ответ можно выразить в явном виде:

В последнем выражении предполагается, что константа C > 0, чтобы удовлетворить области определения логарифмической функции.

Найти частное решение уравнения, при

y(0) = 0.

Решение.

Перепишем уравнение в следующем виде:

Разделим обе части на 1 + e x :

Поскольку 1 + e x > 0, то при делении мы не потеряли никаких решений. Интегрируем полученное уравнение:

Теперь найдем константу C из начального условия y(0) = 0.

Следовательно, окончательный ответ имеет вид:

Уравнение Клеро

y = xy" + (y") 2

Решение

Полагая y" = p, его можно записать в виде

Продифференцировав по переменной x, находим:

Заменим dy на pdx:

Приравнивая первый множитель к нулю, получаем:

Теперь подставим это во второе уравнение:

В результате получаем общее решение заданного уравнения Клеро. Графически, это решение представляется в виде однопараметрического семейства прямых. Приравнивая нулю второй сомножитель, находим еще одно решение:

Это уравнение соответствует особому решению дифференциального уравнения и в параметрической форме записывается как

Исключая p из системы, получаем следующее уравнение интегральной кривой:

С геометрической точки зрения, парабола

является огибающей семейства прямых, определяемых общим решением.

Найти общее и особое решения дифференциального уравнения

Решение.

Введем параметр y" = p:

Дифференцируя обе части уравнения по переменной x, получаем:

Поскольку dy = pdx, то можно записать:

Рассмотрим случай dp = 0. Тогда p = C. Подставляя это в уравнение, находим общее решение:

Графически это решение соответствует однопараметрическому семейству прямых линий.

Второй случай описывается уравнением

Найдем соответствующее параметрическое выражение для y:

Параметр p можно исключить из формул для x и y. Возводя последние уравнения в квадрат и складывая их, получаем:

Полученное выражение является уравнением окружности радиусом 1, расположенным в начале координат. Таким образом, особое решение представляется единичной окружностью в плоскости xy, которая является огибающей для семейства прямых линий.

ЛИТЕРАТУРА

1. Н.С. Пискунов "Дифференциальное и интегральное исчисление", том второй, издательство "Наука", Москва 1985

1. В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Физматлит, 2001.

1. К.Н. Лунгу, В.П. Норин и др. "Сборник задач по высшей математике", второй курс, Москва: Айрис-пресс, 2007

1. Э. Камке. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976.

1. Источники информации в интернете.

PAGE \* MERGEFORMAT 19

Другие похожие работы, которые могут вас заинтересовать.вшм>
13541.		Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка	113.05 KB
	Рассмотрим уравнение XxdxYydy=0 1 в котором коэффициент при dx зависит только от x а коэффициент при dy – только от y. Такое уравнение называется уравнением с разделенными переменными. Тогда уравнение 1 можно переписать так. К уравнению с разделенными переменными легко приводится уравнение вида p1xp2ydx q1xq2ydy = 0 в котором коэффициенты при dx и dy представляют собой произведения функции от x на функцию от y.
13536.		Элементы общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка	129.39 KB
	Такие уравнения называются дифференциальными. Аналогичное исследование с помощью дифференциального уравнения можно провести и для изучения экстратока замыкания. Для того чтобы найти эту функцию отделим переменные t и x друг от друга собрав члены с x в левой части уравнения а члены с t в правой: .
19450.		Численные методы решения нелинейных уравнений	156.56 KB
	Видим что обе части не являются алгебраическими и содержат тригонометрические формулы значит это трансцендентное уравнение для решения которого не существует формул для отыскания корней. Построим график для того чтобы примерно определить промежутки содержащие корни см. Для этого реализуем метод половинного деления. Для того чтобы использовать эту функцию напишем скрипт который будет выводить первые пять корней отмечать их на графике а также использовать встроенную функцию для проверки решения и вычислять резонансные частоты стержня.
6217.		Методы нахождения корней системы нелинейных уравнений	284.94 KB
	Методы нахождения корней системы нелинейных уравнений. Для системы из 2 уравнений это можно сделать графически но для систем высоких порядков удовлетворительных методов отделения корней не существует. Проблема решения системы 1 возникает при решении многих прикладных задач например поиска безусловного экстремума функций многих переменных с помощью необходимых условий...
1726.		Вычисление корней нелинейных уравнений методом Ньютона	123.78 KB
	Целью данной курсовой работы является изучение и реализация в программном продукте решения нелинейных уравнений при помощи метода Ньютона. Первый раздел теоретический и содержит общие сведения о методе Ньютона.
19491.		Решение дифференциальных уравнений в частных производных	267.96 KB
	Экранированная двухпроводная линия РАСЧЕТ Для выполнения расчета необходимо запустить PDE Toolbox для этого необходимо выполнить команду pdetool в рабочей области MTLB.– Двухмерная модель проводящей линии Сначала из геометрических примитивов строиться модель системы см...
19443.		Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений	72.36 KB
	Для начала рассмотрим метод Эйлера так как является самым простым из существующих численных методов решения дифференциальных уравнений и в конце сравним результаты. Метод Эйлера является явным одношаговым методом первого порядка точности основанном на аппроксимации интегральной кривой кусочно-линейной функцией...
6215.		Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений	1.42 MB
	Порядком обыкновенного дифференциального уравнения называется порядок старшей производной от искомой функции. Общим интегралом уравнения. неявным образом причем число постоянных интегрирования равно порядку уравнения. Общим решением обыкновенного дифференциального уравнения называется функция.
13538.		Понятие о численных методах решения обыкновенных дифференциальных уравнений	153.35 KB
	Недостатки метода Эйлера 4. Идея метода Эйлера очень проста. В результате приходим к приближённому уравнению: Поскольку по определению у= окончательно имеем следующее уравнение являющееся основой метода Эйлера: 8 Конечно это уравнение является лишь приближённым и мы надеемся что чем меньше величина шага h тем оно будет более точным уменьшается локальная погрешность метода то есть погрешность на одном его шаге.
3551.		Визуализация численных методов. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений	143.97 KB
	Дифференциальными уравнениями называются уравнения, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Первые дифференциальные уравнения возникли из задач механики...